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k xy平面上の直線が x  y  z と(cos , 2 sin , 0

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Academic year: 2021

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(1)

[ 東京工業大学 1991 年前期 ２ ]

空間内のxy平面上の直線 を楕円

2

2 1, 0

4

xyzの接線とする。直線 と点1 , 1, 1 2

 

 

 を含

む平面が 軸と交わる点z Qを(0, 0, )k とするとき， のとり得る値の範囲を求めよ。 k

xy平面上の直線が

2

2 1, 0

4

xyzと(cos , 2 sin , 0)  （0≦ 2）で接しているとする。

2

2 1

4

xyに対し 2 0

2 x y dy

  dxより y0のとき dy 4x

dx   y であるから

の方程式は 4 cos

2 sin ( cos ), 0

2 sin

y   xz

     

2 2 z

2 sin y 4 sin   4 cos x 4 cos , 0

2 cos x sin  y 2 0, z0 となる。これは y0 のときにも成り立つ。

2つの平面 2 cos x sin  y 2 0, z0 の交線を含む平面の方程式は

(2 cos x sin  y 2) cz0 …① とおくことができる（ただし，平面z0を除く。）

これが 1 , 1, 1 2

 

  を通るとき，cos sin   2 c 0 より

2 (sin cos )

c    

2 2 sin

4

 

 

    

 

0≦ 2 より 2 2≦ ≦c 2 2 …② である。

①は (0, 0, )k を通るから 2 cos 0 sin  0 2 ck 0 よって 2

kc

②より 2 2

2 2 k 2 2

 ≦ ≦ 

したがって 2 2≦ ≦k 2 2 となる。

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