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0 ≦ x   , 0 ≦ y   , sin 2 x  sin 2 y  1

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Academic year: 2021

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[ 東京工業大学 1965 年 ３ ]

0 ≦ x   , 0 ≦ y   , sin 2 x  sin 2 y  1

のとき，

| xy |

を最大または最小にする

x y ,

の値を 求めよ。

sin 2 x  sin 2 y  1

…① より

sin 2 x   1 sin 2 y ≧ 0

から

sin 2 x≧ 0

よって

0 ≦ 2x ≦

であるから

0

x  2

≦ ≦

…②

同様にして

0

y  2

≦ ≦

…③

①より

2 sin( xy ) cos( xy ) 1 

…①

´

②，③より

0 | | x y  2

≦ ≦

であり，

0

2

 

≦ ≦

に対して cos

は単調減少なので

「

| xy |

が最大 ⇔

cos | xy |

が最大」，「

| xy |

が最小 ⇔

cos | xy |

が最小」である。

ここで，

1 ≧ cos | xy |

…④

cos( x y )

 

1 1

2 sin( x y )

 

 1

≧ 2

…⑤

④の等号成立は

| x   y | 0

⇔

xy

のとき，⑤の等号成立は

x y  2

 

のときである。

④の等号が成立するとき

cos | xy |

が最大になるので

| xy |

は最小になる。

このとき

xy

であり，①

´

より

1 sin( )

xy  2

よって

1 5 6 , 6

x   y  

から

1

x   y 12 

または

5 x   y 12 

⑤の等号が成立するとき

cos( xy )

が最小となるので

| xy |

は最大になる。

このとき

x y  2

 

であり，①

´

より

1

cos( )

xy  2

よって

x    y  3

から

5 1

12 , 12

x   y  

または

1 5

12 , 12

x   y  

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