逐次的・局所的に非定値な関数についての Tychonoffの不動点定理
著者 田中 靖人
雑誌名 經濟學論叢
巻 65
号 2
ページ 349‑361
発行年 2013‑09‑20
権利 同志社大學經濟學會
URL http://doi.org/10.14988/00027391
【論 説】
逐次的・局所的に非定値な関数についての Tychonoff の不動点定理
＊田 中 靖 人
1 は じ め に
Brouwerの 不 動 点 定 理 が 構 成 的 に（Bishopに よ る 構 成 的 数 学(constructive
mathematics)の意味で）証明できないので，ユークリッド空間を一般化した局所
凸空間におけるTychonoffの不動点定理も構成的に証明できないが，Brouwer の不動点定理の証明に用いられるSpernerの補題は構成的に証明可能であり，
そのSpernerの補題を用いた近似的なBrouwerの不動点定理の証明が与えら
れている（［7］，［8］参照）．また［6］においては，その手法を用いて局所凸空間 における近似的なTychonoffの不動点定理を構成的に証明した．
Dalenは［7］で，ユークリッド空間における単体からそれ自身への一様連続 な関数fが以下の条件を満たせば，近似的な不動点だけではなく，厳密な不 動点を持つのではないかという推測（conjecture）を提示している．
単体の任意の開集合がx≠f (x)（あるいは|x－f (x)|＞0）を満たす点xを含 み，かつ単体の面や辺上のすべての点においてx≠f (x)が成り立つ．
また，Bergerは［2］において，次の定理が「Brouwerのfan定理」と呼ばれる ものと同値であることを示した．
＊ この研究は科学研究費補助金基盤研究（C）20530165の補助を受けている．
コンパクトな距離空間Xからそれ自身への一様連続な関数が，近似的 な不動点を持ち，かつたかだか一つの不動点を持つだけならば，不動 点を持つ．
Brouwerのfan定理は構成的に証明できないものとされているので上記の定
理も構成的に証明できない．
筆者は別の論文（［5］）で［1］における「逐次的にたかだか一つの最大値を 持つ（sequentially at most one maximum）」という条件を参考にして「逐次的・局 所的に非定値（sequential local non-constancy）」という条件を関数に課してfan定 理によらずに次の定理を証明した．
コンパクトな距離空間Xからそれ自身への一様連続な関数が逐次的・
局所的に非定値ならば不動点を持つ．
これはDalenの推測に対する部分的な解答である．
本稿ではこの結果を局所凸空間（locally convex space，セミノルムが定義された空間）
に拡張して，逐次的・局所的に非定値な関数についてのTychonoffの不動点定 理（通常のこの定理の定式化については［4］を参照した）の構成的な証明を与える．
2 局所凸空間における逐次的・局所的に非定値な関数についての Tychonoffの不動点定理
構成的数学においては空でない集合（nonempty set）はinhabitedであると言う．
集合Sは少なくとも一つの要素を持つときinhabitedである．
Sがinhabitedであるためには空集合であることが不可能である，とい うだけでは不十分であり，具体的にSの要素を作ることができなけれ ばならない（［3］の12ページ参照）．
また，構成的数学では集合のコンパクト性は全有界性（total boundedness）と
完備性（completeness）を意味する．ある集合Sは，自然数Nと{1, 2, ..., N}
からSの上への写像が存在するとき有限可算（finitely enumerable）であると言う．
これはその集合の要素の数がたかだかN個であるという意味である．それに 対してちょうどN個の要素を持つ集合は有限（finite）であると言う．有限な らば有限可算であるが，逆は構成的数学においては必ずしも成り立たない．
また，任意のx∈Sについて|x－y|＜ε（|x－y|はxとyとの距離を表す）を満 たす点yを含む集合をSに対するε-近似と呼ぶ．任意の ε＞0について有 限可算なSに対するε-近似が存在するならばSは全有界である．そのとき Sの各要素は有限可算個の要素からなるε-近似に含まれる点のいずれかの近 くにある．完備性はあらゆるCauchy列（コーシー列）が収束するという意味 である．
局所凸空間（locally convex space）はベクトル空間（あるいは線型空間）Eとそ の上で定義されたセミノルムの族( pi)i∈Iによって構成される．セミノルムと は，XからR（実数の集合）への関数であって，以下の条件を満たすものである．
pi(x)＞0⇒x≠0，pi(tx)＝|t| pi(x)，pi( x＋y)≤pi(x)＋pi( y)
Iは正の整数（自然数）の集合のような添字集合（index set）である．［3］で の定義に倣って局所凸空間における集合の全有界性を次のように定義する．
定義 1（局所凸空間における集合の全有界性）Xは局所凸空間の部分集合，
FはIの有限可算な部分集合であり，ε＞0であるとする．Xの部分集合Tが 任意のx∈Xに対して∑i∈Fpi(x－y)＜εを満たすy∈Tが存在する．
という条件を満たすとき，TはFに相対的なXに対するε-近似であると言う．
任意のε＞0について有限可算なFに相対的なXのε-近似が存在するとき，
XはFに相対的に全有界であり，XがIの任意の有限可算な部分集合に相対 的に全有界ならば単に全有界であると言う．
［3］のCorollary 2.2.12を局所凸空間に拡張すると次の結果が得られる．
補題 1 Xが局所凸空間の全有界な部分集合ならば任意のε＞0について，
それぞれの直径がε以下であるような全有界集合K1, ..., KnでX＝∪ni＝1Kiを 満たすものが存在する．
Kiの直径とは以下で定義されるものである．
sup
x, y∈Ki
i∈F∑pi(x－y)
付録でこの補題の証明を与える．
Xがn次元の単体（∆で表す）であればこの補題は次のように表現される．
補題 2 ∆がn次元単体ならば任意のε＞0について，それぞれの直径が ε以下で∆＝∪ni＝1Hiを満たす全有界集合H1, ..., Hnが存在する．
本稿で証明するTychonoffの不動点定理は以下のように表される．
定理 1 （一様連続で逐次的・局所的に非定値な関数についてのTychonoff の不動点定理）Xが局所凸空間のコンパクト（全有界かつ完備）かつ凸な部分 集合であり，gがXからX自身への一様連続で逐次的・局所的に非定値な関 数であるならば不動点を持つ．
局所凸空間における関数の一様連続性は以下のように表現される．
定義 2 （局所凸空間における関数の一様連続性）X，Yを局所凸空間の部 分集合とする．関数g：X→Yは任意のε＞0と添字集合Jの任意の有限 可算な部分集合Gについて，x, y∈Xかつ∑i∈Fpi(x－y)＜δ であるときに
∑j∈Gqj(g (x)－g (y))＜ε が成り立つようなδ＞0と添字集合Iの有限可算な部
分集合Fが存在するならば一様連続（uniformly continuous）である．ここで(qj)j
∈JはY上のセミノルムの族である．
∆をn次元単体，xをその点とし，∆からそれ自身への一様連続な関数fを 考える．∆における関数の一様連続性は次のように表現される．
任意のε＞0に対して，x, y∈∆かつ|x－y|＜δであるときに|f(x)－f(y)|
＜εが成り立つようなδ＞0が存在するとき，fは一様連続である．
［7］および［8］よりfは近似的な不動点を持つ．これは次のことを意味する．
任意のε＞0に対して|x*－f ( x*)|＜εを満たすx*∈∆が存在する．
x*はεに依存する．ε＞0は任意であるから inf
x∈∆|x－f (x)|＝0
が得られる．したがって，∪ni＝1Hi＝∆を満たすあるHiについて inf
x∈Hi
|x－f (x)|＝0 が成り立つ．
Xが局所凸空間のコンパクトで凸な部分集合ならばXに対する有限可算な ε-近似が存在する．それを{x0, x1, ..., xn}とする．Xの各点は少なくとも一つ のxjのε以内（セミノルムの意味で）にある．次の集合を考える．
Xε＝
｛
j＝0∑nαjxj|j＝0∑nαj＝1, αj≥0｝
Xは凸集合なので，Xε⊂Xであり，またXとXεは同相（homeomorphic）である．
Xεはx0, x1, ..., xnによって張られるXの有限次元ベクトル空間に含まれる．そ
の集合（Xε）と，v0＝(1, 0, 0, ..., 0)，v1＝(0, 1, 0, ..., 0)，...，vn＝(0, 0, ..., 1)を 頂点とするユークリッド空間におけるn次元単体∆とは自然に同一視されるの で，Xからそれ自身への一様連続な関数gは近似的な不動点を持つ．
Xεの定義に含まれるαjはj＝0からnまであり，それらの和は1に等しい．一方，
∆の頂点はv0からvnまであり，∆の各点の座標はそれらの頂点の座標の凸結 合になっていて，各頂点に与えられる比重は上記のαjと同様のものである．
つまり∆のある点vの座標は (α0, α1 ,..., αn)
のように表される．Xεの各点も同様に表現される．
したがって inf
x∈X ∑
j∈Fpj( g ( x)－x)＝0
が成り立つ．補題1によって∪ni＝1Ki＝Xを満たすあるKiにおいて inf
x∈Ki
j∈F∑pj(g ( x)－x)＝0
である．
［2］における，関数fが「たかだか一つの不動点」を持つという概念は次の ように定義される．
定義 3 （たかだか一つの不動点）すべてのx, y∈∆について，x≠yならば f(x)≠xまたはf ( y)≠yである．
［1］に お け る「 逐 次 的 に た か だ か 一 つ の 最 大 値（sequentially at most one
maximum）」という概念を参考にして，関数f：∆→∆の「逐次的・局所的非定
値性（sequential local non-constancy）」という性質を次のように定義する．
定義 4 （関数の逐次的・局所的非定値性）以下の条件を満たすε＞0¯ が存在す る．
¯ε以下の任意のε＞0に対して，それら自身の直径がε以下で∆＝∪mi＝1Hi を満たす全有界な集合H1, H2, ..., Hmが存在し，各Hiにおける任意の点 列(xn)n≥1および(yn)n≥1について|f(xn)－xn|→0かつ|f(yn)－yn|→0が
成り立つならば，|xn－yn|→0である．
これは「たかだか一つの不動点」という概念を一方では強めるとともに一 方では弱めたものである．
局所的ではなく逐次的にたかだか一つの不動点を持つという条件を考 えると，それは「たかだか一つの不動点」という条件より強くなる（前 者が後者を意味するので）．これらはともに全域で一つの不動点しかない という意味を持つが，逐次的・局所的非定値性は各Hiにおいて不動点 が存在することを認めるのでより弱い条件である．
局所凸空間における関数g：X→Xの逐次的・局所的非定値性を次のよう に定義する．
定義 5 （局所凸空間における関数の逐次的・局所的非定値性）以下の条件 を満たすε＞¯ 0が存在する．
¯ε以下の任意のε＞0に対して，それら自身の直径がε以下でX＝∪mi＝1Kiを 満たす全有界な集合K1, K2, ..., Kmが存在し，各Kiにおける任意の点列(xn)n≥1
および( yn)n≥1について∑i∈Fpi( g (xn)－xn)→0かつ∑i∈Fpi( g ( yn)－yn)→0 が成り立つならば，∑i∈Fpi( xn－yn)→0である．
まず次の補題を証明する．
補題 3 gをXからそれ自身への一様連続な関数とし，infx∈Ki∑j∈Fpj( g (x)－x)＝0 であると仮定すると，以下の条件が成り立てばあるz∈∆についてg (z)＝zが 成り立つ．すなわちgは不動点を持つ．
任意のε＞0について，x, y∈Kiに対して∑j∈Fpj( g (x)－x)＜δ かつ ∑j∈Fpj( g ( y)－y)＜δならば∑j∈Fpj( x－y)≤εとなるようなδ＞0が存
在する．
証明 ∑j∈Fpj( g ( xn)－xn)→0を満たすKiの点列(xn)≥1をとる．すべての n≥Nに対して∑j∈Fpj( g ( xn)－xn)＜δとなるNを求めると，m, n≥Nに対し て∑j∈Fpj( xm－xn)≤εが成り立つ．ε＞0は任意であるから( xn) n≥1はKiに おけるコーシー列となり，ある極限z∈Kiに収束する．gの連続性によって任 意のF⊂Iについて∑j∈Fpj( g (z)－z)＝0，すなわちg (z)＝zである．
以上の準備のもとにTychonoffの不動点定理（定理1）を証明する．
証明 infx∈Ki∑j∈Fpj( g (x)－x)＝0と仮定し，∑j∈Fpj( g (zn)－zn)→0を満たす Ki⊂∆の点列(zn) n≥1をとる．次の結果を示す．
任意のε＞0について，x, y∈Kiに対して∑j∈Fpj( g (x)－x)＜δかつ ∑j∈Fpj( g ( y)－y)＜δのときに∑j∈Fpj( x－y)≤εが成り立つようなδ＞0
が存在する．
集合
T＝{(x, y)∈Ki×Ki：∑
j∈Fpj( x－y)≥ε}
が空でなく，かつコンパクトであるとする（［3］のTheorem2.2.13参照）． 関数(x, y)→max (∑j∈F pj( g (x)－x)，∑j∈F pj(g ( y)－y))は一様連続であるから 増加二項数列（各項が0か1かの数列）(λn)n≧1を以下の条件を満たすように作 ることができる．
λn＝0⇒ inf
(x, y)∈Tmax
(
j∑∈Fpj( g (x)－x), ∑j∈Fpj( g ( y)－y)
)
＜2－nλn＝1⇒ inf
(x, y)∈Tmax
(
j∑∈Fpj( g (x)－x), ∑j∈Fpj( g ( y)－y)＞2－n－1
λn＝1を満たすnを見つければ十分である．そのとき，∑j∈Fpj( g (x)－x)＜2－n－1か
つ∑j∈Fpj( g ( y)－y)＜2－n－1ならば(x, y)∈/ Tで∑j∈Fpj(x－y)≤εとなる．λ1＝0と する．λn＝0のときにはmax (∑j∈Fpj( g (xn)－xn), ∑j∈Fpj( g (yn)－yn))＜2－nを満た す(xn, yn)∈Tを選び，λn＝1のときにはxn＝yn＝znとすると，∑j∈Fpj( g ( xn)－xn)→0 かつ∑j∈Fpj( g ( yn)－yn) →0が成り立つので，∑j∈Fpj( xn－yn) →0を得る．
∑j∈Fpj(xN－yN)＜εを満たすNを求めれば，λN＝1である（λn＝0のときは
∑j∈Fpj(x－y)≥εとなる(xn, yn)を選んでいる）．補題3によってfは不動点を持つ．
以上で証明が終わった． □
付録：補題1の証明
まず次の結果を証明する．これは［3］のProposition 2.2.11を局所凸空間に 拡張したものである．
補題 4 Xを局所凸空間の全有界な部分集合，x0をその点，rを正の数とす ると，Xの全有界な閉部分集合KがあってU (x0, F, r)⊂K⊂V (x0, F, 8r)が成 り立つ．ここで，
U (x0, F, r)＝{x∈X：∑
j∈Fpj(x－x0)＜r}
V (x0, F, 8r)＝{x∈X：∑
j∈Fpj(x－x0)≤8r}
である．またFは添字集合Iの有限可算な部分集合である．
証明 G1＝{x0}として，以下の条件を満たすXの有限可算な部分集合の列(Gn)n≥1
を帰納的に作る．
（a） 任意のx∈U (x0, F, r)に対して∑j∈Fpj(x－Gn)＜2－n＋1r，
（b） 任意のx∈Gn＋1に対して∑j∈Fpj(x－Gn)＜2－n＋3r．
ここで ∑
j∈Fpj(x－Gn)＝inf
y∈Gn
∑
j∈Fpj(x－y)
である．
G1, ..., Gnが作られていると仮定し，{x1, ..., xN}がXに対する2－nr-近似で あるとする．{1, ..., N}を以下のような集合A，Bの和集合として表す．
i∈Aならば ∑
j∈Fpj(xi－Gn)＜2－n＋3r i∈Bならば ∑
j∈Fpj(xi－Gn)＞2－n＋2r すると
Gn＋1＝{xi：i∈A}
は上の条件（b）を満たす．xをU(x0, F, r)の点とすると，帰納法の仮定によって
∑j∈Fpj(x－y)＜2－n＋1rを満たすy∈Gnがある．{1, ..., N}の内∑j∈Fpj(x－xi)＜2－nr を満たすiを選ぶと（{x1, ..., xN}はXに対する2－nr-近似になっている）次の結果 が得られる．
∑
j∈Fpj(xi－Gn)≤∑
j∈Fpj(xi－y)≤∑
j∈Fpj(x－xi)＋∑
j∈Fpj(x－y)＜2－n＋2r したがって，i∈/ Bであり，i∈Aかつxi∈Gn＋1である．∑j∈Fpj(x－xi)＜2－(n＋1)＋1r なので集合Gn＋1は条件（a）を満たす．
KをXにおける∪n≥1Gnの閉包（∪n≥1Gnを含む最小の閉集合）とすると，（a）
によってU (x0, F, r)⊂Kが成り立つ．
U (x0, F, r)のすべての点がGnから2－n＋1r以内の距離（セミノルムの意味 で）にある．n→∞のとき2－n＋1r→0であり，Kは閉集合なのでU (x0, F, r)のすべての点がKに含まれる．
xをKの点とするとKは∪n≥1Gnの閉包なので，ある自然数mについてGm
の近くにある．具体的には任意の自然数nに対して，あるy∈Gmがあって
∑j∈Fpj(x－y)＜2－n＋4rが成り立つ．n≤mを満たす自然数nをとると（b）に よ っ てn≤i≤m－1に 対 し て∑j∈Fpj(yi＋1－yi)＜2－i＋3rを 満 た す 点ym＝y，
ym－1∈Gm－1, ..., yn∈Gnが存在するので，
∑
j∈Fpj(y－Gn)≤ ∑
j∈Fpj(y－yn)≤∑
i＝n
m−1 ∑
j∈Fpj(yi＋1－yi) ＜∑
i＝n
∞ 2－i＋3r＝2－n＋4r （1）
となり（∑∞i＝12－i＝1を用いた），したがって ∑
j∈Fpj(x－Gn)≤ ∑
j∈Fpj(x－y)＋∑
j∈Fpj(y－Gn) ＜2－n＋4r＋2－n＋4r＝2－n＋5r
が得られるので，∪nj＝1GiはKに対する有限可算な2－n＋5r-近似になっている
（∪nj＝1Giは有限可算な集合）．nは任意なのでKは全有界である．
（1）においてn＝1とおくと，∪n≥1Gnの任意のyについて∑j∈Fpj(y－x0)＜8 r が成り立つから，K⊂V (x0, F, 8 r)である． □ 補題1の証明は以下の通りである．
補題 1 の証明 ε＞0としてXに対するε／16 -近似を作る．補題4によ り{1, ..., n}の各iについてU (xi, F, ε／16)⊂Ki⊂V (xi, F, ε／2)を満たす全 有界閉集合Kiがある．明らかにX＝∪ni＝1Kiであり，すべてのx, y∈Kiについて
∑j∈Fpj(x－y)≤εであるから，Kiの直径はε以下である． □
【参考文献】
［1］Berger, J. D. Bridges and P. Schuster (2006) “The fan theorem and unique existence of maxima,” Journal of Symbolic Logic, 71:713―720.
［2］Berger, J. and H. Ishihara (2005) “Brouwer’s fan theorem and unique existence in constructive analysis,” Mathematical Logic Quarterly, 51 (4):360―364.
［3］Bridges, D. and L. Vˆıt¸a˘ (2006) Techniques of Constructive Mathematics, Springer.
［4］Istra˘t¸escu, V. I. (1981) Fixed Point Theory, D. Reidel Publishing Company.
［5］Tanaka, Y. (2011)“Constructive proof of Brouwer’s fixed point theorem for sequentially locally non-constant functions,” http://arxiv.org/abs/1103.1776.
［6］Tanaka, Y. (2011)“On constructive versions of Tychonoff’s and Schauder’s fixed point theorems,” Applied Mathematics E-Notes, 11:125―132.
［7］van Dalen, D. (2011)“Brouwer’s ε-fixed point from Sperner’s lemma,” Theoretical Computer Science, 412 (28):3140―3144, June.
［8］Veldman, W. (2009)“Brouwer’s approximate fixed point theorem is equivalent to Brouwer’s fan theorem,” in S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg and V. Stoltenberg- Hansen, ed., Logicism, Intuitionism and Formalism, Springer.
（たなか やすひと・同志社大学経済学部）
The Doshisha University Economic Review, Vol.65 No.2 Abstract
Yasuhito TANAKA, Constructive Proof of Tychonoff's Fixed Point Theorem for Sequentially Locally Non-Constant Functions in a Locally Convex Space
We present a constructive proof of Tychonoff's fixed point theorem for sequentially locally non-constant functions in a locally convex space that is a generalization of Euclidean space. Tychonoff's fixed point theorem is a generalization of Brouwer’s fixed point theorem in a compact metric space to a locally convex space. We follow constructive mathematics according to Bishop, Bridges, and Richman.
