二次不平衡時の運転特性が得られる
三相誘導機の解析法
杉浦修
（昭和58年8月31日受理）
Analytical Method to Obtain the Performance of Three
Phase Induction Motor with Asymmetrical Secondary
OsamuSUGIURA
Abstract This paper presents a useful method to obtain the characteristics of the three phase induction motor with any distribution and number of failures of rotor bar and end・ring for a new diagnostic technique． The current and torque characteristics of the induction motor with fully balanced cage rotors were obtained by calculating the inverse of rotor side impeadance matrix． The current and torque characteristics of an wound rotor type induction motor under the balanced condition were obtained experimentally， and these results well agree with the theoretical results． 1． まえがき 三相誘導電動機の回転子バーやエンドリングが断線 した場合のような，二次回路が不平衡になった時の特 性を解析できれば，故障診断技術の向上に役立つこと になる。この方面の研究は，まだ不十分であり1）−3）， 検討される必要を生じている。このような場合につい ての解析方法を著老は考案した。この解析法は，一次 が三相，二次が〃湘の三相誘導電動機の巻線モデルを 考える。そして，一次電圧と電流は対称分に置換し， 二次は原形のままにしておいて，所期の目的を達する 所にある。その特色は，正確な解析解が得られ，かつ 回転子のインピーダンス行列の逆行列を，コンピュー タを利用して数値計算する所にある。その解析結果を 利用することにより，誘導機の運転特性を計算できる。 本文では，三相誘導電動機の平衡運転時の解析を行 い，供試機について，計算と実測を行った。その計算 値と実測値は，ほぼ一致し，平衡運転時における解析 の妥当性を確認した。 ＊電気工学科，Department of Electrical Engineering 同様の解析によって不平衡運転時の解析に適用でき るが，その解析については別の論文にて報告する4）。 2． 三相誘導電動機の電圧方程式 図一1は三相かご形誘導電動機の巻線モデルである。 MアCOSθr Cs 1 Rr Lr 驚醗㌘・
図一1 平衡運転時の巻線モデル Fig．1Winding model in steady・state operation．図中のRは抵抗，Lは自己インダクタンス， Mは相互 インダクタンス，1は漏れインダクタンスである。添 字のSは固定子，rは回転子を意味している。各巻線 ［r：］一［z：1：；1：／臣／ ただし， ［v・・］ ［Vs〕 （Zii〕一 〔Z12〕＝Z）ノV4sr COS（θ一θ8） ， ごとに電圧方程式を作ってそれらを行列形式にまとめ ると，（1）式となる。回転子は，θ＝（1−s）ω’＋βで時 計方向に回転している。 （1）
巨＿iiiii工蕊；iiiiiii㌘）i lii iii｛i工ii叢1；］
〔Z22〕 ／ R。＋カL， ， PM。 cos O． ， iPM，C・・（m−1）・r， Rr＋PL．， 」PM． c・・（m−2）θ。， PM。 c・・ψ一1）θ。， 一1 ： ・ 1 ・ ° …クMγcos 2θr ， Pル1γcos 3θr ， …PM． c。、θ， ，PM， C。、2θ． ， 〔Z21〕＝〔Z12〕‘ P」Mγcos 2θr， ・・一・・， pMγcos（〃2−2）θゲ， 2）Mr cos（〃1−1）θr＼ pM・c・・θ・・……・pM・c・・（m−3）θ・・pM・c・・（勿一2）θ・、 R。＋PL＿……， PM。 c・・（勿一4）θ。，ρM。 C・・（m−3）θ．1 PMr cos 4θr， ・… 一， ・Rア十PLr ， PMr cosθ． Pノレfr cos 3θγ， ・… 一， PMアcos（〃z−1）θγ， Rr十1りLγ t：転置行列，p：微分演算子 （1）式を〔V、〕と〔v。〕に分離し，つぎに，〔v，〕と〔1，〕を対称座標法により対称分に変換する。 ／1−1〔Vs〕＝ノ1−1〔Z11〕ノ1／1−1〔∫8〕十ノ1−1〔Z12〕〔1r〕 ・， 〔Vs’〕＝〔Z11ノ〕〔∫8ノ〕十〔Z12’〕〔lr〕 （2）式において， ［v・’］一mi：iト闘与［
四調一
u＋P（1竺
（z・2t〕−A−1 ［z12）一輌［il設 同様に， 〔V，） ：〔Z2、〕、4、4−1〔1，〕＋〔Z22〕〔lr〕 〔Vr〕＝〔Z21’〕〔1、ノ〕＋〔Z22〕〔1。〕 （4）式において， ／0，ε一」θ 〔z21’〕一〔z，、〕A一ヵ乎ぷε一ゴ（θ＋er）ii／狸逆行列
運；㌦÷㌫il㌫：1㌫］
， ε」θ εプ（θ＋θr） ， 元、一・・θ・・一・・θ，｝，1・・θ・・一・・θ∋ ／ （2） （3） （4） （5） また，（2），（4）式をまとめて行列形式で表すと，悶一／；：：：：；：i］臣］ （・）
（6）式となる。（6）式において，零相分は生じないので除 去し，（7）式のごとき整流行列KS）を左乗する。これは， 固定子側を回転子の回転座標系に同期回転させること を意味している。 ε一ゴθ・ … ／ 「 1 ，εゴe， ， ， K←i 空欄は零である。 ， ， ， °．， ， ， ， ， 1」，K−1はKの逆行列 である。 すなわち， K［Vl’］…Klz：：：：；：1］K−・K［li’］ （7）式を求めると，（8）式となる。 間一［：ll：：：；：i”］［fi”］ ただし， （Zii・）・” mR，＋L、。（P＋∫ω． 0）： ° 〔v・・t〕一 ｶ：：：ア］・〔・stt〕一［1：：：；e］ 〔z・2・’〕−STM・r［ρ㌢叫：∴］ 1，εゴθ・，ε♂2θ㌧……， ・［ 1，ε一5θr，ビゴ2θ・，……， fi ・1 iビル ，εゴθr 〔Z・ltt〕−S’M、rpl ・一・・er，r・・e7 ］ （7） （8）付1） R、＋L、。（クー元ω。）ご蕊］
｜ ［ビゴ（m−1）θ・，εゴ（m−1）θ・ノ3．電 流解
］・ 平衡運転時において， v。1＝v。2＝……＝v，m ・O であるから，（8）式はつぎのように変形できる。 〔0〕＝〔Z21”〕〔1、”〕＋〔Z22〕〔lr〕 〔lr〕＝＝一〔Z22〕−1〔Z21”〕 〔IS”〕 （9） 上式の〔Z22〕−1は〔Z22〕の逆行列であって， fl：1：1：i：1：：：：：：：：：：1：∋ 〔Z22〕一』δt（m＿i），δ、m，δ11，……，δi （m＿2） 1： ： ： ■■． ： iδ；2，δ：，，δ：。…1：：，δ；1ノ として表すことができる。 運転特性の数値計算をするときは，〔Z22〕の複素行列 の逆行列を，コンピュータのライブラリを利用して計 算する。そのため，コンピュータの技術進歩がなけれ ばこの方法は机上の空論となってしまう。 （9）式は，次式のようになる。 〔lr〕＝＝〔KrS〕〔1s”〕 ただし， 「D， il）iε一der 〔Krs〕＝−Dlε一」2θ・ 1： ，D1＊ 1 ，D1＊εゴθ・ ，Dl＊εゴ2θ・ ao） の1ε一ゴ（m−1）θ・，D，＊εゴ（m−1）e・」 となる。ここで， 夙乎吻｛S・1＋δ舵朔δ13ε一・・er＋…… ……十δ1mεv’（m−1）θr｝ であり，＊印は共役値である。 （8）とao）式から〔Vs”〕を求めると， 〔γ、”〕＝｛〔Z、、”〕＋〔Z、2”〕〔K。、〕｝〔1、”〕 （U） 上式において， −v3 〔Z12”〕〔κγ8〕＝ Msr 2・匪i撫1驚灘；］
となるが， 1＋ε土d2er＋ε±」4θ・＋…＋ε±J2（m−1）e・＝＝O（m≧3） である。それゆえ，aD式は， ［1：：：］；θ］一［9”：2．、＊］じ：：：ア］ （・・） となる。ただし， Zm・＝＝Rs＋Ls・（P＋∫ω。）一例乎鳩（P＋ブ叫）D， である。az式のインピーダンス行列の逆行列を（IZ式の 両辺に乗ずると， ［ils E一ゴθゴ2sεゴθ］一［1／浄1、／㌫］［；：：：ア （・3） が得られる。誘導電動機の固定子巻線の各相に印加す る平衡電圧を， ／…（ωt＋・） ｜闇：：：｛1：1：li：1
とする。これを対称座標変換すると，2 である。（IS式は，他の方法によって求められた結果と 同じで5），これより得られる等価回路は，一般的に利 用されているT形等価回路9）である。このように，こ の解析手法は，普通に行われている回転子側を三相巻 線と仮定するのではなく，回転子構造をそのままシュ ミレーションした方法である。そのため，回路故障し た場合の計算に好都合で，任意箇所かつ任意個数の回 路断線などの数値計算がコンピュータを用いて簡単に 行うことができる4）。 回転子バーの電流は，oo）式に（14式を代入して，固定子 電流i，。を求めた時と同様の処理を行うと得られる。 irl i，2 〔1。〕＝ ：
［iiiト卿司1忽］
となり，（13）式に代入し， じ：：：㌃］一ン薯γ［1／Zm1， 0 0 ， 1／Zm1＊｜［：1驚：勾 （14 を得る。したがって，a4式より推移定理7｝および対称 座標法を用いて固定子巻線a相の電流is、が求まり， i・・ ・“t （il・＋i・・）−V’2“1・・1…（ω’＋・＋9・）（・S となる。ただし， ・ v v 1・＝〔Zm、〕，。 」、、b、＝ sXmSr2 R，＋元Xs＋ R。＋元sx。 1 ＝〔δ11＋δ12ε一」θ・＋…… R。＋元sxr ……＋δ、n、．S一ゴ（肌一1）θr〕，．ゴ、。8） Xs一ω（L・−Ms）， Xr一ω（Lr＋111s ・2LMr）・x㎎。」玩ω臨，9s−∠L
！i，m／ 1にIC°・（S・・t＋・一β輌 ｜ ＝＝ vt7i 1｛rlc°S（Stut＋α一β＋9・−er） 1 11．1 cos｛sωt＋α一β＋9）r−（〃z−1）θr｝」 ただし，ir−一ン認漂穀・・一：∠・r
（1⑤ である。㈹式から分かるように，平衡運転時に回転子 バーに流れる電流は，いずれも大きさが同じであり， 位相がθrずつずれている。この結果は，物理的な現 象を裏付けるものである。回路故障の場合，回転子パ 一電流はそれぞれのバーによって異なり，位相も前記 のようにθ．ずつのずれでなくなる4｝。 4． 瞬時トルク 瞬時入力Piを行列形式で表示すると，（1）式より， 孔一 ｶ：］、［γ8vア］一［1：］、［；：：：；：：］じ：1 と表される。固定子側の電流〔ls〕を対称座標成分に 変換すると， Pi＝｛ノ1∠4−1〔18〕｝‘〔Z11〕ん4−1〔∫8〕 ＋｛AA−i〔1，〕｝、〔Z、2〕〔1。〕 ＋〔1。〕、〔Z2、〕AA−i〔ls〕＋〔1。〕、〔Z22〕〔1。〕 ＝＝［li’］t［z：1：：：：：：1”’］ ［fj’］ an となる。Zll”’， Z、2”’， Z21”’は，（6）式を求めた時と 同様の行列計算によって容易に求まる。すなわち， Zll’”＝ん〔Z11〕A −［Rs＋P（㍊）：Rs＋P（ls−Ms）］ Z12”’＝A、〔Z12〕一浮臨［：7：：㌘：：：：：：：：：㍍訂
Z2、’”＝〔Z21〕A＝＝〔Z21’〕 である。トルクの瞬時値の一般形は次式で示される5）。 η一噤k・〕t｛dl；〕｝〔・〕 （・at
（19式の関係を07｝式に適用すると， …去［ll］、［d塩元／dθ：d玩：／dθ］巴／ となる。ただし，L12’”， L21’”は，それぞれZ12’”， Z2、”’のリアクタンス分であるから，インピーダソス 行列中のリアクタンス分について微分を行うと， d〔L12’”сﾆ〕一∫乎仏
・「プニ：㌫一三隠∵：：蕊笥
d〔L21’”〕 ．Vffl MSr ＝ノ 2 dθ に：二㌫e，）：㌫e，） × ： ： L一ε一」｛θ＋（m−1）θ・㌧εゴ｛θ＋（m−1）θ・㌧i が得られ， r乎仏｛（ゴ2，ε」θ一i1、ε一」θ）i・1 ＋（i2，εゴθεゴθ・−i1、ε一」θε一プθ・）i。2＋…… 十（i2sεゴθεゴ（m−1）θγ一‘18ε一ゴθε一〆m−1）er）irm｝（19》付2）となる。⑲式の第x項を求めるため，第κ項にoo）式と ⑭式を代入する。g＝swt＋α一βとおくと， T・x−iノ㎡夢M，。）［｛（ン薯ぴ∋♂一 一（v菩7・ε・う・一・・x−・・］｛←Di・−」・・一・・e・） ・（ン豆∫・ε・う＋（−D1＊廻・θ・）（v’t2i。＊・一・う｝］ ＝・3（vg MSr2）〔li． 1・ Real（−」の 一｜1）11α21Sin｛2（sωτ十α一β一x−1θγ）十9p｝〕 （2（）） が得られる。付3）上式の第1項は平均トルクTm。，第 2項は，2sωの周波数の振動トルクτρxである。 平衡運転時の誘導電動機の平均トルクτmOは T・・一
W一m…＝＝g・（鵠袈，（］㌣）21）
であり付4），振動トルクτpoは，大きさがすべての項 について同じで，それぞれの位相がθ。ずつずれてい るので， m τP・＝Στρ。＝0 幽 x＝1 となって，振動トルクはなく平均トルクのみとなる。 しかし，不平衡運転時には，2sωの周波成分を持つ振 動トルクが生じる4｝。 囲式において， Xm、。「1。1は二次誘起電 圧であり， Xmsrllαl v（R。／s）耳x7 は二次電流であるか ら，閻式の平均トルク は，一般的に利用され ている平均トルクと同 じ理論式となってい る10）。このことから， 平衡運転時における解 析の正当性が証明され る。 START y。（V），∫（Hz）の読み込み すべりSの読み込み IMの巻線定数の読み込 ﾝ（Z、；’，Z、ζ，Z、｛ノ，Z22） LZ、2〕−1の計算 mK司の計算 y刎の計算 （15）式の計算伝。） i16） 〃 （川 i21） 〃 （τ。。） 〈S＜1@No
Yes s，i。α， iγ，τ励 ﾌ印刷STOP
図一2 フP一チャート Fi9．2 Flow chart． 5． 数値計算と 実験結果 今まで記述した解析 結果の正当性を証明す るため，供試誘導電動 機について計算と実測 を行った。 電機子電流i、αは（15） § ゴ ↑ 盲 ζ 3 15 10 5 4 3 2↑、
0 1．0 0．8 O．6 0．4 一→ すべりS 図・−31。，1，−s曲線 Fig．3 1α， 1r−s curves． 0．2 0 1．0 0．8 0．6 0．4 0．2 −→ すべりS 図一4τmO−s曲線 Fig．4τme−s curve． 0 式を，回転子バー電流i，は（16）式を，平均トルクτm。は 式伽のプログラムを作り，コンピュータを利用して計 算を行った。そのフローチャートを図一2に示す。 供試機は巻線形誘導機で，その定格は3．0（kW）， 220（V），13．0（A），50（Hz），4極である。その巻線 定数は，文献11）の測定方法を使って求めた。その際 に，巻線形のため，回転子巻線の抵抗R，は簡単に測 定できるので，R。／X。， Xm、，2／X．でなく，それぞれ独 立した形のX。，Xms．の値が得られる。そのため，こ の解析法による数値計算が可能な定数となる。かご形 の場合でも，平衡運転時は二次三相と仮定して良いか ら，巻線形の方法とまったく同様に計算できる。ただ し，R．の値はT形等価回路法9｝によって求める必要が ある。 図一3と図一4は，i、α， ir，τ肌oのすべり特性曲線で ある。ここで，供試機の巻線定数は，Rs＝O．・879（Ω）， Xs ＝57．9（Ω）， Rr＝5．40（Ω）， Xr’＝221（Ω）， Xmsr ＝132（Ω）であり，実験条件は印加電圧V。，・ 90（V），50（Hz）にて行ったL図一3と図一4において，実線は計 算値を，プロットは実測値を不している．これより， 計算値は実測値にほぼ等しいことが分かり，解析の妥 当性を立証している。 6． む す び 本文から得られた結果をまとめると， 1． 三相誘導電動機の新しい解析法を考案した。 2． この方法の正当性を一般的に利用されている特 性計算式と同じであることを示すことによって実証し た。 3． この方法は，三相誘導電動機の不平衡運転時の 特性計算を可能にすることを示した。 4．供試誘導機について計算および実測を行い，両 者がほぼ一致することを確認した。 今後は，不平衡運転時の特性解析と，その場合の実 測を行う必要がある。 終わりに，本論文をまとめるにあたり，いろいろ有 益な助言をくだされた山梨大学の数野教授，東京電機 大学の磯部教授に感謝の意を表します。
参考文献
1） B．S． Guru：Cross Field Analysis of Asymm− etric 3−Phase Induction Motor， IEEE PAS−98 P．1251．1979年 2）A．K． Wallace， etc：Novel Simulation of Cage Winding Based on Mesh Circuit Model， IEEE PAS−93 P 377，1974年 3） 伊藤元哉他：誘導電動機の不平衡磁気の吸引力とトル クに及ぼす回転子バー切れの影響，電学誌B p．1， 昭和55年1月 4） 杉浦 修：回転子バー断線時における三相誘導電動機 の運転特性の解析，梨大研報，昭和58年 5）J．Takeuchi：Matrix Theory of Electric Mach− inery Ohm−Sha，1962年 6）杉浦修：三相突極同期電動機の特殊解析，梨大研 報，昭和47 7）竹内寿太郎：SCR回路理論と電動機制御への応用， オーム社，1968年 8） 磯部直吉：電気機i器要論，電機大出版局，1977年 9）JEC−37誘導機，1961年 10）尾本義一・他：電機器工学1，電気学会，昭和39年 11）杉浦修：二次鉄損を考慮した誘導電動機の等価回 路，梨大研報，昭和50年 付 録 付1 〔Zll：：：；：1”］ 一i
t ε一ゴθ εゴθ 1 ［Z1∴Z、2’Z2、’， Z22］ 「εゴθ E一ゴθ’、」 ／
／［ごシ］〔z・・t〕［ご：㌧］・［ズ：闘〔z12’〕1、〔z・・t〕［『：㌧］・〔z22〕］
1 ここで， ［ごθ：ご，，｜〔z・1’〕［ご：㌧］一「”（㌣ム）竺眠＋；L，。）▲ 一［Rs＋L，。（P＋ブω。）， 0 0 ，Rs＋Ls。（ρ一ノωr）／ 1． ただし， ε一ゴθ PL，。εゴθ＝Ls。ε一ゴθ（元叫εゴθ＋εゴep）＝Ls。（P＋元ω。），εゴe Pε一」’e ＝＝ L，。（ρ一元ω。）5） また， 〔z・2tt〕一m㌣：闘力乎仏［ズ：墨［1：：二：：㌫：：：：：：：：：㍍二］ 」㍉［カ＋元ω。， 0 0 ，カーノω。］［：：㌫：：f㌫：：：：：：：：：㍍lu である。〔Z2、”〕も同様にして求まる。付2
