2019.07.09 1-4 数学 B 第６章 図形と式 §2 二次曲線 2.2 いろいろな 2 次曲線（双曲線、放物線） 【授業目標】 原点を中心とする双曲線の方程式の標準形から、双曲線の形と対応づけることができる。 放物線の方程式の標準形から、放物線の形と対応づけることができる。 ○ 原点を中心とする双曲線の方程式の標準形 (p182 の囲み) 方程式 (x/a)2 - (y/b)2 = 1 … 原点を中心とし、x 軸が主軸である双曲線の標準形 焦点 (c,0), F'(-c,0) ただし、c2 = a2 + b2 （c > a, b > 0） 漸近線 (x/a)2 - (y/b)2 = 0 （※）
←→ ((x/a) + (y/b))((x/a) - (y/b)) = 0 ←→ y/b = ± x/a ←→ y = ±(b/a)x 漸近線は 2 本あり、主軸に対して線対称である。 a = b の時、2 本の漸近線 y = ±x は直交する。（「直角双曲線」となる。） a > b では、正の傾きをもつ漸近線の傾きが 1 より小さい。 双曲線は、主軸と垂直な方向に押しつぶした形になる。 ○ 双曲線の方程式からの作図 （図は、a=2, b=1.5 で作図した例） → x = 0 のとき。- (y/b)2 = 1 となるが、実数の範囲でこれを満たす y は存在しない。 → y 軸と交差しない → y = 0 のとき。(x/a)2 = 1 より、x = ±a → x 軸とは、(0, -a）、(0, a) で交差する。 … 双曲線の「頂点」、この時 x 軸は「主軸」 → 2 つの頂点の中点は、原点 O（0,0) である。 … 双曲線の「中心」 → 漸近線（補助線）、傾きが ±(b/a) の直線として描く。 → 漸近線に、x = a を代入すると、y = b となる。 ○ 主軸の交代 X = y、Y = x と置く（直線 y = x に線対称な位置に写す） (Y/a)2 - (X/b)2 = 1 ←→ (X/b)2 - (Y/a)2 = -1 Y = 0 のとき実数の範囲でこれを満たす X は存在しないので、X 軸とは交差しない。 ! x軸を主軸とする双曲線の作図（十進BASIC) LET M = 5 SET WINDOW -M,M,-M,M SET axis COLOR 1 DRAW axes (M/5,M/5) LET a = 2 LET b = 1.5 ! 双曲線 主軸がx軸の場合、xを独立変数とすると ! y = f(x) が値を取らない領域があるため、 ! x = f'(y) として、x > 0 の側の線を定義した。 DEF x(y) = a * SQR(1 + (y/b)^2)
FOR Y = -M TO M STEP M/200 ! x>0 側の線 PLOT LINES : x(y), y;
NEXT y PLOT LINES
FOR Y = -M TO M STEP M/200 ! x<0 側の線 PLOT LINES : -x(y), y;
NEXT y PLOT LINES
! 漸近線 y = ±(b/a)x SET LINE STYLE 3 ! 破線
PLOT LINES : -M, -(b/a)*M ; M, (b/a)*M PLOT LINES : -M, (b/a)*M ; M, -(b/a)*M ! BOX（補助線）
PLOT LINES : a,b; a,-b; -a,-b; -a,b; a,b ! 焦点 c = √(a^2 + b^2)
LET c = SQR(a^2+b^2) PLOT POINTS : c,0 PLOT POINTS : -c,0 END
○ 漸近線（ぜんきんせん、asymptote）の求め方と意味
漸近線 ： 十分遠くで（ある極限で）曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と一致しない（交差するも のもある）直線（または曲線）のこと。
# 暫時（ざんじ）しばしの間, 漸次（ぜんじ）しだいに、 暫く（しばらく）と漸く（ようやく）
→ (x/a)2 - (y/b)2 = 1 を因数分解し、{(x/a) + (y/b)}{(x/a) - (y/b)} = 1 と式変形する。p182 f(x) = (x/a) + (y/b)、g(x) = (x/a) - (y/b) とおくと、これは f(x)×g(x) = 1 と表すことできる。
f(x), g(x) について調べると、これらの積が 1 だから常に f(x)≠0, g(x)≠0 が言えて、また、 双曲線の形状より（または、同じ意味で「双曲線の方程式より」と表現しても、本質的には可） 第 1 象限では、x → ∞ のとき、y → ∞ 、よって f(x) → ∞ 第 3 象限では、x → -∞ のとき、y → -∞ 、よって f(x) → -∞ 第 2 象限では、x → ∞ のとき、y → -∞ 、よって g(x) → ∞ 第 4 象限では、x → -∞ のとき、y → ∞ 、よって g(x) → -∞ f(x)×g(x) = 1 より g(x) = 1/f(x) と式変形すると、第 1 および第 3 象限では、 f(x) → ±∞ の極限で、g(x) → 1/(±∞)、つまり g(x) は 0 に収束する。 g(x) = 0 より、漸近線は (x/a) - (y/b) = 0 つまり、y = (b/a)x f(x) = 1/g(x) と式変形すると、第 2 および第 4 象限では、
g(x) → ±∞ の極限で、f(x) → 1/(±∞)、つまり f(x) は 0 に収束する。 f(x) = 0 より、漸近線は (x/a) + (y/b) = 0 つまり、y = -(b/a)x
△ 象限ごとに分ける方法ではなくても、次のような場合分けでもよい。 x の絶対値が十分に大きい（|x| > |a|）とき、y は対応する値を持ち、正または負になるが、 x と y が同符号の場合は、 x → ±∞ のとき y → ±∞（複合同順）で、f(x) → ±∞、g(x) → 0 x と y が異符号の場合は、 x → ±∞ のとき y → ∓∞（複合同順）で、g(x) → ±∞、f(x) → 0 △ 漸近線の考え方その 2 双曲線の方程式の標準形は、(x/a)2 - (y/b)2 = 1 の右辺の「=1」 を 「= d2」と置き換えてみると、 (x/a)2 - (y/b)2 = d2 ←→ (x/ad)2 - (y/bd)2 = 1
頂点の座標が、(a, 0), (-a, 0) から (ad, 0), (-ad, 0) に変化した。
漸近線の式は、y = ±(b/a)x が y = ±(bd/ad)x になっただけなので、変化していない。
→ 双曲線 (x/a)2 - (y/b)2 = d2 において、d を 0 に近づけると、2 つの頂点は原点に近づき、双曲線の 形状は y = ±(b/a)x に近づく（下図で確認せよ）。更に d = 0 では、一致する（前ページ（※））。 (x/ad) = ((x/d)/a) なので、X = x/d などと書き換えればわかるように、双曲線 (x/a)2 - (y/b)2 = 1 を x 軸、y 軸方向に d 倍にしたものが (x/a)2 - (y/b)2 = d2 である。つまり、d << 1 で、X = x/d, Y = y/d が相対的に大きくなると y = ±(b/a)x に近づくので、この二直線が漸近線であると言って良い。
左図 (x/a)2 - (y/b)2 = 1 (a = 2, b = 1.5)、 ただし表示範囲は 5 倍。中央図の d = 0.2 と比較せよ（相似）
中央図 (x/a)2 - (y/b)2 = d2 (a = 2, b = 1.5) 、ただし d = 1.0, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0.0
○ 双曲線と焦点の関係 双曲線とは、2 つの焦点 F, F' からの距離の差が一定になるような点 P の軌跡である。 双曲線の 1 つの頂点(a, 0)上に点 P があるとき、F'P = a - (-c) = a + c、FP = c - a なので F'P - FP = (a + c) - (c - a) = 2a 証明は、楕円（2 つの焦点からの距離の和が一定になるような点 P の軌跡）と同様に示すことができる。 （証明） x 軸上の 2 点を F(c, 0), F'(-c, 0) とし、2 点からの距離の差が 2a (c > a > 0) となる 点 P(x, y) の軌跡を求めることで、双曲線の方程式が得られることを示す。 PF - PF' = ±2a と置く。 （ただし、PF < PF' では x > 0 側の曲線が、PF > PF' では x < 0 側の曲線が描ける。） PF = PF' ± 2a 両辺の 2 乗を取って PF2 = (PF' ± 2a)2 PF2 = PF'2 + 4a2 ± 4aPF' ここで、PF2 = (x-c)2 + y2, PF'2 = (x+c)2 + y2, PF' = √((x+c)2 + y2) を代入して整理すると、 (x-c)2 + y2 = (x+c)2 + y2 + 4a2 ± 4aPF' -2xc = 4a2 ± 4aPF' + 2xc ±aPF' = a2 + xc ここで PF' はルート記号を含むので、もう一度両辺の 2 乗を取る。左辺の複合が消える。 a2((x + c)2 + y2) = a4 + 2a2xc + x2c2 a2(x2 + 2xc + c2 + y2) = a4 + 2a2xc + x2c2 a2(x2 + c2 + y2) = a4 + x2c2 (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) （※） この（※）式は、楕円の場合と全く同一だが、楕円の場合とは異なり、a < c を考える。 (a2 - c2) < 0 である。b2 = (c2 - a2) とおく。 -b2x2 + a2y2 = -a2b2 両辺を -a2b2 で割ると、 (x/a)2 - (y/b)2 = 1 つまり、題意に沿って求めた点 P の軌跡は、 原点を中心とし、主軸が x 軸である双曲線の方程式の標準形と一致した。 → 軌跡を求めるために使用した条件を満たすすべて点は、その図形の上にある。 → その図形上のすべての点は、軌跡を求めるために使用した条件を満たす。 従って、(x/a)2 - (y/b)2 = 1 で表される双曲線において、双曲線上の任意の点 P(x, y) から、b2 = (c2 - a2) ←→ c2 = a2 + b2 を満たすような c（ただし、c > a, b > 0）について、2 つの点 F(0, c)、F'(0, -c) までの 距離の差は一定で、2a となると言って良い。
△ 反比例の式 xy = const. または、y = k/x も双曲線の一種である。 (x/a)2 - (y/a)2 = 1 を、45 度回転させてみる。 原点を中心とし、主軸が X 軸上にあり、頂点は (±a, 0)、漸近線は、y = ±x （a ≠ b の場合、漸近線が直交しないので「反比例」とはならない。） 回転の一次変換（前出）を用いる。図形を 45 度回転させるときは、 x = (X + Y)/√2 y = (-X + Y)/√2 与式に代入して、整理する。 ((X+Y)/√2)2/a2 - ((-X + Y)/√2)2/a2 = 1 (X + Y)2 - (X - Y)2 = 2a2 4XY = 2a2 XY = a2/2 (※） 右図は、横軸 X 軸、縦軸 Y 軸とし、(※）を ａ= 2 で作図したもの。 頂点は、X = Y のとき、X = ±a/√2、原点からの距離は、√(a2/2 + a2/2) = |a| また、X → ±∞ のとき、Y → 0, 逆に Y → ±∞ のとき X → 0 だから、 Y = 0（X 軸）と X = 0（Y 軸）が漸近線。 ○ 放物線の方程式の標準形 (p184 の囲み) 方程式 y2 = 4px … 原点を頂点とし、x 軸が主軸である放物線の標準形 y2 = 4px > 0 なので、p > 0 のとき、常に x > 0 である。 逆に p < 0 のとき、常に x < 0 となる（図形の左右が逆転）。 焦点 (p, 0) 楕円や双曲線とは異なり、焦点はただ一つだけ存在する。 p > 0 のとき、楕円 (x/a)2 + (y/b)2 = 1 において、 a >> b であるような極限である場合の焦点 (-c,0) に相当する。 この焦点から放射された光は、平行線となり、無限遠で焦点を結ぶ。 準線 x = -p … 主軸と直交し、頂点から焦点までの距離と同じだけ離れた直線 準線と焦点の距離は、2p 焦点から準線におろした垂線の FH の中点が放物線の頂点 ○ 準線の意味 放物線上に任意の点 P(x, y) を置き、点 P から準線上におろした垂線の足を H とする。また、焦点を F(-p, 0) とする。このとき、常に PF = PH となる。 ←→ 放物線とは、準線までの距離と焦点までの距離が等しい点 P の作る軌跡である。 （証明） 垂線の足は、準線（x = -p）上にあり、この垂線が主軸（x 軸）に平行なので、その座標を H(-p, y) と表 すことができる。そのため、PH = |x - (-p)| = |x + p| である。 また、PF = √((x - p)2 + y2) であるが、ここに放物線の方程式を代入すると、 PF = √((x - p)2 + 4px) = √(x2 - 2px + p2 + 4px) = √(x2 + 2px + p2) = √(x + p)2 = |x + p| よって、PF = PH が常に成立する。
△ 二次式 y = ax2 + bx + c と放物線
一般式 y = ax2 + by + c は、a > 0 の場合、下に凸であるような放物線（二次曲線）を表す。
これを式変形して、x'2 = 4py' （p > 0) と書き直すことができることを確認しておこう。 与式右辺 = ax2 + bx + c
= a(x2 + (b/a)x + (c/a))
= a((x + (b/2a))2 + (c/a) - b2/4a2) よって、(y + b2/4a2 - c/a)/a = (x + (b/2a))2 この式は、平行移動を表す x' = x + (b/2a) y' = y + b2/4a2 - c/a の変換により、x'2 = 4py'と書き直すことができる。 ただし、4p = 1/a なので、a > 0 のとき、p > 0 である。 逆に、x2 = 4py を平行移動（x → x - u, y → y - v) して、 (x - u)2 = 4p(y - v) を整理するとどうなるかも確認しておこう。 展開して整理する 4py = x2 - 2ux + (u2 + 4pv) y = (1/4p)x2 - (2u/4p)x + (u2/4p + v) ただし、1/4p = a なので、a > 0 のとき、p > 0 である。 △ 二次式と二次曲線の分類 一般式 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 係数により、楕円、放物線、双曲線などを表す。（係数により、直線、二直線、解なしなどもある）。 → b = 0 の時については、平行移動により a(x-u)2 + c(y-v)2 = C に帰着できる。 （主軸が x 軸または y 軸であるような 楕円、双曲線） → b ≠ 0 の時、D = ac − b2/4 の符号で判別することができる。 D > 0 のとき 楕円 （ 円は楕円の特殊なケース） D = 0 のとき 放物線 D < 0 のとき 双曲線（「二直線」漸近線そのものは、双曲線の特殊なケース） △ 二次曲線の「離心率（eccentricity）」による分類 放物線は、任意の直線（準線）L と、その直線上にない任意の点（焦点）F からの距離が等しい点 P の 軌跡であった。点 F から直線 L におろした垂線の足を H と置くと、PH = PF。 一般形としては、準線が x 軸または y 軸に平行で、かつ、FH の中点が原点に一致するものを扱った。 準線 L からの距離 PH と焦点 F からの距離 PF の比のことを離心率 e という。PH : PF = 1 : e (e > 0) → e = 1 のとき、点 P の軌跡は、放物線である。上述の通り。 → e > 1 のとき、点 P の軌跡は、双曲線となる。 e2 = c2/a2 = (a2 + b2)/a2 = 1 + (b/a)2 → 0 < e < 1 のとき、点 P の軌跡は、楕円となる。e2 = c2/a2 = (a2 - b2)/a2 = 1 - (b/a)2
たとえば、双曲線 x2/4 - y2/12 = 1 の上の点 P(x, y) と、双曲線の焦点（の一 つ）F(4, 0) と、直線 L として x = 1 を考える（任意に選ぶのではなく、決ま っているのですが、垂線の足 H が主軸上にある場合を考えると、P が HF を 1:e に内分および外分する点であることから決めることができます）。 → PH = |x - 1| です。H が直線 x = 1 上の点だからです。 → 一方、PF2 = (x - 4)2 + y2 だが、点 P が双曲線上の点であることから、y2 = 3x2 - 12 です。これを代入して整理をすると、PF2 = x2 - 8x + 16 + 3x2 - 12 = 4x2 - 8x + 4 = 4(x - 1)2 となり、PF = 2|x - 1| だと分かる。 → 常に PH : PF = 1 : 2 が成り立っている（離心率が 2 である）。 （右図は、準線を共有する異なる離心率の図形。図出典は、 http://fnorio.com/0069quadratic_curve1/quadratic_curve1.htm ）
△ 「物」体を斜めに「放」り投げた（斜方投射した）ときの軌跡としての放物線 ・ 速度 v0 を水平成分 vxと鉛直成分 vy に分けて考える。 ・ 空気抵抗は無視する。 ・ 水平方向には力が掛かっていないので、加速度はゼロ。つまり、水平方向の速度 vx は変化しない。 ・ 鉛直方向には、地球からの重力加速度 g が掛かっており、常に一定の加速を受けている。 g は下向きに 9.8 m/s2 である。つまり、速度 v y は毎秒、9.8 m/s ずつ変化する。 以上のような条件で、投げ上げた球（質点）がどのような軌跡を描くのかシミュレートしてみよう。 手順 エクセル(R) 表計算のソフトウェア）のシートに、次図のように計算式を入力する。ただし、4 行目の値 は初期値である。下図は、水平方向初速度 30 m/s、鉛直方向上向きの初速度 40 m/s で、（tan = 40/30 の）斜め上方に、（√(302 + 402) =）50 m/s で投射した時の例。 入力は、すべてのセルに行う必要はなく、5 行目のセルに入力したものを下向きにコピーすれば OK. 表計算の結果と、グラフ化の例 # 表計算は、y < 0 となるところまでおこなう（この初期値では、8.3 秒まで）。 この時、球の軌跡は、図(a) より（少なくとも見た目は）上に凸な二次曲線を描いていることが判る。 一般的な説明は、積分（未習）によるのであるが、大雑把に説明すると… → 鉛直方向の速度は、一定の変化率（= 重力加速度 g）で減少し続けている（図(b)）： vy = vy0 - gt → t の間に速度 vy で進んだ距離（t の間の変化量）は、y = vyt である。その和として t におけ る高さ y は、0 ～ t の範囲で、図(b)のグラフと x 軸が作る面積（上は正、下は負とする）である。 グラフ横軸との交点から右側、x 軸の下の直角三角形の面積は、底辺 t, 高さ -gt として、- gt2/2 と なるように、y は t2 の関数となる（そのため軌跡は放物線となる）。この y を、積分を用いて計算す ると、一般化した式として表せて、y = ∫vydt = ∫(vy0 - gt)dt = y0 + v0t - gt2/2 となる。 0 30 60 90 0 50 100 150 200 250 鉛直方向位置（高さ） y [m ] 水平方向位置 x [m] (a) 斜め上に投げ上げた球の軌跡 -40 -20 0 20 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 鉛直方向速度 vy [m /s ] 時刻 t [s] (b) 鉛直方向の速度の推移 位置、速度の 増分について x = vx t y = vy t vx = ax t vy = ay t x,y は位置、 v は速度、 a は加速度
双曲線 課題
教科書 問９～12
問題集 393～396、414～416
放物線 課題
教科書 問 13～14
問題集 397～398、417～419
楕円、双曲線、放物線の問題では、標準形の方程式、a, b と焦点 c の関係などを整理してから臨むこと。 単純ですが、似たような式なので、混同してしまうことにより間違える可能性が高くなります。 問 9 例 5 を参照。双曲線の方程式の標準形から漸近線の方程式や焦点の座標が決まる。 問 10 例 6 を参照。焦点が x 軸上にあるので、主軸を x 軸にもつ双曲線であり、焦点を (c, 0), (-c, 0) と するならば (x/a)2 - (y/b)2 = 1 において、c2 = a2 + b2 である。 問 11 (1)、(3) は標準形として書き直し、a、b を求める。作図においては、漸近線およびその傾き、頂点座 標、などを示す（図示の方法は、例 5 参照） 問 12 p183 の囲みを参照のこと。右辺が「= 1」の代わりに「= -1」となるのは、主軸が y 軸であるような双 曲線（焦点、頂点ともに y 軸上にあり、y = 0 では等式を満たす x の値は存在しないような曲線）です。 問 13 準線（放物線の軸に直交した線）が x=-2 （と y 軸に平行）なので、この放物線の軸は x 軸である。ま た、焦点の位置が、準線より右にあるので、この放物線は左に凸（C のような形）である。ただし、放物線の 頂点は、焦点と準線のちょうど中間の位置にある（焦点から準線におろした足の中点である）ので、この問題 の場合は、原点を頂点とした放物線である。従って、y2 = 4px の形で表してよい。 類例 準線が x = 2, 焦点が (6,3) であるような放物線の場合 → 放物線の頂点が (4,3) 、焦点と準線の距 離（2p）が 4 なので、y2 = 4px の y の代わりに ｙ-3 x の代わりに x-4 を用い、p = 2 として、(y-3)2 = 8(x-4) 問 14 (1),(2) は、y2 = 4px に、(3),(4) は x2 = 4py に帰着させる。 問題集 393 双曲線の公式を参照せよ。 394 焦点が与えられたので、c2 = a2 + b2 が判る。また、焦点が x 軸上にあるので、(x/a)2 - (y/b)2 = 1 の標 準形をもつ。2 点を通るので、2 点の座標を代入し、a, b を決める。 395 定数項を移行し、両辺を 40 で割ると、x 軸が主軸である双曲線の標準形に帰着できる。 396 主軸が y 軸であるような双曲線となっていることに注意し、双曲線の公式を参照せよ。 397 問 13 と同じように考える。ただし、焦点が準線より左にあるので、右に凸な（⊃の形の）放物線となる。 398 それぞれ、標準形 y2 = 4px、 x2 = 4py の形に変形し、公式に当てはめる。 414 主軸の長さ：y 軸上で頂点間の距離。すなわち 2b。焦点より c が判り、c2 = a2 + b2 より a が求まる。415 双曲線で、2 本の漸近線が x 軸に線対称なので、双曲線の主軸は、x 軸か y 軸のいずれか。ここで、点(0, 1) を通るのであるから、主軸が y 軸で、かつ、この点が頂点（の 1 つ）である。よって、b が決まる。これと 漸近線の傾きから、a も決めることができる。 416 双曲線の方程式の公式を参照せよ。 417 放物線の公式を参照せよ。問 13 と同じ考え方だが、準線が y = -2 と x 軸に平行なので。主軸が y 軸方向 の放物線である。 418 放物線の方程式の標準形になおし、公式と比較せよ。 419 問題文をよく読んで作図してみれば、さほど難易度の高い問題ではないことに気づくだろう。 放物線 y2 = 4px (p>0) は、主軸が水平で左に凸な放物線。焦点座標は(p,0) なのだから、「焦点を通り、放物 線の軸に垂直な線」とは、x = p のこと。y2 = 4px で、かつ、x = p を満たす点が 2 点求まる。この点間の距 離を求めればよい。 （おまけ） 回転の変換についての説明に使用した「三角関数の加法定理」について、図的に理解することができる作図が 示されたウェブページを見つけました。 「ＦＮの高校物理(分野別目次)」というサイトのコンテンツです。 ５数学 → 三角関数の公式(図的理解) と辿ることができます。 http://fnorio.com/0075trigonometric_function1/trigonometric_function1.htm 当然、この数 B の範囲ではなく、数 A の１年後期あたりに学習する範囲だと思います。 とはいえ、すでに導入した基本的な関係と、あとは図形関係だけで複雑な公式が導かれておりとても面白いで すし参考になります。ご興味のある方は是非ご覧ください。
