Einstein hypersurfaces in an odd-dimensional sphere奇数次元球面のアインシュタイン超曲面

Abstract

We study a hypersurface immersed in an odd-dimensional sphere with the induced structure from the contact metric structure. We prove that if a hypersurface of an odd-dimensional sphere admits a Ricci soliton with the potential vector field constructed by the unit normal vector field, then M is an Einstein hypersurface.

Key words: Ricci soliton, hypersurface, contact metric structure

1. Introduction

In ［1］ , Cho and Kimura studied on Ricci solitons of real hypersurfaces in a non-flat complex space form. They proved that a real hypersurface M in a non-flat complex space form M

（

c ） with c ≠ 0 does not admit a Ricci soliton whose soliton vector field is the structure vector field

. In this context, they define so called

-Ricci soliton （

,

） , which satisfies

1

2 L

S － k

－

＝ 0

for constants

,

, and classified

-Ricci soliton real hypersurfaces in a non-flat complex space form.

  In this paper, we study a hypersurface M immersed in a unit sphere S

with contact metric structure （ φ ,

,

,

） and the Ricci soliton on M

2

L

＋ S － k

＝ 0

where U is a vector field defined by U ＝ φ C, C being the unit normal of M in S

.

  We prove that if a hypersurface M of an odd-dimensional sphere S

admits a Ricci soliton with the potential vector fined U constructed by the unit normal vector field C, then M is an Einstein hypersurface.

Einstein hypersurfaces in an odd-dimensional sphere

Mayuko KON

and Masahiro KON

昆　万佑子 *・昆　　正博 **

＊　信州大学教育学部理数科学教育専攻

　　Science and Mathematics Education, Faculty of Education, Shinshu University

＊＊弘前大学教育学部数学教育講座

　　Department of Mathematics, Facalty of Education, Hirosaki University

2. Preliminaries

Let S

be a （ 2n

1 ） -dimensional unit sphere of constant curvature 1. It is well known that S

admits the standard Sasakian structure （ normal contact metric structure ） （ φ ,

,

,

） . Then they satisfy （ cf. ［ 4 ］）

φ

X ＝ －X

（ X ）

,     φ

＝ 0,    

（ φ X ） ＝ 0,    

（

） ＝ 1,

（ φ X, φ Y ） ＝

（ X, Y ） －

（ X ）

（ Y ） ,    

（ X ） ＝

（ X,

） for any vector fields X and Y on S

.

 We denote by ∇

the operator of covariant differentiation with respect to

. Then

∇

＝ φ X,      （ ∇

φ ） Y ＝

（ Y ） X －

（ X, Y ）

.

  Let M be a 2n-dimensional hypersurface immersed in S

. We denote by the same

the induced metric tensor field of M. Let C be a unit normal of M in S

. For any vector field X tangent to M we put

φ X ＝ f X

u （ X ） C,    

＝ V

λC,     φ C ＝ － U, v

（ X ） ＝

（ X ） ,     λ ＝

（C） ＝

（

, C ） ,

where f is a tensor field of type （ 1,1 ） , u, v 1-forms, U, V vector fields and

a scalar function on M.

Then （ cf. ［ 5 ］）

f

X ＝ － X

u （ X ） U

v （ X ） V,     u （ f X ） ＝ λ v （ X ） ,     （ v f X ） ＝ － λ u （ X ） , f U ＝ －

V,    f V ＝

U,    u （V ） ＝ 0,    v （U ） ＝ 0,

u （U ） ＝ 1 － λ

,    v （V ） ＝ 1 － λ

. Moreover, we have

g

（U, X ） ＝ u （ X ） ,     g （V, X ） ＝ v （ X ） ,    

（ f X, Y ） ＝ －

（X, f Y ） ,

（ f X, f Y ） ＝

（X, Y ） － u （ X ） u （Y ） － v （ X ） v （Y ） .

  For any vector fields X and Y tangent to M , we have the Gauss and Weingarten formulas

∇

Y ＝ ∇

_Y

（AX, Y ） C,       ∇

_C ＝ － AX,

where ∇ denotes the operator of covariant differentiation in M and A the shape operator of M.

Then we have

∇

V ＝ f X

λ A X,       ∇

U ＝ － λ X

f A X, X λ ＝ u （ X ） －

（ AX, V ） .

We denote by R the Riemannian curvature tensor field of M. Then the equation of Gauss is given

by

R （ X, Y ） Z ＝

（Y, Z ） X －

（X, Z ） Y

（AY, Z ） AX －

（AX , Z ） AY, and the equation of Codazzi is given by

（ ∇

A ） Y － （ ∇

A） X ＝ 0.

We denote by S the Ricci tensor of M. Then

S （ X, Y ） ＝ （ 2n－1 ）

（ X, Y ）

Tr A

（ AX, Y ） －

（ A

X, Y ） .   We prepare the basic properties for λ.

Lemma 1. We have λ

≠ 1 almost everywhere on M.

 Proof. If λ

＝ 1, then the structure vector field

is normal to M. Then ∇

＝ －AX ＝ φ X.

Since A is symmetric and φ is skew-symmetric, we see φ X ＝ 0. This is a contradiction.

Lemma 2. If Af ＝ fA and λ is constant, then λ ＝ 0.

  Proof. If λ is constant, then u （ X ） ＝

（ AX, V ） and hence AV ＝ U. Then we have 0 ＝

（ fAU, U ） －

（ A f U, U ） ＝ 2λ

（ AV, U ） ＝ 2λ u （U ） ＝ 2λ （ 1 － λ

） . Using Lemma 1, we have λ ＝ 0.

3. Ricci solitons on hypersurfaces

We denote by L

the Lie differentiation with respect to a vector field W on a Riemannian manifold （ M,

） . A Ricci soliton is defined on （ M,

） by

2

（ L

） （ X, Y ）

S （ X, Y ） － k

（ X, Y ） ＝ 0, where W is a vector field （ the potential vector field ） and k a constant on M.

Lemma 3. Let M be a hypersurface of S

. If M admits a Ricci soliton with the potential vector field U, then we have A f ＝ f A.

  Proof.   Let ｛ e

, … ,e

｝ be an orthonormal basis of M. Since

（ L

） （ X, Y ） ＝

（ ∇

U, Y ）

（ ∇

U, X ） , we have

Σ ^（

₂ ^{（ L}

） （ e

, A f e

） － S （ e

, A f e

） － k

（ e

, A f e

））

＝

2 Σ ^（

^{（ ∇}

^{U, A f e}

）

（ ∇

U, e

））

 － Σ ^{（ 2n － 1 ）}

^{（ e}

, A f e

）

TrA Σ

^{（ A e}

, A f e

）  － Σ

^{（ A}

^e

, A f e

） － k Σ

^{（ e}

, A f e

）

＝ 2

Σ

^（－

^e

＋ f A e

, A f e

）

2 Σ

^{（－ λ A f e}

f A

f e

, e

）

＝ 2

Σ ^（

^{（ f A e}

, A f e

） －

（A f e

, A f e

））

＝－

4 ［ | f, A ］ |

＝ 0.

This means A f ＝ f A.

Theorem 1. Let M be a hypersurfaces of S

, n

1. If M admits a Ricci soliton with the potential vector field U, then M is an Einstein hypersurface and locally congruent to

S （

_{p － 1}

^－

）

^S

（ _{2 n}

_－

^－ _{p  － 1}

） ^,

where p （ 1< p < 2n － 1 ） is an odd number and S （

r ） denotes a p-dimensional sphere of constant curvature r.

  Proof.   Form Lemma 3.1, we have A f ＝ f A. Hence we have

（L

） （ X, Y ）

＝

（ ∇

U, Y ）

（ ∇

U, X ）

＝

（ f A X, Y ） － λ

（ X, Y ）

（ f AY, X ）  － λ

（ Y, X ）

＝

（（ f A － A f ） X, Y ） － 2 λ

（ X, Y ）

＝ － 2λ

（ X, Y ） .   By the assumption,

1

2 （ L

） （ X, Y ）

S （ X, Y ） － k

（ X, Y ）

＝ S （ X, Y ） － （ λ

k ）

（ X, Y ） ＝ 0.

Therefore M is an Einstein hypersurface. If dim M

3, then λ

k is constant. Since k is constant, λ is also a constant. Then, by Lemma 2, λ ＝ 0. Hence the structure vector field

is tangent to M.

Moreover, we have

f U ＝ 0,     f V ＝ 0,     u （ U ） ＝ 1,     （ v V ） ＝ 1,

∇

V ＝ f X,     ∇

U ＝ f A X,    A V ＝ U.

Since f U ＝ 0, we obtain f AU ＝ A f U ＝ 0 and hence

AU ＝

U ＋ V,      

＝ u （ AU ） .   By the equation of Codazzi,

g

（（ ∇

A ） Y, U ） －

（（ ∇

A ） X, U ）

＝

（ Y, （ ∇

A ） U ） －

（ X, （ ∇

A ） U ）

＝

（ Y, ∇

AU ） －

（ Y, A ∇

U ） －

（ X, ∇

AU ）

（ X, A ∇

U ）

＝

（ Y, f A X ）

（ Y, f X ） － g （ Y, A f A X ）  －

（ X, f AY ） －

（ X, f Y ）

（ X, A f AY ）

＝

（（ f A + A f ） X, Y ）

2

（ f X, Y ） － 2

（ A f A X, Y ）

＝ 2

（f A X, Y ）

2

（f X, Y ） － 2

（A f A X, Y ） ＝ 0 for any X, Y orthogonal to U and V. Consequently, we have

0 ＝

（ f A X, f X ）

（ f X, f X ） －

（ f A X, A f X ） .

From f A ＝ A f, if A X ＝ a X, then A f X ＝ f A X ＝ a f X. Let X satisfies AX ＝ a X and

（ X, U ）

＝

（ X, V ） ＝ 0. Then we have

a

－

a － 1 ＝ 0.

Therefore we can take an orthonormal basis of M such that the shape operator A can be represented as

where ab ＝ － 1 and a

b ＝

. The eigenvalue x of the matrix

⎛ ^{0   1} ⎞

⎝ ¹

⎠

satisfies

x

－

x － 1 ＝ 0.

Therefore A has two eigenvalues a and b. We put

Tr A ＝ pa

qb,       p

q ＝ 2n, where p is odd. If AX ＝ aX and AY ＝ bY, then we have

S （ X, X ） ＝ （ 2n － 1 ）

Tr A ・ a － a

, S （ Y, Y ） ＝ （ 2n － 1 ）

Tr A ・ b － b

. Since M is Einstein, we have

（ Tr A － a － b ） （ a － b ） ＝ 0.

By ab ＝ － 1, we have a ≠ b. Hence

0 ＝ （ p － 1 ） a ＋ （q － 1 ） b ＝ （ p － 1 ） a ＋ （q － 1 ） （－

a ） . Thus we obtain

a

＝ q － 1

p － 1 ＝ 2 n － p － 1

p － 1 ,     b

＝ p － 1 2 n － p － 1 .

Aࠉ⏮

a a

α 1 1 0 b

b .ࠉ. ࠉ. .ࠉ.

ࠉ.

b

⎜ ⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎝

⎜ ⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎠

Therefore a and b are constant. We consider the distributions defined by

T （x

） ＝ ｛ X | AX ＝ aX ｝ ,       T （x

） ＝ ｛ Y | AX ＝ bY ｝ .

Then T

and T

are parallel distribution and maximal integral manifolds are totally umbilical submanifolds with constant curvatures （ see ［ 3 ］） . That is, the maximal integral manifold M

of T

is of constant curvatures

1

2 n － p － 1

p － 1 ＝ 2 n － 2 p － 1

and is totally umbilical in S

, and the maximal integral manifold M

of T

is totally umbilical in S

and is of constant curvature

1

p － 1

2n － p － 1 ＝ 2 n － 2 2n － p － 1 . Therefore, M is locally isometric to the product of spheres

Sp （ ² p － 1 ^{n － 2} ）

^S

（ ² 2n － ^{n －} p － 1 ² ） ^,

where p is an odd number such that 1

p

2n － 1.

  Next we consider the condition that

1

2 L

S － k

＝ 0

under the assumption that k is a function. First, we prepare the following lemma.

Lemma 4. If fA ＝ A f, then λ ＝ 0 or U λ ＝ 1 － λ

.

  Proof.   Since we have f U ＝ － λV, f V ＝ λU and u （ U ） ＝ v （ V ） ＝ 1 － λ

, we have f AU ＝ A f U ＝ － λ AV.

Thus we obtain

g

（ f AU, U ） ＝ －

（ AU, f U ） ＝ λ

（ AU, V ） . On the other hand, we have

g

（ f AU, U ） ＝

（ A f U, U ） ＝ － λ

（ AV, U ） .

From these equation, we see that λ

（ AU, V ） ＝ 0. Since X λ ＝ u （ X ） －

（ AX, V ） , we have U λ ＝ u （U ） －

（ AU, V ） ＝ （ 1 － λ

） －

（ AU, V ） .

Thus we obtain

λ （ U λ ） ＝ λ （ 1 － λ

） ＝ 0.

This proves our assertion.

Theorem 2. Let M be a hypersurface of S

, n

1. If M satisfies

2 L

S － k

＝ 0,

where k is a function on M, then M is locally isometric to

S

（   ² p － 1 ^{n － 2} ）

^S

（ ² 2 n － ^{n －} p － 1 ² ） ^,

where p （ 1

p

2n － 1 ） is an odd number, or S

（ 1

） ,

＝ v （ Av） （ / 1 － λ

） .

  Proof.   From Lemma 4, we have λ ＝ 0 or U λ ＝ 1 － λ

. When λ ＝ 0, then the proof of Theorem 1 implies that M is congruent to

S

（ ² p － 1 ^{n － 2} ）

^S

（ ² 2 n － ^{n －} p － 1 ² ） ^,

where p is an odd number.

 Next we consider the case that U λ ＝ 1 － λ

. We notice 1 － λ

≠ 0. Then λ is not constant, and hence λ ≠ 0. Then we have

（ AU, V ） ＝ 0. Since f A ＝ A f, we see, by f V ＝ λU,

f AV － λ AU ＝ 0, so that

0 ＝ f

AV － λ f A U

＝ － AV

u （ A V ） U

v （ AV ） V

λ

AV ＝ － AV

v （ A V ） V ＋ λ

AV.

Then we have

AV ＝

V,     

＝ v （AV ） 1 － λ

.

On the other hand, from f AU

A f U ＝ 0, we see f AU ＝ － λ AV. This implies

（ f A U, V ） ＝ －

（ AU, f V ） ＝ － λ

（ AU, U ） ＝ － λ

（ AV, V ） . Hence we have u （ AU ） ＝ v （ AV ） . From this, we have also AU ＝

U.

  Moreover, we have

（ ∇

A） V ＝ ∇

AV － A ∇

V

    ＝ （ X

） V

（ f X

λ AX ） － A （ f X

λ A X ） . So we obtain

g

（（ ∇

A ） V, Y ） ＝ （ X

） （ v Y ）

（ f X, Y ）

λ

（ AX, Y ）

－

（ A f X, Y ） － λ

（ A

X, Y ） ,

g

（（ ∇

A ）） V, X ） ＝ （ Y

） （ v X ）

（f Y, X）

λ

（ AY, X ）

－

（ A f Y, X ） － λ

（ A

Y, X ） . By the equation of Codazzi, we have

0 ＝

（（ ∇

A ） V, Y ） －

（（ ∇

A ） V, X ）

＝ （ X

） v （ Y ） － （ Y

） （ v X ）

2

（ f X, Y ） － 2

（ f A X, Y ） . Putting Y ＝ V, we get

0 ＝ （ X

） （ 1 － λ

） － （ V

） （ v X ） － 2

λ u （ X ）

2 λ u （ A X ） . Since we have u （ A X ） ＝

（ U, AX ） ＝

u （ X ） ,

0 ＝ （ X

） （ 1 － λ

） － （ V

） （ X v ） , 0 ＝ （ Y

） （ 1 － λ

） － （ V

） （ v Y ） . So we have

X

＝ （V

） （ v X ）

1 － λ

,   Y

＝ （V

） （ v Y ）

1 － λ

.

Substituting these into the equation above, we have f A X ＝

f X

for X orthogonal to U and V. Thus we have AX ＝

X. Then M is totally umbilical and is of constant curvature 1

.

References

［1］J. T. Cho and M. Kimura, Ricci solitons and real hypersurfaces in a complex space form, Tohoku Math. J.

61（2009）, 205-212.

［2］S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Vol. II, Wiley Interscience, New York, 1969.

［3］P. J. Ryan, Homogeneity and some curvature condition for hypersurfaces, Tohoku Math. J.（1969）, 363-388.

［4］K. Yano and M. Kon, CR-Submanifolds of Kaehlerian and Sasakian manifolds, Birkhauser, Boston, 1983.

［5］K. Yano and M. Okumura, On（f, g, u, v, λ）-structures, Kōdai Math. Sem. Rep. 22（1970）, 401-423.

（2012.１.10受理）