Some Characteristics of a Formal Linear System
by Hitoshi TAKATA＊
Ab就ract
Some characteristics of a formal linearization method are studied． Introducing a sequence of or−
thogonal functions， a nonlinear system is fomally linearized on the Hilbert space． Especially a periodic nonlinear system is isomorphically linearized by using the trigonometric series． Perf㏄tly linearizable conditions are also derived． It is shown that the formal linear equation is a symmetric hyperbolic linear partial differential equation．
method would mherlt some propertles of the ・
SHLPDE． ξ（オ）＝φ（ズ（の），（ ，κ（の）∈r．
II ST棚M酬丁OF sHE PROBLEM ［A6］Th・mpPingφ（°）i・h・m・・m・・phi・f・・m
〃10nto ／L4． Hereノ風 andノ処 are glven
Let the following nonlinear system be given： the induced topologies of、㍗and Z，re・
＊Department of Comlputer Science spectively・
1．INTRODUCTION Σ1：元（オ）＝∫（τ，尤（ ）） （（オo， xo）∈≡1「） （1＞
Af。㎝。11ineari，ati。n m。th。d。f n。。li。ear wh・・eτi・an・㏄n d・m・in｛⊂Rパ＋1・緑〃・and
m。th。d． lt i、p，。v。n i。 th。記。ti。n lll th。t。。。n． ぞ・：φ＝Aωφ＋6（の φ（τ。 oo）∈Z・（2）
lin・！rsy・t・□i・linea・i・ed・nth・Hil』・t・pace whe「eφ・＝∂φ疏（ちκ）二星砲（酬伽・（畠
by lntroduclng a sequence of orthogonal func・ φ＝〔φ1，φ2，…，φv，…〕ア ti・n・a・a・eq・・nce・f th・linea・ly i・d・p・nd・nt （託。 R。f．［1］）．
fun・ti・n・・E・peci・lly・if th・・equ・nce・f吋h・9 @Th， n，xt th。。，em l w。， p，。ven in R。f．［2］、
・nal fm・ti・ns a・e t・ig・n・m・t・i・・e・i…th・n a ［THEOREM 1］
P・・i・di・n・nlinea・sy・t・m i・輌・・m・・phically lin・・ @Th。 n。nlinear sy、t。mΣ1 a。d th。 f。・m。川・ea・
arized on the Hilbert space・The section IV is systemΣ2 are isomorphic on the manifolds M d・v・t・dt・th・d・・ivati・n・f p・・fectly li・ea・i・able and妬if［A1］一［A6］。，e all，ati、6。d．
・皿diti・n in whi・h n・nlinear sy・t・m i・t・a… ［A1］Th。 fm，ti。n，pace Z i・am・t・i・abl・
f・・m・dint・血ite−dim・n・i・・al linear sy・t・m・ t。P。1。gical vect・r space wh・・e払＝｛・・
Th・f・11・wi・g・peci・l ca記・・f th・㏄・fect li・ea @ （ちズ）、r｝and芝⊃妬一｛φ（x）・・、〃、｝．
・i・ati・n・・e al…tudi・d・A・inverse f皿・ti・・i・ ［A2］∂血／毎・exi・t・f・・all N−1，2，3，＿．
蒜＝tC＝漂器1，認P謬i霊爵擢∂蒜／こT二雲ilt：nd N−．．， E叫
T・yl・・exp…i・n・ln th・・ecti・・V・it i・m・n・ @ （3）h。ld、．
㌫蕊蒜ぽ隠鵠㌃器麗蒜霊 閾脇一｛ξ一ξ（オ）・ξ（彦）一輪。）φ（r。）＋
ti・n（SHLPDE）． and．血・f・・m・日i竺ea・izati・n ∫eφ（ちs）6（・）4・、 、
｝
We will study some characteristics of the for・ As a result， in case of a sequence of orthogonal mal linearization method in the next three sec． functions， we can choose the Hilbert space tions as foUows． In the section III，駕becomes the Lん（D）as the function space Z of（2）・Moreover，
Hilbert space if the linearly independent func− if｛φr：夕ε2V｝is a set of orthogonal polynomials，
tions are orthogonal functions． A nonlinear system then φゴ＝αゴx汁βゴ（αゴ≠0） for i＝1，2，…，％・
with period 2π is isomorphically linearized Thusκ ＝（φゴーβゴ）／α for ＝1，2，…，μ・That is・
on（12）． In the section IV， perfectly linearizable the inverse map ofφis
conditions are derived． In the section V， the φ一1（．）：φ→κ：κ＝〔（φrβ1）／α1，＿，
f・・m・1 Ii・；・・equat｝・n三ec・mr・a・y…m・t「i・ （φ。一β。）／。。〕㌘（8）
hypaboHc llnear partlal dlfferentlal equatlon．
3．2 1somorphic Tlran8formation by Trigono■
metric Series
III・ORTHOGONAL FUNCTIONS C。n，id。， th。 n。nlinear sy，t。m
3．1ASequence of Orthogonal Function8 元＝ノ（κ）κ∈R・ （9）
We consider a sequence of orthogonal func− where∫（・）is a diκerentlable function with res−
tions as a sequence of the linearly independent Pect toκ of period 2π on the real line such as functions｛φ1（κ），φ2（κ），…，φN（κ），…｝where φ7 ∫ω＝s ηκand∫ω＝60s x・All the assump・
（・）∈Lん（D）and D⊂1〜η． tions［A1］一［A6］of the theorem l are satis丘ed
SupP°sewith°utl° fge撃?ualitythat顯φ∵蒜二1；，＝thesystem（9）isis°m°「phie
（・）肌（・）旗く。・wh・・eW−、刀、 W・and D＝即・・ ［PROOF］
Becau記， if it i、n。t，。， we can m。k。 th，，eq。，nce 1）［Al］：Ch…eth・f・11；wing t「i9・n・m・t「i・
・fn・w・・撃?Eg・nal fun・ti？・S whi・h h・1d・th・ 蓋蕊。三asequence°f llnea「ly lndependent above relatlon from the orlglnal sequence． For
example， let｛φ｛，φ1，…，砺，…｝be given．
Multiply a coefncient（ llφ；ID一ユto eachφ；and let 蒜。：ew°「th°9°nalfuncti°nbeら1∫llφ∫・
°° @ °°1 φ；2ω
は㌢（；；｝ン；3…叉
γ
記φ綱（・）此一呂託φ；（。）ll・聴）吻 L。tφb。φ一〔φ1，φ，，…，娠…〕エTh。n
⑩
り
認1㌫：ll。：。nce。f。。n．n。g。ti。。ill φ・φ一墓圭（・i・・ ・…㍑）￠∋
エ
t・g・abl・fm・ti・n・and菖∫φ多（・）W（・）吻く・・，th・ 一星1／γ2α＜°°・
BepP Levi s theorem（see Ref・［3］for example） Let Z be the Hilbert space：
讐≧忽）⌒・）ズ＝（1・）一｛ξ・ξ・ξ＜・・，1ξll一 ξ＝〔ξ、，ξ2，…，ξIV，…〕τ⑫
Z−Lん（D）一｛ξ・ ξ・ξW（・）血く・・，ξ一〔ξ1・ Th・・ef・・e it f・ll・w・th・t
ξ2，… ，ξv，… 〕T， （6） φεZ・ ．
2） ［A2］ ：From⑩， everyφN（κ）1s differen・
llξ1＝ ξTξ研（κ）血 tiable with respect toκ．
Th。n itf。11。w、th。t 3）［A3］：
（，ユ1ぎφ・・…・φ凡…〕τ∈Z （・）畑∂嚇プ（噸巴；1霊㍑）一・
∫φW（・）旗一億φ多（獅）吻く一． 4）［A4］：F；， all N吻i、 expand。d i。讐
Fourier series are perfectly linearizable， namely， are trans．
formed into丘nite−dimensional linear systems．
エ
φ・一∂伽／ぬ◆∫ω＝恩砲φ汁伽 04 Th・・ugh・・t this secti・n・1・tΣ1・X−∫ω』
transformed into
where αM andαNo are the Fourier coe伍・ Σ2：2＝・4z十8 0カ clents by z＝φω， where z isN×1， B is N×1，ノ1 is 5） ［A5］：Letξ（オ）be a solution of the formal N×N， and N is a finite number．
linear SyStem（φ＝Aφ十6，φ（『o））：
ξ（の一φ（τ・）＋工（Aφ（・）＋b）ぬ ⑮ ll1蒜1：：慧＝le C°nd t °n
貝κ）is the differentiable function with respect （∠4 is an N x N constant matrix）
toκof period、2π， thus so is∂φ〜v／∂究・ノ（κ）． 2＝ノ1z十B
Theref・・e th・F…i・・se・i。，。f量⑭汁卵。 2ヨ計8一崩計β）橘ヨ・z＋加・−1B・・一・・
． 2＝1 ＝1
converges lnto ∂φ討／∂x・ノ（κ）for all N． ……
（・ee R・￡［3］PP・225）・Th・・Eq・⇔bec・m・・ 宕㈲一A・君＋説・一・β・一・・．
己＝1
ξ（τ）一φ（ん）＋万〔∂φ1／伍ノ（・），…，∂φ耐（・），…，Bythe三ayley−Hamilt°nthe°「e叫itf°ll°wsthat
。〕・応 A沈；恩α Aκα・・：配・1・r
一φ（τo）＋工φ（・）4・一φ（の・ °θThus
Thi，indi，at。、th。tth。鉛1。tl。n。fth。f。，m。l z伽）一（Σα砿、4κκ＝0）計鮎・サ・
漂蒜麗∵e漂1）lrdisequall° 一禽α・・（z・・L熱一・B・・づ＋菖A・一・8−
6）［A6］：lf M十言丁）， th・inverse 一ゑα・・z㈹＋α ⑱
mapPing ofφis where
；謡コ縞1ふ。dby ⊇A‥1（B伽一 LΣα加κB（κ一z） κ＝0），
φω一〔・輌一・・与・i・2鬼＋…2鬼…・ 江i㌻窒1疋．、五
是・si蝋…〕l Since、一φ（。）1㌫⑱i，f。，allm，N
已t晒〃・一（ππ2，2）and l・t妬b・ φ1碧一急α砿搬α ⑲
妬＝｛φω・κ・払｝・Ifφ一φ wh・・eφ・ 助．⑲i・dicat・， th。t th。 linea，ly ind。p。nd。nt φ ・妬・th・n血＝蜘f・・all N・F・・all vect・rs m・，t b。 in、1。d。d。m。ng。記t。f th。 vec．
φf妬，th・・e exi・t・φ1−・碗・・nam・ly・κ一 t・rs｛1，φ（。），φω，…，…，φ㈹（。）｝f・・th。 N−di．
・・〆φ・・弧Thu・th・m・pPingφi・bilec・ m・n・i・n・l p・・fect linear sy，t。m Oカ．
tive・Moreover bothφandφ一1 are continu− （ii）ASu缶cient Condition
ous・Therefore φ（・）is homeomorphism If linearly independent vectors are included f「°m 1・nt・肱 ・m・・g｛1，φ（。），φω，…，φ…（。）｝，th・n we ac−
＝1ご；竺罐1㌃∵㌫蒜d鷲鴫輌r『m L
（∵PERFEC＿EARIZAT、。N 匡］一閲［額1］．
We c・n・id・・wh・t ki・d・・f n・nlinear sy・t・m・ Th・・w・h・v・g・tt・n th。 f。ll。wing th，。，em．
［THEOREM 2］ d・・iv・d
念鷲鷲鷲耀1 Σ；・｛1：麗＋君 ￠4
｛1，φ（。），φ（・），…，φ・N・（・）｝． whe・e
2＝〔zτ，〔z〕2T，…，〔z〕 T〕T＝〔21，2、，…，2・〕T，
、t：えC盤愁8輌ct °nw M n C°n L一皇（2V＋ノー1 元），互一〔ぞ！〕．
Let us consider the following case：By 2＝φ As a result， linearly independent vectors are
（。），Σ、i， c。nve・t・d int・Σ、・f⑰． M・・e・v・・th・ i・・lud・d・m・ng｛1・城…・・ω｝f・・m th・・ec inverse mapPing ofφis linear with constant tion 4．2・Besides， using z＝〔2r1，°．°，晶V〕τ we
c°h＝ ￠Φh・v・仁：㌶、wh・・e 2−〔z㌘〔z〕・㌧・・l
wh・・e H i・anη×N・・n・tant m・t・ix・ 〔が〕・anjマh。1inea，ly ind・p・nd・nt vect・rs ex・
L・tD＝4／4ちthen i，t。m。ng｛、，2，2，…，2…｝．
φ一1（φ㈲（κ））＝φ一1（Dκφ（κ））＝H・Dκφ（x@ ＝D・（醐ω）＝が。＝・…．）⑪［Examp e2］C°nside「thesy κG
Since
漂㌫；笥㌫φ・駅。）＋勾 一一ξ・司・一号丸・・一音畦
一自α。。Hφ㈲（。）＋HC仇 ㈱ ・…「曇・・・・…−3；4・・㈲一・（沈≧7）・
κこo the linearly independent functions are｛1，κ，元，…，
一恩。侮・・ κ｝＋HC・・ 。1・・｝．
As a result， Eq．⑳says that the linearly inde・ （A Method of 4．2）
⑳
pendent vectors must be included among the set Define thatφ1＝κ，φ2＝鴛，φ3＝ゑ…㌧φ6＝κ（5），
of vectors ｛1，κ，元，…，尤（N）｝ for the∧Fdimen・ then Eq．㈱is transformed into
ご認∵inearsyStemwith 2＝φ（ d蹴φ＋〔5／124〕
For the systemヱ＝ ακ2十2βκ十γ，｛1，κ， X｝ where
are linearly independent vectors． Thus we have φ＝〔φ1，＿，φ6〕T＝〔κ，元，元＿，κ（5）〕㌘
2−dimensional pe㎡ect linear system O＝〔0，…，0〕T （5×1）．
｛1；｜一｛1；〕〔；〕＋｛幻 D給，聖1∵㌫d＿。・．
｛
κ＝〔1・°〕 o；：〕． 漂〔zぞ，＿ 多〕。一〔。，，綱㌘
4．3 1nver8e MapPing of Polynomial Func・ 〔z〕3＝〔z〜，9…z2， z1宕多， z日〕τ＝〔x，κ8，κ曇，κ圭〕㌘
ti°n8 ． ． F，。m Eq．㈱，｛1，2，2，…，21・・｝・・e linea・ly i・de一
已tu・c・nslde「出e f°11°wlng case： @ P。nd。nt，、。 Eq．￠g i・t・an・f・・m・d i・t・
i繋㍑燃：㌧i隠鴛：；；： 元一（・＋・）1−・（α（・＋・）・＋2β（・＋・）・＋γぽキ・）・
N Di丘ne
蕊nl。認㌫三篇1）、㌻｛烈瓢） ＋2β（。＋めま＋γ）見
Then it is transformed lnto Paying attention thatφゴis at most of〃polyno・
21−（・＋・）ケ1元十・ mial°f x， Eq輌dicates that the c°e伍cients
．1 ． except f°「th・・e・f♂−1 and・〆−1幼（元＝1・…・η）
z・＝ ﾎ（αz1＋β）・ m・・t b・・e・。， nam。ly，。、、−0σ一η＋1，．．、 N）
・竺・ly， by th・m・th・d・f 4・3， and元・一皇嫡＋δ・f・・ −1，2，＿，・・
｛鯉1『〕〔：：］＋｛調・蒜・・蕊 li黙蹴隠i，lin。ar：
元＝」F＞十4then it is clear that the equation ofφ is also linear：φ・＝・ノ1φ十●from（〜カ．
4・4Pe「fe￠tly Lin…ir・b1・Sy・t・m by th・ ㈹Giv。n th。。，iginal，y，t，m，。器。m。 th。t tw。
Tay1°「Expan・i°n p・㎡ect linear sy・t・m， a・e c。n，tm、t。d，φ一Aφ W・h・・ep・・v・th・t・㏄・fectly li・ea・i・abl・ ＋b。ndφ＝A φ＋6．
system by the Tayl・「expan・i・n i・1輌nea・・nly・ Since Aφ＋b−A・φ＋6 。・（．4一4 ）φ一（bLゐ）
［丁朋゜剛3］ ．． w・hav， A−A 。nd b−b四。nce the㏄，fec；
A・y・t・mls㏄・fectly llnearlzabl・by th・T・y− @linear sy，t。m i、。niqu。．
lor expansion if and only if the system is linear．
（QED）
M°「e°ve「the㏄「fect linea・sy・t・m i・皿iq・ely See the ap卿dix f。， an。th。， p，。。￡
determind．
［PROOF］ V． A SYMMETRIC HYPERBOUC LINE．
（i） Assume that the system is perfectly l｛neari− AR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUA．
zable． Let the maximal polynomial ofκbe〃， TION then vectorφ is
φ一〔・1，…，・・，…砺21！・…，…，。1！念！鞄，b隠蓋：t5認el㍑。蕊：蒜゜還e蒜 …・諺！・㍗…・是！・ダr ㈲t 麗i：漂1ごuati°n
＝〔φ1，φ2，…，φM（の，・・㍉φv〕丁 元＝∫（κ）（κ：銘×1）
where〃（i）is a number satisfied withφM（ゴ）＝ and letΣ20f（2）be
』nd−一〃（η）一批＋1−1）．φ二∂φ脚κ）＝Aφ＋：（φ：N×1）・㈱
Since th。，y、t。m i， p。㎡ectly li。ea，i、abl。， it m。，t Slnce∂φ／諏丁ル）＝暑、昆（・）∂φ／鋤 be written where
蕊㍊。＿，乳…，μ， 泓一ぽ＆）〕（私：N×2V， ＝1，…，κ）・
φ已F±砺砲＋●、 ㈱ Eq・㈱i・・ew・itt・n by
ゴニエ ヵ
Σ昂（κ）∂φ／伽一Aφ＝カ．
φMω一 （1MM∫κ ）一墓 ）・一㈲；li、 is a，y＿。t，i。 hy醐idinea， p。，ti。1
where both coe伍cients∠4 and b may be time− differential equation， so the formal linearization variant・On the other hand・it follows that method inherits the properties of partial differen．
編・り一（M≒）！吉， 帥㍑。灘惣4；llmpl亀we have the next
［TH EOREM 4］
thus・f「°m⑭・ By th。血。。，em、。f Cau，hy．K。w。1。w，ki and
（〃…1）1・「1（墓・一）一墓・〃・・耐b一劉罫ご㍑：㍑、麟漂
e∋ wh・・eル）・・d・ω。，e an。lytic and
∂Ψ（κ）／6比τ・∫（κ）キ0． linear System into an Augmented Linear Moreover， the existence of a solution has，been System ， IEEE Trans． on AUtomatic Con・
proven under weaker conditions（see Refs．［4］ tro1， VoL AC−24， No．5，1979．
一［6］）． ［2］H．Takata， lsomorphism Between a Non・
Now， we here examine how to血d outφo働． linear System and a Fo㎜al Linear System ，
The Bulletin of the Kyushu Institute of
1） （ACase of Scalar） 、 Technology・
Sinceκis scalar， Eq．助is∂φ／∂κノ（κ）＝Aφ十 Science＆Tech．， No．41，155−161， Sep．，1980．
σ Fixed 44 and 6， the solution is ［3］K． Hoffman，メ4批躰る吻Eμτ1娩αηS測cε，
（i）If A−・th・nφ一b∫1／∫（・）1砲＋C p・entice−H・ll・・975・
［4］F．John， 丑zγがα1 D鋤π耐級1 五4zωκo鬼s，
（ ）1 °t㎞φ＝1μ｛ （A
wh。，e C is c。n、tant． ［6］K・O・F・i・d・i・h・・ Symm・t・i・Hy蜘glic ［Ex。mpl。4］ Linea・Di任・・enti・l Equ・ti？ns ・C°mmun1Sa−
F。，an，x。mpl。、y，t。m、 X＝、・， w・血d・ut ti・n…nP・・e and ApPlled M・thematlcs・
φ一のφ（・1−・），A−1一別，b−0，＆C−A，・・ V・1・7・345−392・1954・
φ＝κ1一沈，A＝0，6＝1一祝，＆ C＝0， etc・ APPENDIX
For another example system：元＝θκx・we can pERFECT HNEAmZATION BY choose THETAYLOR EXPANSION
φ＝・xp（．一κつ， A＝イ， b＝0，＆C＿ん。， （USE OF SECTION 4・1）
φ一・一κκ・A−0・b−一κ・＆C＝0・・t・・ 已tu， t巧t。 p，。v。血。・e・ult・f th・記・ti・n 4．4
by using the result of the section 4．1・
2）（ACase of Lmear） We consider a scalar system． From 4．1， the If the given system is linear：X＝Fκ十ぱ linearly independent functions are included
th・n th…1・ti・n・fβカi・φ一・・A＝Fand 。m。ng th。駝t・f｛1，φ，φ，…，φ…｝wh・・e b＝4 @ φ一〔己・・，ま・・，…，戚！・・〕l
VL CONCLUSIONS @ （i）F。， a ca、e。f N−1， it mu・t b・・ati・丘・d with We have studied the following characteristics D㌦＝ακo十ακ、κ ⑬ of the formal linearization method． A nonlinear for allκ≧1．
system is formaUy linearizable on the Hilbert 1） （K＝1）：Dx＝α10十α11κ ゴ．￠．，元＝α10十α11κ space by orthogonal series and is isomorphically 2） （K＝2）：D2x＝DX＝D（α，。十α、1κ）＝α11元 linearizable by trigonometric series． A nonline− ＝αぞ、κ十α、。α11全α21κ→．α20 ar system is perfectly linearizable iff the number i
of 1輌nearly independent vectors are finite・The 3） （K三K）：Z）κκ＝α｛〜κ十α｛〜−1α10全ακ・κ十ακo・
formal linear equation is reduced to a symmetric Therefore， what satis6es with Eq．⑬is only hyperbolic linear partial differential equation． alinear system
髭＝α10十α11κ．
ACKNOWLEDGEMENT （ii）In a case of scalar system when」V＝2，
。f＝＝・蒜㌶㍑｛L馴劃｝・・el−ly㎞d・−d・nt廿・m
about this work・ each other， so the following must hold：
［∵鷲。T＿。，m。ti。n。f。N。…蹴二：：㌶）＋一（†胱）
（for all K≧2）・
Since D（X2）＝2X元＝−X（α20十α2、κ），
D（†・・）ゴー・（D㌦一…一飲1・）／α・… ち9X・元・一三元・（α・・＋α21・）・
D・
i1 22κ）一・D・・一α、一α、。・一†α21・・， ・C÷α日・α・・＋α・・α』1）
whi1・D・i†・・）一元・磁 ＋・（一α鍵・＋2α日・α・・）＋α身・いカ Th・・』α・・一α…一去α21… βg Each・・e伍・i・nt・fβθan醐mu・t be eq・lva・
2）（K−3）⊇。fκ一3is l・nt t・each・th・ち・・w・hav・α・・一一α…
D・（†・・）一・D・・一α・・一α…一†α31・・，α31−一α・・a・dαト』α鍵・・Th・・
whil・D・i12百κ）−D（元・＋厩）−3緬ゑ メ2一α・・（1−†κ）2（α・・≧・）・
Thu・3ガーα・・一α…一?ｿ31・・， nam・1担一±后（1−÷・）．
・・9オ・〔（1 24α31）＋・・（α・・α31）＋・・（αξ・W蕊蒜篇es㌫。pP，。ach（（iL（輌i））t。
一α30α31）十κ（−2α』o）十α鍵o．eθ the other cases of not only scalar system but also On the other hand， from⑮ mult仁dimensional system．
