• ܞѾʂ۳զʂࠞ੕ʃ , ԟॅʦ , ड़߸ɠʜɣʣ ɟɷɺɘʟ਩ʂԟॅذʦޡɷɺ಺ټɭʟɧɼ

ۆ֩ 212 _ۆ׋ॅӁ IV

੓ 12 _Ѿ

ԟॅʂय़֎ॅଽҔ

• ܞѾʂ۳զʂࠞ੕ʃ , ԟॅʦ , ड़߸ɠʜɣʣ ɟɷɺɘʟ਩ʂԟॅذʦޡɷɺ಺ټɭʟɧɼ

• ड़߸ɠຜɣʣɟɷɺɘʟԟॅذ :

ਪ۽ߧ , ย๲ߧ , މҺԟॅ , · · ·

• ಺ټɿޡɚԟॅɠƧ

⊲ ਪ۽ߧ : ˍʫ˰ƟଽҔ

⊲ ೦ʂʍɡʦԥʔਪ۽ߧ : ˴Ɵ˰˺ଽҔ

⊲ މҺԟॅ : ˜Ɵ˱ʯଽҔ

• ܞѾʂ۳զɻࠟʞΆɚʂʃˍʫ˰ƟଽҔɼ

˴Ɵ˰˺ଽҔ ,

• ԟॅʂ਩ʂԟॅذʦޡɷɳ಺ټʃ , ยځʂ۽

ʂʓʦๆɘʟࣟ܄ɿʃ , ਪɣʂࣟ܄ʃפߐ .

⊲ ɽɚʘɷɺɱʂ಺ټʦظޔɭʟɟ

⊲ ਩ʂԟॅذʦޡɷɳ಺ټɠ , ۽ʦ෌ځɿ ਊʘɫɳࣟ܄ , ʖɼʂԟॅɿ࠴ਖɭʟɟ

౼ɟ

ɠ෻੕ɼɾʟ

• ָѕࢆ੓ 4 ࣂɻʃय़֎ॅ P _∞

n =0 c n z ⁿ ʦ۪ɜɳ .

• ָѕࢆ੓ 6 ࣂɻʃ , α ʦયअɼɭʟय़֎ॅ , ɭ ɾʣɵ P _∞

n =0 c _n (z − α) ⁿ ʦ۪ɜʟ .

• ଽҔʂયअɠٵ୅ɟʝ α ɿബʣʟɴɥɻ , ࠴

ਖɿԟɭʟड़߸ʃஔɬ .

ˍʫ˰ƟଽҔ (1)

଑զ ೾৔ച෣௅ʂ୅ α ɼࡍ܄ A ɿ਻ɫ , α ɼ A ʂ֜๸ d(α, A) ʦߘʂʜɚɿ଑զɭʟ :

d(α, A) = inf {|α − x| : x ∈ A}

• Ιчɻʃ , ঀഇɿԟɭʟՒ܃

Z

| z − α |= r

ʂΤයʃƉ Ɖ Ɖ

⊲ α ʦયअɼɭʟౝأ r ʂЌɿЕɷɳঀഇ

⊲ Ќɿʃ।ʂڽɡ

Ќʦɵʛɚɽ ࠵ɭʟ

ˍʫ˰ƟଽҔ (2) (p.220)

଑๲ 6.1 (1) ԟॅ f (z ) ɠມη D ɻ।਒ɻɖ

ʟɼɡ , α ∈ D ɿ਻ɫ , R = d(α, ∂D) ɼɫɳɼ

ɡ , ҔЌౣ U _R (a) = {z : |z − α| < R} ɿɞɘɺ

f (z ) ʃ α ʦયअɼɭʟय़֎ॅʌɼλΤଯɿଽҔ

ɩʠʟ .

ˍʫ˰ƟଽҔ (3) (p.220)

଑๲ 6.1 (2) ɧʂय़֎ॅʦ

∞

X

n =0

c _n (z − α) ⁿ ɼ ɭʟɼ , c _n ʃߘߧɻิɜʝʠʟ ( ɳɴɫ r ʃ 0 <

r < R ɻɖʠʄɽʂʜɚɿࠟɷɺʖʜɘ ):

c _n = f ^{( n )}

n! (α) = 1 2πi

Z f (ζ )

(ζ − α) ^{n +1} dζ

∂D R

α

z

R ʦְҏ ∂D ɿʊɸɟʝɾɘ

౮Ξɻෳλఖ੒ɡɣࠟʟ

• ଑๲ 6.1 ʂ࣍෗ʃ ( ɧʂ۳զɻʃ ) ঽѾʂ଑๲

5.25 ʂ࣍෗ʂݘɿʏʐ࠿ʣɷɺɘʟ

• ʺƟʾƟʂঀഇڷߧʦްɘࡥɭ

f (z ) = 1 2πi

Z

| ζ − α |= R

f (ζ )

ζ − z dζ

α

ζ(t)

1

ζ − z = 1 ζ − α

1

1 − ^z _ζ ^−α _−α = 1 ζ − α

∞

X

n=0

z − α ζ − α

ⁿ !

ʃ |z − α| < |ζ − α| ɾʂɻ C ࣘɻλโ࠴ਖɫ , ʜɷɺ

f (z ) = 1 2πi

Z

|ζ −α|=r

f (ζ ) ζ − α

∞

X

n=0

z − α ζ − α

n ! dζ

ʃ۽ധɿঀഇɻɡʟɟʝ , ࠴ਖɭʟय़֎ॅɼɾʟ . ʜɷɺ෌ځ Ѿಘഇя௾ ( ɧɧʒɻ݁ب ). ɧʠʦߘʂʜɚɿࢆɡ૥ɭ .

1 X ^∞ Z f (ζ )

n

• ذ 5.5 ɻ z ʦ α ɿബɜʟɼ f ⁽ⁿ⁾ (α) = n!

2πi Z

|ζ −α|=r

f (ζ )

(ζ − α) ⁿ⁺¹ dζ

• ʜɷɺ , f (z ) =

∞

X

n=0

f ⁽ⁿ⁾ (α)

n! (z − α) ⁿ ɼɾɷɺɘʟ

• c _n = f ⁽ⁿ⁾ (α)

n! ^{ɼɭʠʄ଑๲} 6.1 ʂآɿɾʟ

• λΤड़ɿɸɘɺʃ , य़֎ॅ P ∞

n=0 c n (z − α) ⁿ ʃ࠴ਖౝأʂ

௅ೱɻʃ۽ധɿಘഇɻɡʟʂɻ , f (z ) = P ∞

n=0 c n (z − α) ⁿ

ˍʫ˰ƟଽҔ (3) (p.220)

଑զ ଑๲ 6.1 ʂय़֎ॅଽҔʦԟॅ f (z ) ʂ α ʦ યअɼɭʟˍʫ˰Ɵ֎ॅଽҔɖʟɘʃˍʫ˰Ɵ ଽҔɼɘɚ :

f (z ) =

∞

X

n =0

c _n (z − α) ⁿ , c _n = f ^{( n )} (α)

n!

ˍʫ˰ƟଽҔ (4) (p.222)

଑զ α = 0 ɼɫɳɼɡʂˍʫ˰ƟଽҔʦ˥ʶ

˴Ɵ˱˺֎ॅଽҔɖʟɘʃ˥ʶ˴Ɵ˱˺ଽҔɼ

ɘɚ ( ذ 6.1).

଑๲ 6.1 ɼஔɬՒ܃ʂʖɼɻ ,

∞

X

n =0

c _n z ⁿ

ɼɫɳɼɡ ,

c _n = f ^{( n )}

n! (0) = 1 2πi

Z

| ζ |= r

f (ζ )

ζ ⁿ⁺¹ dζ

( ɳɴɫ 0 < r < R) ɻɖʟ .

˴Ɵ˰˺ଽҔ (1)

• ˍƟ˰ƟଽҔʃ।਒ɾԟॅʂଽҔ

• ೾৔ച෣ুਹɻʃ।਒ɻʃɾɘԟॅʦ֎ॅɿ ଽҔɭʟɿʃ , ധʂۆ೔ɠ಩์

• ɳɼɜʄ f (z ) = 1/z ʃٵ୅ɻ।਒ɻɾɘ ; ɧ

ʂʜɚɾԟॅʂଽҔɿʃ , ʍɡʦ೦ʂ۽ɿʒ

ɻұૌɭʟʂɠยڹ

˴Ɵ˰˺ଽҔ (2)

• P _∞

n =−∞ c _n (z − α) ⁿ ɼɘɚآʂ֎ॅʦ α ʦય अɼɭʟ˴Ɵ˰˺֎ॅɼɘɚ

• ।਒ԟॅʂय़֎ॅଽҔɻʃ֎ॅʃ α ʦԥʔɖ ʟЌʂ௅ೱɻ࠴ਖɫɳɠ , α ɿɞɘɺ।਒ɻ ɾɘԟॅʂ֎ॅଽҔɻʃ , ࠴ਖЌɟʝ α ʦ࢑

ɣ಩์ɠɖʟ

• ˴Ɵ˰˺ଽҔʃ , Ќԋࣨʂມηɻ଑զʠʟ .

z α

R ₁

R ₂

жࣸʂມη௅ʂ

୅ z ɻ f(z) ʦଽҔ

˴Ɵ˰˺ଽҔ (3) (p.226)

଑๲ 6.2 0 ≤ R ₁ < R ₂ ≤ ∞ ɼɫ , ԟॅ f (z ) ʃЌԋມη D = {z : R ₁ < |z − α| < R ₂ } ɻ।਒

ɻɖʟʖʂɼɭʟ . ɧʂɼɡ , f (z ) ʃ D ɿɞɘ ɺ f (z ) = P _∞

n =−∞ c _n (z − α) ⁿ ɼɘɚآɿλΤଯ ɿଽҔɩʠ , c n = 1

2πi Z

| ζ − α |= r

f (ζ )

(ζ − α) ^{n +1} dζ ɼ

ɾʟ (R ₁ < r < R ₂ ).

˴Ɵ˰˺ଽҔ (4) (p.226)

• ଑๲ 6.2 ʂ࣍෗ʃࢢɫڤɻࡧʍʟ .

• ଑๲ 6.2 ʂ֎ॅʦ D ɿɞɥʟ α ʦયअɼɭ ʟ˴Ɵ˰˺֎ॅ , ଑๲ 6.2 ʂଽҔʦ f (z ) ʂ D ɿɞɥʟ˴Ɵ˰˺ଽҔɼɘɚ .

• ˴Ɵ˰˺ଽҔʂ೦ʂʍɡʂೱഇ P ₋₁

n=−∞ c n (z −

α) ⁿ ʦࠞ์ೱɼɘɚ .

• n < 0 ʂɼɡ , (z − α) ⁿ ʃ z → α ɼɭʠʄ౎

ޏɭʟɧɼɿશΤɭʟ ( ࠞ์ೱʃɧɚɘɷɳ

۽ʦࡍʕɳʖʂ )

• ˴Ɵ˰˺ଽҔʂࠞ์ೱʃآߧଯɿʃ෌ځ֎ॅ

ɴɠยځڃʂ۽ʦ࢑ɡؙॅɠເʂɧɼʖɖʟ

• ˴Ɵ˰˺ଽҔʃ D ʂࠟʞ൘ɿʖΜਣɭʟ ; ଑

๲ 6.2 ʃƹ α ɼ D ʦچ଑ɭʠʄ˴Ɵ˰˺ଽҔ

ʃλΤƺɼɘɚΤය

଑๲ 6.2 ʂ࣍෗ :

• z ∈ D ʦچ଑ɭʟ

• z ʦΞʔЌ C ʦ଑զηʂ௅ೱɿࠟʟ .

• α ʦયअɼɭʟౝأ R

ɞʜʇ R

ʂЌʦ C

, C

ɼɭʟ .

• ɭʍɺʂЌɿʃ।ʂڽɡʦɸɥʟ .

• Ιчʂʜɚɿ g(ζ ) ʦ଑զɭʟ

g (ζ ) = 1 2πi

f (ζ )

ζ − z ( ǜ )

g (ζ ) ʃ α ɼ z Ιҙɻ।਒

• C _{2 ʂڽɡʦ౞ୃ}

• ɩʝɿ , Ιчʂयʂϓʂʜɚɿঀഇ໚ʦۚढ़ɭʟ

z α

C

C

C

R

R

α C

C

C

z

• g (ζ ) ʃࣘयϓʂມηɻ।਒ɴɟʝ , R

C + C

− C

g(ζ )dζ = 0

• f (z) ʃЌ C ʂ௅ೱɻ।਒ɴɟʝ , R

C g(ζ )dζ = f (z )

ʜɷɺ R R

R

C₂

g (ζ )dζ ʂ಻ь R

C₂

g (ζ )dζ =

R

C₂ f(ζ)

ζ−z

dζ , C

ࣘɻ |z − α| < |ζ − α| ɴɟʝ 1

2πi Z

C₂

f (ζ )

ζ − z dζ = 1 2πi

Z

C₂

f (ζ ) ζ − α

1

1 −

dζ = 1 2πi

Z

C₂

f (ζ ) ζ − α

∞

X

n=0

z − α ζ − α

dζ

• ࣘʂ݂ڤʂߧʃ۽ധঀഇя௾ , ۽ധঀഇɭʟɼ Z

C₂

g(ζ )dζ =

∞

X

n=0

c

(z − α)

c

= 1 2πi

Z

C₂

f (ζ )

(ζ − α)

dζ

R

C1

g (ζ )dζ ʂ಻ь C

ࣘɻʃ |ζ − α| < |z − α| ɴɟʝ 1

ζ − z = 1

(ζ − α) − (z − α) = − 1 z − α

1

1 −

= − 1 z − α

∞

X

k=1

ζ − α z − α

ʜɷɺ

Z

C₁

g (ζ )dζ = − Z

C₁

1 2πi

f (ζ ) z − α

∞

X

k=1

ζ − α z − α

dζ

• ࣘߧʃ۽ധঀഇя௾ , k = −n ɼɞɡ , ۽ധঀഇɫɺ Z

C₁

g (ζ )dζ = −

−1

X

n=−∞

c

(z − α)

c

= 1 2πi

Z

C₁

f (ζ )(ζ − α)

dζ

• ௥Τʂ n ɿ਻ɫ , f (ζ )(ζ − α)

ʃΙчʂЌԋມηɻ।਒

• ʜɷɺ , R

≤ r ≤ R

ɿɾʝ Z

C₁

f (ζ )(ζ − α)

= Z

C₂

f (ζ )(ζ − α)

= Z

|ζ−α|=r

f (ζ )(ζ − α)

• ɫɳɠɷɺ , ∀n ∈ Z , c

= 1 2πi

Z

|ζ−α|=r

f (ζ )(ζ − α)

dζ

• ɧʠɻλΤड़ʦ࢑ɡ࣍෗࠿ຎ

α

C₂ C₁

λΤड़ʂ࣍෗

• ֎ॅ

∞

X

n=−∞

c

(z − α)

ɠ R

< |z − α| < R

ɾʟມηɻ f (z) ɿ࠴ਖɫɺɘʟʖʂɼɭʟ . ˴Ɵ˰

˺ଽҔʂλΤड़ʦߟɭɿʃ , ү n ɿ਻ɫ , c

ɠগʏɽֆʕɳ c

ɿλઠɭʟ ɧɼʦߟɯʄʜɘ .

• ɧʂມηʂ௥Τʂʺ˺˘ʶˏࡍ܄ɿɞɘɺ , ࣘՒʂ֎ॅʃ f (z) ɿλโ࠴ਖ ɫ , ɫɳɠɷɺ k ∈ Z _ɿ਻ɫ , P

n=−∞

c

(z − α)

(z − α)

ʃ f (z)(z − α)

ɿ λโ࠴ਖɭʟ . ɫɳɠɷɺ۽ധঀഇя௾ .

• n 6= −1 ɾʝ

= (ζ − α)

ɴɟʝ (ζ − α)

ʃٵިԟॅʦߖɵ , ʜɷ ɺ଑๲ 5.10 ɿʜʞ R

C₃

(ζ − α)

dζ = 0

• f (z)(z − α)

=

∞

X

n=−∞

c

(z − α)

(z − α)

ʂຑരʦঀഇɭʟ .

⊲ ܳരʦঀഇɭʟɼ 2πic

.

⊲ ϓരʦ۽ധঀഇɭʟɼ , n = −k − 1 ʂ۽Ιҙʃɭʍɺࢶɜ , ٌїଯɿ ϓരʂঀഇʃ 2πic

.

⊲ ɫɳɠɷɺ , ∀k ∈ Z , c

= c

ɴɟʝ , ˴Ɵ˰˺ଽҔʃλΤଯ .

( ࣍෗࠿ )

• ˴Ɵ˰˺ଽҔʂλΤड़ʃ α ɼࡍ܄ D = {z ∈ C : R ₁ < |z − α| < R ₂ } ʦچ଑ɫɳࣘɻ࣍෗

ɩʠɺɘɳ .

• α ʘ D ʦബɜʠʄ˴Ɵ˰˺ଽҔʖബʣʟ .

• ਪɣʂࣟ܄ , ˴Ɵ˰˺ଽҔʦࠡظޔɻֆʕʟ

ՠ൚ʃՠۇଯ .

⊲ _{˴Ɵ˰˺ଽҔʂຶ} ( ມηʦബɜɳࣟ܄ ) f (z ) = 1

z (z − 1) ʦΙчʂມηɻ˴Ɵ˰˺ଽҔ

Re Im

0 1 0 1 0 1

ມη A

ມη B

ມη C

Re Im

Re

Im

• f (z ) ʃ z = 0, z = 1 ʦ࢑ɡ।਒

• ມη A ({z ∈ C : 0 < |z | < 1}) ɼ

ມη B ({z ∈ C : |z | > 1}) ɻʃ z = 0 ʦયअ ɼɭʟ˴Ɵ˰˺ଽҔʦֆʕʟ

• ມη C ({z ∈ C : 0 < |z − 1| < 1}) ɻʃ z = 1

ʦયअɼɭʟ˴Ɵ˰˺ଽҔʦֆʕʟ

ມη A (z = 0 ɠયअ )

• f (z ) = − ¹ _{z 1−} ¹ _z ɼࢆɡ૥ɭ

• |z | < 1 ɴɟʝ ₁₋ ¹ _z = P _∞

n =0 z ⁿ

• ࣘՒɿ − ¹ _z ʦӆɥʟɼƉ Ɖ Ɖ

˴Ɵ˰˺ଽҔ : f (z ) = −

∞

X

n=0

z ^{n −1}

ມη B (z = 0 ɠયअ )

• f (z ) = ¹ _{z 1−} ^{z 1} 1 z

= _z ¹ _{2 1−} ¹ 1 z

ɼࢆɡ૥ɭ .

• |z | > 1 ɴɟʝ , ₁₋ ¹ 1 z

= P _∞

n =0 z ^{− n}

• ࣘՒɿ _z ¹ 2 ʦӆɥʟɼƉ Ɖ Ɖ

˴Ɵ˰˺ଽҔ : f (z ) =

∞

X

n =0

z ^{− n −2}

ມη C (z = 1 ɠયअ )

• f (z ) = ¹ _{z z −1} ¹ = _1+(z−1) ¹ _{z −1} ¹ ɼࢆɡ૥ɭ

• |z − 1| < 1 ɴɟʝ ,

1

1+( z −1) = P _∞

n =0 (−1) ⁿ (z − 1) ⁿ

• ࣘՒɿ _{z −1} ¹ ʦӆɥʟɼƉ Ɖ Ɖ

˴Ɵ˰˺ଽҔ : f (z ) =

∞

X (−1) ⁿ (z − 1) ^{n −1}

ມη યअ ˴Ɵ˰˺ଽҔ A z = 0 f (z ) = −

∞

X

n =0

z ⁿ⁻¹ B z = 0 f (z ) =

∞

X

n =0

z ⁻ⁿ⁻² C z = 1 f (z ) =

∞

X

n =0

(−1) ⁿ (z − 1) ^{n −1}

• ԟॅʂ˴Ɵ˰˺ଽҔʃ , ଽҔʂયअɼଽҔɭ ʟມηʦ଑ʕʠʄλΤଯɿ଑ʒʟ

• ԟॅʂ˴Ɵ˰˺ଽҔʃ , ଽҔʂયअʘଽҔɭ

ʟມηɠബʣʠʄ , ബʣʟ

ڈ๼஦Ϊ୅ (1) (p.232)

଑զ 6.1 ԟॅ f (z ) ɠ α ɿɞɘɺ।਒ɻɾɘ ɼɡ , α ʦ f (z ) ʂ஦Ϊ୅ɼɘɚ . f (z ) ɠ α ɻ।

਒ɻɾɣ , α ʂɖʟ࢑ҙפ൮ɻ।਒ɻɖʟɼɡ , α

ʦ f (z ) ʂڈ๼஦Ϊ୅ɼɘɚ .

଑զ 2.12(p.60) ୅ α ʦયअɼɭʟౝأ δ ʂ ҔЌౣʦ α ʂ δ פ൮ɼɘɚ . α ʂ δ פ൮ʦ U _δ (α) ɻ಺ɭ .

଑զ ୅ α ʦયअɼɭʟౝأ δ ʂҔЌౣɟʝ α ʦ࢑ɘɳʖʂʦ α ʂ࢑ҙ δ פ൮ɼɘɚ . δ ʦ෗

ߟɭʟ಩์ɠɾɘɼɡʃ੺ɿ࢑ҙפ൮ɼɘɚ .

• Ιчʂթ໱ʃߘʂɧɼʦঽଚɼɭʟ :

⊲ α ʃ f (z ) ʂڈ๼஦Ϊ୅

⊲ f (z ) ʃ α ʂ R ࢑ҙפ൮ {z ∈ C : 0 <

|z − α| < R} ɿɞɘɺ।਒

⊲ f (z ) ɠ α ʂ R ࢑ҙפ൮ ɻ˴Ɵ˰˺ଽҔ

ɩʠɺɘʟ

• λ౫ଯɾ {z ∈ C : R ₁ < |z − α| < R ₂ } ɿɞ ɥʟ˴Ɵ˰˺ଽҔɿʃ , ɧʠɟʝࡧʍʟթ໱

ʃ଱ๆɻɡɾɘ

• গʏɽࡧʍɳঽଚʂʖɼɻ , ڈ๼஦Ϊ୅ʃ ,

˴Ɵ˰˺ଽҔʂࠞ์ೱ

−1

X

n=−∞

c _n z ⁿ

ʦޡɷɺ , ߘʂ 3 ࠦຳɿഇຳɩʠʟ .

ڈ๼஦Ϊ୅ʂഇຳ

• ࢑֓я௾ɾ஦Ϊ୅ : ˴Ɵ˰˺ଽҔʂࠞ์ೱʂ

ؙॅɠɭʍɺເ ( ଑զ 6.2, p.233)

• ׎ : ˴Ɵ˰˺ଽҔʂࠞ์ೱɠເɻɾɘยځ֎

ॅ ( ଑զ 6.3, p.236)

• ऐड़஦Ϊ୅ : ࣘՒΙҙ ( ଑զ 6.4, p.239)

ڈ๼஦Ϊ୅ (3) (p. 233)

଑զ 6.2 α ɠ f (z ) ʂڈ๼஦Ϊ୅ɻ , ɱʂ˴Ɵ

˰˺ଽҔʂࠞ์ೱʂؙॅɠɭʍɺເɻɖʟɼɡ , α ʦ࢑֓я௾ɾ஦Ϊ୅ɼɘɚ .

• ɧʂࣟ܄ʃ , 0 < |z − α| < R ʂɼɡ , f (z ) = P _∞

n =0 c _n (z − α) ⁿ ɼࢆɥʟ

ڈ๼஦Ϊ୅ (4) (p. 233)

• ෌ځ֎ॅ P _∞

n =0 c n (z − α) ⁿ ʃ z = α ɻʖΤය ʦߖɵ , ɱʂખʃ c ₀ .

• ɫɳɠɷɺ , f (α) = c ₀ ɼ଑զɫ૥ɯʄ , f (z )

ʃѽॾԟॅɿɾʟ ( ɧʠɠ࢑֓я௾஦Ϊ୅ɼ

ɘɚ෕ঽʂศ๝ )

ڈ๼஦Ϊ୅ (5)

଑๲ α ɠ f (z ) ʂڈ๼஦Ϊ୅ɻ , f (z ) ɠ {z : 0 < |z − α| < R} ɻ।਒ɟɸยҏɾʝ , α ʃ f (z ) ʂ࢑֓я௾஦Ϊ୅ɻɖʟ .

• _{ָѕࢆʂ଑๲} 6.3 ʃ।ɫɣࡧʍʝʠɺɘɾɘʂɻશΤ . R _ʦچ

଑ɫɺɫʒɚɼ଑๲ 6.3 ʃढ़๼ɫɾɘ .

• ಩์ࡒഇِࣥʂآʂ˱Ɵ˥˺ʂ଑๲ʃ , ɳɼɜʄ ॊϧ , ѽॾ௡෾

II, ଑๲ 4.3(pp.272∼273) ɻࡧʍʝʠɺɞʞ , ࣘՒʃɧʠʂλೱ .

࣍෗ n ≤ −1 ʂɼɡ c _n = 0 ɼɾʟɧɼʦߟɭ . f (z) ʂɧʂ ມηɿɞɥʟࣘځʦ M ɼɫ , ɧʂມηʂ௅ೱɿ C ₃ : ζ (t) = α + re ^it (0 ≤ t ≤ 2π ) ʦࠟʟ . α ʃڈ๼஦Ϊ୅ɴɟʝ , r ʃɘ ɣʝɻʖࢡɩɣɻɡʟ . ଑๲ 6.2 ʜʞ , c n = _2πi ¹ R

C

f (ζ )(ζ − α) ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ dζ ɻɖʟ .

R

C

f (ζ )(ζ − α) ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ dζ

≤ R 2π

0 Mr ⁻ⁿ =

2πr ⁻ⁿ M ɻɖʟ . n ≤ −1 ɴɟʝ , ɧʂঀഇʃ r ʦࢡɩɣɭʟ

ɧɼɻɘɣʝɻʖࢡɩɣɭʟɧɼɠɻɡ , ɫɳɠɷɺ c _n = 0

(n ≤ −1) ɻɖʞ , ʜɷɺ α ʃ࢑֓я௾஦Ϊ୅ɻɖʟ .

ڈ๼஦Ϊ୅ (6) (p.236)

଑զ 6.3 α ɠڈ๼஦Ϊ୅ɻ , f (z ) ʂ α ɿɞɥ

ʟ˴Ɵ˰˺ଽҔʂࠞ์ೱɠເɻɾɘยځ֎ॅɻ

ɖʟɼɡ , ɭɾʣɵ , ɖʟ k ≥ 1 ɿ਻ɫ c _{− k} 6= 0

ɻ , ∀l > k, c _−l = 0 ɼɾɷɺɘʟɼɡ , α ʦ f (z )

ʂ k Λʂ׎ɼɘɚ . 1 Λʂ׎ʦ੺ࡸɾ׎ɼɘɚ .

ڈ๼஦Ϊ୅ (7) (p.236)

• α ɠ k Λʂ׎ʂࣟ܄ʂ f (z ) ʂ˴Ɵ˰˺ଽҔ ʃߘʂ૳ʞ ( ɳɴɫ c _−k 6= 0 ɼɭʟ ):

f (z ) = c _−k

(z − α) ^k + · · ·+ c ₋₁

z − α +

∞

X

n=0

c n (z − α) ⁿ

ڈ๼஦Ϊ୅ (8) (p.236)

ຶ 1) f ( z ) = 1

z + 1 + 1 ɿɞɘɺ . z = −1 ʃ f ( z ) ʂ 1 Λʂ׎ .

ຶ 2) f (z ) = 1

( z − 1) ² + 1

z − 1 + 1 ɿɞɘɺ . z = 1 ʃ f ( z ) ʂ 2 Λʂ׎ .

ຶ 3) f ( z ) = 1

(z − 2) ³ + 1

(z − 2) ² + 1

z − 2 + 1 ɿɞɘ

ɺ . z = 2 ʃ f ( z ) ʂ 3 Λʂ׎ .

ڈ๼஦Ϊ୅ (9) (p.236)

଑๲ 6.4 f (z ) ɠ {z : 0 < |z − α| < R} ɻ।

਒ɻɖʟɼɡ , α ɠ k Λʂ׎ɻɖʟɳʕʂ಩์ࡒ ഇِࣥʃ , α ʂפ൮ɻ।਒ɻເɻɾɘԟॅ ϕ(z) ɠ ਣݚɫ , f (z ) = ϕ(z )

(z − α) ^{k ɼࢆɥʟɧɼɻɖʟ} .

࣍෗ : α ɠ k Λʂ׎ɻɖʠʄ , (z − α) ^k f (z ) = c _−k + c _−k+1 (z −

α) + · · · ʂϓരʃ࠴ਖɭʟय़֎ॅɴɟʝ , ɖʟ।਒ɾԟॅ ϕ(z)

ɿɾʟ . ʒɳ , lim z →α ϕ(z ) = c _−k 6= 0 ɴɟʝ , ϕ(z ) ʃ α ʂɖʟ

פ൮ɻເɿɾʝɾɘ . պɿ , (z − α) ^k f (z ) = ϕ(z ) ɟɸ α ʂפ൮

ɻ ϕ(z ) 6= 0 ɻɖʟɼɡɿʃ , ϕ(z ) ʦ α ʂʒʣʞɺˍʫ˰Ɵଽ

Ҕɫɺɟʝຑരʦ (z − α) ^k ɻӍʟɼ˴Ɵ˰˺ଽҔɠணʝʠʟ .

ڈ๼஦Ϊ୅ (10) (p.237)

଑๲ 6.5 f (z ) ɠ {z : 0 < |z − α| < R} ɻ।

਒ɻɖʟɼɡ , α ɠ k Λʂ׎ɻɖʟɳʕʂ಩์ࡒ ഇِࣥʃ ,

z→α lim f (z ) = ∞

ɼɾʟɧɼɻɖʟ .

࣍෗ : α ɠ k Λʂ׎ɻɖʠʄ , ଑๲ 6.4 ɿʜʞ , lim _z→α f (z) = lim z →α ϕ(z)

(z −α)

= ∞. պɿ , lim z →α f (z ) = ∞ ɻɖʠʄ , α ʂɖʟ

࢑ҙפ൮ɿɞɘɺ f (z ) 6= 0 ɻɖʟɟʝ , _{f (z} ¹ ₎ ʃɧʂ࢑ҙפ൮ɻ

ยҏɻɖʞ , ɫɳɠɷɺ α ʃ _{f (z} ¹ ₎ ʂ࢑֓я௾஦Ϊ୅ɻɖʟ ( ࣘՒ

ʂ଑๲ 6.3 ɿ৷୻ɭʟ଑๲ʦޡɷɳ ). ɩɺ , _{f (z} ¹ ₎ ʂ˴Ɵ˰˺ଽҔ

ʂ݂ࡾʂເɻɾɘ۽ʦ c k ɼɭʟɼ (k ≥ 0), _{f (z} ¹ ₎ = c k (z − α) ^k +

c _k+1 (z − α) ^k+1 +· · · ɼɾʟɠ , ϕ(z ) = c k +c _k+1 (z −α)+· · · ɼɞɣ

ɼ , _{f (z)} ¹ = (z − α) ^k ϕ(z ) ɼࢆɥ , ϕ(z ) ʃѽॾଯɻ , ϕ(α) = c k 6= 0

ɴɟʝ α ʂɖʟפ൮ɻເɻɾɘ . ʜɷɺ , ψ(z ) = _ϕ(z) ¹ ɼɞɣɼ ,

ψ(z ) ʃ।਒ɻ α ʂɖʟפ൮ɻເɻɾɣ , f (z ) = _(z ^ψ(z) _−α)

ɼࢆɥ

ʟ . ʜɷɺ , ଑๲ 6.4 ɿʜʞ , α ʃ k Λʂ׎ɻɖʟ .

ڈ๼஦Ϊ୅ (11)

଑զ ࢑֓я௾஦Ϊ୅ɻʖ׎ɻʖɾɘڈ๼஦

Ϊ୅ʦऐड़஦Ϊ୅ɼɘɚ .

• α ɠऐड़஦Ϊ୅ɻɖʟɼʃ , ˴Ɵ˰˺ଽҔʂ

ࠞ์ೱ

−1

X

n =−∞

c n (z − α) ⁿ ɿɞɘɺ , c n 6= 0 ɼ ɾʟ n ɠ෌ځɿɖʟɼɘɚɧɼɻɖʟ .

• ɧʂ۳զɻʃऐड़஦Ϊ୅ɿɸɘɺʃɧʠΙࣘ

ࠟʞΆʣɾɘ .

߹ೱ ֚ೱ

Exp[1/(x+i y)] ʂ֘ஓ

exp[1/z] ʂٵ୅ ( ऐड़஦Ϊ୅ ) ʂפ൮ɻʂ֘ஓ . ԟॅʂખʂബஓ

ເ୅

଑զ ԟॅ f (z ) ɿ਻ɫ , f (α) = 0 ʦʓɳɭ α ∈ C _ʂɧɼʦ f (z ) ʂເ୅ɼɘɚ . α ɠ f (z ) ʂ ເ୅ɻ , α ʂפ൮ɻ଑զɩʠɳ।਒ԟॅ ϕ(z ) ɿ

਻ɫ , ϕ(α) 6= 0 ɟɸ f (z) = (z − α) ^k ϕ(z ) ɼࢆɥ

ʟɼɡ , α ʦ f ʂ k Λʂເ୅ɼɘɚ .

ຶ 1) f (z ) = z ³ ɿɞɘɺ , z = 0 ʃ f (z) ʂ 3 Λʂ ເ୅ɻɖʟ ( ࣘՒʂ଑զɻ ϕ(z ) = 1 ɼɭʟ )

ຶ 2) f (z ) = z ² cos z ɿɞɘɺ , z = 0 ʃ f (z ) ʂ 2

Λʂເ୅ɻɖʟ (ϕ(z ) = cos z ɼɭʟ ; cos 0 =

1 6= 0 ɴɟʝ )

• z → ∞ ɼɫɳɼɡʂڈ๼஦Ϊ୅ , ເ୅ɿɸɘ ɺթ໱ɭʟɧɼʖɖʟ .

• ࣏ɫɣʃ , ฅڼࡶߘ໫ , ೾৔ѽॾҞ໱ , ੓ 6 ౦ ,

࣋ѥ൵ , 2007 ɾɽʦދࢻ