Ergodic properties of Fleming-Viot processes with selection

Ergodic properties of Fleming-Viot ^processes with selection

Original Paper

Ergodic properties of Fleming-Viot Processes with selection

Seiichi ITATSU*

Department of Mathematics, Faculty of Science, Shizuolm University, Ohya 836, Shizuol<a 422-8529

(Received November 30, 2001 )

Abstract : Under the condition that mutation process is uniforrnly ergodic,

it is shown that for small o the Fleming-Viot ^process with selection o is uni- formly ergodic. In particular if the distribution of mutation process converges exponentially fast _, then the the distribution of the Fleming-Viot process with no selection converges exponentially fast with the same exponent.

2000 Mathematical Subject Classification:60J70

Key words : measure valued process, semigroup, ergodicity

1. Introduction of Fleming-Viot processes wiph selection Let us denote the operator L of the infinitesimal generator in C(R*)

defined by the following:

L - *,D,pt(66, - ^{p )} Lrr*.

E,I ^%ipt. f ^{p i(or,ipt} _->ro ^nenp)) h

o i,i:L

This defines the infinitesimal generator of a Markov process on A6 : _{p -

(pt,- ^- -,prc) _: pr ) 0,...,prc ) O,pt+ ^{-. -} * ^prc - ^{1), this process is called}

the Wright-Fisher diffusion model according to Ethier and Kurt, _l4l. Here pe is a gene frequency of type i. ^{According to} Ethier and Kurtz _[3], this operator can be generalized as follows: Let E be a compact metric space and

* Bmail: [email protected]

Se五ch口園肛

SU

P (E) be the space of all probability measures on E. Let us denote (f , lr) -

[p fdp. ^{Let A be the generator for a} Feller semigroup {"(t)} ^{or C(E). Fbr} uV fr,.-.,f* ^{€D(A) and F e} C2(R*) let e\.i - F((fr,F),...,(f*,ti)

: F((f,p)) and let us denote

Lvii 13'|tr+.,F)-Ua,tr)( o"

- 2 L__r((fufi, ri - ^ffn, ti1i, rl)&((f, ^p))

(1) + if<ot,,p)+(Bfn,t'))ffUr,rll

+ _{itfi(fu "} ^r)o, t') - ^{(fa, trl(o,} t'l\fft<t, rll

i:I

Here E is the space of ^genetic types and A is a mutation operator on C (E) which is the ^generator for a Markov process in E _, B is a recombination operator from C(E) to C(82), and o : _o(r,u) is a symmetric function on E x E which is selection parameters for types r,y € E, md zr is a

projection defined by r(r,U): r . According to _[3], this operator defines a generator corresponding to a Markov process on P (E) in the sense that the Cp@) _[0, *) martingale problem for .C is well posed. This process is called the Fleming-Viot process. In this paper we consider in the case B - ^{0 the}

formula

Lvii - ; ,f_"(fuf ^{i, tr)} - ^(ft, riui, ri)ffi((r,p))

o i,i:l

+Σ

^,μ

i:l

+ it _,i,:l ^{($r o n)o, p2)} - ^{Ur,, tib,} t'llf*f<r, rll.

We say the semigroup t"(r)) ^{is uniformly ergodic if for some stationary}

distribution u, ll"(t) - ^{(., u)Lll} + 0 as t + oo where ll . ll is the uniform operator norm. In the case that the mutation semigroup is uniformly ergodic, we consider the uniformly ergodic properties of the semigroup corresponditrg

to generators L in the form (2) and consider the order of convergence. We can obtain a uniformly ergodic theorem if selection parameters are small.

In _[5] the ergodic theorerns are proved in the case that the coupling in the

(2)

Ergodic propertieS ofFleming‐ Vlot processes v7it selection         3

mutation process holds,which cont〔 狙ns the case that the mutation operator スis of the fo...1

(3)   スノ^(″

)==￨:/(∫ ^(ξ

))ν

with θ>O and a(五

stribution 

『 . On the other hand in the case B==0

it is proved in[l thtt the reversibihty of the process is holds only ifス

the昴ove form(3).

ALCk■ OWledgement l would hke to thank Professor Steward N.Ethier for helpful suggestions.I would like to th〔

scussions.

2。 An ergodic theorem in the case without selection

lt is known when the mutttion operttor is of the form(3),trttSition

y fast as follows

Theorem l。 (Ether and G五 蹴 hs μ],Ethier ttd Kurtz pl,shiga pl,LⅦ

⁶

b̀α

"cmι

θ

r as

ス∫^(″

^)｀

^))ノ

ιん

̀η

l九c c"づsts a sια οηαη αづ

stl%bttι

,ν

α ^{bづ Jづ} ιν  P(t,μ

^流

^づ

^ι

‖

^{P(t,μ ,。} )一

,ν llυ

1‑4〈 t),

where‖

^S tο

J 

eXp(― λ

_lt)≦

o(t)≦

c

We can obtain a generalizёd ergodic theorem.In this section we consider thtt E is a locally compact,separable metric space and th就 スis the gener―

就Or of a Fener semigroup{T(t)}On the space  σ

(E)of COntinuous hnctions

mshng tt inhity.Let us consider the Fleming―

deflned by the ge■

=0・

Seiich nlttU

generttOr￡ by￡。and by pl the wellpOsedness Ofthe martingde prOblem fOr

￡。has been prOved and the ergodic theorerrl has been prOved in the sense of weak cOIlvergence under the cOndition that the lnutation operator is ergOdic in the sense of wealkly cOnvergenceo Let us denote the serrugroup of the gen̲

erttor￡。by{γ(t)},then we ha℃ th就

Theorem 2。 Zcι λ_l>0。 ■ んο

Jα

_(A):ι

̀

^sι

 ttsι

>0

‖

)∫ ―

_)1‖ ≦』 島

λ

_￨￨, ゲα η ごθ η :ν ゲづ ιん ο

流

η鹿 θ η _(B):ι ん

̀ "づ

^sι

η sι α ηι

ν

α ηご

a stα

ι づ θ η α

  α づ ^sι

θ η   Ⅱ

ι 亀ル

′流α ιル ^r  α η ν   ψ∈σ

η α

α ην ι >0

‖γ_(t)ψ 一_(9,Π。_)111≦ ″

^rexp(―

For the proOfthe next TheOrem win be used.Let us denOte{μ ι

}the Fleming̲

Viot process cOrresponding tO￡ 。。

Theorem 3(Ether ttd Kllrtz pl).Zθ_ι S=Σ_鷹10(Eり bC α Ψαccげαづct

S鶴

 p"ccss 

^cη

r

￡F(ノ)==(:)(F(【

:)1≦忍 ≦た

゛

_lF)ノ

^)∫

ル

^r∫

c

(Φ才^)ノ

^{)(″ 1,・}

_,″

_,物

,″ J,・

ル^rた ≧² αηαl≦ づ

<ブ

)α

■_(サ)=T(ι)Θ

た。

∂

_(」

^F;づ

:メ_(1}‖￨;IΨ、^:;;亀′場

^;J子

′づ

・ ^{9 SCηsc. Jy(t)∈}

whereY(O) -f.

易ι^[(∫

^,μ

Ergodic properties of Fleming‐

Wc assulne the condtioll(A).Then fOr allyノ

狙

dg∈

(4)‖^TJ・

^{(t)g― (g,イ}

lt)￨lglト

Letた

^d let毎

1,・ …_,た ‑l and _η

=∞

ove theorem

Eμ(ノ

,μ

^+1);η _̲1≦

J=1

Here 

forた

̲l htt expone戴

butim with pttattter(た _5J)。

By[ll it h01ds thtt P(%̲1>t)≦ 1‑α:(t)証 ld C t≦ 1‑α

_:(t)≦ 3c t.Let

^Lr 

^̲1≦

y(ι)=写^{̲J+1(t η̲1)5。 Jttaη}

^{̲J+2(η ‑1 η}

Next p乱 an integerづ >O such thtt  λ

OL頑 硼 看 1≦ ^』 1<鳴

arld

(6)P17t̲づ >J≦ Elexp(λ_l(■̲づ

一

_{卜 を}

≦

^lι

^・ Let

Zo=(y(■

^̲̀),イ _),

碗(t)=y(ι)̲Zol,

ZF・ =(時(■

̲j→

),

Ч汁^1(サ)=場(ι)一 ^ZJ・

1, 

and v」e haК        ̀

E(y(ι_),μ

Ⅳ← ))=Σ

^を

^+1);η _+た

_+た ̲り

J=1

EI(y(t),μ^lV(1));η

̲を

Se五

ch 

MttSU

0       _′

=Σ^EK場

(t)+Σ

十臓

‑1≦

J=l         J=1

十

^E[(y(ι

=Σ^EI(yJ・

(サ

̀丁

J+1);η

+ん̲̲̀1≦ t<η_ttλ^̲』

J=1

̀   J

+Σ

EEI(ZJ̲11,μ

+1);η

+た ^̲り ̲1≦

<η

̀]+EI(y(t),μ

Ⅳ

_(ι

>tl

=Σ^E[ _為

(サ

^J+1);η

十た一う

‑1≦

J=1

+IΣ

_Σ

_+た ̲を ‑1≦

_{十た ―り ]十}

トゥ

].

J=lJ=J

(7)E(y(ι),μⅣ

O)=Σ

乃

^(ι

̀ J+1);η

t<η

_J

J=1

+IΣ

E[ろ

ti+EI(y(サ

]・

J=1

Because

(8)   yJ.(ι)

=(島

J+1(t η

J‑1) (0,ス

プ+1)1)0(づ→

+2)(z.+2(η

十た一

̀‑1 η

プ

+2)1)

・…3(̀)(z(η̲を+1‑■―

̀) (0,ス )1)y(.̲̀)

fOr η十ん―を

‑1≦

‖^yJ・(t)￨￨≦ づ

_(づ

_(づ

￨￨

狙d

lZJ≦ ‖時(η十た二

̀)‖

・

Ergodic properties ofFleming‐

￨コ

μ

^{,μ :)]―}

≦

)EIE[に

^(ι

^{̀ J+1);η +た}

t<η

̀ll+Σ

J>JI J=l      J=Ю

十

_IEI(y(t),μ

_(ι

卜ぅ>ι

]￨

≦ Σ〕づ

_(づ

^(づ

1(t―

^+卜

‑1≦

^<η _+た ^̲り

J=1

+Σ

^づ (づ

_{… (づ} ―

人

ん―う

_{卜 り}

));7J十

^ん―づ

_‖

+2P[η^̲づ >JII∫‖

≦

lt)￨￨ノ

where

ν ≪

呻 →坤抑 瑚弼→

1

づ狙d ν

 depend only on 

>り {9(μ )=(∫ ^,μ

is densc in 

(2(E))by the mesz'represent乱

holds.

Collversdy we assume the coFldition(B)hddS・ There odsts a stttiorLary

distribution 

ld collstants y,λ

‖γ_{(ι)9‑(り,Πo)111≦} νexp(―λlt)‖91ト

ヽ

Let 9(μ)=(∫^,μ

^)・

_)ノ

(∫,埼

)=/〈 ∫ ^,μ

^O(中

so that

(9,Πo)=(ノ,埼

)・

Therefore‖

γ

_)∫ ,。

)1‖

)∫ ―

By‖

=‖ ∫‖

       QoEoD。

3. Ergodic theorenrs with selection

8      seiich FrASU

In ths section we assllme thtt Z is cOmpttt.Denote￡ of(2)by￡ σ

 amd

and the correspondng semigroup by%(サ

θし

)=:←

Lemma l.FOr 9∈

￡σ9=c g(￡。一ψ

)(cg9),

磁θ ψ(μ

)=:((σ ^O,μ

^2)2+(4②

_,μ

^,μ

^(2)(″

_)σ

_,z),α

_{,″ )α}

^sα

^r

cο

rrcΨ

P"J AccOrding to 131 ths theorem hOlds.

This implies the fO110wing

Theorem 4。 ■

ss%mc(c):σ

(4(2)),4(2)σ

(E2),α

つ_(￡σ)={9∈ σ(2(E)):♂9∈ つ_(￡。)}.

五ει_{ル}bC α ^FJθ協づηナ協οι praccss cθttψθηごづり ιο_{(4o,つ(￡o)).動}

Cη  ttc

づsts a scmむ御Ψ{γ(ι)}Cθ

^rrcΨ

_{)==C gO・}

_(′

Qllヴ

,(″

P"J AccOrdng to Theorem 3.4 of pl￡。^gene酬ぃa Fen∝ semigroup.

乳 :器 ぎ潟

説

ぷ躙

糖嚇観

百 ぷ

鬱

∝

島  (ι

)==Eμ

…

Jlι

ψ

3)ご

ι

arld by Lemma l 

(λ 一￡σ) 1=c g(λ

̲fめ ^lcg,

so we obtain that

γ_(ι)=C g%(サ)Cg.

TherefOre{γ

σ  is collselntive,{γ

is a cOntrtttion semigroup.      Q・

Ergodic properties ofneming― VIot pro∝sses with sdection         9 As the main result we halκ

Theorem 5。

4ss%鶴

{%(t)}づ

^ttι

′ο^sづ υc cθη

^Sι

 stα

^sι

b鶴

‖ 名【

≦

人

)‖ ψ ll・

=ん

^cη   ι ん

"づ^sお

α

αθ η

α づ stttbttι づ ο η

Ⅱ

流α ιル ^r  α ην

ε

stα

),δ =δ (ε

,加

‖γ

_(ι

_)1‖

l―

_)t)￨lψ

Fbr the proof the next lerlllnas on pertllrbation of operators are used.

Lenlina 2.Lct S bc a cθl叩

pα

stttbttι

 S.■

lmc

づsづηυ

cttblcづ

cι  P。

o)l 

^as 

^cη

lυづ流c勿

̀劉勉η

^Ctづ

_,ι

cη

cん

(a)9o=C(1‑3) 1l 

^α ηα〈

(b)Lct  υ

ん cη

υ

αρ α ηα

α η

ψ

び

rrcψ θ η α づ η θ ι θ

υ α ^:鶴 cl.

(C)野

磁η   α α 流れο η

ι

(9)  Pl=((1‑3) 21,Ⅱ

^{) 1(・}

流

cη

び

Pl=Ply=Pl,

αηごPlづs a praFccιづο鶴・

(d)J‖ ^B‖

^≦

^Cη

^ιん

^{づοη げ}

^{S Sα ιづ}

^αηα

^η

^{づη 鶴α Jづ} ιν

んοJごs

llび ―

Plll≦ 711 BII。

Praげ Because 9。 is alll eige]dhttLCtiOn,we haК

(9o,Π

so th乱

9o=(9o,Πo)(1‑3) 11

10 _Seiich Π

WБ U

_o)=1・

    O is eigenvector ofび *cOrresporLding tO

(b)(a)implies th乱

is arl eigenvector of D「 *,we haК

eigenvalue l. If 

 i

(1,υ)Πo+B*υ =υ,

so that

υ

=(1,υ

^o。

TherefOre(b)hOldS.

(C)By(a)びPl=Pl holds and by(b)び^*鍔 =鍔

^hddS・

一

31=P。

Pl+3.

(d)By l((1‑3) 21,H。

)‑11=￨((1‑3) 231,Π

)￨≦ (1‑‖

      ,

Q.E.D。

Thё refOre the inequality holds.

Lemma 3。 助zαcr ttc assttη^pιづθηげ

=ん

cο 鶴イυ

^Cん

「 亀^(ι

^)一

^C‖

Praイ

^{(s)亀 (s)as}

Jt%(ι ―S)1

ed by‖

_%(ι

c‖

alld the inequality is obtain(       

´

Praげ げ 動 協 J.Let P。 =(0,Π。

II衝

【 ι

≦金

ε

o)・

Then by LeIШma 3 we obtdn

lalt。

)一

金

ε

￨

Ergodic properties ofneming‐

Vlot pЮ

if‖ψll≦ δ≡ 寺10g(1+螢^幽 _讐 ^{型 霊}

_)。

)iS COnservative,so by Theorem

)haS tt eigenfunction c g correspondng to tt eigenvalue l.Put B=

πlto)一

^Po・

^l―

o)・ ByLema2(c)we haК

%(η

 (η

with some prttectiOrl Pl=(0,Π lルo SttiSfying 9。

=cc g Where c(≠

σ (2(E))SttiStting

‖

_l― ε

by Lemma 2(d)。

Obtain thtt for  η ^t。 ≦ι

‖奮賓^t)ψ―_(9,Πl)9o‖

_=‖

)(島 (η ^t。 )ψ

_{l)9o)￨￨≦}

whereル亀^=exp((λ

^l―

lettittg Aど1=埼‖^{c gll‖}♂

_￨卜       Q・

4。 Conclusion and example

Assulne the mut乱

1 5 the Fleming― Viot process with small selection is lⅡ

ergodLc。

Let us now consider ttother formula with B=0証ld σ_{(″ ,ν})=(ん(″

)+

ん_(ν))/2:

0・ 0=九 訳 ふ め く酬励幾 m

十薯

ん ^,ハ

ん

ー 犠 フ 勁

争 め 〉 粘

ぶ

TWiβ 究 1亀

't逸

践帯ゞ 星

よ

(C)beCOIIleS the colldition(D):ん

∈つ

ん∈σ

Theoren1 5 we have

Theorem 6。

■

η ご流α ι

_)}づ

ο

ご流α ιル

^ttθ

pοsづιづυc cοttstαη力9■√αηごλ_l αηα

stgttb鶴

‖^T(t)∫ ―_(∫,均

_)1‖

)‖

12       se五

MnSU

動

^cη

 ^ttc sc鶴

rrcΨ

αづ

^stttbttι

^sι

ttts A4=』

),δ

δ

_(ε

‖γ_(ι

_),一

_)1‖

l―

^.

Example l.Lct E=卜

^К

conditionつ

∈

_{([‑1,ll),∫} ′

(‑1)‐

∫ ′

(1)=0},then the cOndition (A)of TheOrem 2 holds,

Praげ By Ю

l the trttsition density of{T(ι

p(t,″_,ν

)==:覇

フ霧亨Å ^lexp(一:〆ν―″^+4η)2)=卜eXP(―

,甍:(ν+″■^4η+2)2)]

=:十,Ic 翅

≒響範^r2t sin工皇生

り

^=」

+,Ic̲イ

^:7r2t9。

TherefoК

(A)お satiSied宙

_l=子

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1 19-164.

回

14       seiich FrARU

自然淘汰を持つフレミント ウ オ過程のエルゴード的性質

板津

誠一

静岡大学理学部数学教室 ,

〒

岡市大谷

突然変異の過程が一様 にエル ゴー ド的である条件の もとで,小さい自然淘汰 を持つ フレ ミ ングーヴ ィォ過程 が,一様 にエル ゴー ド的であることが示 され る.特に自然淘汰 を持 たない とき,突然変異の過程の分布 が指数的の速 さで定常分布 に収束す るときフレ ミングーヴ ィオ 過程の分布 も同 じ指数の速 さで定常分布 に収束す る。