• 検索結果がありません。

A Study on the Identification of a Tank Model by Masato NOGUCHI (Department of Civil Engineering) Takamasa KOBAYASHI (Sumitomo Construction Co.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "A Study on the Identification of a Tank Model by Masato NOGUCHI (Department of Civil Engineering) Takamasa KOBAYASHI (Sumitomo Construction Co."

Copied!
6
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

流出タンクモデルの同定に関する研究

野 口 正 人 * ・ 小 林 高 昌 * * 山 本 隆 洋 付 *

A  S t u d y  o n  t h e  I d e n t i f i c a t i o n  o f  a  T a n k  M o d e l  

by 

M a s a t o  NOGUCHI 

(Department of Civil Engineering) 

T a k a m a s a  KOBAYASHI 

(Sumitomo Construction Co.Ltd) 

T a k a h i r o  YAMAMOTO 

(Toa Construction Co.Ltd.) 

For a purpose of water management in  a river, we must take the  analyses of rainfall and  runoff relationships. As one type of them, is  there a tank model. This model can represent either  a linear  or  a non‑linear  relationship, but  an  arrangement  of  tanks  needs  a trial  and  error  approach. 

To overcome this demerit, we combine a tank model with a linear response model, by which  calculations can be proceeded uniquely. After that, we transform a linear taIik to  a non‑linear  one. Lastly, this method is  applied to an actual river basin. 

1.緒言 得るための第1段階としてタンクモデルを取り挙げ,

河川管理を行う場合,まず流域特性を十分に把握 適用上の問題点について考察を行った.すなわち,タ する必要がある.その上で短期・長期の流出解析モデ ンクモデルは集中定数系としては比較的流域の物理特 ルが作成され,それぞれ,治水・利水計画に用いられ 性を表現することがでぎる流出解析法であるが,最適 る.一方,最近では,河川管理の要素として環境保全 タンクモデル系列を試行錯誤により求めなければなら に対する配慮を欠かすことはできない1). このような ない.そのため,同モデルを適用するにあたっては,

ものとして,たとえば貯水池水管理が挙げられるが2) 熟練を要するという難点がある.以下では,この問題 水質予測シミュレーション・モデルの入力データを得 に対処するため,まず線形タンクモデルを求め,それ るためにも流出解析が必要となる. を修正することにより一般のモデルを得る方法につい

以上のことから,われわれは水質ハイドログラフを て示す.

昭和564月28日受理

*土木工学科 村住友建設株***東亜建設株)

(2)

2.応答モデルと線形タンクモデル

  流出解析は,図1に示されたような流域システム の入出力関係を求めるものであり,入力x(t)としで 降雨量,出力y(t)として流出量が取られる.この とき,入出力の変換システムを表現したモデルが流出 解析法と呼ばれるものである.ここでは,前述された ことから,線形タンク系列を探知するため応答モデル を用いることとし,これについて簡単に説明する.

Rainfall

x(t)

Watershed

@ system

Runoff

y(t)

        Fig.1Ablock diagram  まず,流域変換システムを線形応答形で表わせば,

流出量と降雨量との間には次式が成立する.

・(t)一∫㌦・(・)h(t一・)d・一五..・(t一・)h(・)d・(1)

したがって,流域特性を表わす単位インパルス応答 双∂が既知ならば,流出量は降雨量を使って計算する ことができる.換言すれば,対象流域で流出解析を行 うためには,予じめ単位インパルス応答を求めて置か なければならない.そのため,(1)式のフーリエ変換を 取れば次式を得る.

     Y(f)

 H(f)=

       (2)

     X(f)

ここに,fは周波数, X(f), Y(f), H:(f)はそれぞ れx(t),y(の, h(t)のフーリエ変換で・あり, H:(f)

はシステム関数と呼ばれる.或いは,線形システムの 理論によめ,システム関数は次のようにも書ける3).

     Sxy(f)

       (3)

 H(f)=

     Sxx(f)

ここに,Sxx(f):降雨量のスペクトル, Sxy(f):

降雨量と流出量のクロススペクトルである.したがっ て,線形応答モデルを同定するためには,(2)式もしく は(3)式を用いてシステム関数を求め,逆フーリエ変換 を行ってインパルス応答を求めればよい.

 一方,タンクモデル4)は,流出孔と浸透孔とをもっ たタンクを組合わせて流域変換システムを表わすもの であり,図2に直列多段モデルが示されている.

(a)図は指数関数型モデル,(b)図は貯留型モデルと呼ば れる.ここで,指数関数型モデルにおける入出力関係 が線形微分方程式で表わされることを考慮すれば,こ のモデルは前述の線形応答モデルをタンク系列で表現 しなおしたものであることがわかる.以下に,π=4 とした指数関数型モデルのインパルス応答を示す.

  h1(t)ニ=リ1e一λ・ε       (4)

      μ1ソ2

         (e一λ2t−e}λ・り          (5)

  h、(t)=

      λ夏一λ2

h、(t)= μ1μ2レ3

h、(t)=

(λ1一λ2)(λ1一λ3)(λ2一λ3)

『(λ1一λ3)e一λ2t十(λ2一λ3)e一λ1t}

μ1μ2μ3り4

{(λ1一λ2)e一λ3t

(6)

μ1 L掘

L⊥.

Lギ

・L壽

]。.

  (λ1一λ2)(λ1一λ3>(λ1一λ4)(λ2一λ3)(λ2一λ4)(λ3一λ4)

  {(λ1一λ2>〈λ1一λ3)(λ2一λ3)e一λ4も一(λ1一λ2)(λ1一λ4)

   (λ2」λ4>e一λ3t十(λ1一λ3)(λ1一λ4)(λ3一λ4)e一λ2t    一(λ2一λ3)(λ2一λ4)(λ3一λ4)e一λ t}       (7)

ただし,μ:浸透孔乗数,、ソ:流出孔乗数,λ=μ+

レであり,添字はタンクの離数を指している・レたがっ て,(4)〜(7)式を加え合わせれば,直列4段タンクモデ ルの応答関数乃ωは次式で表わされる.

h(t)=Ale一λlt十A£一λ2t十A3e λ3t十A4e一λ4t

ここに

A・一・・よ T+( μ1μ2レ3λ1一λ2)(λ1一λ3)

        μ匙μ2μ3レ4

(λ1一λ2)(λ1一λ3)(λ1一λ4)

μ1μ2ソ3

(8)

  μ1レ2

A2=  λ1一λ2 (λ、一λ2)(λ2一λ3)

      μ1μ2μ3ソ4   十   (λ1一λ2)(λ2一λ3)(λ2一λ4)・

    μ1μ2ン3

A3=  (λ1一λ3)(λ2一λ3)

(9)

(1①

    (a)      (b)

Fig.2Tank Models(expollential    type and storage type)

   μ1μ艇3レ4

       (11)

(λ1一λ3)(λ2一λ3)(λ3一  λ∂

     μ1μ2μ3レ4 A4=  (λ1一λ4)(λ2一λ4)(λ3・→L4)

もちろん,乃(∂は応答関数の性格より

(1助

(3)

五..h(t)dt−1

(13)

を満足している.

 以上に述べられたことから,応答モデルと線形タン クモデルとでは,単位インパルス応答を媒介として相 互に関連づけられることがわかる.

3,タンクモデルの同定法

  対象流域に対して直列多段タンクモデルの同定を 行うたぬまず指数関数型モデルを求める.ここでは,

とくに各段タンクの流出特性を調べる目的で,図3に 示されたタンクモデルのインパルス応答を計算する.

!⊥L紘L↓

    1⊥L紘

        口・。

Fig.3Direct type tank models

すなわち,(8)〜02)式で最下段タンク以外の流出孔乗数 を零と置けば次式を得る.

     一レ遥

h恋(孟)ニレ1e (14)

蹴)一。讐,{e一窺Le一角オ}   (1励

        μ1μ2ソ3曽  hま(t)=

      {(μ1一μ2)e一 3言      (μ1一μ2)(μ1一レ3)(μ2−1/3)

 一(μ1一レ3)e一μ2t十(μ2一レ3)e一μlt}      〔16)

 一般に,流域からの流出は,表面流出・中間流出・

低水流出の各成分に分けられるが,第1近似では,そ れぞれ第1段,第2段,第3段のタンクが分担してい るものと考えられる.したがって,指数関数型の直列 タンクモデルを作成するにあたっては,(14)〜(16)式 を使って各タンクの乗数を決定すればよい.この際,

応答周期の長い低水流出成分はほとんど最下段タンク から流出するので,乗数の決定は,下のタンクから順 次上のタンクへと行わなければならない.また,普通 に用いられるタンクモデルでは,タンクの流出孔乗数 および浸透孔乗数のオーダーは

 O(レ1)〜O(μ1)>0(レ,)〜O(μ、)>O(レ、)〜

0(μ3)〉………

で与えられる.このため,降雨後の時間が十分経過し たところでは, 」段タンクからの流出量ぽげ(

α・,6一㌘のように減衰する.

 以上のことから,指数関数型モデルは,つぎの手順 で求められる.

 (i)線形応答解析を行って,単位インパルス応答双∂

   を計算する.

 ㈲ 直列タンクの段数を決める.

 ㈹(Dで得られた結果を片対数紙上にプロットす

   る.

 (lv)順次,最下段タンクから乗数を決定する.

ここで,3段タンクを例に挙げ,(iiD,(lv)の操作につい て説明しよう.この場合,時間が十分経過したところ

碍t)一・、・一捻       (17)

が成り立ち,乃(のを片対数紙上にプロットさせた 勾配を使って,レ3を決めることができる.一方,(17)

       ホ式を使って計算される乃3(のを乃( )から差し引い たものを再度片対数紙上にプロットさせ,上と同様な 操作でソを決める.ソについても同様である.この

    2      1

ようにして流出孔乗数が求まれば,(4)〜(7)式の係数は 切片の数値を使って表わされ,その方程式を解くこと により,残された浸透孔乗数を決めることができる.

 以上のようにして,線形の指数関数型モデルが求め られれば,つぎの課題として,貯留型モデルに変i換せ ねばならない.これについては,ここでも決定的方法 を提示することができず,やはり試行錯誤が必要であ る.しかし,以下に述べるようにして,変換のための 型紙を作成しておけば,試行回数を短縮することがで

きる.

 通常,流域からの流出現象で非線形性渉強く現われ るのは表面流出成分であり,タンクモデルでは上段の タンクがこれに相当する.したがって,ここでは最上 段のタンクだけに着目し,指数関数型モデル,ならび に,流出孔の数が1個と2個の貯留型モデルを取り挙 げる.このとき,それぞれの流出量y(t);浸透量Z(t)

は以下の諸式で表わされ,図4,5のようになる.

 指数関数型モデル  y(t)/D=レe一λt  {

 z(t)/D=μe『λt

貯留型モデル(流出孔:1個)

イ)

ロ)

0≦:tくtc

y(t)/D=ソe一λt一μレ/λ・(d/D)

 z(t)/D=μe一λt十μレ/λ・(d/D)

t>tc

z(

b(鷹:鞠

(1殴

(19

②①

(4)

   貯留型モデル(流出孔:2個)

 イ)  0≦;t≦;tc,1

 y1(t)/D=レ1e一λ曇t十レ1/λ*・{一(μ十ソ2)d1/D十レ2d2/D}(23)

舗:論潔儲お;)翻・瀦

 ロ)     tc,j≦≧t≦二tc,2

y、(t)/D=ソ1{(λd2一り1d1)/λD}e一λ(トtc・ )一μレ、/λ〈d1/D)(26)

z(t)/D=μ{(λd2一レ1d1)/λD}e一λ(t−tc・1)一μ祐/λ(d1/D) (2の

     Lノ、)     t≧tc,2

     z(t)/D=(μユ1/D)・e}μ(t−tc 2)         (28》

ただし

tq一一ェ{μ去三三}

t㏄一tサ』(λ轟、)

4.適用例

  本論で示された方法を,実際の流域に対して適用 する.そのため,降雨資料,流量資料のある宮崎川(長 崎県)を取り挙げ,基準地点を河口より1.4㎞のところ,

流域面積2.02歴を対象にして流出解析を行った.なお,

計算に用いられた資料は,長崎県土木部により観測さ れたものである5).

 まず最初に,日雨量と日流量の両資料を使って線形 応答解析を行った.その方法としては種々のものが提 案されているが6),ここではFFT7)を用いて,降雨量 のスペクトルならびに降雨量と流出量のクロススペク

トルを計算し,.(3)式によりシステム関数を求めた.こ の値をもととして再びFFTを行えば,単位インパル       3 3

    h(仁)x10(m!slm皿)

λ*=μ十レ1十レ2,λ=μ十レ1

以上のことから,多数のケースについて流出量と浸透 量との比率を計算しておけば,前述された単位インパ ルス応答との関連においても,貯留型モデルを容易に 求めることができる.

   y!D,z1D

0.30

0.20

0.10

0

髄・

}[詮

  ↓z

− Dld=2.O

一、一.一 Dldr5.o

_____ D!d富09

謡こ._.

  0  .1。   29・…(・・り 耳ig.4Astora:ge type tank with   a runoff−ho.le

 y1D,z!D

3.0

2.0

・1.0

0

0.30

無ヨ……ll:陣

\趣、

\撃ミ _

∠1

0.20

0.工0

一  FFT

ロー一一一@ 図atrix inveτ6e

−  5moothin呂

0・

50  t(days)

  0       10       20  Time(day.)

Fig.5Astorage type tank with    two runoff−holes

 Fig.6Unit㎞pulse responses(or IUH)

ス応答乃(のが求められる,計算結果は図6に示さ れている.なお,図中には,相関関数を求め連立方程 式を解いた他の方法による結果も示されている.両者 の結果に幾分差が見られるが,この点については更に       一l        h(t),h(し)(day  )

   3

 h(t) (m /s!mm)

10−2

10−3

10−4

10,1

10−2

10−3

0     10    20   30    40    50

      =(day)

 Fig.71UH on a semi     logarithmic paper

 O

Fig.8Part of IUH          ユ    logarithmic    paper

  〜  、   、  、    、   、    、   、      一

   、    、

,       、

    、

,       、

  10    20      【(day)

(5)

検討を要する.しかし,以後の計算では平滑化された スペクトルより求められたインパルス応答を用いるた め,その影響は小さいものと考えられる.

 つぎに上で求められたインパルス応答を使って,指 数関数型タンクモデルを作成する.そのため,乃(孟)

を片対数紙上にプロットしたものが図7である.

この図からも明らかなように,乃( )の低水流出成 分を見れば,確かにほぼ直線で近似できることがわか る.これより,第2段タンクの流出孔乗数はレ2=

0.0226と決定される.なお,後述されることから,タ        ホンクの段数は2段とされた.一方,h(孟)を(17)式        2

      ゆの形で計算し,乃(の一乃( )を再び片対数紙上に       2

プロットすれば,図8のようである.

ここに,図7の乃(t)は㎡/sec/mmで表わされており,

図8では当該流域面積から求められるi換算係数(42;8)

L壽

[⊥

L瑳:ll

[⊥

Fig.9The exponential Fig.10 The storage

type tank,

Miyazaki R.

type tank,

Miyazaki R.

を乗じて,タンクモデルで普通に用いられる学位(mm

/day/mm>に直されている.図8においても, 線形タ ンクで表現し得ないと予想されるピークの部分を除い ては,直線でほぼ近似することができる.これより,

ソ=O.293が求められる.ここで,さらに上段タンク  1

 04

セQ3

塁Q2

 0.1

qo

Obse

…一 ored

八1、. 、、

Aハハ9  、,  1置 \ <<  、・一  、,へ           ソ。鴨ぜ

ノ叙  、、θ        、A      ヤ、

塵■ の一一  胃 騨 璽囎P騨一一曹

49.1

ヤ\ 、ノ

ll ll

陣猷

_斗_2_一一3一一一4一」一・一一6−4・4

Fig.11The・observed. and predicted runoff    values(responSe model)

σ5

爾04 gQ3 2

.琶

00.2

0」

0,0

   Observed 鼈黷 oredicted

亀1

  諜

@ ll

@ [i.1;  1{

だ1響1A

ll

ハ _

 み八 1  、   ㌧____一         、 胃一r .一一rr

1ヘー一 ハ     一r魎         、、        ㍉鴨」  」一

   ■ 1\

         i7 〜 、  、、  』rrr嚇

、、

@、 噂r

49.1 一十一2一一L一一 3 _ ._

k_

4 _一一ロ_一

5__L

6 __撃V

Fig.12 The observed aod predicted runff    values(セmk model)

(6)

を加えるにはピーク付近のデータが不足しており,ま た,データ処理の精度を考慮すれば,残りの値はそれ ほど大きくないと言える.したがって,前述されたよ うに,タンクの段数を2段で打ち切ることとする.こ のとき,図7の切片の値(7.27×10−3day−1)を(5)式の 係数に等しく置けば,μ=0.129と計算される,

       1

 以上のようにして求められた線形2段タンクモデル が,図9に示されている.一方,貯留型モデルへの変 換は,型紙が用意されていないため,ここでは,第1 段タンクの流出孔乗数を単に1:2の比率で2個の流 出孔に配分したモデルを取り挙げた(図10).図11,

図12には,それぞれ応答モデルと上述の貯留型モデル による計算結果が示されている.

これらの図から明らかなように,貯留型モデルの結果 は応答モデルのものに比べて,決して良いとは言えな い.この理由としては,いくつかのものが考えられる が,とくに貯留型モデルへの変換に問題がある.この ほか,ここに図を載せることを省略したが,日雨量と 日流量のコヒーレンスが殆んどの周波数に対して1に 近い値を取り,データそのものが応答モデルに適して いたためでもある.これ以外にも,タンクの段数や単 位インパルス応答の精度等,検討されるべき事項は少

なくない.しかし,いずれにしても,線形応答解析に より明らかにされた流域特性に対して,タンクモデル を決定するという所期の目的は果たされたものといえ よう.今後は,残された課題について更に検討を進め,

真に最適なタンクを探知しうる方法を確立することが 望まれる.

5.結言

  流出解析法に種々の方法があることは今更いうま でもないが,本論では冒頭に述べられた目的からタン クモデルを取り挙げ,若干の考察を行った.得られた 結果を要約すれば,以下のよう、である.

(1)線形応答モデルと指数関数型タンクモデルとで   は本質的に同じであり,単位インパルス応答を   媒介として,他の形式に変換することができる.

(2)指数関数型ならびに貯留型タンクの変i換は,型   紙の作成やその適用に少なからず問題を残して   いるが,従来,試行錯誤で経験と勘に頼ってい   たタンクモデルの計算を,機械的に行う方法が   試された.

(3)本論でも,もちろん,タンクモデルの流出計算   は汎用型のプログラム8)を作成して行ったが,

  その適用だけを言えば誰にでもでき,②の指摘   は当っていないかもしれない.しかし,その場   合にも,応答モデルとの対応を取ることにより,

  各面タンクの役割が明らかにされる利点があ   る.

(4)モデルを適用した流域は非常に小さく,また,

  それほど大きな降雨もなかったため,流出現象   め非線形性は顕著ではなかった.そのため,モ   デルの検証にとっては必ずしも適当ではなかっ    たが,この点も含めて,今後,残された課題を   検討する必要がある.

参考文献

1)岩佐義朗:最新河川工学,森北出版,昭和54年 2)野口正人:ダム貯水池における水温・濁度の予測

法,水温の研究,Vol.22, No.6,1979 3)日野幹雄:スペクトル解析,朝倉書店,昭和52年 4)菅原正巳:流出解析法,共立出版,昭和47年 5)長崎県土木部河川開発課:宮崎川タンクモデル定

数解析検討報告書,昭和50年

6)藤田睦博:線形系の解析,水工学シリーズ,土木 学会水理委員会,1975

7)前出3)

8)建設者河川局監修,日本河川協会編:建設省河川  砂防技術基準(案)調査編,山海堂,昭和51年

参照

関連したドキュメント

日頃から製造室内で行っていることを一般衛生管理計画 ①~⑩と重点 管理計画

※ 硬化時 間につ いては 使用材 料によ って異 なるの で使用 材料の 特性を 十分熟 知する こと

「A 生活を支えるための感染対策」とその下の「チェックテスト」が一つのセットになってい ます。まず、「

問題集については P28 をご参照ください。 (P28 以外は発行されておりませんので、ご了承く ださい。)

弊社または関係会社は本製品および関連情報につき、明示または黙示を問わず、いかなる権利を許諾するものでもなく、またそれらの市場適応性

統制の意図がない 確信と十分に練られた計画によっ (逆に十分に統制の取れた犯 て性犯罪に至る 行をする)... 低リスク

父親が入会されることも多くなっています。月に 1 回の頻度で、交流会を SEED テラスに

第一の場合については︑同院はいわゆる留保付き合憲の手法を使い︑適用領域を限定した︒それに従うと︑将来に