公式集 数学Ⅱ・Ｂ
＜式と証明＞ （１）整式の割り算 縦書きの割り算が出来ること)
(x
f
をg
(x
)
で割って、商がQ
(x
)
で余りがR
(x
)
のときは、)
(
)
(
///////
)
(
)
(
x
Q
x
R
x
f
x
g
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
Q
x
R
x
f
=
+
と書ける。 （２）分数式 ① 分母，分子をそれぞれ因数分解し、約分する。→既約分数式 ② 加法，減法については、分母を通分し分子の計算をする。 ③ 繁分数式→分母・分子に同じ多項式をかけて、普通の分数式 になおす。 （３）恒等式 ① 数値代入法 ② 係数比較法 （４）等式の証明 ①左辺＝・・・変形・・・＝右辺 ② 左辺＝・・変形・・＝d
右辺＝・・変形・・＝d
\
左辺＝右辺 ③ 左辺―右辺＝０を示せば良い 条件付での等式の証明では、文字を消去することを考える。特に 連比の形で条件が与えられえた場合は、比の値をk
とおくとよい。c
b
a
z
y
x
:
:
=
:
:
な ら ば 、k
c
z
b
y
a
x
=
=
=
と お き 、ck
z
bk
y
ak
x
=
,
=
,
=
を与式に代入して処理する。 （５）不等式の証明 ① 左辺＞右辺を示すには、左辺―右辺＞０を示せば良い つまり、 左辺―右辺＝・・変形・・＝d
＞０の形 変形には、与えられた条件に注意して因数分解や平方完成を利用 して示す場合が多い。 や 記号が入った場合は、両辺が正 であることを確認し、(
左辺）
２-
（右辺）
２＞０
を示す。 （注）≧のように等号付きのときは、等号が成立するときをいう。 ②左辺＞右辺を示すのに、左辺＞δかつδ＞右辺から示す。 さらに、[相加・相乗平均の関係]0
,
0
>
> b
a
のときab
b
a
+
³
2
（等号はa
=
b
のとき成立） が成立することを利用する方法がある。 さらに、余裕があれば、以下の方法も知っていると良い 絶対不等式を利用する場合がある。有名な絶対不等式には、 シュワルツの不等式 2 2 2 2 2 )( ) ( ) (a +b x +y ³ ax+by がある。 ＜複素数＞ （１）複素数の四則計算1
2=
-i
を 用 い る。 特 に 、割 り算 は 、 分母 に 共 役な 複素 数 （a
+
bi
Û
a
-
bi
）を分母と分子に掛けることを用いて計算す る。それ以外は、文字の計算と同じである。 （２）２次方程式の解 解の公式を用いる。a
ac
b
b
x
2
4
2-±
-=
また、b
が偶数のとき（b
= 2
b
¢
）は、a
ac
b
b
x
=
-
¢
±
¢
2 -（３）判別式：判別式D
=
b
2-
4
ac
（D
=
b
¢
2-
ac
4
） 判別式D
>
0
,
D
=
0
,
D
<
0
で解を分類できる 注）図形で交点の数を調べることができる （４）解と係数の関係b
a
,
が、方程式ax
2+
bx
+
c
=
0
の解ならばï
î
ï
í
ì
=
-=
+
a
c
a
b
ab
b
a
これを用いて、解の和と積が分かれば2 次方程式を作ることがで きる。３次方程式の解と係数の関係も作れると良い。g
b
a
,
,
が、方程式ax
3+
bx
2+
cx
+
d
=
0
の解ならばï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
-=
=
+
+
-=
+
+
a
d
a
c
a
b
abg
ga
bg
ab
g
b
a
※ 数学Ⅰの式の変形より ①a +
2b
2＝(
a
+
b
)
2-
2
ab
②(
a -
b
)
2 ＝(
a
+
b
)
2-
4
ab
③a +
3b
3＝(
a
+
b
)
3-
3
ab
(
a
+
b
)
（５）剰余の定理)
(x
f
をg
(x
)
で割って、商がQ
(x
)
で余りがR
(x
)
のときは、)
(
)
(
///////
)
(
)
(
x
Q
x
R
x
f
x
g
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
Q
x
R
x
f
=
+
と書けるが、とくにg )
(
x
= x
-
a
のとき、R
x
Q
x
x
f
R
f
(
a
)
=
Û
(
)
=
(
-
a
)
(
)
+
、割った余りがf
(
a
)
b
ax
x
g
(
)
=
+
のとき、R
x
Q
b
ax
x
f
R
a
b
f
÷
=
Û
=
+
+
ø
ö
ç
è
æ-
(
)
(
)
(
)
、割った余りが÷
ø
ö
ç
è
æ-a
b
f
（６）因数定理)
(
)
(
)
(
0
)
(
f
x
x
Q
x
f
a
=
Û
=
-
a
つまり、f
(x
)
は、x
-
a
という因数をもつ 高次方程式は上記因数定理の利用で解く場合が多い。＜図形と方程式＞ ① ２点間の距離 ) , ( , ) , (x1 y1 B x2 y2 A のとき 2 2 1 2 2 1
)
(
)
(
x
-
x
+
y
-
y
② m：nに分ける点 ) , ( , ) , (x1 y1 B x2 y2 A のとき、線分AB
をm：nに分ける点は、÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
+
n
m
my
ny
n
m
mx
nx
1 2 1 2,
注）mn
<
0
のとき外分点 ③ 三角形の重心 ３点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)を頂点とする△ABC の重心G の座標は、 ÷ ø ö ç è æ + + + + 3 , 3 3 2 1 3 2 1 x x y y y x ④ 点に関して対称な点 点A( ba, )に関して２点P(x1,y1),Q(x2,y2)が対称なとき、 2 2 1 x x a= + ， 2 2 1 y y b= + が成り立つ。 ⑤ 直線の方程式 傾きm
で、点(
x
1,
y
1)
を通る：y
-
y
1=
m
(
x
-
x
1)
２点(
x
1,
y
1)
(
x
2,
y
2)
を通る： ( 1) 1 2 1 2 1 x x x x y y y y -= -注）分母、または、分子が０のときは座標軸と平行な直線x
=
x
1，y
=
y
1となる。 ⑥ ２直線の位置関係 ２直線の傾きが、m
1, m
2のとき 平行：m
1=
m
2 （一致の場合も平行に含める） 垂直： 1 21
m
m
=
-
（または、m
1× m
2=
-
1
） さらに、余裕があれば以下の公式も知っていると良い 一般形の場合は、a
1x
+
b
1y
+
c
1=
0
a
2x
+
b
2y
+
c
2=
0
平行：a
1b
2- b
a
2 1=
0
垂直：a
1a
2+ b
b
1 2=
0
⑦ 直線に関して対称な点 ２点A,Bが直線に関して対称なとき、つぎの２つの事柄が成り 立つ。 [１] 直線AB
はに垂直である。 [２] 直線AB
の中点は上にある。 ⑧ 点と直線の距離 点(
x
1,
y
1)
と直線ax
+
by
+
c
=
0
の距離d
は、 2 2 1 1b
a
c
by
ax
d
+
+
+
=
⑨ 円の方程式 一般形：x
2+
y
2+
lx
+
my
+
n
=
0
平方完成により、 標準形：(
x
-
a
)
2+
(
y
-
b
)
2=
r
2 となり、中心( b
a
,
)
で半径r
の円を得る ⑩ 円と直線の関係 接点が点(
x
1,
y
1)
で原点を中心とする円のとき 接線：x
1x
+
y
1y
=
r
2 接点が点(
x
1,
y
1)
で中心( b
a
,
)
の円のとき 接線：(
x
1-
a
)(
x
-
a
)
+
(
y
1-
b
)(
y
-
b
)
=
r
2 交点の数に関しては、判別式の利用か、中心と直線までの距離 を利用して調べることが出来る。 ⑪ 不等式と領域 直線の上部：y
>
ax
+
b
直線の下部：y
<
ax
+
b
曲線の上部：y
>
f
(x
)
曲線の下部：y
<
f
(x
)
円の内部：(
x
-
a
)
2+
(
y
-
b
)
2<
r
2 円の外部：(
x
-
a
)
2+
(
y
-
b
)
2>
r
2 注）領域内かどうかは、点の座標を代入して成立するかどうか で調べることが出来る。また、境界を含むかどうかは必ずチェ ックすること。 ＜三角関数＞ ① 一般角 n ´ + =a
360q
（n
は、整数） ② 弧度法 180°＝π（ラジアン） 一般角p
a
q
= +2n （n
は、整数） ③ 扇形の弧の長さと面積 半径がr
、中心角がq
（ラジアン）の扇形の弧の長さを
、面 積をＳとすると ＝rq
， Ｓ＝ 2q
2 1 r ＝ r 2 1 ④ 相互関係 1 cos sin2q
+ 2q
=q
q
q
cos sin tan =q
q
2 2 cos 1 1 tan + = ⑤ 三角関数の性質 －１≦sinq
≦１，－１≦cosq
≦１q
q
) sinsin(- =- cos(-
q
)=cosq
tan(-q
)=-tanq
2
p
q
±
やq
±
p
は、図から求めるか、加法定理利用。 ⑥ グラフは、１周期分を覚えていること 振幅や周期の変化、平行移動について確実にしておくこと 例えば、y
=
a
sin
b
(
x
-
a
)
+
c
⑦ 加法定理b
a
b
a
b
a
) sin cos cos sinsin( ± = ±
b
a
b
a
b
a
) cos cos sin sincos( ± =
b
a
b
a
b
a
tan tan 1 tan tan ) tan( ± = ± ⑧ ２倍角・半角・３倍角の公式a
a
a
2sin cos 2 sin =a
a
a
cos2 sin2 2cos = - ＝1-2sin2
a
＝2cos2a
-1a
a
a
2 tan 1 tan 2 2 tan -= 2 cos 1 2 sin2q
= -q
2 cos 1 2 cos2q
= +q
q
q
q
cos 1 cos 1 2 tan2 + -=a
a
a
3sin 4sin3 3 sin =-a
a
a
4cos 3cos 3 cos = 3 -⑨ 積和の公式 )} sin( ) {sin( 2 1 cos sina
b
=a
+b
+a
-b
)} sin( ) {sin( 2 1 sin cosa
b
=a
+b
-a
-b
)} cos( ) {cos( 2 1 cos cosa
b
=a
+b
+a
-b
)} cos( ) {cos( 2 1 sin sina
b
=-a
+b
-a
-b
⑩ 和積の公式2
cos
2
sin
2
sin
sin
A
+
B
=
A
+
B
A
-
B
2
sin
2
cos
2
sin
sin
A
-
B
=
A
+
B
A
-
B
2
cos
2
cos
2
cos
cos
A
+
B
=
A
+
B
A
-
B
2
sin
2
sin
2
cos
cos
A
-
B
=
-
A
+
B
A
-
B
⑪ 三角関数の合成 ) sin( cos sinq
+bq
=rq
+a
a ただし、r
=
a
2+
b
2 2 2 sin b a b + =a
2 2 cos b a a + =a
注）図を用いて求める方法が便利である。 ＜指数関数＞ ① 累乗根の計算法則a
a
n n)
=
(
n n na
b
a
b =
n m m na
)
=
a
(
， m na
=
mna
， npa
mp=
na
m ② 指数の拡張1
0=
a
， n n m ma
a
=
， r ra
a
-=
1
指数法則は、r ,
s
が実数の範囲で成立する。 s r s ra
a
a
×
=
+(
a
r)
s=
a
rs(
ab
)
r=
a
rb
r ③ 指数関数のグラフ1
>
a
のときは単調に増加1
0
< a
<
のときは単調に減少 ともに、y
切片は１、点( a1, )を通る ④ 大小関係1
>
a
のときは、a
x>
a
yÛ
x
>
y
0
< a
<
1
のときは、a
x>
a
yÛ
x
<
y
＜対数関数＞ ① 対数の計算法則1
log
aa
=
，log
a1
=
0
，（log
1
=
-
1
a
a ）AB
B
A
a a alog
log
log
+
=
B
A
B
A
a a alog
log
log
-
=
A
n
A
n a alog
log
=
a
b
b
c c alog
log
log
=
（底変換の公式） 余裕があれば以下の式は覚えると便利である。b
n ab
anlog
log
=
， alogab =b ② 対数関数のグラフ1
>
a
のときは単調に増加1
0
< a
<
のときは単調に減少 ともに、x
切片は１、点(a
,
1
)
を通る 指数関数とは、直線y
=
x
に関して対称である ③ 大小関係1
>
a
のときは、log
ax
> log
ay
Û
x
>
y
0
< a
<
1
のときは、log
ax
> log
ay
Û
x
<
y
また、真数条件x
>
0
,
y
>
0
に注意せよ。 ④ 常用対数（底が１０の対数）
log
10x
の値で、x
の桁数や小数点以下第何位に初めて０でな い数が現れるかを調べることが出来る。 n-1£log10 x<nÛxがn
桁の数 -n£log10 x<-(n-1)Û xは、小数点以下第n
位に初めて０で ない数が現れる ＜微分法＞ ① 平均変化率a
b
a
f
b
f
--
(
)
)
(
② 微分係数h
a
f
h
a
f
a
f
h)
(
)
(
lim
)
(
0-+
=
¢
® ③ 関数の極限)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x®a で、lim
x®ag
(
x
)
=
0
Þ
lim
x®af
(
x
)
=
0
④ 接線 曲線y
=
f
(x
)
上のx
=
a
における接線の方程式は、)
)(
(
)
(
a
f
a
x
a
f
y
-
=
¢
-⑤ 導関数 定義：h
x
f
h
x
f
x
f
h)
(
)
(
lim
)
(
0-+
=
¢
®0
=
¢
Þ
=
c
y
y
y
=
x
nÞ
y
¢
=
nx
n-1 ⑥ 関数のグラフ0
)
(
=
¢ x
f
を満たすx
を定義域内で調べ、増減表を作る 極大・極小・y
切片となる点に注意して描くが、場合によっては0
)
(
x
=
f
の解を求めてx
切片も得る。 ⑦ 最大・最小 定義域に注意して、増減表から判断する。 ⑧ 方程式・不等式への応用 グラフと直線との交点または上下関係を調べればよい。 ・î
í
ì
=
=
Þ
=
a
y
x
f
y
a
x
f
(
)
(
)
交点等を調べる ・f
(
x
)
>
g
(
x
)
Þ
F
(
x
)
=
f
(
x
)
-
g
(
x
)
のグラフで調べる （増減表のみで対応することもできる） ＜積分法＞ ① 不定積分ò
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
+
C
（C
：積分定数）C
n
x
dx
x
n n+
+
=
+ò
11
② 定積分 bf(x)dx[
F(x)]
ba F(b) F(a) a = =-ò
性質：(1)ò
a=
af
(
x
)
dx
0
(2)ò
=
-
ò
a b b af
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
(3)ò
b+
ò
=
ò
a c b c af
x
dx
dx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
(4)ò
b +ò
=ò
+ a b a b a f x g x dx dx x g dx x f( ) ( ) { ( ) ( )} (5)ò
ò
-ïî
ï
í
ì
=
a a ax
f
x
f
dx
x
f
dx
x
f
奇関数）
（
偶関数）
（
:
)
(
0
:
)
(
)
(
2
)
(
0 (6) ³ Þò
³ò
b a b a f x dx g x dx x g x f( ) ( ) ( ) ( ) ③ 微分と定積分ò
x=
af
t
dt
f
x
dx
d
)
(
)
(
④ ２曲線に囲まれた部分の面積ò
-=
b af
x
g
x
dx
S
{
(
)
(
)}
特に、a
,b
が、方程式ax
2+
bx
+
c
=
0
の解ならば 3 2 ( ) 6 ) (b
a
b a + + =--ò
ax bx c dx a ＜ベクトル＞ ① ベクトルの演算 和・差・実数倍については、文字の計算と同様 ② ベクトルの成分表示 平面ベクトル：a
=
x
1e
1+
y
1e
2=
(
x
1,
y
1)
空間ベクトル：a
=
x
1e
1+
y
1e
2+
z
1e
3=
(
x
1,
y
1,
z
1)
成分での計算ができるようにすること ③ ベクトルの内積：a
×
b
=
a
b
cos
q
平面ベクトル：)
,
(
x
1y
1a
=
b
=
(
x
2,
y
2)
のとき、a
×
b
=
x
1x
2+
y
1y
2 空間ベクトル：)
,
,
(
x
1y
1z
1a
=
b
=
(
x
2,
y
2,
z
2)
のとき 2 1 2 1 2 1x
y
y
z
z
x
b
a
×
=
+
+
④ ベクトルの大きさ 平面上：a
=
x
12+
y
12 空間上：a
=
x
12+
y
12+
z
12a
a
a
2=
×
は、良く用いられる。 ⑤ ｍ：ｎに分ける点：n
m
b
m
a
n
p
+
+
=
⑥ 図形への応用（空間ベクトルも同様である） 図形問題を解く上では、各点の位置ベクトル・・・
,
)
(
,
)
(
a
B
b
A
（OA
=
a
,
OB
=
b
・・・
,
）を用いるが、始点 を あ る 点 に し た 方 が 良 い と 判 断 し た 場 合 は 、 例 え ば 、・・・
b
AC
a
AB
= ,
=
等とおいて解答することも良くある。 次のものは常識である。 ・中点：2
b
a
+
・三角形の重心：3
c
b
a
g
+
+
=
・平行条件：a
=
t
b
（t
:
実数）・垂直条件：
