Fermionic T-duality and Morita Equivalence

Fermionic T-duality and Morita Equivalence

Hiroaki Nakajima

(KIAS & Kyungpook National Univ.) in collaboration with

Ee Chang-young (Sejong U.) and Hyeonjoon Shin (Postech) based on arXiv:1101.0473 [hep-th]

Feb 5, 2011 @ Chuo U.

contents

1. Introduction

2. Bosonic and Fermionic T-duality in Constant Background 3. Relation with Morita Equivalence

4. Summary

1

1. Introduction

弦理論 (string theory) とは ?

• ^{点粒子の代わりに弦} ( ひも ) を考える理論

• ^{閉じた弦と開いた弦の} 2 種類がある。 ( 今回は閉じた弦 )

• ^弦は 1 次元的に広がっているので、点粒子ではなかったような ことが起こる。今回考える T-duality もその 1 つである。

2

空間のある方向が半径 R の円にコンパクト化されたとすると

• 弦は円周方向に巻きつくことができる。

• 弦は勝手にはほどけないので、何回巻きついたかで弦の状態を 区別できる ( 巻きつき数 : m) 。

• 弦の向きを考えることで巻きつき数は負の値も取り得る。

• もちろん点粒子と同様に円周方向の運動量 p は量子化される。

p = n/R.

3

弦のエネルギー E を計算すると ( やり方は後述 ) 、

E ² = ( 円周方向の運動量 ) ² + ( 巻きつきからの寄与 ) ² + ( 残り )

=

( n R

) 2

+

( mR α ^′

) 2

+ ( 残り )

ここで α ^′ は弦の張力の逆数。上の式から

n ←→ m, R ←→ α ^′ R

としてもエネルギーは不変。また分配関数などの他の物理量も不 変。これを T-duality(T 双対性 ) という。

4

エネルギーを計算するにはまず弦の運動を表す作用を導入する。

弦の作用 → ^{弦の掃く面} ( 世界面 ) を時空間に埋め込む関数 X ^µ (τ, σ) を場とする 2 次元シグマ模型

S = 1 4πα ^′

∫

dτ dσ η _µν ∂ _a X ^µ ∂ ^a X ^ν , a = (τ, σ ), µ = 0, 1, . . . , D − 1.

弦のエネルギー → ^時間座標 X ⁰ (τ, σ) の並進不変性に対応する ネーターチャージ ( 保存量 )

E = 1 2πα ^′

∫

dσ ∂X ⁰ (τ, σ)

∂τ .

但し、 on-shell 条件を考慮しなければならない。

5

運動方程式 (∂ _τ ² − ∂ _σ ² )X ^µ = 0 を解く。閉じた弦の境界条件は巻き つきがある方向 ( 単に X (τ, σ) と書く ) は

X (τ, σ + 2π) = X (τ, σ ) + 2πRm となる。運動方程式はフーリエ展開で解けて、

X (τ, σ ) = x + α ^′

( n

R τ + mR α ^′ σ

)

+ ( 振動モード )

となる。 T-duality は

∂ _τ X ↔ ∂ _σ X または ∂ _a X ↔ ϵ _ab ∂ ^b X

という変換に対応する。 4 次元の電磁双対性の 2 次元版とみなせ る。

6

補足 : 4 次元電磁双対性 電磁場のラグランジアン

L = − 1

4 F _µν F ^µν = 1

2 (E ² − B ² ).

運動方程式と Bianchi 恒等式は

∂ ^µ F _µν = 0,

∂ ^µ F ˜ _µν = 0 ここで F ˜ _µν = 1

2 ϵ _µνρσ F ^ρσ .

となり、 F _µν ↔ F ˜ _µν の入れ替えで不変である。これを電磁双対性 という。電場 E と磁場 B に分けると

E → B , B → − E

7

としていることに対応する。電場と磁場がひっくりかえるので、対 応して電荷と磁荷もひっくりかえる。このとき磁荷は電荷の逆数 に比例する。また双対変換においてハミルトニアン ( エネルギー )

H = 1

2 (E ² + B ² ) は不変。

8

T-duality 変換は補助的な 2 次元ゲージ場 A _a を導入して、次のよう に表すこともできる (Buscher’s procedure) 。

S = 1 4πα ^′

∫

dτ dσ ∂ _a X∂ ^a X + ( 残りの方向 ) x 

 ^X

^{を消去 → A}

^{= ∂}

^{X と書ける} S = 1

4πα ^′

∫

dτ dσ [

A _a A ^a + X ^′ ϵ ^ab (∂ _a A _b − ∂ _b A _a ) ]

+ ( 残りの方向 )

 

y ^A

^{を消去 → A}

^{= ϵ}

^∂

^X

S = 1

4πα ^′

∫

dτ dσ ∂ _a X ^′ ∂ ^a X ^′ + ( 残りの方向 )

→ ∂ _a X = ϵ _ab ∂ ^b X ^′ となるので 3 ページ前の形と同じになる。

9

Buscher’s procedure の利点

• 作用そのものを変換するので、運動方程式を解いたり、またス ペクトラムを求める必要はない。

• もっと一般の背景場を導入しても使える。例えば S = 1

2

∫

dτ dσ E _µν ∂X ^µ ∂X ˜ ^ν , E _µν = 1

2πα ^′ g _µν + B _µν

X 方向に T-dual をとったとするとそれ以外の方向をまとめて Y と

表して、背景場 E _µν の変換は

E _XX ^′ = (E _XX ) ^{− 1} , E _XY ^′ = − (E _XX ) ^{− 1} E _XY ,

E _{Y X} ^′ = E _{Y X} (E _XX ) ^{− 1} , E _{Y Y} ^′ = E _{Y Y} − E _{Y X} (E _XX ) ^{− 1} E _XY .

10

超弦理論と fermionic T-duality

• ^{今までの弦理論は} boson しか出てこない → fermion がない。

• fermion を導入する最も簡単な方法は boson と fermion の間に対 称性 ( 超対称性 ) があるように弦の作用を構成すること。これを 超弦理論 (superstring) という。

• 超弦理論の作用はいろいろな構成方法 ( 一長一短 ) がある。今回 は時空の超対称性が ( 部分的に ) 明白な定式化を使う。このとき X ^µ (τ, σ ) の他に fermionic な座標 θ ^α (τ, σ) が現れる。

• fermionic T-duality とは θ ^α (τ, σ ) に対して Buscher’s procedure を 適用して得られる duality のことである。

11

2. Bosonic and Fermionic T-duality in Constant Background

ハイブリッド形式 S ₀ = S _X,θ + S _ρ + S _CY

. [Berkovits]

S _X,θ = 1 2πα ^′

∫

d ² z [ 1

2 ∂X ^µ ∂X ˜ _µ + p _α ∂θ ˜ ^α + ¯ p _{α ˙} ∂ ˜ θ ¯ ^{α ˙} + ˜ p _α ∂ θ ˜ ^α + ˜ p ¯ _{α ˙} ∂ θ ˜ ¯ ^{α ˙} ]

, S _ρ = 1

2πα ^′

∫

d ² z [ 1

2 ∂ρ ∂ρ ˜ + 1

2 ∂ ρ ˜ ∂ ˜ ρ ˜ ]

, µ = 0, . . . , 3, α, α ˙ = 1, 2.

S _CY

は Calabi-Yau 空間にコンパクト化された 6 次元部分を記述す る作用である。

12

定数の NS-NS 背景及び R-R graviphoton 背景を導入する。

S = 1 2πα ^′

∫

d ² z [ 1

2 (g _µν + 2πα ^′ B _µν )∂X ^µ ∂X ˜ ^ν

+ p _α ∂θ ˜ ^α + ¯ p _{α ˙} ∂ ˜ θ ¯ ^{α ˙} + ˜ p _α ∂ θ ˜ ^α + ˜ p ¯ _{α ˙} ∂ θ ˜ ¯ ^{α ˙} + 2πα ^′ F ^αβ q _α q ˜ _β ]

+ S _ρ + S _CY

, q _α , q ˜ _α : スーパーチャージ

q _α = − p _α − iσ _α ^µ _{α ˙} θ ¯ ^{α ˙} ∂X _µ + 1 2

θ ¯ θ∂θ ¯ _α − 3

2 ∂ (θ _α θ ¯ θ ¯ ),

˜

q _α = − p ˜ _α − iσ _α ^µ _{α ˙} θ ˜ ¯ ^{α ˙} ∂X ˜ _µ + 1 2

˜ ¯

θ θ ˜ ¯ ∂ ˜ θ ˜ _α − 3 2

∂ ˜ (˜ θ _α θ ˜ ¯ θ ˜ ¯ ).

B _µν = 0 の場合 → [Ooguri-Vafa], [Seiberg], [Berkovits-Seiberg]

などが別の観点から調べている。

13

カイラル座標

Y ^µ = X ^µ + iθ ^α σ _α ^µ _{α ˙} θ ¯ ^{α ˙} + i θ ˜ ^α σ _α ^µ _{α ˙} θ ˜ ¯ ^{α ˙} , S = 1

2πα ^′

∫

d ² z [ 1

2 (g _µν + 2πα ^′ B _µν )∂Y ^µ ∂Y ˜ ^ν

− q _α ∂θ ˜ ^α + ¯ d _{α ˙} ∂ ˜ θ ¯ ^{α ˙} − q ˜ _α ∂ θ ˜ ^α + ˜ d ¯ _{α ˙} ∂ θ ˜ ¯ ^{α ˙} + 2πα ^′ F ^αβ q _α q ˜ _β ]

. d ¯ _{α ˙} , d ˜ ¯ _{α ˙} : 超共変微分

d ¯ _{α ˙} = ¯ p _{α ˙} − iθ ^α σ _α ^µ _{α ˙} ∂X _µ − θθ∂ θ ¯ _{α ˙} + 1 2

θ ¯ _{α ˙} ∂(θθ),

˜ ¯

d _{α ˙} = ˜ p ¯ _{α ˙} − i θ ˜ ^α σ _α ^µ _{α ˙} ∂X ˜ _µ − θ ˜ θ∂ ˜ θ ˜ ¯ _{α ˙} + 1 2

˜ ¯

θ _{α ˙} ∂(˜ ˜ θ θ ˜ ).

14

コメント

• ^{作用は場について高々} 2 次 → back reaction はない

• boson 部分と fermionic 部分は完全に分かれる

→ Buscher’s procedure を各々の部分に個別に適用できる。

boson 部分

S _B = 1 2

∫

d ² z E _µν ∂Y ^µ ∂Y ˜ ^ν

= 1 2

∫

d ² z (∂ Y ˆ ^t ∂ Y ˇ ^t )

( E _a E _b E _c E _d

) ( ∂ ˜ Y ˆ

∂ ˜ Y ˇ )

,

where E _µν = 1

2πα ^′ g _µν + B _µν .

15

ここで Y ˆ 部分がトーラスにコンパクト化されているとする。

S _B = 1 2

∫

d ² z [

∂ Y ˆ ^t E _a ∂ ˜ Y ˆ + ∂ Y ˆ ^t E _b ∂ ˜ Y ˇ + ∂ Y ˇ ^t E _c ∂ ˜ Y ˆ + ∂ Y ˇ ^t E _d ∂ ˜ Y ˇ ] x 

 ^{Y ˆ}

^{を消去 → A = ∂ Y ˆ , A ˜ = ˜ ∂ Y ˆ} S _B = 1

2

∫

d ² z [

A ^t E _a A ˜ + A ^t E _b ∂ ˜ Y ˇ + ∂ Y ˇ ^t E _c A ˜

+ ∂ Y ˇ ^t E _d ∂ ˜ Y ˇ + ˆ Y ^{′ t} ( ∂A ˜ − ∂ A ˜ )]

 

y ^{A, A ˜ を積分} S _B = 1

2

∫

d ² z [

∂ Y ˆ ^{′ t} E _a ^{− 1} ∂ ˜ Y ˆ ^′ − ∂ Y ˆ ^{′ t} E _a ^{− 1} E _b ∂ ˜ Y ˇ

+ ∂ Y ˇ ^t E _c E _a ^{− 1} ∂ ˜ Y ˆ ^′ + ∂ Y ˇ ^t (E _d − E _c E _a ^{− 1} E _b ) ˜ ∂ Y ˇ ]

16

Namely,

E _µν → E _µν ^′ =

( E _a ^{− 1} − E _a ^{− 1} E _b

E _c E _a ^{− 1} E _d − E _c E _a ^{− 1} E _b )

.

fermionic part

• ^{作用は次の} isometry をもっている。 θ ^α → θ ^α + ρ ^α , θ ˜ ^α → θ ˜ ^α + ˜ ρ ^α .

• ^作用は θ の微分について 1 次であり、 2 次の項がないので表面項 を加えて 2 次の項を入れる。

1 (2πα ^′ ) ²

∫

d ² z (f ^{− 1} ) _αβ (

∂θ ^α ∂ ˜ θ ˜ ^β − ∂θ ˜ ^α ∂ θ ˜ ^β ) , ここで f ^αβ = f ^βα は定数。

17

S

= 1 2πα

∫

d

z

[ − q

∂θ ˜

+ ¯ d

∂ ˜ θ ¯

− q ˜

∂ θ ˜

+ ˜ d ¯

∂ θ ˜ ¯

+ 2πα

F

q

q ˜

] x 



S

= 1

2πα

∫

d

z

[ − q

A ˜

− q ˜

A ˆ

+ (2πα

)

(f

)

(

A

A ˆ ˜

− A ˜

A ˆ

) + χ

( ˜ ∂ A

− ∂ A ˜

) + ˆ χ

( ˜ ∂ A ˆ

− ∂ A ˆ ˜

)

+ 2πα

F

q

q ˜

+ ¯ d

∂ ˜ θ ¯

+ ˜ d ¯

∂ θ ˜ ¯

]

 

y

S

= 1

2πα

∫

d

z

[ − 2πα

f

(

∂ χ ˆ

∂χ ˜

− ∂ ˜ χ ˆ

∂χ

)

+ 2πα

q ˜

f

∂χ

+ 2πα

q

f

∂ ˜ χ ˆ

+ 2πα

(F

+ f

)q

q ˜

+ ¯ d

∂ ˜ θ ¯

+ ˜ d ¯

∂ θ ˜ ¯

]

18

dual な fermion 座標は

θ ^{′ α} = − 2πα ^′ f ^αβ χ _β , θ ˜ ^{′ α} = − 2πα ^′ f ^αβ χ ˆ _β . また R-R 背景は次のようにシフトされる。

F ^αβ → F ^{′ αβ} = F ^αβ + f ^αβ .

ここで D-brane を導入するとその上の有効理論に非可換性と非反

可換性が背景場の効果によって生成される。

[Y ^µ , Y ^ν ] = Θ ^µν , { θ ^α , θ ^β } = C ^αβ , ( 他の交換関係 ) = 0.

但し次のような α ^′ → 0 極限をとる必要がある。

g _µν ∼ (α ^′ ) ² , Θ ^µν = (B _µν ) ^{− 1} : finite, C ^αβ = (α ^′ ) ² F ^αβ : finite.

19

3. Relation with Morita Equivalence

boson だけの場合 : Θ ^µν の SO(n, n, Z ) 変換 [Schwarz]

Θ → Θ ^′ = (AΘ + B )(C Θ + D) ^{− 1} , ここで

( A B C D

)

∈ SO(n, n, Z ).

3 種類の生成子がある ( 簡単のため n = 2 とおく )

• ^座標変換 :

( R 0 0 (R ^t ) ^{− 1}

)

, R ∈ GL(2, Z )

• ^シフト :

( 1 N 0 1

)

• ^双対変換 (Buscher’s procedure):

( 0 1 1 0

)

20

非可換性とコンパクト化によって非可換トーラス (= Heisenberg group/( Z ⊕ Z )) が現れる。

U _i U _j = exp(2πiΘ _ij )U _j U _i , i, j = 1, 2.

生成子 U _i を次のように書く。

U _i = exp(ix ^j Φ _ji ),

ここで x ⁱ は規格化された交換関係を満たす。

[x ⁱ , x ^j ] = 2πiJ ^ij , J =

( 0 1

− 1 0 )

.

行列 Φ _ij は embedding map と呼ばれ、サイクルの情報を与える。

21

Θ は Φ を使って書くことができる。

Θ = Φ ^t J Φ.

森田同値 : U _i と U _i ^′ の両方が作用できる既約な bimodule がある

→ { U _i } ^と { U _i ^′ } ^{は森田同値}

→ Φ ^t J Φ ^′ = K ∈ GL(2, Z ) Theorem [Rieffel-Schwarz]

Θ と Θ ^′ が SO(n, n, Z ) 変換で結ばれるならば 2 つの非可換トーラス { U _i } ^と { U _i ^′ } ^{は森田同値。}

22

非可換スーパートーラス [Ee-Kim-H.N.]

U _i U _j = exp(2πiΘ _ij )U _j U _i , i, j = 1, 2, U _i = exp(iy ^j Φ ^B _ji + ϑ ^α Φ ^F _αi ),

ここで y ⁱ と ϑ ^α の満たす交換関係は

[y ⁱ , y ^j ] = 2πiJ ^ij , { ϑ ^α , ϑ ^β } = 2πiΩ ^αβ , Ω ^αβ = Ω ^βα .

Θ は bosonic embedding map Φ ^B と fermionic embedding map Φ ^F を使って書ける。

Θ = Θ _B + Θ _F = (Φ ^B ) ^t J Φ ^B + (Φ ^F ) ^t ΩΦ ^F .

23

Θ と Θ ^′ が SO(2, 2, V _Z ⁰ ) 変換で結ばれるならば 2 つの非可換スー パートーラス { U _i } ^と { U _i ^′ } は森田同値となる。ここで V _Z ^{0 は} Grassmann even な数でその 0 次の部分が整数となっているものである。

SO(2, 2, V _Z ⁰ ) と bosonic/fermionic T-duality

• ^座標変換 : OK.

• ^シフト : SO(2, 2, Z ) シフト生成子 + fermionic T-duality

• ^双対変換 :

Θ ^{− 1} = (Θ _B + Θ _F ) ^{− 1} = Θ ⁻ _B ¹ + Θ ⁻ _B ¹

∑ ∞ n=1

( − Θ _F Θ ⁻ _B ¹ ) ⁿ .

−→ SO(2, 2, Z ) 双対変換 + fermionic T-duality

24

4. Summary

• ^定数の NS-NS 及び R-R 背景において bosonic/fermionic T-duality を調べた。 bosonic なときの SO(2, 2, Z ) duality は SO(2, 2, V _Z ⁰ )

duality に拡張され、それは非可換スーパートーラス上の森田同

値を与える。

future work

• fermionic T-duality をもっと一般的な背景で考えてその性質を 調べる。

• non-abelian T-duality を含めた拡張 [de la Ossa-Quevedo]

25