応用解析学 レポート問題
次の問題の解答を以下の要領で提出して下さい:
◦ (a) – (c) から 1 問以上 , (d) 及び (e) は必ず選択 .
◦ 締め切りは 1 月 23 日 ( 月 ), 16 時 .
◦ 提出先は 5 号館 , 商学部事務室 もしくは 2 号館 11 階 , 西岡研究室 . 2006/01/03, 西岡 國雄, 2 号館 11 階 21138 号室,
[email protected]
問題 g(x, y) ≡ x2+ 2xy + 2y
2 とする . 関数 f (x, y) をそれぞれ次のように置 いたとき , 最適値問題
max
(x,y)f (x, y) subject to g(x, y) ≤ 1 の解を求めよ .
(a) f(x, y) ≡ x, (b) f(x, y) ≡ y, (c) f(x, y) ≡ x + y, (d) f(x, y) ≡ xy, (e) f (x, y) ≡ −(x
2+ y
2).
ヒント . ◦ (d) は計算が煩雑なので , 工夫が必要 .
◦ (e) は関数 f (x, y ) の性質を考えると , 簡単に解ける .
————————————- レポート講評
1. レポートの解答には , 全般的に正解が多かった . 間違えた者も , 一寸した不 注意が原因で , 最適化問題の解法は理解しているとの印象を持ちました．
2. 全問の解答を提出した者が複数おり , しかも全部正解でした .
3. 講義時の印象を合わせると, レポートを提出した諸君は, 計算能力に自信を 持って良いと思います .
1
初めに 1 =g(x, y) = (x+y)2+y2 と変形できるので,このグラフは次の図のような 傾い た楕円 である. このことを念頭に置くと,最適値問題の解が直感的に理解できる.
解答 (a) L(x, y, λ) =x+λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)}である. Lx= 1−2λx−2λy= 0
Ly =−2λx−4λy= 0
Lλ= 1−(x2+ 2xy+ 2y2)≥0, λ≥0 λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)}= 0
Case 1: λ= 0 は 第一式が成立しないから不適.
Case 2: λ6= 0. 第二式からx=−2y. これを 第四式に代入して, 1 = 4y2−4y2+ 2y2= 2y2 つまり解の候補者は
(x, y) = (√ 2,− 1
√2), (−√ 2, 1
√2).
これよりmaxf(x, y) = maxx=√ 2.
(b) L(x, y, λ) =y+λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)}である. Lx=−2λx−2λy= 0 Ly = 1−2λx−4λy= 0
Lλ= 1−(x2+ 2xy+ 2y2)≥0, λ≥0 λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)}= 0
Case 1: λ= 0 は 第二式が成立しないから不適.
Case 2: λ6= 0. 第一式からx=−y. これを 第四式に代入して, 1 =y2−2y2+ 2y2=y2 つまり解の候補者は
(x, y) = (−1,1), (1,−1).
2
これよりmaxf(x, y) = maxy= 1.
(c) L(x, y, λ) =x+y+λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)}である. Lx= 1−2λx−2λy= 0 Ly = 1−2λx−4λy= 0
Lλ= 1−(x2+ 2xy+ 2y2)≥0, λ≥0 λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)}= 0
Case 1: λ= 0. 第一式,第二式が成立せず,最適解ではない. Case 2: λ6= 0. 第一式,第二式から
(1) y= 0, x= 1
2λ. y= 0を 第四式に代入して,
x=±1.
第三式を考慮すると,λ= 1/2だから,最適解は (x, y) = (1,0) で,最適値は maxf(x, y) = max (x+y) = 1.
(d) L(x, y, λ) =xy+λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)} である. Lx=y−2λx−2λy= 0 Ly =x−2λx−4λy= 0
Lλ= 1−(x2+ 2xy+ 2y2)≥0, λ≥0 λ{1−(x2+ 2xy+ 2y2)}= 0
Case 1: λ= 0. 第一式,第二式から x= 0, y= 0 となり, 第三式, 第四式も成立しているの, 解の候補者(x, y) = (0,0).
Case 2: λ6= 0. とくに λ= 1/2.
第一式,第二式からx= 0 =y. これでは 第四式が成立しないので,解の候補者ではない. Case 3: λ6= 0 かつλ6= 1/2.
第一式から,
(2) 2λx=y(1−2λ).
これを 第三式に代入して, 0 = 1−2λ
2λ y−(1−2λ)y−4λy= y
2λ(1−4λ−4λ2)
ここでy = 0ならx= 0となり,第四式が成立しないので,解の候補者ではない. つまりy6= 0 であり,
(3) 4λ2+ 4λ= 1 ⇒ 2λ=√
2−1.
3
一方, (2)を 第四式に代入して,
(4) 1 =x2+ 2xy+ 2y2= (x+y)2+y2= y2
4λ2 +y2=y21 + 4λ2 4λ2 . これと(2)から
xy=1−2λ
2λ y2=1−2λ 2λ
4λ2
1 + 4λ2 = 2λ(1−2λ) 1 + 4λ2 ここで(3)から
1 + 4λ2= 2−4λ= 2(1−2λ) となっているので,
xy= 2λ(1−2λ)
1 + 4λ2 =2λ(1−2λ) 2(1−2λ) =λ=
√2−1 2 このとき, (4) と(2)から
y2= 4λ2 1 + 4λ2, x2=(1−2λ)2
4λ2 y2= (1−2λ2)2 4λ2
4λ2
1 + 4λ2 = (1−2λ)2
2(1−2λ)= 1−2λ 2 結局,最適解は
(x, y) =¡
±
√1−2λ
√2 .± 2λ
√1 + 4λ2
¢, λ≡
√2−1 2 maxf(x, y) = maxxy=
√2−1 2 .
(e) 明らかに
f(x, y) =−(x+y)2≤0
で,等号が成立するのは x+y= 0の場合である. (a)の解答も考慮すると, 最適解は(x, y) = (t,−t), −√
2≤t≤√
2; 最適値は maxf(x, y) = 0.
4
