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< 平面上の線積分 6 >

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Academic year: 2021

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1999年度 基礎数学ワークブック番外編N o.2 −19−

<

平面上の線積分

6 >

例

1

図

1

のように線分路

C

1は

曲線

y = ϕ(x)

を

a

から

b

に向い，

C

2は曲線

y = ψ(x)

を

b

から

a

に 向うとする。 図

1

のように

C

1の 始点が

C

2の終点になり，

C

2の始点が

C

1の終点になっているとき

C

1と

C

2

をあわせた積分路

C

は 単一閉曲線 と 呼ばれる。 図

1

は 前ページの図

1

と

図

3

をあわせた図と考えると，図

1

の斜線部分の面積

S

は

S = S

2

− S

1

=

Z

b a

ψ(x)dx − Z

b

a

ϕ(x)dx = − Z

a

b

ψ(x)dx − Z

b

a

ϕ(x)dx

= − Z

C2

ydx − Z

C1

ydx = − Z

C

ydx

例

2

図

2

のように積分路

C

は 曲線

x = ψ(y)

上を

y = a

から

y = b

まで進むとする。このとき

y

成分に関する線積分

Z

C

xdy = Z

b

a

ψ(y)dy = S

は図

2

の斜線部分の面積

S

を意味する。

問 図

3

のように線積分

C

は単一閉曲線で，

反時計まわりに進むとする。

そのとき

C

で囲まれた領域（斜線部分）

の面積

S

を

y

成分に関する線積分で 表せ。

参照

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