波浪による海底地盤砂粒子挙動の数値シミュレー ション

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(1)九州大学学術情報リポジトリ Kyushu University Institutional Repository. 波浪による海底地盤砂粒子挙動の数値シミュレー ション 陳, 光斉 九州大学大学院工学研究院. 善, 功企 九州大学大学院工学研究院. 笠間, 清伸 九州大学大学院工学研究院. 高松, 賢一 九州大学大学院工学府. http://hdl.handle.net/2324/21975 出版情報:海岸工学論文集. 48, pp.476-480, 2001. Japan Society of Civil Engineers バージョン: 権利関係:.

(2) 海 岸 工 学 論 文 集,第48巻(2001) 土 木 学 会,476‑480. 波 浪 に よ る海 底 地 盤 砂 粒 子 挙 動 の数 値 シ ミュ レー シ ョン. 陳. 1.. 光. 斉*・. 善. 功. は じ め に. 2.. 波 浪 の 作 用 に よ り,海 底 地 盤 内 に は 水 圧 変 動 が生 じ る こ とが,こ. 企**・. れ ま で の い くつ か の 実 験 的研 究 に よ り報 告 さ. れ て い る(例 え ば,井 上,1975;Maenoら,1985).こ. の. 笠. 間. 清 伸***・. 高. 松. 賢 一****. マ ニ フ ォ ー ル ドメ ソ ッ ドの 概 要. 地 盤 工 学 にお け る数 値 シ ミュ レ ー シ ョ ンで は,解 析 対 象 の種 類 や 性 質 に よ っ て使 用 され る解 析 方 法 が 異 な る. 例 え ば,有 限 要 素 法(FEM:. Element. Method,. Zienkiewicz,. 波 の峰 の 直 下 の 地 盤 で は,地 盤 面 の水 頭 が静 水 時 よ り高. た 不 連 続 体 の 問 題 に対 して よ く使 わ れ て い る数 値 解 析 手. くな る た め,地 盤 深 部 へ の浸 透 流 が 発 生 す る.逆 に,波. 法 で あ る.一 方,個 別 要 素 法(DEM:. の 谷 で は,地 盤 表 面 の水 頭 が 静 水 時 よ り低 くな り,地 盤. Method,. 表 面 へ の浸 透 流 が 発 生 す る.こ の よ うな 波 の 峰,谷. tinuous Deformation. の変. 1971)は. Finite. 発 生 した 水 圧 変 動 は,海 底 地 盤 内 に浸 透 力 を発 生 さ せ る.. 連 続 体 問 題 や 微 小 変 形 を前 提 とし. Cundall, 1971)や. Distinct Element. 不 連 続 変 形 法(DDA:. Analysis, Shi & Goodman,. Discon‑ 1984). 向 き の浸 透 流 が 繰 り返. は不 連 続 体 の大 変 形 問 題 に対 して 非 常 に有 効 な手 法 と し. され る た め,砂 地 盤 のせ ん 断 強 度 低 下 を もた ら し,い わ. て 知 られ て い る.そ の 中 で,有 限 要 素 法 と不 連 続 変 形 法. ゆ る海 底 地 盤 の 液 状 化 が 生 じ る.. の 両 方 の機 能 を有 す るマ ニ フ ォ ー ル ドメ ソ ッ ド(MM). 化 に伴 っ て,海 底 地 盤 内 で上,下. は,次 世 代 の解 析 手 法 とし て大 変 注 目 され て お り,現 在. 海 底 地 盤 の液 状 化 に 関 し て,Yamamoto(1977)や Madsen(1978)は,波. 浪 が直 接 海 底 地 盤 に作 用 す る場 合. 多 くの 研 究 者 に よ って 改 良,拡. 張及び実用化が行 なわれ. の海 底 地 盤 の挙 動 を二 次 元 弾 性 解 析 に よ り理 論 的 に解 析. て い る(例 え ば,Ohtsuboら,1997;Sasakiら,1997;. し,地 盤 中 の 応 力 や 変 位 な ど を求 めた.そ. Zhangら,1997;Chenら,1998;Ohnishiら,1999;Chen. の結 果 は,応. 力 が 負 とな る場 合 が あ る こ とか ら液 状 化 の可 能 性 を示 唆 した.ま. た,Zenら(1990a,1990b,1991)は. 変 動間隙水. 圧 に起 因 す る液 状 化 現 象 を取 り上 げ模 型 実 験,現. 地観測. 等 に よ り液 状 化 理 論 を検 証 した.. ら,2001). 数値 解 析 で は,材 料 の 物 理 ドメ イ ンで 定 義 さ れ る複 雑 な 関 数 を扱 うた め に,全 領 域 を有 限 の 小 領 域 に分 割 し, 個 々 の 小 領 域 内 で単 純 化 した 近 似 関数 を用 い る のが 一 般. 液 状 化 後 の海 底 地 盤 で は,表 層 部 の 物 質 の移 動 が 容 易. で あ る.例 え ば,FEMで. は これ らの小 領 域 の こ とを要 素. に な り,さ らに,上 向 き の浸 透 力 に よ る表 層 の砂 粒 子 が. と呼 び,全. 海 水 中 に舞 い上 が る可 能 性 が あ り,こ れ らの現 象 は洗 掘. を覆 う よ う に配 置 す る.ま た,あ. や 漂 砂 と も密 接 な 関 連 が あ る と考 え られ る.従 来,海. 素 へ単 純 関 数 間 の連 続 性 を保 証 す る た め に,要 素 上 の単. 底. て の要 素 は 重 複 す る こ とな く全 物 理 ドメ イ ン る要 素 か ら隣 接 す る 要. 砂 粒 子 の挙 動 解 析 は,海 岸 工 学 か らの 研 究 が ほ とん どで,. 純 関 数 は 節 点 と呼 ば れ る境 界 点 で 拘 束 さ れ る.MMで. 主 に海 水 の流 れ に よ るせ ん断 応 力 とい う要 因 を 中心 に 考. は,こ の よ う な小 領 域 を カ バ ー(Cover)と. え られ て お り,海 底 地 盤 内 の浸 透 流 に よ る砂 粒 子 の挙 動. る単 純 関 数 を カバ ー 関 数(Cover. に 関 し て は未 解 明 な 点 が 多 い.. と違 い,MMの. 呼 び,対 応 す. function)と 呼 ぶ.FEM. カバー は お 互 い に重 ね る こ とが で き,い. 本 論 文 は,海 底 地 盤 の 液 状 化 後 の 砂 粒 子 挙 動 と漂 砂, 洗 掘 と の関 係 を 明 らか にす る こ とを 目的 とし て,最 近 注 目 を集 め て い る マ ニ フ ォー ル ドメ ソ ッ ド(MM: fold Method,. Shi, 1997)と. Mani‑. よ ばれ る 数 値 解 析 方 法 を,海. 底 砂 地 盤 の液 状 化 過 程 お よび 液 状 化 後 の 砂 粒 子 の移 動 の シ ミ ュ レー シ ョン に適 用 した. *正 **正 ***正 ****学. 会 員 理博 会 員 工博 会 員 生会員. 九州大学助教授 大学 院工 学研究 院 九州大学教授 大学院工学研 究院 九州大学助手 大学院工学研 究院 九州大学 大学院工学府. (a). (b) 図‑1. MMの. カバ ー と要 素.

(3) 波 浪 に よる海 底 地盤 砂 粒 子挙 動 の数 値 シ ミュ レー シ ョン くつ か の重 複 した カ バ ー の共 通 領 域(Common MMの. 要 素 とな る.図‑1(a)はMMの. area)が. カバ ー と要 素 の. 概 念 を示 した もの で あ る.要 素Eは. 楕 円 形 カバ ーC1,長. 要 素 領 域 で定 義 され る全 局 関 数 は重 複 した各 カ バ ー 関 数 の 重 み付 き平 均 で 得 られ る.. と仮 定 す れ ば,FEMと はMMの. カバ ー関 数 を 常 数. 同 じ計 算 式 を得 る.従 っ て,FEM. 一 つ の特 例 で あ る と考 え られ る.. 同 様 に ペ ナ ル テ ィ 法 を用 い て 最 小 二 乗 的 に 貫 入 エ ネ ル ギ ー が ゼ ロ に な る よ う に収 束 させ る.も. 複 し た カ バ ー の 数;ui(x,y):カ バ ーCi上. と して 用 い られ る(Chenら,2001).従. バ ーCi. の 重 み 関 数.重. し一 つ の ブ ロ ッ. ク が 完 全 に一 つ三 角 形 の 要 素 に 収 ま れ ば,MMはDDA. (1). の カ バ ー 関 数;wi(x,y):カ. 数 と して 用 い られ る.こ こで,MMの. 一 方 ,不 連 続 面 に対 し て は,ブ ロ ッ クの 接 触 はDDAと. 方 形 カバ ーC2お よ び 円形 カバ ーC3の 共 通 領 域 で あ る.. こ こ に,m:重. 477. っ て,DDAもMM. の一 つ の 特 例 で あ る と考 え られ る.. み. 3.. 関 数 は 以 下 の 条 件 を 満 足 す る 必 要 が あ る.. マ ニ フ ォ ー ル ドメ ソ ッ ドの 拡 張. 波 浪 に よ る海 底 砂 地 盤 の 液 状 化 シ ミ ュ レー シ ョン に,. (2). MMを. 適 用 し よ う とす る場 合,砂 粒 子 が 小 さ くか つ粒 子. 数 が非 常 に多 い こ とが 問 題 とな る.こ の よ う な問 題 を解 2次 元 の 応 力 ・ひ ず み 解 析 に お け るMMで 関数,全. は,カ バ ー. 局 関 数 は変 位 に関 す る 関数 で あ り,未 知 の係 数. を含 ん で い る.要 素 上 で は,全 局 変 位 関 数 の微 分 に よ っ て ひ ず み が 得 られ,さ. らにHookeの. 法 則 よ り応 力 が 定. め られ る.変 位 関 数 の未 知 係 数 を求 め る に は,FEMの 合 と同 じ く,外 力,応. 場. 力,慣 性 力 及 び 粘 性 力 に よ る全 ポ. テ ン シ ャル エ ネル ギ ー を計 算 し,そ れ を最 小 化 す る こ と に よ り,変 位 関 数 の未 知 係 数 に関 す る連 立 一 次 方 程 式 を 導 け る.. 決 す るた め に,従 来 のMMに. 対 し て は,次 の 二 点 に お い. て改 良 す る必 要 が あ る. (1)円. 粒 子 の 取 り扱 い に お い て,DDAと. の 円粒 子 は12や24角. 同 様 に1個. 形 の ブ ロ ッ クで 近 似 され,6個. 上 の未 知 係 数 を有 す る.従. 以. って,大 量 の粒 子 を含 む問 題. の 解 析 に は,デ ー タ量 や 未 知 数 が 非 常 に 多 くな り,多 大 な接 触 判 断 と処 理 の時 間 を要 す る. (2)従. 来 の 方 法 で は,モ デ ル の 拘 束 は 固 定 点 の 付 け た. ブ ロ ック を用 い る.こ の 方 法 は計 算 量 を増 加 し,固 定 し た ブ ロ ック の 変 形 に よ り誤 差 が 生 じ る可 能 性 が あ る. そ こで,本 研 究 は,小 さ い 円 粒 子 に対 して 特 別 な 円要. (3). 素 を,モ MMを. 係 数 マ ト リ ッ ク ス の 要 素(Kiji,j=1,…,…,n)は. 微 分. 数 マ ト リ ッ ク ス の 要 素(Fii=1,2,…,n)は. 従 来 の80%程. 微分. の 未 知 数 の数,Di:カ. 素 の 数,m:カ. 円 要 素 同士 の接 触 は図‑2の. バ ー変位関数. バ ー 変 位 関 数 の 未 知 係 数 ベ ク トル. (6) 実 際 に,MMで. の2程 度 に下 が. カバ ー は. ように法線 方向の弾性 ば. ね と接 線 方 向 の 弾 性 ば ね を 設 置 す る こ と よ り処 理 さ れ る.こ れ らの式 は以 下 の よ うに 導 か れ る. 要 素i(円. は,三 角 形 や 四 角 形 の メ ッシ ュ が よ く. 用 い られ る.三 角 形 メ ッ シ ュ の場 合 は,MMの. 度 に,未 知 数 が従 来 の3分. り,接 触 の判 断 や 処 理 な どが簡 単 に な る た め,計 算 に要 す る時 間 も大 幅 に 減 らす こ とが で き る.. (5) で 得 られ る.こ こ に,n:要. 円 要 素 で は,円 心 座 標 と半 径 を用 い て 円粒 子 を定 義 し, 一 枚 の カバ ー で 覆 わ れ ,定 数 の カ バ ー 関 数 で 未 知 数 が2 個 と な る.従 っ て,円 要 素 を 用 い る場 合 は,デ ー タ量 が. (4) で,定. デ ル の拘 束 に対 し て線 要 素 を 開 発 し,従 来 の. 拡 張 す る.. 心 座 標:(xi,yi),半. 座 標:(xi,yj),半. 径:rj)と. 径:ri)と. 要 素j(円. 表 さ れ る.. 六 角形 と な り,メ ッ シ ュの 交 点 を カ バ ー の 中心 と し,交 点 周 辺 の 六 つ の三 角 形 か ら構 成 さ れ る.図‑1(b)に. 示す. (7) た だ し,Knは. 法 線 方 向 の ば ね 強 度 で,(ui,vi),(uj,vj)は. よ うに,一 つ の三 角 形 は 三 つ の六 角 形 の 共 通 領 域 と して,. そ れ ぞ れ 円 要 素iと. MMの. 次 式 で 与 え ら れ る.. 要 素 と な る.. 三 角形 メ ッ シ ュ を用 い たMMの. 場 合,FEMと. み る と,要 素 は 同 じ形 状 で,FEMの バ ー 中心 点 に対 応 す る.そ れ に,FEMの の 重 み関 数 の 条 件(2)を. 変 位 で あ る.ほ. か の量 は. カ. 形 状 関 数 はMM. 満 足 す る の で,MMの. 円 要 素jの. 比 べて. 節 点 はMMの. 重 み関. 心. の法 線 方 向 の 接 触 力 は 次 式 で. (8).

(4) 478. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第48巻. (2001). ス の 要 素Kijと 定 数 マ ト リ ック ス の 要 素Fiに. 次のよう. な 項 目 を追 加 す る.. (16). こ こ に,d0:円. か ら線 要 素 ま で の 距 離.(lx,ly):線. 要素の. 方 向 の 余 弦 で あ る.. 図‑2. 円粒 子間の法線方 向 と接線 方向の接触 ばね. 4.. 法 線 方 向 の ばね に よ る ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ーIInは. (9) とな る.そ れ を最 小 に す るた め に,(4)と(5)を. 数値 シ ミュ レー シ ョン お よび 結 果 考 察. 理 論 上 は,MMは. 流 体 解 析 と粒 子 運 動 の追 跡 両 方 と も. に適 用 す る こ とが 可 能 で あ る.現 段 階 で 拡 張 したMM. 用い. は,地 盤 を構 成 す る個 々 の粒 子 の 運 動 を追 跡 す る こ と に. て,係 数 マ トリ ッ ク ス の 要 素Kijと 定 数 マ ト リ ッ ク ス の. 対 し て は,非 常 に有 効 で あ る.し か し,今 の解 析 コー ド. 要 素Fiに. に砂 層 内 の 間 隙 流 体 の挙 動 を解 析 す る機 能 を取 り込 んで. 次 の よ う な項 目 を追 加 す る.. い な い.そ. こで 本 研 究 で は,波 浪 に よ る海 底 地 盤 の 粒 子. 挙 動 シ ミ ュ レー シ ョン へ の 第一 歩 の 試 み と して,地 盤 表 層 部 で の粒 子 の 移 動 は地 盤 内 の 浸 透 挙 動 に影 響 を与 え な. (10). い と仮 定 し,地 盤 内 の浸 透 力 の 推 定 と地 盤 表 面 の 粒 子 移 動 の シ ミュ レ ー シ ョ ン を別 々 に 行 な っ た.図‑3は. 計算. 手 順 を 示 す. 地 盤 内 の 浸 透 力 分 布 を求 め る に は,ま ず,波 浪 に よ る 地 盤 面 に作 用 す る水 圧 変 動 を微 小 振 幅 波 理 論(例. た だ し,. (11). 土 木 学 会 編,1996;Maenoら,1985)に. え ば,. よっ て 定 め る.. (17) 接 線 方 向 の接 触 力 は次 式 で 表 さ れ る.. (12) こ こ に,Ksは. 法 線 方 向 の ばね 強 度 定 数 で,S0は. 累 積 した. ばね の変 形 で 次 式 よ り計 算 さ れ る.. こ こ に,H:波. の 振 幅,T:波. 位 海 水 重 量,t:時. の 周 期,L:波. 刻,λ=2π/L:波. 長,γw:単. 数.. 上 式 を境 界 条 件 と して'間 隙 水 圧 の 変 動 に関 す る基 礎. (13). 微 分方程式 を. (18) 接 線 方 向 の ばね 変 形 に よる ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー を 最 小 に し て,係. 数 マ ト リ ッ ク ス の 要 素Kijと. リッ ク ス の 要 素Fiに. 定数マ ト. 差 分 法 で解 い て,地 盤 内 の間 隙水 圧 の 分 布 及 び変 化 を求 め る.こ. 次 の よ うな項 目 を追 加 す る.. こに,Cv:圧. 密 係 数,α:伝. 達 係 数.. それ か ら,間 隙 水 圧 の勾 配 に よ る地 盤 内 の浸 透 力 の 分 布 を得 て,非 線 形 最 小 二 乗 法 で 浸 透 力 の時 空 分 布 式 を求 め る.. (14). 粒 子 移 動 のMM数. 値 シ ミュ レー シ ョン に は,粒 子 要 素. と線 要 素 だ け を用 い る の で,粒 子 の運 動 方程 式 が 下 記 の よ うに簡 素 化 で き る.. (19). ただ し こ こ に,m:粒. (15) 線 要 素 を拘 束 す る と き は,方 向 を有 す る直 線 の 両 端 の. 子 の 質 量,U:粒. 子 の 変 位 ベ ク トル,t:. 時 間,k:海. 水 の粘 着 係 数,Fi:粒. ク トル.考. え られ た 主 な 外 力 は粒 子 自重 に よ る重 力,水. 子 に作 用 す る諸 外 力 ベ. 座 標 を固 定 す る か,計 算 ス テ ップ ご と に その 座 標 を与 え. に よ る浮 力,浸 透 流 に よ る浸 透 力,粒. る.円 要 素iと 線 要 素jと. で あ る.. の接 触 よ り,係 数 マ トリ ッ ク. 子間の接触力 な ど.

(5) 波 浪 に よ る海 底 地 盤砂 粒 子 挙動 の数 値 シ ミュ レー シ ョン479 場 合 に も,接 線 方 向 の ば ね を除 去 す る. シ ミュ レ ー シ ョ ン 結 果 の 一 例 を 図‑4に h=70m,波. 高H=24m,周. 期T=15s,波. 示 す.水. 深. 長L=312m. 等 の 波 浪 条 件 で 得 られ た 海 底 地 盤 面 の 水 圧 変 動 振 幅 は 0.54MPaで 2.0,土. あ る.圧 密 係 数Cv=40m2/s,伝. の 単 位 重 量 γsat=20kN/m3等. れ た 浸 透 力 の振 幅 は0.051e‑1.720zMPaで (a),(b),(c),(d)は 1.0Tの. 達 係 数 α=. の地盤 条件 で得 ら あ る.図‑4の. それ ぞ れ 時刻0.01T,0.05T,0.3T,. と きの 粒 子 移 動 状 態 を示 す.図 中 に お け る 白 黒. の濃 淡 は粒 子 に作 用 す る圧 縮 応 力 の 強 さ を示 す.波 浪 に よ る浸 透 力 で海 底 地 盤 表 層 部 の砂 粒 子 が 徐 々 に海 水 中 へ 浮 き上 が っ て,浮 遊 す る挙 動 を確 認 で き る. 5.. お わ. り に. 本 研 究 で は,波 浪 に よ る海 底 砂 地 盤 の 浸 透 流 の発 生 を 誘 因 と し て,海 底 砂 地 盤 液 状 化 現 象 が初 め て 数 値 解 析 法 MMで 図‑3. りで あ る.. シ ミ ュ レー シ ョ ン の手 順. (1)大 接 触 力 は,計 算 ス テ ッ プ の更 新 の 際 に個 々 の砂 粒 子 の 接 触 状 況 が検 査 され,接 触 状 態 に あ る粒 子 間 に お い て 法 線 方 向 お よび 接 線 方 向 に ばね を配 置 して,そ. シ ミュ レ ー シ ョ ン され た.主 な 結 論 は以 下 の とお. の変 形 量 に. 量 微 小 砂 粒 子 を含 む 問 題 へ の 有 効 なMM解. を行 うた め に,従 来 のMMに MMの (2)波. 析. 円要 素 と線 要 素 を追 加 し,. 機 能 を拡 張 し た. 浪 に よ る海 底 地 盤 内 の 浸 透 力 の 時 空 分 布 は,シ. よ り計 算 す る.た だ し,非 粘 着 性 材 料 を対 象 とす る こ と. ミュ レ ー シ ョン に非 常 に 重 要 な デー タ で,差 分 法 と非 線. か ら,法 線 方 向 は引 張 りに抵 抗 しな い の で,両 粒 子 は 背. 形 最 小 二 乗 法 との 組 み合 わ せ で 浸 透 力 の 時 空 分 布 式 を推. 離 運 動 状 態 に な れ ば,法 線 方 向 の ば ね を除 去 す る.ま た,. 定 す る こ とが で きた.. 接 線 方 向 に は摩 擦 抵 抗 の 限 界 を超 え るせ ん 断 力 が 生 じた. Wave. (9)数 値 シ ミュ レ ー シ ョ ンの 結 果 よ り,海 底 砂 地 盤 は. direction. 図‑4. シ ミュ レ ー シ ョ ンの 結 果.

(6) 480. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 液 状 化 後 表 層 部 の 砂 粒 子 が 水 に浮 遊 す る挙 動 を 確 認 し た. (4)波. 浪 浸 透 力 に よ る地 盤 表 層 部 の 砂 粒 子 の 動 き を追. う手 法 を確 立 し た の で,土 質 力 学 の 観 点 か ら漂 砂,洗. 掘. の メ カニ ズム を検 討 す る こ とが 可 能 とな っ た. 今 回 の シ ミュ レー シ ョンで は,波 浪 に よる地 盤 内 部 の 浸 透 力 に表 層 部 の砂 粒 子 の移 動 に よ る影 響 が 小 さ い とい う仮 定 で計 算 は別 々 で 行 った.実 え て,カ. 際 に,相 互 の 影 響 を考. ップ リ ング 計 算 す る検 討 が 必 要 で あ り,今 後 の. 課 題 で あ る.. 参 井 上 令 作(1975):飽. 考. 文. 献. 和 度 の 高 い 砂 層 に お け る間 隙 水 圧 の伝 播,. 土 木 学 会 論 文 報 告 集,第236号,pp.81‑92. 土 木 学 会 編(1996):第. 四 版 土 木 工 学 ハ ン ドブ ッ クI,技. 報 堂出. 版,pp.511‑513.. Chen, G., Y. Ohnishi and T. Itou (1998): Development of High Order Manifold Method, Intl. J. for Num. Meth. in Eng., Vol. 43, 685-712. Chen, G., K. Zen, Y. Ohnishi and K. Kasama (2001): Extensions of Manifold Method and Its Application, Proc. 4th Int. Conf. on Analysis of Discontinuous Deformation, Glasgow, pp.217-229. Cundall, P. A. (1971):. A computer model for simulating pro-. gressive, large scale movements in blocky rock systems, Proc. Intl. Symp. on Rock Fracture, Nancy, France, II-8. Madsen, O. S. (1978): Wave-induced pore pressures and effective stresses in a pore bed, Geotechnique, Vol. 28, No. 4, pp.155-164. Maeno, Y. and T. Hasegawa (1985): Evaluation of waveinduced pore pressure in sand layer by wave steepness, Coastal Eng. In Japan, JSCE, Vol. 28, pp.31-44. Ohnishi, Y., M. Tanaka, T. Koyama and K. Mutoh (1999):. 集. 第48巻 Manifold. (2001) method. in. saturated-unsaturated. unsteady. groundwater flow analysis, 3rd Int. Conf. on Analysis of Discontinuous Deformation, Colorado, pp.221-230. Ohtsubo, H., K. Suzuki, K. Terada, and K. Nakanishi (1997): Utilization of finite covers in the manifold method for accuracy control, Proc. 2nd Int. Conf. on Analysis of Discontinuous Deformation, Kyoto, pp.317-322. Sasaki, T., S. Morikawa, D. Ishii, and Y. Ohnishi, (1997): Elastic-plastic analysis of jointed rock models by manifold method, Proc. 2nd Int. Conf. on Analysis of Discontinuous Deformation, Kyoto, pp.309-316. Shi, G. H. and R. E. Goodman, (1984): Discontinuous deformation analysis, Proc. 25th U. S. Symp. on Rock Mech., pp.269 -277 . Shi, G. H. (1997): Numerical manifold method, Proc. 2nd Intl. Conf. on Analysis of Discontinuous Deformation, Kyoto, pp.1-35. Yamamoto, T. (1977): Wave-induced instability in seabeds, Proc. Of the ASCE Special Conference, Coastal Sediments, pp.898-913. Zen, K. and H. Yamazaki (1990a): Mechanism of waveinduced liquefaction and Densification in seabeds, Soils and Foundations, Vol. 30, No. 4, pp.90-104. Zen, K. and H. Yamazaki (1990b): Oscillatory pore pressure and liquefaction in seabed induced by ocean waves, Soils and Foundations, Vol. 30, No. 4, pp.147-161. Zen, K. and H. Yamazaki (1991): Field observation and analysis of wave-induced liquefaction in seabed, Soils and Foundations, Vol. 31, No. 4, pp.161-179. Zhang, G., Y. Sugiura, and H. Hasegawa (1997): Crack propagation and thermal fracture analysis by manifold method, Proc. 2nd Int. Conf. on Analysis of Discontinuous Deformation, Kyoto, pp.282-297. Zienkiewicz, O. C. (1971): The finite element methods in engineering science, McGraw-Hill, London..

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