z xy xyz

[ 東京工業大学 2008 年 第１類特別入試 １ ]

この試験は現時点での諸君の論理的理解力の習熟度を測るためのものであり，あまりに乱暴な字で はその役に立ちません。できるだけ丁寧な字で，採点員が論理を追い易いように各自工夫し，結論を はっきりと記述して下さい。

0    

とする。

xyz

-空間上の3点

A, B, C

は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をみたすように配置してあ

るとする。

(ⅰ)

A, B

は原点を中心とする

xy

-平面上の半径1の円周上にある。

(ⅱ)

C

は

z

-軸の正の部分にある。

(ⅲ)

 ACB  

。

(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす

A, B, C

^と原点

O

が作る4面体

OABC

のうち体積が最大のものの体積を

V ( ) 

とする。このとき極限値

lim V ( )



 

 を求めよ。



 AOB  (0     )

^，

C (0, 0, ) c ( c  0)

とおく。

△

OAB

において余弦定理より

AB

²

   1 1 2 cos  ^{ 2 1 cos}  ^{ } 

また，

CA CB   1  c

² であり，△

CAB

において余弦定理より

     

2 2 2 2

1 c 1 c 2 1 c cos 

     

AB ^{ 2 1}  ^{ c}

²

 ^{ 1 cos   }

したがって

^{2 1 cos}  ^{ }  ^{ 2 1}  ^{ c}

²

 ^{ 1 cos   }

0

c 

であるから

1 cos cos cos

1 cos 1 1 cos

c   

 

 

  

 

^となる。

四面体

OABC

の体積は

△

1

  3

OAB OC 1 1

2 sin  c 3

  

1

2

cos cos

6 sin 1 cos

 

 

  



1 A

B a

h x

y z

C

1 c

O

 ^{1 cos}

²

 ^{ cos cos }

1

6 1 cos

  



 

 

^…①

ここで，

t  cos  ( 1    t 1)

とおき，



²

 ^{ }

( ) 1 cos

f t   t   t ^{  t}

³

 ^{cos }  ^t

²

^{  t cos }

^{とおくと，}

 

´( ) 3

2

2 cos 1

f t  t   t 

…②

´(0) 1

f  

であり，

0    

より

´( 1) 3 2 cos 1

f       2(1 cos )    0

（複号同順）であるから

t

の方程式

f t ´( )  0

は

   1 t 1

に相異なる実数解を2個もつ。

これらを

t

₀

, t

₁

( t

₀

 t

₁

)

^{とすると，}

f t ( )

の増減は下表に従う。

t ( 1) 

…

t

₀ …

t

₁ …

(1)

´( )

f t

＋ 0 － 0 ＋

( )

f t    (0)

t  t

0 のときに

f t ( )

は最大となる。

よって，

1  ¹

⁰²

 ^{ cos}

⁰

^

( ) 6 1 cos

t t

V 

  



 

 

^…③

ここで，

t

₀は ②

 3 t

²

 2(cos )  t   1 0

の解のうちの小さい方であり，

2 0

cos cos 3

t   3  



⁰

1

3



  

また， ₂

0

1 cos 1

lim 2









 

なので，

③

¹

²

 ¹

⁰²

 ^{ cos}

⁰

^

6 1 cos  t  t

    



2

0

1 1 1

2 1 1

6 3 3

 

         

              

 

     

 

 

1 8 4

6 2 9 3

    4 3

 27