定理

(1)

Asymptotic Theory for Non-standard Estimating Function and Self-normalized

Method in Time Series Analysis

Yan LIU

2014 9

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本学位論文は，時系列データを基に，それを生成するモデルに対する統計的推測論を展開する．統計的推測論は通常，独立同分布の標本に対し，推定論及び検定論からなる．時系列解析における統計的推測では，標本間の独立同分布性を緩め，モデルの定常性を仮定して展開される．特に，二次定常時系列モデルは，ウォルドの分解定理により，常に線形モデルとして表現可能である．このように，本論文は，線形時系列モデルを時間領域，周波数領域の解析に分け，母数及び非母数的方法による統計解析の漸近的結果を詳説する．

本論文の構成は七章からなる．

第1章 Introduction

第2章 M-estimation in time series analysis

第3章 Asymptotic properties of generalized spectral via M-estimators 第4章 Parameter estimation based on minimum contrast estimators 第5章 Quantile estimation in frequency domain

第6章 Empirical likelihood method for time series with infinite variance 第7章 Tail index estimation

章立てとしては，時間領域と周波数領域の解析を並列した母数的方法から経験尤度法を用いた非母数的方法へ，一般的なモデルから特殊なモデルへ議論を進めていく．以下，各章の要旨を述べる．

第１章では，線形時系列モデルに関する問題設定及び統計的推測論の基礎について述べる．この章では，モデルの母数の周りが十分滑らかで，革新過程の分散共分散構造が有限で正定値行列であることを仮定する．この時，Hosoya and Taniguchi (1982)の結果より，一般線形過程に対し，Whittle尤度を用いた母数推定は，正規過程の下で有効であることを述べる．

第２章では，時間領域の解析において，時系列モデルに関するM推定の結果について述べる．M推定論は，最も一般的な母数的方法である．これは，最尤法として尤度を最大化することや，母数モデルと真のモデルの距離を最小化することのように，ある母数を含む関数の最適化を通して母数推定を行う方法である．

✓ ✏

定理

.

二次定常過程

{Xt}

に対し，スケール母数を

θ1

，位置母数を

η

として，残差過程

{et(η)}

を

et(η) =!t−1

j=0bj(ηj)Xt−j

とする．母数

θ= (θ¹,η)

を含む目的関数を

ρ(θ)

とし，

θˆn = min

θ

1 n

"n

t=1

ρ(θ⁻1¹^/², e_t(η))

とする．この時，凸関数

ρ

に対し，Eρ は

well defined

であり，これを最小とする

θ0

が一意に存在する時，ρ の劣導関数及び

Eρ

に対する正則条件が成り立てば，

(i) ˆθn P

−→θ0

；

(ii) √n( ˆθn−θ0)−→^L N.

✒ ✑

この定理は，時間領域の時系列解析において，母数の周りの滑らかさに関する条件を緩め，スケール及び位置母数のM推定量の漸近結果を与えた．この時，−ρ を正規尤度とすれば，θˆnは周波数領域のWhittle尤度による推定量と漸近的に同等であり，Whittle尤度に関する漸近結果もこの定理に含まれることがわかる．

1

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又，この定理において，スケール母数を分散ではなく，革新過程のモーメントとして定義できるので，より一般的な形でM推定量の漸近結果を与えている．その一例として，Koenker and Bassett (1978)の分位点目的関数を取ることができ，一次絶対モーメント及び位置母数の分位点に対する，誤推定を含んだ一般論を展開した．更に，異なる目的関数間の推定結果の比較もグラフで出来た．

第３章では，近年でピリオドグラムの代わりに提案される頑健性を持つquan- tilogramを，第２章の結果で一般化した．quantilogramは時系列モデルの隠れ周期性に関する検定において注目されている．複数の漸近的同等な定義の中で，

quantilogramを，分位点推定量で作られる統計量の分散共分散の有限フーリエ

変換として定義するとわかりやすい．この統計量に対し，分位点という概念を緩め，スコア関数で作られる統計量の分散共分散の有限フーリエ変換を考える．ただし，gをスコア関数とし，Sn(λ) = ₂_π¹_n|!n

t=1gt(ˆθ_n)e^−it^λ|²と定義する．

✓ ✏

定理

.

任意の

k∈Z

に対し，同時ピリオドグラム

"

Sn(λ_n−2πk/n), Sn(λ_n−2π(k−1)/n), . . . , Sn(λ_n+ 2πk/n)#

は漸近的に平均

fg(λ)

で独立な指数分布に収束する．

✒ ✑

この定理の特殊結果として，Hagemann (2013)のquantilogramに対する漸近結果を得る．又，異なるスコア関数に対する漸近結果の数値例を幾つか示した．

第４章では，周波数領域における最小コントラスト推定量に基づく母数推定の漸近的性質を示す．Taniguchi (1981)とTaniguchi (1987)では，それぞれ乖離度をlocationとscaleとして最小コントラスト推定量の性質を調べた．この章では，locationとscaleとは異なる特殊な乖離度を用いた最小コントラスト推定量の性質を調べる．この乖離度基準D(fθ, I_n,X)としては以下のように定義する：

D(fθ, I_n,X) =

$ 1 2π

% π

−π

fθ(ω)^α⁺¹dω

&−α/(α+1)$% π

−π

fθ(ω)^αI_n,X(ω)dω

&

.

✓ ✏

定理

.

正則な条件な下で，以下が成り立つ：

(i) ˆθ_n −→^P θ₀

；

(ii) √

n( ˆθ_n−θ₀)−→^L N(0,4πU(θ₀)⁻¹V(θ₀)U(θ₀)⁻¹),

ただし，F(

θ₀)

を

Fisher

情報行列として，

4πU(θ0)⁻¹V(θ0)U(θ0)⁻¹≥F(θ0)⁻¹.

✒ ✑

この乖離度基準のクラスは，時系列解析において，スペクトル密度で表現される予測や補間等の誤差分散を含む．この定理から，このクラスの推定量は一致性を持つが，予測分散を最小化する推定法が最も有効であることがわかる．

第５章では，周波数領域における分位点推定論を展開する．時間領域においては，分布関数に対する分位点推定から始まり，昨今では分位点回帰等が脚光を浴び，計量経済学でも広範に使われている．この章では，時間領域におけるそうした議論を周波数領域で行い，特定の周波数に対する推定論について考える．

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✓ ✏

定理

. λ

を

ψp

分位点とする．分位点の目的関数

ρp

を用いて，

ˆλn

を

λˆn= arg min

θ

! ^π

−π

ρp(ω−θ)In,X(ω)dω

で定義する．正則条件の下で，任意の

−π<λ<0

に対し，

√n(ˆλn−λ)−→^L N(0,E⁻²σ²).

ただし，

E

は平均

f(λ)

の指数分布に従い，N と無相関である．

✒ ✑

この定理は，周波数領域における分位点推定量が漸近正規的な推定量ではないことを示す．Hosoya (1989)では，bracketing条件の下で推定量の漸近正規性に関する一般的な定理を示している．この定理の結果は，Hosoya (1989)の反例となっている．実際，独立同分布という条件の下で確率収束する項が評価されていなかったが，時系列の場合では確率収束しない．この推定結果が特殊である為，

ˆλ_nを滑らかにするλˆ^∗_nという漸近正規性を持つ修正推定量を構成する．

第６章では，非有限分散である時系列モデルに，非母数的である経験尤度法で構築される検定統計量の漸近的な性質を与える．経験尤度比統計量は重要指標の満たす推定方程式m(θ)について，以下のように定義される：

R(θ) = max

ω₁,...,ω_n

"#ⁿ

t=1

nω_t;

n

$

t=1

ω_tm(λ_t;θ) =0,

n

$

t=1

ω_t= 1,0≤ω_t≤1, ∀t}.

モデルの分散が非有限なので，通常のピリオドグラムの代わりに自己基準化ピリオドグラムで推定方程式を定義する．経験尤度比統計量については以下が成り立つ．

✓ ✏

定理

.

特性指数を

α∈[1,2)

とする．この時，正則な条件の下で，

(∗) ∂

∂θ

! ^π

−π

Ψ(ω)^∗f(ω;θ)⁻¹Ψ(ω)dω

%

%_θ=θ

0

=0

が成り立つ時，

−2x²n

n logR(θ0)−→^L V^′W⁻¹V under H: θ=θ0.

ただし，(∗) は一次元の時に自然に満たされ，V は，特性指数

α

の安定分布に従う確率変数の級数と特性指数

α/2

の安定分布に従う確率変数の比から構成される．

✒ ✑

この定理から，非有限分散モデルは，有限分散が仮定される検定論と違う様相を示すことがわかる．漸近正規性が成り立たないとはいえ，上記の漸近分布から構成される信頼区間はかなり良いcoverage errorを与える．特性指数を既知と仮定している為，この特性指数についての推定論を次章で論じる．

第７章では，特性指数を一般化した裾指数に対し，自己基準化法を用いた推定論を展開する．指数αの安定分布の吸引域に属する対称な確率変数列{Xt}に対し，Sn= (X₁+· · ·+Xn)/(X₁²+· · ·+X_n²)と定義すると，Snの極限分布は非退化で，その極限分布をSとする．この時，以下の定理が成り立つ．

✓ ✏

定理. _{任意の整数}mに対し, E(S^2m⁻¹) = 0で

E(S²^m)=⁽²₍₂^m_m^−1)!!_)! 2{(D⁽²α^m⁾

−2(0)−Dα⁽²^m⁾(0))−(1−α)!m

−1 k=0

(−1)m

−k A(2k)(0) (2(m

−k))!!(2k)! D²⁽α^m⁻^k⁾(0)}.

✒ ✑

この定理から自己基準化で得た確率変数Sは必ず有限モーメントを持ち，そのモーメントはαの多項式の形で表現できる．この結果から，特性指数の推定量として，自己基準化変数Sのモーメント推定量を提案した．

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“A1 E03-5-cal L-.el-,22d A3352ac, *25 Sy00e75-c α-67able P52ce66e6” Be512ull- J2u51al -1 35e66 A.a6,-, L-u a1d a1-guc,-

“A6y03727-c6 *25 M-e67-0a7256 -1 7-0e 6e5-e6” Ad9a1ce6 -1 Sc-e1ce, ec,12l2gy a1d E19-5210e172l2gy, B10, 63-77 A35. 2014 L-u

“A6y03727-c 020e176 2* 6y00e75-c 6el*-1250al-zed 6u06” Sc-e17-ae Ma7,e0a7-cae Ja321-cae O1l-1e, 26, 561-569 Dec. 2013 L-u

“R2bu67 E67-0a7-21 2* F5e4ue1c-e6” Ka.e1 Sy0326-u0, Na5a U1-9e56-7y 2* Educa7-21 Se37. 2014 L-u

“Pa5a0e7e5 E67-0a7-21 by a Fu1c7-21 Ba6ed 21 I17e532la7-21 E5525” Ka.e1 Sy0326-u0, Na5a U1-9e56-7y 2* Educa7-21 Se37. 2014 Su72*, L-u a1d a1-guc,-

“M-e67-0a7-21 -1 -0e Se5-e6 a1d I76 A33l-ca7-216” ,e Ma7,e0a7-cal S2c-e7y 2* Ja3a1, Ga.u6,u-1 U1-9e56-7y Ma5. 2014 L-u

“O1 7,e P523e57-e6 2* a-l I1dex E67-0a7256 by Sel*-1250al-zed Me7,2d” F-1al Re6ul76 P5e6e17a7-21 2* Y2u1g Re6ea5c,e56, Wa6eda U1-9e56-7y Ma5. 2014 L-u

“ a-l I1dex E67-0a7-21 by Sel*-1250al-zed Me7,2d” N-6,--Izu Se0-1a5, N-6,--Izu Ma5.

2014 L-u

“E03-5-cal L-.el-,22d Ra7-2 *25 Sy00e75-c Al3,a-67able P52ce66e6” Wa6eda I17e51a7-21al Sy0326-u0, Wa6eda U1-9e56-7y Ma5. 2014 A.a6,-*, L-u a1d a1-guc,-

“Ge1e5al-zed Pe5-2d2g5a0 a1d I76 S7a7-67-cal I1*e5e1ce *25 -0e Se5-e6” Wa6eda I17e51a7-21al Sy0326-u0, Wa6eda U1-9e56-7y, Ma5. 2014 L-u

“R2bu67 S3ec75al E67-0a7-21 -1 -0e Se5-e6 A1aly6-6” H-g, D-0e16-21al S7a7-67-cal A1aly6-6 a1d Rela7ed 23-c6, Wa6eda U1-9e56-7y Ja1. 2014 L-u

“O1 7,e P523e57-e6 2* a-l I1dex E67-0a7256 by Sel*-1250al-zed Me7,2d” WINeS Sy0326-u0, Wa6eda U1-9e56-7y N29. 2013 L-u

“A6y03727-c6 *25 M-E67-0a7256 -1 -0e Se5-e6” W25.6,23 -1 S7a7-67-cal A33l-ca7-216 a1d -0e Se5-e6, Ka1azawa U1-9e56-7y N29. 2013 L-u

“A New Way 72 E67-0a7e a-l I1dex” ,e Ma7,e0a7-cal S2c-e7y 2* Ja3a1, E,-0e U1-9e56-7y Se37. 2013 L-u

“Hy327,e6-6 e67-1g *25 Vec725 S7able P52ce66e6” ,e Ma7,e0a7-cal S2c-e7y 2* Ja3a1, Ky272 U1-9e56-7y Ma5. 2013 L-u* a1d a1-guc,-

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