ギリシャ文字の読み方を教えてください

(1)

テーマB15：行列と行列式の意味 線形代数と呼ばれる分野では，必ず，行列と行列式が出てきます．これらがどのような意味を持ち，またその違いは何なのかについて解説します．１．連立方程式と行列次の例題を考えてみましょう．この例題のように，連立方程式は        800 6 5 350 3 2 y x y x と表わすのが一般的ですが，これを次のように表わしてみます．                    800 350 6 5 3 2 y x こうすると， _      6 5 3 2 は，連立方程式の係数部分だけを示し， _      y x は未知の変数のみを表わし， _      800 350 は，連立方程式の定数項のみを表わすことが分かります．これらの例のように，記号[ ]を用い，文字や数字をその中に規則正しく並べることで，文字や数字を，意味を持たせてグループ化することができます．このように，記号[ ]を用い，文字や数字を規則正しく並べたものを行列といいます．また，行列の中の個々の文字や数字は，成分もしくは要素と呼ばれます．注意：行列は，連立方程式以外にも，ベクトルや写像を表わす際にも用いられます．問題：次の連立方程式を，行列を用いて表わせ．例題リンゴ2 個とミカン 3 個買うと代金は 350 円になり．リンゴ 5 個とミカン 6 個買うと代金は800 円になった．リンゴとみかんの 1 個の値段はそれぞれいくらか？解答リンゴとミカンの値段はそれぞれx, y [円]とすると，次の式が成立する．        800 6 5 350 3 2 y x y x これを連立して解くと，      50 100 y x となる．よって，リンゴは100 円，みかんは 50 円である．

(2)

              12 9 8 7 11 6 5 4 10 3 2 z y x z y x z y x 答え                                12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 z y x ２．行と列行列の成分の並びは，横方向に行，縦方向に列と読んで区別されます．ただし，行と列の数は同じである必要はありません．行がm で，列が n の行列は，m 行 n 列の行列と読ん でいます．例えば，行列の

 

i, j 成分をa_ij，(i1 , ,m，j1 , ,n)で表わすと，m 行 n 列の 行列は             mn m m n n a a a a a a a a a     2 1 2 22 21 1 12 11 と表わすことができます．２．行列式の意味行列は，文字や数字をグループとして表記したに過ぎません．したがって，行列自体が値をもっているわけではありません．        f dy cx e by ax もしくは， _                   f e y x d c b a を解くと， bc ad bf ed d b c a d b f e x d b f e x d b c a d b f by x d b c e by ax                       

(3)





ad bc ec af bc ad b abf ade bce ade b bc ad bf ed a e b ax e y               となりますが，解x, y の式で，分母のadbcは，行列 _      d c b a の要素のみを用いた式になっています．そこで，adbcの計算式を bc ad d c b a   と表記することにします．このように，記号｜｜を用い，その中に文字や数字を規則正しく並べたものを行列式といいます．行列式では行列と異なり，行と列の数は常に等しくなくてはいけません．具体的な行列式の計算方法は上述のように定められており，勝手に変えることはできません．行列と行列式は意味が異なることに注意してください．行列式の値は，行列の記号を用いて， bc ad d c b a         det と表わすこともあります．ここで，文字を入れ替えると bf ed d f b e   ， af ec f c e a   となるので，行列式の表記を用いると，連立方程式        f dy cx e by ax もしくは， _                   f e y x d c b a の解は d c b a d f b e x ， d c b a f c e a y  と表わすことができます． 3 行 3 列の行列式は，Sarrus の方法で計算でき，となります．３．行列の計算行列そのものは値を持ちませんが，行列に定数を掛けたり，行列どうしを足したり，引いたり，掛けたりすることができます．連立方程式と比較してみてみましょう． afh bdi ceg cdh bfg aei i h g f e d c b a       - +

(4)

(1) 行列と定数の掛け算連立方程式        f dy cx e by ax の両辺すべてに2 を掛けると，









           f dy cx e by ax 2 2 2 2 すなわち，        f dy cx e by ax 2 2 2 2 2 2 これを，行列で表わすと，                    f e y x d c b a 2 2 2 2 2 2 となりますが，最初の                    f e y x d c b a の両辺に2 を掛けて                    f e y x d c b a 2 2 とした式と比較すれば，              d c b a d c b a 2 2 2 2 2 ， _             f e f e 2 2 2 であることがわかります．このように，行列と定数の掛け算は，行列の要素すべてに定数を掛ければよいことがわかります． (2) 行列どうしの足し算連立方程式        f dy cx e by ax と        l jy ix k hy gx を対応する式どうし，両辺を足し合わせると



 





 



             l f y j d x i c k e y h b x g a となるので，これを，行列で表わすと，                          l f k e y x j d i c h b g a となりますが，行列の足し算として表わした                                                                                l k f e y x j i h g d c b a l k f e y x j i h g y x d c b a と比較すると，

(5)

                        j d i c h b g a j i h g d c b a ， _                      l f k e l k f e となることがわかります．このように，行列どうしの足し算は，対応する行列の要素どうしを足せばよいことになります．引き算も同様です． (3) 行列どうしの掛け算掛け算は少し複雑です．まず，        f dy cx e by ax と， _                   f e y x d c b a が等価であることを考えると，                      dy cx by ax y x d c b a となることが分かりますが，連立方程式との比較からではこれ以上の計算方法を確認することはできません．結論から述べると，1 つ目の行列における行の要素と 2 つ目の行列における列の要素どうしを次のようにかけ合わせます．2 行 2 列以上の行列に対しても同じ方法で，各要素を求めます．                         dj ch di cg bj ah bi ag j i h g d c b a この関係を，行列式を用いて確認します．行列式で計算すると，



 





 



bchi bcgj adhi adgj bjcg ahdi bich agdj bjdi bjcg ahdi ahcg bidj bich agdj agch di cg bj ah dj ch bi ag dj ch di cg bj ah bi ag bchi bcgj adhi adgj hi gj bc ad j i h g d c b a                                      j i h g d c b a  と dj ch di cg bj ah bi ag     の行列式の値が等しくなるので， dj ch di cg bj ah bi ag j i h g d c b a        の関係が成立します．これを行列の計算に置き換えれば，                         dj ch di cg bj ah bi ag j i h g d c b a と書けるわけです．

(6)

http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Matrix.pdf

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