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外積(ベクトル積)の活用(面積,法線ベクトル,平面の方程式)
3 次元空間の 2 つのベクトルの積が 1 つのベクトルを与えるようなベクトルの掛け算。 ベクトルの積がベクトルを与えることからベクトル積とも呼ばれる。 これに対し内積は符号と大きさをもつ量(スカラー量)を与えるので, スカラー積とも呼ばれる。 外積を使うと,平行四辺形や三角形の面積,法線ベクトル,平面の方程式, 四面体の体積が楽に求められる場合がある。 外積の表し方 A とBの外積は,A´ あるいはB B´ で与えられる。 A 外積の向き たとえば,A´ の向きは, B 右ねじの平らな頭に固定されたA を,その向きがBの向きと一致するように, ねじ先の進む向きに回転したときのねじ先の進む向きである。 したがって,A ´ は AB とBがつくる平面に対して垂直である。 同様に,B´ の向きは, A Bの向きがA の向きと一致するように右ねじを回転したときのねじの進む向きである。 また,B´ は AA とB がつくる平面に対して垂直である。 したがって,A ´ の向きとB B´ の向きは真逆の関係である。 A O B A 右ねじの回転の向き 右ねじの進む向きがA ´ の向き B A B O B A 右ねじの回転の向き 右ねじの進む向きがB´ の向き A A B補足1 中学で学習したフレミング左手の法則(電・磁・力)と関連付けると覚えやすい。 電磁力は電流と磁界の外積で表される。 補足2 有向線分とベクトル 有向線分:矢印の位置,向き,大きさ(長さ)で定義される。 したがって,同一有向線分であるためには, 有向線分どうしがぴったりと重なり合わなければならない。 ベクトル:矢印の向き,大きさ(長さ)で定義される。 したがって,同一ベクトルであるためには, 向きと大きささえ同じであればよい。 補足3 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%AD%E3%81%98 力F 2 中学で学習したフレミング左手の法則(電・磁・力)と関連付けると覚えやすい。 電磁力は電流と磁界の外積で表される。 有向線分:矢印の位置,向き,大きさ(長さ)で定義される。 したがって,同一有向線分であるためには, 有向線分どうしがぴったりと重なり合わなければならない。 ベクトル:矢印の向き,大きさ(長さ)で定義される。 したがって,同一ベクトルであるためには, 向きと大きささえ同じであればよい。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%AD%E3%81%98 磁B 電lI( l は導線の長さ) 右ねじの回転の向き
電磁力
F
=
l
I
´
B
中学で学習したフレミング左手の法則(電・磁・力)と関連付けると覚えやすい。 有向線分どうしがぴったりと重なり合わなければならない。 は導線の長さ)3 外積の大きさ A とBの外積の大きさ,すなわちA ´ の大きさは,B A ´ と表し, B それは,A とBがつくる平行四辺形の面積と等しい。 以上より, A B B A ´ =- ´ ,A ´B = B´A = A B sinq 補足 電磁力は外積そのものであるが, 外積の大きさをイメージするだけなら「てこの原理」の方がわかりやすいと思う。 力点から支点までのベクトルをl,力をFとすると, 作用点の物体の動かしやすさの指標は,Flsinq で表せる。 これは,Fとlがつくる平行四辺形の面積の大きさに等しい。 O B A q q sin B A B A ´ = l F q 作用点 力点 支点
4 外積の演算規則(外積の成分表示の準備として) A B B A ´ =-´ k k´A =A ´ ( k は実数)
(
A +B)
´C =A ´C +B´C 補足(
A +B)
´C =A ´C +B´Cが成り立つことを示す。 C と垂直な平面へのA の射影をA',Bの射影をB'とする。 下図より,A´C = A'´C また,A ,A',C は同一平面上のベクトルかつA とA'はC について同じ側にあるから, C A ´ の向きと A'´ の向きは同じである。よって,C A ´C =A'´C 同様に,B´C =B'´C よって,A ´C +B´C =A'´C +B'´C ・・・① ' A ' B C A B ' A ' B C A B C A ´ ' A ' B C A B A' C ´5 また, A'C 2 sin C ' A C ' A´ = p = より, B'C 2 sin C ' B C ' B´ = p = より, C ' A´ は, ' A を 2 p 回転し,C 倍したものである。 ・・・② 同様に, C ' B´ は, B'を 2 p 回転し,C 倍したものである。 ・・・③ よって, C ' A´ と B'´ がつくる平行四辺形の対角線,C A'´C +B'´C は,図1 のようになる。 また,②,③より, C ' A´ と B'´ がつくる平行四辺形と 'C A とB'がつくる平行四辺形は, 相似比=C :1 の関係にあることがわかる。 したがって,A'´ とC B'´ がつくる平行四辺形の対角線の長さも C ' A とB'がつくる平行四辺形の対角線の長さのC 倍である。 すなわちA'´C +B'´C =C ×A +B ・・・④ また,図1 より,A'´C +B'´C もA'+ をB 2 p 回転したものである ・・・⑤ ' A ' B C A B A' C ´ C ' A´ 2 p
6 図1 一方,
(
A +B)
´C についても,A ´C =A'´Cを示した場合と同様にすると,(
A +B)
´C =(
A'+B')
´C ・・・⑥ が成り立つことがわかる。 また,(
A'+B')
´C は,A'とB'がつくる平行四辺形の対角線A'+ をB' 2 p 回転し, C 倍したものである。(図2) ・・・⑦ 図2 ④,⑤,⑦より,(
A'+B')
´C =A'´C +B'´C ・・・⑧ ①,⑥,⑧より,(
A +B)
´C =A´C +B´C ' A ' B C C ' A´ C ' B´ C ' B C ' A´ + ´ ' A ' B C C ' B´ (
A'+B')
´C ' B ' A + は,C の向きが紙面に垂直手前であることを意味する記号。 つまり,図はA'とB'がつくる平面を,その真上から見たものである。 ' B ' A + 7 外積の成分表示 xyz 直交座標系において, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x a a a A , ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x b b b B , ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 0 0 1 i , ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 0 1 0 j , ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 1 0 0 k とすると, k a j a i a a a a a a a z y x z y x z y x + + = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 同様に, k b j b i bx y z + + = B
(
axi ayj azk)(
bxi byj bzk)
+ + + + = ´ B A 演算規則k´A =A ´k( k は実数)および(
A +B)
´C =A´C +B´C より,(
)(
)
k k b a j k b a i k b a k j b a j j b a i j b a k i b a j i b a i i b a k b j b i b k a j a i a z z y z x z z y y y x y z x y x x x z y x z y x ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ = + + + +( )
( )
( )
(
a b a b)
i(
a b a b)
j(
a b a b)
k i b a j b a i b a k b a j b a k b a x y y x z x x z y z z y y z x z z y x y z x y x -+ -+ -= + -+ + + + -+ -+ + = 0 0 0 よって, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ -= ´ x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a B A i k j 左図より, k j i´= ,j´i=-k i k j = ´ ,k´j=-i j i k´= ,i´k=-j 0 = ´ i i ,j´ j=0,k´ k=08 外積の成分表示の簡単な求め方 その1 ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x a a a A , ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x b b b B を x x z z y y x x b a b a b a b a と並べる。 B A´ の x 成分 赤枠の成分のクロス掛けの差aybz -azbyがA ´ の x 成分となる。 B x x z z y y x x b a b a b a b a B A´ の y 成分 赤枠の成分のクロス掛けの差azbx -axbzがA ´ の y 成分となる。 B x x z z y y x x b a b a b a b a B A´ の z 成分 赤枠の成分のクロス掛けの差axby -aybxがA ´ の z 成分となる。 B x x z z y y x x b a b a b a b a 以上より, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ -= ´ x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a B A
9 その2:行列式の活用 n 次の正方行列の成分をある規則に従い計算処理したのが行列式である。 行列A の行列式は A あるいはdetAと表す。 A=
( )
a ならば,A =a =aである。 ÷÷ ø ö çç è æ = d c b a A ならば, ad bc d c b a -= = A である。 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = i h g f e d c b aA ならば, aei bfg cdh afh bdi ceg i h g f e d c b a -+ + = = A (サラスの公式) 4 次以上の正方行列は,余因子というものを活用して,帰納的に求めることができる。 補足:3 次正方行列の行列式(サラスの公式)の覚え方 同色で囲まれた文字の積の和をとる。 右下
i
h
g
f
e
d
c
b
a
aei+bfg+chd ・・・① 左下i
h
g
f
e
d
c
b
a
ahf +bdi+ceg ・・・②
①-②より,aei+bfg+chd -
(
ahf +bdi+ceg)
B A ´ のサラスの公式を利用した求め方。 ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x a a a A , ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x b b b B ,単位ベクトルの和 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ = k j i を z y x z y x b b b a a a k j i と配置すると, サラスの公式より,
(
aybz -azby)
i+(
azbx -axbz)
j+(
axby -aybx)
k=A´Bとなり,A ´ が求められる。 B10 外積の応用 1.2 つの空間ベクトルがつくる平行四辺形または三角形の面積を求める場合 外積の定義より,A ´ は AB とBがつくる平行四辺形の面積と等しい。 したがって, A B 2 1 ´ とすれば, A とBがつくる三角形の面積と等しくなる。 例 O
(
0,0,0)
,A(
ax,ay,az)
,B(
bx,by,bz)
を頂点とする三角形OAB の面積について ふつうに求める場合 書く手間を少なくする目的でOA=a,OB=bとおくと, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x a a a a ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x b b b b( )
(
)(
)
(
)
(
)
2(
)
2(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 AOB x y y x z x x z y z z y z z y y x x z y x z y x b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a b a b a -+ -+ -= + + -+ + + + = × -= D \ 外積から求める場合 ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ -= ´ x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a b a より,(
)
2(
)
2(
)
2 2 1 2 1 AOB x y y x z x x z y z z yb a b a b a b a b a b a b a -+ -+ -= ´ = D 2.2 つの空間ベクトルがつくる平面に垂直なベクトル(法線ベクトル)を求める場合 外積の定義より,A´ は AB とBがつくる平面に垂直である。 例 O(
0,0,0)
,A(
ax,ay,az)
,B(
bx,by,bz)
を含む平面に垂直なベクトル(法線ベクトル)は, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x a a a OA , ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x b b b OB より, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ -= ´ x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a OB OA11 3.2 つの空間ベクトルがつくる平面の方程式 平面の方程式について 法線ベクトル ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = c b a とし,点P
(
a,b,g)
を含む平面上の任意の点を(
x ,,y z)
とすると, 0 = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -× ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ g b a z y x c b a より,a(
x-a) (
+b y-b) (
+c z-g)
=0 よって,この平面の方程式は,a(
x-a) (
+b y-b) (
+c z-g)
=0 外積と平面の方程式 平面上の互いに独立な2 つのベクトルの外積は,その平面の法線ベクトルだから, 外積から平面の方程式が求められる。 例 O(
0,0,0)
,A(
ax,ay,az)
,B(
bx,by,bz)
を含む平面の法線ベクトルは, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x a a a OA , ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = z y x b b b OB より, ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ -= ´ x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a OB OA だから, 平面の方程式は,(
aybz -azby)
(
x-ax) (
+ azbx -axbz)
(
y-ay) (
+ axby -aybx)
(
z-az)
=0 4.四面体の体積 四面体ABCD のベクトルを下図のようにとると, 四面体ABCD の体積=(
)
6 AD AC AB´ × A B C D12 証明 △ABC を底面とする四面体 ABCD の高さを AH とすると, 四面体ABCD の体積= 3 1 ×△ABC の面積×高さ AH ・・・① △ABC の面積について △ABC の面積 AB AC 2 1 ´ = ・・・② 高さAH について AD AH AH AH AD AH AH DAH cos AD AH DAH cos AD AH AH DAH cos AD AH × = × = Ð = Ð = Ð = A B C D H
13 ここで, AH の単位ベクトル AH AH と AC AB´ の単位ベクトル AC AB AC AB ´ ´ は同一ベクトルだから, AC AB AC AB AH AH ´ ´ = より, AD AC AB AC AB AD AH AH × ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ´ ´ = × ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ よって, AD AC AB AC AB AH × ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ´ ´ = ・・・③ ①,②,③より, 四面体ABCD の体積は,