1/30 平成 29 年 3 月 24 日 ( 金 ) 午前 11 時 25 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ) 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (2.18) より ˆ dp 1 1 =

第三章

フェルミ量子場：スピノール場

フェルミ型

ボーズ量子場のエネルギーは、【第二章 ボーズ量子場：スカラー場】の(2.18)より

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) (

)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (

)

( )

† 4 0 2 2 2 † † 2 2 2 1 1 ˆ 2 , 2 d H c a a d p p p m c a a K a m c K a K c q d w w d w w w = = -¢ ¢ é ù = - Ü = + ë û

ò

p p p p

ò

p p p p p p p p p p p p p p

( ) ( )

* K -p =K

( )

p に限る (3.1) である。1 _{一方、フェルミ型は４成分をもち、その成分をa b, =1,2,3,4で示し、}

( )

( )

{

}

{

( )

( )

}

( )

( )

{

}

( )

(

)

† † † , , , 0 2 a a a a a K a a b a b a b w d dab ¢ = ¢ = Ü ¢ = -フェルミ統計を満たす p p p p p p p p k (3.2) である（問題０）。そのとき、フェルミ量子場のエネルギーは

( ) (

)

( )

4

( ) ( )

_{( )}

( )

4

( ) ( )

4 0 2 2 2 † † 1 1 1 1 ˆ 2 d H d p p p m c c a a c a a K a a a K a a a w w q d w = = =

ò

- p

å

p p =

ò

p p

å

p p p (3.3) になり、粒子数は

( ) (

)

4

( ) ( )

_{( )}

4

( ) ( )

4 0 2 2 2 † † 1 1 1 1 ˆ 2 d N d p p p m c a a a a K a a a K a a a q d w = = =

ò

-

å

p p =

ò

p

å

p p p (3.4) である。正しくは、Normal Product が必要：

( )

( )

(

( ) ( )

)

( )

( )

( ) ( )

( )

(

( ) ( )

)

( )

( ) ( )

4 4 † † 1 1 4 4 † † 1 1 1 1 2 2 ˆ _, ˆ 1 1 : : : : 2 2 d d N a a N a a K K H N d d a a a a K c K c a a a a a a a a a a a a w w w w w w = = = = ì ì ï ï ï ï ï ï =_í =_í ï ï ï ï ï ï î î

å

å

ò

ò

å

å

ò

ò

あるいは・・・ あるいは・・・ p p p p p p p p p p p p p p p p p p (3.5) である。 フェルミ型の生成・消滅演算子は、「Appendix 1:ディラック方程式の解」のu_a(1,2,3,4)

( )

p を用いて

( )

4 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

†

_{( )}

4 ( )

_{( )}

( )†

_{( )}

1 1 , i i i i i i a_a u_a a a_a u_a* a = = =

å

=

å

p p p p p p (3.6) で表せる。ここに、u_a( )i

( )

p は、「Appendix 1:ディラック方程式の解」の(3.119)と(3.135)の 1 _{K=1 や K=(2p)}3_{が好まれる。}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

4 † † † 1 4 † 1 j i j i ij i i i u u u u u u a a a ab a b d d = = ì æ₌ ö₌ ï ç ÷ ï è ø í ï ₌ ïî

å

å

  直交条件 完全性条件 p p p p p p (3.7) より、u( )i

( )

p の直交条件と完全性条件を満たす。_u( )i

( )

_{p が(3.137)のように、固有ベクトルに当} たる。つまり、任意の４列ベクトルaa

( )

p は、固有ベクトルu( )i

( )

p で展開でき、その展開係数 がa( )i

( )

p になる。(3.6)はこれを表している。新たな演算子：_a( )i

( )

_{p ,a}( )i†

( )

_{p は、(3.2)を用と同} 様な反交換関係を満たしていて、

( )

( )

{

}

( )

(

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

4 4 4 4 † † 1 1 1 1 † 1 4 4 † 1 , 2 , , , i i i i i i j j i i i j i j i j i j K u a u a u a u a u u a a a a a ab a b a b a b b w d d * * = = = = * = = ¢ = - ¢ ì ü ì _{¢ ¢} ü _{¢ ¢} =_{í ý í}= _ý î þ î þ ¢ ¢ =

å

å

å

å

åå

p p p p p p p p p p p p p p p p p (3.8) より ( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

_{( )}

₍

₎

4 4 † 1 1 , 2 i j i j i j ua ub * a a w Kd dab = = ¢ ¢ = - ¢

åå

p p p p p p p (3.9) が要請される・従って、任意の係数をX p

( )

として、(3.7)を考慮すると ( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

_ai _{p ,a} j† _p¢

}

_=X

( ) (

_{p d p p- ¢}

)

_dij _(3.10) と類推できる。これを(3.9)に代入して ( )

_{( )}

( )

_{( ) ( ) (}

₎

_{( )}

₍

₎

(

)

( )

_{( )}

( )

_{( ) ( )}

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

4 4 1 1 4 4 4 1 1 1 2 2 2 i j ij i j i j ij i i i j i u u X K u u X K u u K X a b ab a b ab a b ab d d w d d d w d w d d * = = * * = = = ¢ - ¢ = - ¢ ¢ ¢ Ü - = = Þ =

åå

åå

å

より p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p (3.11) がわかる。X p

( )

を求めるには、(3.7)：_u( )j†

( )

_{p u}( )i

( )

_{p =d}ij ,

(

_{i j=}1,2,3,4

)

_{を用いる。(3.11)より} ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4 4 4 1 4 † 1 1 1 2 i i 8 i i i a i a u u K K X u u X a aa a w _d w = * = = = = Þ =

å

å

p p p

å

å

p p p p p (3.12) と、(3.7)よりの ( )

_{( )}

( )

_{( )}

4 † 1 4 1 4 i i i ii i u u d = = = =

å

p p

å

(3.13) を比較して

( )

( )

( )

( )

8 K 4 X 2 K X w _w = Þ = p p p p (3.14) である。従って、(3.10)は ( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

_ai _{p ,a} j† _p¢

}

_=2w

( )

_{p Kd}

(

_{p p- ¢}

)

_dij _,

(

_{i j=1,2,3,4}

)

_(3.15) とわかる。

{

_a

( )

_{, a}

( )

}

{

_a†

( )

_{, a}†

( )

}

₀ a p b p¢ = a p b p¢ = を考慮して、反交換関係として ( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

}

( )

(

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

}

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

(

)

† † † , 2 , 1,2,3,4 , , 0 i j ij i j i j a a K i j a a a a w d d ¢ = - ¢ = ¢ = ¢ = p p p p p p p p p (3.16) が導かれる。 さて、u_a(i=3,4)

( )

p は負のエネルギーを持つことを考慮すると（同じ添え字aは和をとる）

( ) ( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

4 4 † † 1 1 4 4 † † , 1 1 i i i i i i i j i j i j i j ij i j a a u a u a u u a a u u u u a a a a a a a a a d * = = * * = = æ öæ ö = ç_è ÷ç_øè ÷_ø = Ü = =

å

å

å

å

p p p p p p p p p p p p p p ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

4 4 † † , 1 1 ij i j i i i j i a a a a d = = =

å

p p =

å

p p (3.17) より、

( ) (

)

( )

( ) ( )

( ) (

)

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

4 4 0 2 2 2 † 1 4 † 4 0 2 2 2 1 1 ˆ 1 i i i H d p p p m c a a K d p p p m c a a K c c a a a q d w w q d = = = -æ ö = - _{ç ÷} è ø

å

ò

å

ò

p p p p p p (3.18) であるが、負のエネルギー解のu_a(i=3,4)

( )

p を考慮して

( ) (

)

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

)

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) 0 2 4 † † 4 0 2 2 2 1 3 2 4 † † 4 2 2 2 0 0 0 1 3 1 ˆ 1 i i i i i i i i i i i i _p H d p p p m c a a a a K d p p m c cp p a a K c p a a w q d d q q w = = = = ₌ æ ö = - _ç - _÷ è ø æ ö = - _ç + - _÷ è ø

å

å

ò

å

å

ò

　 p p p p p p p p p p

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 4 † † 1 3 1 2 i i i i i i d a a c a a K w w = = æ ö = _ç - _÷ è

å

å

ø

ò

p p p p p p p (3.19) である。従って、

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 4 † † 1 3 1 ˆ 2 i i i i i i d H c a a a a K w w = = æ ö = _ç - _÷ è

å

å

ø

ò

p p p p p p p (3.20) で あ る 。 こ こ で 、「Appendix 1: デ ィ ラ ッ ク 方 程 式 の 解 」 に 従 っ て 、 (3.115) の よ う に

(i 3,4)

_{( )}

(i 1,2)

_{( )}

u_a= -p Þv_a= p に転換し、正のエネルギーを持つ生成・消滅演算子で読み替える必要が ある。そこで、u_a(i=3,4)

( )

p Þu_a(i=3,4)

( )

-p を考慮して

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 4 † † 1 3 2 4 † † 1 3 1 ˆ 2 , 1 2 i i i i i i i i i i i i d H a a a a K d f d f f d a a a K c a cw w w w w w = = = = æ ö = _ç - _÷ è ø Ü = - - = æ ö = _ç - - - _÷ è ø

å

å

ò

ò

ò

å

å

ò

は任意の関数 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p (3.21) とする。ここで、 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

4 † 3 i i i a a = -

-å

p p (3.22) の項が負のエネルギーを与えるので、常に正のエネルギーを持つ素粒子としては相応しくない。 そこで ( )

_{( )}

( 2 †)

_{( )}

( )†

_{( )}

( 2)

_{( ) (}

₎

, 1, 2 i i i i b p =a + -p b p =a + -p i= (3.23) の読み替えをする。このとき、以下で見るように  _b( )i†

( )

_{p , b}( )i

( )

_{p が正のエネルギーを持つ反粒子の生成・消滅演算子} になる。また、(3.16)より ( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

}

( )

(

)

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

}

( )

(

)

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

† † † † † † , 2 , , , 0 , 2 , , , 0 i j ij i j i j i j ij i j i j a a K a a a a b b K b b b b w d d w d d ¢ = - ¢ ¢ = ¢ = ¢ = - ¢ ¢ = ¢ = p p p p p p p p p p p p p p p p p p (3.24) を得る（問題３）。生成・消滅演算子の基本式である。 実際には、Normal Product なので、 ( )i

_{( )}

( )i†

_{( )}

( )i†

_{( )}

( )i

_{( )}

₂

_{( ) ( )}

₀ b p b p = -b p b p + w p Kd (3.25) より ( )

_{( )}

( )†

_{( )}

( )†

_{( )}

( )

_{( )}

:_bi _{p b}i _p :_{= -}:_bi _{p b}i _p : (3.26) に注意して

( )

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

( )

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

2 † † 1 2 † † 1 1 ˆ _{: :} 2 1 : : 2 i i i i i i i i i i c d H a a b b K d a a b b c K w w w w = = = -= +

å

ò

å

ò

p p p p p p p p p p p p p p (3.27) を得る。すなわち、

( )

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

2 † † 1 1 ˆ 2 i i i i i d H a a b b K c w w = =

_ò

p

å

p p + p p p p (3.28) になるので、b( )i†

( )

p b( )i

( )

p は正のエネルギーを与えることがわかる。同様に、 ( ) ( )

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 † † 1 2 2 † † 1 1 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 1 ˆ _, ˆ 2 2 i i i i i i i i i i i d N N N a a b b K d d N a a N b b K K w w w + -= + -= = º - = -= =

å

ò

å

å

ò

ò

p p p p p p p p p p p p p p (3.29) である。ボーズ量子場と同様に ( ) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

† † † † ˆ _{, ,} ˆ _{, ,} ˆ _{, ,} ˆ _, i i i i i i i i N a a N a a N b b N b b + + - -é ù= - é ù= ë û ë û é ù_{= -} é ù₌ ë û ë û k k k k k k k k （i=1,2） (3.30) を導くことができる。例えば、é_ëNˆ ,( )+ a( )i

( )

k ù = -_û a( )i

( )

k （i=1,2）を要請して ( ) ( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

{

} {

}

( )

( )

( )

{

( )

( )

( )

( )

}

{

( )

( )

( )

( )

}

( ) ( ) ( )

_{( )}

2 † 1 0 2 † † 2 1 1 ˆ , , 2 , , , 1 , , 2 1 2 ij i i i i i j j i j i j j K d N a a a a K AB C A B C A C B d a a a a a a K d w d d w w + = -= = = é ù é _{ù = ê ú} ë û _{ë û} Ü = -æ ö ç ÷ = _ç - _÷ ç ÷ è ø =

-å

ò

å

ò

p p k p k p p k p p p p k p k p p p

( )

w p 1 K 2w p K

( )

(

)

( )

_{( )}

(

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

2 1 2 2 1 1 j ij j j j i ij ij j j a d a a a d d d d d = = = -= - - = - =

-å

ò

å

å

ò

p k p p p k p k k (3.31) より、 ( ) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

ˆ , i i N + a a é _{ù =} -ë k û k （i=1,2） (3.32) が導ける（問題４）。

量子場の導入

フーリエ変換を使用して、座標空間での演算子を量子場y( )±

( )

x とし

( )

( )

_{( ) ( )}

†

( )

( )

_{( ) ( )}

_† exp , exp 2 2 A d ipx A d ipx x a x a a a a a y y w w æ ö æ ö = _ç- _÷ = _{ç ÷} è ø è ø

ò

p p p _

ò

p p p _ p p (3.33) のフーリエ変換とする。ここに、  A は運動量に依存する係数 である。ボーズ量子場と違い、ya=_1,2,3,4

( )

x はスピノルの添え字

(

a =1, 2,3, 4

)

をもつ。ya

( )

x で

 _p0 _{= -w}

( )

_{p の解のu}( )3,4

( )

_{p をp}0 _=w

( )

_{p の解} ( )1,2

( )

_{p =u}( )3,4

( )

_-p v に接続 する。そのため、

( )

( )

_{( ) ( )}

( )

_{( )}

4 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

1 exp exp 2 2 i i i A d ipx A d ipx x a u a a a a y w w = æ ö æ ö = _ç- _÷= _ç- _÷ è ø

å

è ø

ò

p p p _

ò

p p p p _ p p

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 0 0 2 4 1 3 0 0 2 1 0 4 3 2 1 exp exp 2 exp 2 exp ex 2 i i i i i i i i i _p i i i _p i i i A d ipx ipx u a u a i x i u a A d i x i u a u a p A d p a a a w a w a w w w = = = ₌ = =-= æ æ ö æ öö = _{ç ç}- _÷+ _ç- _÷÷ è ø è ø è ø æ _{æ - ö} ö -ç _{ç ÷} ÷ è ø ç ÷ = ç ÷ æ - ö ç_{+ -} ÷ ç ÷ ç ÷ ç _{è ø} ÷ è ø =

å

å

ò

å

ò

å

å

    p p p p p p p p p px p p p p p _px p p p p p p p

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

( )

)

0 0 4 3 p exp i i i i x i i x i u_a a w w = æ æ - ö ö -ç ç ÷ ÷ ç è ø ÷ ç _{æ ö}÷ -ç_{+ ç-} - _÷÷ ç ç_è ÷_ø÷ è ø

ò

å

  px p p p p px (3.34) に、「第二章 ボーズ量子場：スカラー場」－「Appendix 1:空間反転と積分」の

( )

( )

(

( )

)

d f = d f - f

ò

p p

ò

p p p は任意の関数 (3.35) を使って、

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

0 2 1 0 4 3 0 2 1 0 2 2 1 exp 2 exp exp 2 exp i i i i i i i i i i i i i x i u a A d x i x i u a i x i u a A d i x i a w w a a a a a w y w w w w w -= = = + = = æ æ - ö ö -ç ç ÷ ÷ ç è ø ÷ ç _{æ ö}÷ æ ö ç ÷ = _ç ç ç ÷ - ÷_÷ ç è ø ÷ ç+ - - _ç- _÷÷ ç _{ç ÷}÷ ç _{ç ÷}÷ è ø è ø æ - ö -ç ÷ è ø = æ - ö + - -- _{ç ÷} è ø

-å

ò

å

å

å

    p p p p p p px p p p p p x p p p p px p p p p p _x p p v

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 _{( )} 2 2 2 1 1 exp exp 2 i i i i i i _p A d ipx ipx u_a a _a a w w + = = ₌ æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø æ æ ö æ öö = _{ç ç}- _÷+ - _{ç ÷÷} è ø è ø è ø

ò

å

å

ò

_{ } p p p p p p p p v (3.36) ここで、b( )i

( )

p =a( )i+2

( ) (

-p i=1, 2

)

より

( )

( )

_{( )}

2 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )†

_{( )}

1 exp exp 2 i i i i i A d ipx ipx x u a b a a a y w = æ æ ö æ öö = _{ç ç}- _÷+ _{ç ÷÷} è ø è ø è ø

å

ò

p p p p _ p p _ p v (3.37)

である。 「第二章 ボーズ量子場：スカラー場」の(2.31)交換関係に対応する反交換関係は、

( )

( )

{

}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 2 † 1 † † 1 exp , , 2 exp exp 2 exp i i i i i p i i i i i ipx u a A d x x ipx b ip x u a A d ip x b a a b w a b b y y w w = = * = * ì æ æ_- ö ö ï ç ç ÷ ÷ ï _ç è ø _÷ ¢ _{= í} ç _{æ ö}÷ ï _{ç+ ç ÷÷} ï _{è è øø} î ¢ ¢ æ _{¢ ¢} æ ö ö ç ÷ ç ÷ ¢ ¢ _{ç è ø ÷} ¢ ç _{¢ ¢ æ} ¢ ¢_ö÷ + _ç- _÷ ç _{è ø}÷ è ø

å

ò

    p p p p p p p p p p p p p p v v

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 0 0 2 † 2 2 1 † 1 exp exp , 2 2 exp exp p i i i i i i i i i i p p ipx ip x u a u a A d A d ipx ip x b b w a b w w a b w w = * = = * ¢ ¢ = = ü ï ï ý ï ïþ ì æ æ_- ö ö æ _{¢ ¢} æ ¢ ¢ö öü ï ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ï ¢ _{¢ ï ç è ø ÷ ç è ø ÷ï} = _{í ý} ¢ _ï ç _{æ ö}÷ ç _{¢ ¢ æ} ¢ ¢_ö÷_ï + _{ç ÷} + _ç- _÷ ç ÷ ç ÷ ï _{è è øø è è øø}ï î þ

å

ò

å

å

ò

ò

    p p p p p p p p p p p p p p v v (3.38)

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 0 2 2 † 1 1 2 2 † 1 1 2 2 , exp exp , exp exp p p i i i i i i i i i i i i A d A d ipx ip x u a u a ipx ip x b b w w a b a b w _{¢ ¢} w = = * = = * = = ¢ ¢ = ¢ æì _{¢ ¢} ü æ_- ö æ ¢ ¢ö ö í ý ç ç_è ÷_ø ç_è ÷_ø ÷ î þ ç ÷ ç _{ì ü æ ö æ ¢ ¢ö}÷ ¢ ¢ + -ç _{í ý ç ÷ ç ÷}÷ ç _{î þ è ø è ø}÷ è ø

ò

ò

å

å

å

å

    p p p p p p p p p p p p p p v v になる。反交換関係は、 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

}

( ) ( ) (

)

( )

_{( )}

( )

_{( ) ( ) (}

₎

( )

_{( )}

( )

_{( ) ( ) (}

₎

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

0 2 2 † 1 2 † , 1 † 2 2 , 0 1 1 1 2 1 , , 2 2 2 2 , i j i j i j i j ij i j ij i i i i i i i j i i i i i p i i u u a a a a K u u K u u K p mc u u u p u a u a _{a b} a b a b a b ab _w a b w d d w d d w d * * = * * = = = = = = ì _{¢ ¢} ü í ý= ¢ ¢ ¢ ¢ Ü = -¢ ¢ = - = -+ æ ö Ü _{= ç ÷} ø î þ è

å

å

å

å

å

å

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

(

p

(

( )

( )

)

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( )

( ) (

)

( )

( ) (

)

(

)

(

)

0 0 † 0 2 † 0 0 1 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 i i i i p p u p mc u u p p mc K p mc K p p mc K b _b a b ab _w ab _w b ab a g g g w d g w d g g d w = = = = + æ ö Ü _{= ç ÷} è ø + æ ö _¢ =_{ç ÷} -è ø æ + ö _¢ =_{çç ÷÷} - = + ¢ è ø

-å

p p p p p p p p p p p p p p (3.39)

を得る。そして、 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

}

( ) (

)

( )

_{( )}

( )

_{( ) ( ) (}

₎

( )

_{( )}

( )

_{( ) ( ) (}

₎

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

2 † , 1 † 2 2 , 1 1 2 2 2 2 † 1 1 0 1 1 , , 2 2 2 , i j i j i j i j ij i i i i j ij i j i j i i i i i i i i i i _{b b} b b K K p m b b K a b a b a b a b b b b a b a w d d w d d w d g * = * * = = * ¢ ¢ ¢ = = * = = ì _{¢ ¢} ü í ý î þ= ¢ ¢ ¢ ¢ Ü = -¢ ¢ ¢ = - = -Ü = =

å

å

å

å

å

å

å

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p v v v v v v v v v v v v ( ) 0 0 0 0 2 2 p p p m p ab _w g = æ ö ç ÷ è ø -= p ( )

( )

0 0 ₂ p ab _w g w = æ ö ç ÷ ç ÷ è ø _p p _K

(

)

(

_p 0 _m 0

)

_K

(

)

ab d p p- ¢ = g - g d p p- ¢ (3.40) なので、(3.38)より

( )

( )

{

}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 0 2 2 2 † 1 † 1 2 † 1 1 , 2 2 exp exp exp , exp , i i i i i i i i i i i i p p A d A d x x ipx ip x ipx ip x b b u a u a a b w a a b w b y y w _{¢ ¢} w = * = = * = = = ¢ ¢ ¢ = ¢ æì _¢ ü æ_- ö æ ¢ ¢ö ö ç ç_è ÷_ø ç_è ÷_ø ÷ ç ÷ ç _{æ ö æ ¢ ¢ö}÷ + -ç _{ç ÷ ç ÷}÷ ç ¢ í ý ÷ è ø è ø è ì _{¢ ¢} ü í î þý ø î þ

ò

ò

å

å

å

å

    p p p p p p p p p p p p p p v v

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 exp exp 2 2 exp exp exp exp 4 p p p p ipx ip x A d A d ipx ip x ipx ip x p m K p m p mc c A K K d w a w b w a b a b g g w w g g d g g d w ¢ ¢ = = ¢ = = ¢= ¢ ¢ æ æ_- ö æ ö ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ¢ ¢_{ç è ø è ø ÷} = ¢ ç₊ æ ö æ_- ¢ ¢ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ¢ _{è ø è ø}÷ è ø ¢ ¢ æ ö + _ç- _÷ è -ø ¢ = +

ò

ò

ò

      p p p p p p p p p p p p p p p

₍

_{0 0}

₎

exp ipx exp ip x

p m ab g g æ æ ö ö ç ÷ ç _{è ø} ÷ ç ÷ ç_{+ -} æ ö æ_- ¢ ¢ö÷ ç ÷ ç ÷ ç _{è ø è ø}÷ è   ø

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 0 0 2 exp exp 4 KA d ip x x ip x x p mc p mc ab g g w æ æ - ¢ ö æ - ¢ öö = _çç + _ç- _÷+ - _{ç ÷÷÷} è ø è ø è ø

ò

p p_{p  } (3.41) なので、両辺にg を乗じて₀

( ) ( )

{

}

( )

_{( )}

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 exp , 4 exp ip x x p mc KA d x x ip x x p mc ab a _b ab y y w æ æ - ¢ öö + -ç ç ÷÷ è ø ç ÷ ¢ = _{ç ÷} ¢ -æ ö ç_{+ - ç ÷}÷ ç _{è ø}÷ è ø

ò

  p p p (3.42) を得る（問題５）。また、同時刻（_x0 _=x¢0_{）の交換関係を評価すると、}

( )

( )

{

}

( )

_{( )}

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 2 † 2 0 0 exp , 4 exp x x i p mc KA d x x i p mc ab a b ab g g y y w g g ¢ = æ æ - ¢ ö ö + ç ç ÷ ÷ è ø ç ÷ ¢ = _{ç ÷} ¢ -æ ö ç_{+ - ç- ÷}÷ ç _{è ø}÷ è ø

ò

  p x x p p p _{p x x} (3.43) になる。第２項は、

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

(

( )

)

)

(

)

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

(

(

( )

( )

)

)

( )(

)

( ) ( )

( )

2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 exp 4 exp 4 exp 4 KA d i p mc p KA d i mc d f d f f KA d i mc KA d ab ab ab w w g g w g w w g g g w w g g g w - = ¢ -æ ö - _ç- _÷Ü = -è ø ¢ -æ ö = - - _ç- _÷ è ø Ü = -¢ - -æ ö = - - - - _ç- _÷ - _{è ø} =

ò

ò

ò

ò

ò

   は任意の関数 p p p p p x x p p p p p p x x p p p p p p p p p p p x x p p p p p g g g

( )

(

(

( )

0

)

0 0

)

(

)

2 exp 4 i mc ab w g g g w ¢ -æ ö + - _{ç ÷} è ø

ò

p p p x x_ p g (3.44) なので、

( )

( )

{

}

0 0

( )

_{( )}

( )

2 † 0 2 , 4 x x KA d x x a b y y w g w ¢ = ¢ =

ò

p p p - p p

(

g

)

0 _mc 0 g + g

(

)

(

)

( )

( )

( )

2 0 2 exp 4 i KA d ab w g w ¢ -æ ö ç ÷ è ø +

ò

+  p x x p p p p p

(

g

)

0 _mc 0 g - g

(

)

(

)

( )

( )

(

( )

)

(

)

( )

( )

(

)

2 2 0 0 2 exp 2 exp exp 4 2 i AK d i KA d i ab ab ab w g g d w w ¢ -æ ö ç ÷ è ø ¢ ¢ - -æ ö æ ö = _{ç ÷}= _{ç ÷} è ø è ø

ò

ò

   p x x p p p x x p p p x x p p p (3.45) であるが、この反交換関係は、

( )

( )

{

}

0 0

(

)

† , x x x x c a b ab y y d d ¢ = ¢ 要請する= _ x x- ¢ (3.46) を満たす（(3.95)参照）。従って、

( )

( )

{

}

0 0

( )

_{( )}

(

)

₍

₎

(

)

† 2 3 1 2 , exp exp 2 x x d i i x x KA c d a b ab ab y d w y p d ¢ = ¢ ¢ - -æ ö æ ö ¢ = _{ç ÷ ç ÷} è = è ø ø

ò

_ 

ò

  要請する p p x p x p x p x p (3.47) なので、

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

2 3 3 ₂ 2 , 2 2 c A A A K K c K K A w w p p = - = Ü - = Ü =     p p p p p p p p p p (3.48) を得る。従って、

( ) ( )

{

,

}

_{( )(}

₎

3

(

)

exp

(

)

(

)

exp

(

)

2 2 ip x x ip x x cd x x p mc p mc a b ab ab y y w p æ æ - ¢ ö æ - ¢ öö ¢ = _çç + _ç- _÷+ - _{ç ÷÷÷} è ø è ø è ø

ò

_p p _{  } (3.49)

である。更に

( ) ( )

{

}

₍

4

₎

( ) (

0 2 2 2

)

(

)

(

)

3 , exp 2 ip x x d p x x c p p m c p mc a b ab y y e d p ¢ -æ ö ¢ = - + _ç- _÷ è ø

ò

   (3.50) と整理することができる。また、

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

4 0 2 2 2 3 4 0 2 2 2 3 exp 2 1 exp 2 ip x x mc d p i p p m c ip x x d p p p m c p mc ab ab e d p e d p ¢ -æ ö æ _{¶ +} ö _- -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ¢ -æ ö = - + _ç- _÷ è ø

ò

ò

    _  (3.51) に気がつくと、

( ) ( )

{

}

₍

₎

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

( ) ( )

4 2 0 2 2 3 4 0 2 2 2 3 , exp 2 exp 2 , ip x x d p x x c p p m c p mc mc i m ip x x d p c p p m c i x x a b ab ab ab y e d p f f y e d p ¢ -æ ö ¢ = - + _ç- _÷ è ø æ ö = ¶ +_{ç ÷} è ø æ ö = ¶ +_{ç ÷} è ¢ -æ ö - _ç- _÷ è ø é _û ø ë ¢ ù

ò

ò

        (3.52) がわかる。以上から ( )

_{( )}

( )

_{( )}

{

}

( ) (

)

{

( )

_{( )}

( )

_{( )}

}

_{( )}

₍

₎

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

( )

(

) ( )

( ) ( )

{

}

_{( )}

( ) (

)

(

)

(

)

† † 2 † 3 1 4 0 2 2 2 3 , 2 , , 2 2 exp exp 2 2 , exp 2 i j ij i j ij i i i i i a a K b b K A d ipx ipx c x u a b A K ip x x d p x x c p p m c p mc a a a a b ab w d d w d d w y w p y y e d p = = - = -æ æ ö æ öö = _{ç ç}- _÷+ _{ç ÷÷}Þ = è ø è ø è ø ¢ -æ ö ¢ = - + _ç- _÷ è ø

å

ò

ò

     _ p k p p k p k p p k p p p p p p p p p v p

( )

( ) (

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

{

}

0 0

(

)

4 2 0 2 2 2 3 † exp 2 , , x x ip x x mc d p i c p p m c mc i x x x x c ab ab a b ab e d p f f y y d d ¢ = ¢ -æ ö æ ö = ¶ +_{ç ÷} - _ç- _÷ è ø _{è ø} æ ö _¢ = ¶ +_{ç ÷ ë}é ù_û è ø ¢ = - ¢

ò

     x x (3.53) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

₍

₎

2 2 1 1 † 0 † 0 , 2 2 , , , 1,2 j j i i i i j i ij j i ij j i ij j i ij p mc p mc u u mc u u u u p mc i j p a b a b ab ab w w d d d d = = æ + ö æ - ö =_{çç ÷÷} =_{çç ÷÷} è ø è ø = = = = =

å

p p

å

p p p p p p p p p p p p v v v v v v (3.54) がわかった。

生成・消滅演算子と量子場

「第二章 ボーズ量子場：スカラー場」に習って

( )

0 x x y ¶ ¶ を調べると

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 0 2 3 0 1 † 0 2 † 1 exp 2 2 ₂ exp exp exp 2 i i i i i p i i i i i ipx u a x A d x c A x _b ipx K x A d i ipx ipx u a b a a w a a a y w w _p w w = = = ¶ æ æ_- ö ö ç ÷ ç ÷ ¶ _{= ç} ¶ è ø _{÷Ü =} ¶ ç₊ ¶ æ ö÷ ç ÷ ç _{¶ è ø}÷ è ø æ æ ö æ öö = _ç- _ç- _÷+ _{ç ÷÷} è ø è ø è ø

å

ò

å

ò

       p p p p p p p p p p p p p p p p p v v (3.55) なので、

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

2 † 1 2 † 0 1 exp exp 2 exp exp 2 i i i i i i i i i i A d ipx ipx x u a b x A d ipx ipx i u a b x a a a a a a y w y = = æ æ ö æ öö = _{ç ç}- _÷+ _{ç ÷÷} è ø è ø è ø ¶ ₌ æ_- æ_- ö₊ æ öö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ¶ _{è è ø è øø}

å

ò

å

ò

     v v p p p p p p p p p p p p p (3.56) である。y

( )

x がディラック方程式を満たすことを示す。y

( )

x に_g0æ _{i Ñ +}mcö ç ÷ è- g  øを掛け

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 2 0 1 0 † exp 2 exp i i i i i mc ipx u a A d mc x mc ipx b a a a g g i y w g = æé æ ₊ ö ù æ_- ö ö çê_ë ç_è ÷_ø ú_û ç_è ÷_ø ÷ æ æ _{Ñ +} ö ö ₌ ç ÷ ç ÷ ç _{è ø} ÷ _{ç ÷} é ù è ø _ç+ æ ₊ ö æ ö_÷ ç ÷ ç ÷ ê ú ç _{ë è ø û è ø}÷ è ø

å

ò

       p p p p p p _p p p v g - g g -(3.57) を得る。また、(3.117)：_w

( )

_{p u}( )1,2

( )

_{p =g}0

(

_{gp+mc u}

)

( )1,2

( )

_{p , w}

( )

_{p v}( )1,2

( )

_{p =g}0

(

_gp-mc

)

_v( )1,2

( )

_p を用いると、(3.57)は

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

0 2 1 0 † 2 † 0 1 exp 2 exp 1 exp exp 2 i i i i i i i i i i mc ipx u a A d mc ipx b A d ipx ipx x u a b i x a a a a a g w _g y = = + æé ù æ_- ö ö ç ÷ çê_ë ú_{û è ø} ÷ ç ÷ ç₊é + ù æ ö÷ ç _{êë úû} ç_è ÷_ø÷ è ø ¶ æ æ ö æ öö = _{ç ç}- _÷- _{ç ÷÷}= ¶ è ø è ø è ø

å

ò

å

ò

       v v p p p p p p p p p p p p p p p g -g (3.58) を得る（問題６）。即ち、

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 0 0 0 0 0 0 0 x x mc mc i x i i x i x x mc mc i i x i x a a y y g y y g g y y ¶ ¶ æ æ _{Ñ +} ö ö _{= Þ}æ _{Ñ +} ö ₌ ç ÷ ç ÷ ç _{è ø} ÷ _{¶ è ø ¶} è ø æ ö æ ö Þ_ç ¶ + Ñ - _÷ = Þ ¶ -_{ç ÷} = è ø è ø     - g - g g (3.59) より、ディラック方程式：

( )

( )

0

( )

0 0 x mc mc i x i i x x y y æ ¶ g y ö æ _{¶ -} ö _{= =} æ _{Ñ +} ö ç ÷ ç ÷ _¶ ç ÷ è  ø _è è- g  ø _ø (3.60) が成り立つ。 さて、生成・消滅演算子をy_a

( )

x と

( )

₀x x a y ¶ ¶ であらわすために、(3.56)を更に書き換えてゆく。

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 2 0 1 _† 0 0 ₀ † exp exp 2 exp exp 2 exp exp 2 exp exp 2 i i i _{i i} i i i i i x u a i x A d i x b i i x u a i x i A d x _{i x} b i a a a a a a w w y w w w y w = æ æ_- ö ö ç ç ÷ _{æ ö} ÷ è ø ç _{ç ÷} ÷ ç _{è ø} ÷ = ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ ç _{è ø æ ö}÷ ç+ _ç- _÷÷ ç _{è ø}÷ è ø æ ö -ç ÷ _{æ ö} è ø - _{ç ÷} ¶ _{è ø} - = ¶ _{æ ö} ç ÷ _æ è ø + _ç -è

å

ò

          p p px p p p p p px p p p px p p p p px v v 2 1 i= æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç _ö÷ ç _÷÷ ø è ø

å

ò

(3.61) なので、

_ò

d fp

( )

p =

_ò

d fp

( )

-p

(

f

( )

p は任意の関数

)

よりexpæ_ç-i ö_÷ è  ø px の項に p® -p を施し、フ ーリエ変換

( )

( )

( )

(

)

3

( )

1 exp exp 2 i i f d f f d f p æ ö æ ö = _{ç ÷}Þ = _ç- _÷ è ø è ø

ò

px_{ }

ò

px_ x p p p x x (3.62) より、

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

(

)

( )

0 0 2 2 † 1 1 3 exp exp 2 2 1 exp 2 i i i i i i i x i x A u a A b i d x a a a w w w w y p = = æ ö æ ö - - - -ç ÷ ç ÷ è ø₊ è ø -æ ö = _ç- _÷ è ø

å

å

ò

    p p p p p p p p px x v

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

)

( )

0 0 2 2 † 1 1 3 0 exp exp 2 2 1 exp 2 i i i i i i i x i x A u a A b x i d i x a a a w w y p = = æ_- ö _{- - -} æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø - + ¶ æ ö _{æ ö} = _ç- _{÷ ç}- _÷ ¶ è ø è ø

å

å

ò

      v p p p p p p px x (3.63) を得る（問題７）。これから、(3.48)よりA

( )

p = A

( )

-p なので

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( ) ( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 0 2 2 † 1 1 3 0 0 2 2 † 1 1 exp exp exp 2 2 ₂ exp exp 2 2 i i i i i i i i i i i i i x i x u a b i d x A i x i x u a b a a a a a w w w y p w w = = = = æ_- ö _{- -} æ ö ç ÷ ç ÷ _{æ ö} è ø₊ è ø ₌ -ç ÷ è ø æ ö æ ö - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø - +

å

å

ò

å

å

     p p p p p px x p p p p p v v

( ) ( )

3

( )

0 exp 2 x i d i x A a y p ¶ æ ö _{æ ö} = _ç- _{÷ ç}- _÷ ¶ è ø è ø

ò

  px x p (3.64) として、両辺を引き算すれば、 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

0 2 3 1 3 0 exp exp 2 exp 2 i i i i x i u a d x A x i d i x A a a w w _y p y p = æ_- ö₌ æ_- ö ç ÷ ç_è ÷_ø è ø ¶ æ ö _{æ ö} - _ç- _{÷ ç}- _÷ ¶ è ø è ø

å

_ò

ò

 _     p px p p x p px x p

(

) ( )

( ) ( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

) ( )

( ) ( )

( )

3 0 0 2 3 0 1 1 exp 2 1 exp 2 i i i x i d x i x A x i x i u a d x i x A a a a y w y p y w w y p = ¶ æ ö _{æ ö} = _ç + _{÷ ç}- _÷ ¶ è ø è ø ¶ æ ö æ - ö Þ = _ç + _{÷ ç ÷} ¶ _{è ø} è ø

ò

å

_ò

      px x p p px p p x p p (3.65) 同様に、両辺を足し算すれば、 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

0 2 † 3 1 3 0 exp exp 2 exp 2 i i i i x i b d x A x i d i x A a a w w _y p y p = æ ö æ ö - - _{ç ÷}= _ç- _÷ è ø è ø ¶ æ ö _{æ ö} + _ç- _{÷ ç}- _÷ ¶ è ø è ø

å

_ò

ò

 _     v p p p x px p px x p

(

) ( )

( ) ( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

) ( )

( ) ( )

( )

3 0 0 2 † 3 0 1 1 exp 2 1 exp 2 i i i x i d x i x A x i x i b d x i x A a a a y w y p y w w y p = ¶ æ ö _{æ ö} = _ç - _{÷ ç}- _÷ ¶ è ø è ø ¶ æ ö æ + ö - - = _ç - _{÷ ç}- _÷ ¶ _{è ø} è ø

ò

å

_ò

      v px x p p px p p x p p (3.66) である。また、 p® -p にし、_w

( )

_{p = p}2_{+m c}2 2 _=w

( )

_{-p に注意すれば、} ( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

) ( )

( ) ( )

( )

0 2 † 3 0 1 1 exp 2 i i i x i x i b d x i x A a a y w w y p = ¶ æ ö æ - ö = _ç - _{÷ ç}- _÷ ¶ _{è ø} è ø

å

_ò

 _  v p p x p px p (3.67) を得る。以上から、 ( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

) ( )

( ) ( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

) ( )

( ) ( )

( )

0 2 3 0 1 0 2 † 3 0 1 1 exp 2 1 exp 2 i i i i i i x i x i u a d x i x A x i x i b d x i x A a a a a y w w y p y w w y p = = ¶ æ ö æ - ö = _ç + _{÷ ç ÷} ¶ _{è ø} è ø ¶ æ ö æ - ö = _ç - _{÷ ç}- _÷ ¶ _{è ø} è ø

å

ò

å

_ò

      px p p x p p px p p x p p v (3.68) である。、_u( )j†

( )

_{p u}( )i

( )

_{p =d}ij, _v( )j†

( )

_{p v}( )i

( )

_{p =d}ij_{より、両辺に。u}( )j†

( )

_{p ,} ( )j†

( )

_p v を乗じて