リ一ノルムに関するいくつかの予想
国際基督教大学
森本光生
1999
年
8
月
16
日から
21
日に福岡で開催された第
2
回
ISAAC
会議にお
いて、
筆者は藤田景子と共同で、
双対リー球上の正則関数の
2
重級数展
開について発表した
([2])
。その結果を見ると、
リーノルムと双対リーノ
ルムを繋ぐノルムの連続な系列が存在すると予想できる。
1
リーノルムと双対リーノルム
$||.T’||$
で
$\mathbb{R}^{7?}$上のユークリッドノルムを表す。
$\mathbb{R}^{t?}$.
の複素化
$\mathbb{C}^{n}$上に定義さ
れる
$||x||$の交差ノルムを
$L(z)$
で表すことにする。
$L(z)= \mathrm{i}_{\mathrm{l}1}\mathrm{f}\{\sum_{j=1}^{\mathrm{J}}f|\lambda_{j}|||.\mathit{1}r_{j}\text{ノ}||;z=\sum_{j=1}^{\Lambda i}\lambda j^{X}j,$$\lambda \mathit{1}j\in \mathbb{C},$$x_{j}\in \mathbb{R}^{n}\}$
$L(z)$
はりーノルムといい、
次のようにも表示できる。
(1)
ここで、
$z=(Z_{1}, Z_{2}, \cdots, z_{n}.)$としたとき、
$||z||^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\cdots+|z_{n}|^{2}$,
$z^{2}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots+z_{n}^{2}$である。
–方、
双対リーノルム
$L^{*}(z)$は次式で定義される。
$L^{*}(z)=\mathrm{s}\iota\iota \mathrm{p}\{|z\cdot\zeta|;L(\zeta)\leq 1\}$ここで、
$z=(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{3})$と
(
$=(\zeta_{1},\dot{\mathrm{t}}_{2},$ $\cdots,$ $(_{n})$に対して、
$z\cdot\zeta=z_{1}(\mathrm{l}+z_{2}(_{2}+\cdots+z_{n}.\zeta_{n}$数理解析研究所講究録
1158 巻 2000 年 58-60
58
である。
$L^{*}(z)$は次のようにも表示できる。
$L^{*}(z)= \sqrt{(||\tilde{\mathcal{L}}||^{2}+|Z2|)/2}=\frac{1}{2}(L(Z)+\frac{|z^{2}|}{L(z)})$さて、
$\frac{|z^{2}|}{L(z)}=\sqrt{||x^{\sim}||^{2}-\sqrt{||z||^{4}-|Z|^{2}2}}$に注意すれば、
$L^{*}(z)= \frac{1}{2}(\sqrt{||Z||2+\sqrt{||Z||^{4}-|/_{\vee}\sim 2|^{2}}}+\sqrt{||z||^{2}-\sqrt{||Z||^{4}-|Z^{\mathit{2}}|2}})$(2)
とも表示できる。
(
以上については、
[1]
および団を参照。
)
また、
$\mathbb{C}^{\gamma\}}$上のユークリッドノルム
$||z||$は次のように表示できる。
$||z||= \{\frac{1}{2}((||z||^{2}+\sqrt{||Z||4-|Z^{2}|^{2}})+(||z||^{2}-\sqrt{||z||^{4}-|Z|^{2}2}))\}^{1/2}$
(3)
2
予想
$\mathit{1})\geq 1$に対して、
$\mathbb{C}^{7?}$上の関数
$N_{p}(z)$を次のように定義する。
$N_{p}(z)=\{\underline{\frac{1}{?}}((||z||^{2}+\sqrt{||Z||^{4}-|Z|^{2}2})^{p/2}+(||z||^{2}-\sqrt{||Z||^{4}-|Z^{2}|2})^{p/2})\}^{1/p}$(2)
より
$l\mathrm{V}_{\mathrm{t}}(z)=L^{*}(z)$であり、
(3)
より
$N_{2}(z)=||z||$
である。
また、
(1)
よ
り
$N_{\infty}(Z)=L(z)$
と自然に解釈できる。 そこで次のように予想を立てる。
予想
(A)
$p\geq 1$に対して、
$N_{l^{J}}(z)$は
$\mathbb{C}^{n}$上のノルムである。
予想
(B)
$1/p+1/q=1$ とすると、
$N_{q}(z)$の双対ノルムは
$N_{p}(z)$である。
すなわち、
$N_{l^{J}}(/\sim.)=\mathrm{s}\iota\iota \mathrm{p}\{|z\cdot(|;N_{q}(\zeta)\leq 1\}$
注意 1
上述のように、
$P=1,2,$
$\infty$のときには、
予想
(A) (B)
共に正
しい。
注意
2’
$n=2$
のときは、
$z=(z_{1}, z_{2})$に対し、
$N_{I)}(z)= \{\frac{1}{2}(|z_{1}+iz_{2}|^{p}+|_{Z}1-iz_{2}|^{\mathrm{P}})\}^{1/p}$
$z \cdot\zeta=z_{1}\zeta 1+Z_{2\mathrm{C}2}=\frac{1}{2}((Z_{1}+iz2)(\zeta 1-i\zeta_{2})+(Z\iota-iZ_{2})((_{1}.+i\zeta_{2}))$
が成り立つので、 予想
$(\mathrm{A})(\mathrm{B})$共に正しい。
注意 3
予想
(A)
は上智大学の木邨拓哉によって、
2000
年
2
月に肯定的
に解決された
([3])。しかし、
予想
(B)
は
2000
年
$0^{\ulcorner}$月現在未だ解決されて
いない。
参考文献
[1] L.
$\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{u}\dot{\mathrm{z}}$kowski: Effective folmula for the
cross
norm
in the
$\mathrm{c}\mathrm{t}1\iota 1^{-}$plexified llnitary space, Zeszyty Nauk
Uniw. Jagiellon.
Prace Mat.,
15(1974),
47–53.
[2] K.
$\mathrm{F}\iota 1.|\mathrm{i}\uparrow \mathfrak{l}\mathrm{a}$all(1
M.
$\mathrm{M}\mathrm{t}$)$\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{t}_{J}\mathrm{o}:\mathrm{H}\mathrm{o}1_{0\mathrm{I}\iota\iota}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{P}\}1\mathrm{i}\mathrm{c}$funct,ions
on
the
dual
Lie
$\dagger)\mathrm{a}\mathrm{l}1,$ $\mathrm{t}_{0}\mathrm{o}$
appear in tlle
Proceedings
of
the second
ISAAC congress,
Fukuoka,
1999
[3] T.
$\mathrm{K}\mathrm{i}_{\mathrm{l}11(1}\mathrm{r}\mathrm{a}$:
Norins
related
to
the Lie
llorln,
(preprint)
(
この論文は、
2000
年
2
月に上智大学に提出された修士論文の
–
部である。 )
[4] M. Morimoto: Analytic
Functionals on
the Sphere, Translations of
$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{1}1)\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}1$
