演習第12回

(1)

幾何学演習問題 XII 1. 曲面 z = x 2 2 + y2 2…(i) を p(u, v) = ( u , v , u 2 2 + v2 2 ) とパラメータライズしたとき、次の各問いに答えなさい。 I. (1) 曲面 (i) について pu , pv , ν をそれぞれ求めなさい。 (2) s を弧長パラメーターとしたとき曲面上の任意の正則曲線 γ(s) = ( u(s) , v(s) , u(s) 2 2 + v(s)2 2 ) について γ′(s) , γ′′(s) および法曲率を求めなさい。 II. (1) 曲面 (i) の第 2 基本量行列を求めなさい。 (2) 曲面上の任意の正則曲線の法曲率は ( u′(s) v′(s) ) ( _L _M M N ) ( u′(s) v′(s) ) と書けることを用いて 2 次形式の理論より曲面 (i) 上の任意の正則曲線の

(2)

2. 曲面 z =−x 2 2 − y2 2…(ii) を p(u, v) = ( u , v , −u 2 2 − v2 2 ) とパラメータライズしたとき、次の各問いに答えなさい。 I. (1) 曲面 (ii) について pu , pv , ν をそれぞれ求めなさい。 (2) s を弧長パラメーターとしたとき曲面上の任意の正則曲線 γ(s) = ( u(s) , v(s) , −u(s) 2 2 − v(s)2 2 ) について γ′(s) , γ′′(s) および法曲率を求めなさい。 II. (1) 曲面 (ii) の第 2 基本量行列を求めなさい。 (2) 曲面上の任意の正則曲線の法曲率は ( u′(s) v′(s) ) ( _L _M M N ) ( u′(s) v′(s) ) と書けることを用いて 2 次形式の理論より曲面 (ii) 上の任意の正則曲線の法曲率は負であることの理由を述べなさい。

(3)

3. 曲面 z = x 2 2 − y2 2 …(iii) を p(u, v) = ( u , v , u 2 2 − v2 2 ) とパラメータライズしたとき、次の各問いに答えなさい。 I. (1) 曲面 (iii) について pu , pv , ν をそれぞれ求めなさい。 (2) s を弧長パラメーターとしたとき曲面上の任意の正則曲線 γ(s) = ( u(s) , v(s) , u(s) 2 2 − v(s)2 2 ) について γ′(s) , γ′′(s) および法曲率を求めなさい。 II. (1) 曲面 (iii) の第 2 基本量行列を求めなさい。 (2) 曲面上の任意の正則曲線の法曲率は ( u′(s) v′(s) ) ( _L _M M N ) ( u′(s) v′(s) ) と書けることを用いて 2 次形式の理論より曲面 (iii) 上の正則曲線の法曲率は正０負の 3 種類のいずれかの値を取りうることがある

(4)

4. 曲面 z = x2_−xy+y2_{…(iv) を p(u, v) = ( u , v , u}2_{− uv + v}2 ₎

とパラメータライズしたとき、次の各問いに答えなさい。

(1) 曲面 (iv) について pu , pv , ν をそれぞれ求めなさい。

(2) 曲面 (iv) 上の任意の正則曲線

γ(s) = ( u(s) , v(s) , u(s)2_{− u(s)v(s) + v}2_{(s) )}

( s は弧長パラメーター) について γ′_{(s) を p} u(s) , pv(s) の線形結合で表しなさい。 (3) (u, v) = (1, 1) であるとき p(1, 1) , pu(1, 1) pv(1, 1) , ν(1, 1) をそれぞれ求めなさい。 (4) 点 p(1, 1) における曲面 (iv) の第 1 基本量行列 および第 2 基本量行列を求めなさい。

(5)

(5) 点 p(1, 1) を通る曲面 (iv) 上のあらゆる正則曲線 について考える。 γ(0) = p(1, 1) とする。 ||γ′(0)|| = 1 より ( u′(0) v′(0) ) ( _{E(1, 1) F (1, 1)} F (1, 1) G(1, 1) ) ( u′(0) v′(0) ) = 1 (a) 点 p(1, 1) における曲線の法曲率は ( u′(0) v′(0) ) ( _{L(1, 1)} _{M (1, 1)} M (1, 1) N (1, 1) ) ( u′(0) v′(0) ) (b) (a) , (b) に ( u′(0) v′(0) ) = ( u′(0) + v′(0)) 2 ( 1 1 ) + ( − u′_{(0) + v}′₍₀₎) 2 ( −1 1 ) を代入することにより点 p(1, 1) における 法曲率の最大値および最小値（主曲率）、主方向を答えなさい。

(6)

5. 曲面 z = x 2 2 +xy+ y2 2 …(v) を p(u, v) = ( u , v , u 2 2 + uv + v2 2 ) とパラメータライズしたとき、次の各問いに答えなさい。 (1) 曲面 (v) について pu , pv , ν をそれぞれ求めなさい。 (2) 曲面 (v) 上の任意の正則曲線 γ(s) = ( u(s) , v(s) , u(s) 2 2 + u(s)v(s) + v(s)2 2 ) ( s は弧長パラメーター) について γ′(s) を pu(s) , pv(s) の線形結合で表しなさい。 (3) (u, v) = (1, 1) であるとき p(1, 1) , pu(1, 1) pv(1, 1) , ν(1, 1) をそれぞれ求めなさい。 (4) 点 p(1, 1) における曲面 (v) の第 1 基本量行列 および第 2 基本量行列を求めなさい。 (5) 問題４ (5) と同様の考察により点 p(1, 1) における 法曲率の最大値および最小値（主曲率）、主方向を答えなさい。

(7)

6. 曲面 z = x 2 2 −2xy+ y2 2 …(vi) を p(u, v) = ( u , v , u 2 2 − 2uv + v2 2 ) とパラメータライズしたとき、次の各問いに答えなさい。 (1) 曲面 (vi) について pu , pv , ν をそれぞれ求めなさい。 (2) 曲面 (vi) 上の任意の正則曲線 γ(s) = ( u(s) , v(s) , u(s) 2 2 − 2u(s)v(s) + v(s)2 2 ) ( s は弧長パラメーター) について γ′(s) を pu(s) , pv(s) の線形結合で表しなさい。 (3) (u, v) = (1, 1) であるとき p(1, 1) , pu(1, 1) pv(1, 1) , ν(1, 1) をそれぞれ求めなさい。 (4) 点 p(1, 1) における曲面 (vi) の第 1 基本量行列 および第 2 基本量行列を求めなさい。 (5) 問題４ (5) と同様の考察により点 p(1, 1) における 法曲率の最大値および最小値（主曲率）、主方向を答えなさい。