Rhines スケールでのエネルギーの蓄積による ブロッキングの数値再現実験

平成

18

Rhines

筑波大学大学院 生命環境科学研究科

地球環境科学専攻

修士

(

)

Rhines

井尾　展悠

Abstract

In this study we conducted numerical experiments of blocking formation using a barotropic S-model developed in the University of Tsukuba, starting from observed initial condtions.

The data used in this study are four-times daily NCEP/NCAR reanalysis for 51 years.

We examine the barotropic component of the atmosphere in order to clarify low-frequency variabilities. The energy of atmospheric blocking is accumulated at the spherical Rhines scale C

exceeding the Rossby wave saturation theory (Tanaka and Terasaki 2006). It is said that the energy level at C

exceeds the saturation level of Rossby waves when a blocking occurs. We conduct numerical experiments to verify this theory by develop- ing the model inserted Wave Maker that assumes baroclinic instability to certain mode (Growth-model). We select initial data for this experiments, firstly random initial date, secondarily 20 blockings listed in Watarai and Tanaka (2002).

As a result, we find that a blocking occurs in the simulation during 40 days for each random initial date. Both of the configurations, i.e, Ω and dipole type, are created in the simulation. For the simulation targeted on the 20 blockings, the Growth-model cre- ates the blocking that is not shown by the normal S-model. It is also shown that the simulation is different from the observal data on the point of onset time and persistence.

Therefore, we support the theory of atmospheric blocking caused by the saturation theory by conducting numerical simulations.

Key words

Atmospheric blocking, Rossby wave, baroclinic instability, spherical Rhines scale

目 次

Abstract i

List of Tables iv

List of Figures v

1

1

1.1

. . . . 1

1.2 Tanaka and Terasaki (2006)

. . . . 2

1.3

. . . . 2

2

3 3

4 3.1

. . . . 4

3.2

. . . . 8

3.2.1

. . . . 8

3.2.2

. . . . 10

3.2.3

. . . . 13

3.2.4 3

. . . . 16

3.3

. . . . 19

3.4

. . . . 21

3.4.1

. . . . 21

3.4.2 Growth

. . . . 22

4

24 4.1

1 :

. . . . 24

4.2

2 :

. . . . 24

4.3 Zonal Index

. . . . 25

5

26 5.1

1

. . . . 26

5.1.1 1990

1

12

00GMT

. . . . 26

5.1.2 5.1.1.

. . . . 27

5.2

2

. . . . 28

5.2.1 1990

2

24

12GMT

. . . . . 28

5.2.2 1989

1

24

00GMT

. . . . . 29

6

31 6.1

. . . . 31 6.2

1

2

. . . . 31

7

33

Acknowledgements 34

表 目 次

1

20

(Watarai and

Tanaka (2002)

. . . . 37

図 目 次

1 2

. . . . 38

2

Rhines

R

. . . . 39

3

. . . . 40

4

. . . . . 41

5 NCEP/NCAR

51

. . . . 42

6

1: NCEP/NCAR

1990

1

12

00GMT～1

18

00GMT

. . . . 43

7

1:NCEP/NCAR

1990

1

20

00GMT～1

26

00GMT

. . . . 44

8

1:1990

1

12

Normal S-model run(1) . . . . 45

9

1:1990

1

12

Normal S-model run(2) . . . . 46

10

1:1990

1

12

00GMT

Normal S-model run

. . . . 47

11

1:1990

1

12

00GMT

Normal S-model run

. . . . 48

12

1:1990

1

12

Growth-model run(1) . . . . 49

13

1:1990

1

12

Growth-model run(2) . . . . 50

14

1:1990

1

12

00GMT

Growth-model run(3) . . . . 51

15

1:1990

1

12

00GMT

Growth-model run

. . . . 52

16

1:1990

1

12

Growth-run

. 53 17

1:1990

1

12

00GMT

Growth-model run

(1) . . . . 54

18

1:1990

1

12

00GMT

Growth-model run

(2) . . . . 55

19

1:1990

1

12

Growth-model run

(3) . . . . 56

20

1:1990

1

4

00GMT

Growth-model run

(1).

3,

5

e-folding time = 4.5 day

. . . . 57

21

1:1990

1

4

00GMT

Growth-model run

(2) . . . . 58

22

1:1990

1

4

00GMT

Growth-model run

(3) . . . . 59 23

1:1990

1

18

00GMT

Growth-model run

圧高度場

(1) . . . . 60 24

1:1990

1

18

00GMT

Growth-model run

圧高度場

(2) . . . . 61 25

1:1990

1

18

00GMT

Growth-model run

圧高度場

(3) . . . . 62 26

1:1990

1

18

00GMT

Growth-model run

圧高度場

(4) . . . . 63 27

2:1996

2

24

12GMT (Onset)

1996

3

1

00GMT (Ma-

ture)

. . . . 64 28

2:1996

2

19

12GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 65 29

2:1996

2

19

12GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 66 30

2:1996

2

19

12GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 67 31

2:1996

2

19

12GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 68 32

2:1996

2

19

12GMT

Normal S-model run

ルギースペクトル図

. . . . 69 33

2:1996

2

19

12GMT

Growth-model run

ギースペクトル図

. . . . 70 34

2:Zonal Index

. . . . 71 35

2:1996

2

19

12GMT

. . . . 72 36

2:1989

1

29

00GMT (Onset)

1989

2

1

12GMT (Ma-

ture)

. . . . 73 37

2:1989

1

24

00GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 74 38

2:1989

1

24

00GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 75 39

2:1989

1

24

00GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 76 40

2:1989

1

24

00GMT

Normal S-model run

Growth run

. . . . 77

41

2:1989

1

24

00GMT

S-model run

スペクトル図

. . . . 78

42

2:1989

1

24

00GMT

Growth-model run

. . . . 79

43

2:Zonal Index

(太平洋域) . . . . 80

44

2:Zonal Index

(大西洋域) . . . . 81

45

2:1989

1

24

00GMT

. . . . . 82

1

1.1

対流圏中高緯度で観測されるブロッキング現象は,一週間から長くて一ヶ月ほどの持 続性をもつため,異常気象の

1

(例えば Tanaka and Milcovich, 1990),

(Colucci and Baumhefner, 1998).

(Traction, 1990),

(Colucci and

Baumhefner, 1998)

ず一般的な予報スキルにおいても,水平分解能が細かくなるほど高くなることが知られて いる. Traction (1990)では, R40と

R80

R40

3

R80

一方,ブロッキングの生成のメカニズムについては,移動性高低気圧が影響を及ぼしてい ると初期のブロッキング研究者によって示唆されていた

(Rex, 1950).

(Mullen, 1987; Nakamura and Wallace, 1990; Tanaka, 1991).

これらはブロッキングの形成過程において,傾圧過程が重要な役割を担っていることを示 唆している. Tanaka (1998)では,総観規模波動の励起メカニズムを取り入れた

R20

Tanaka and Kung (1988)

Tanaka and Terasaki (2006)

20

3

Rhines scale

1.2 Tanaka and Terasaki (2006)

ブロッキング形成において,ロスビー波の砕波は重要である. Garcia (1991)によれ ば,ポテンシャルボルティシティqに対して

∂ q/∂y < 0

(図 1).

(図 5).

2

3

R

= | ^P

r

w

w

|

| σ

w

| (1)

の分布図であり,球面

Rhines

R

= 1

(Tanaka and Terasaki (2006)

C

)

Rhines scale

図

3,4

10

10

Rhines scale

1.3

Tanaka and Terasaki (2006)

,

.

,

Rhines scale

.

Tanaka and Nohara (2001)

S-model

.

,

Tanaka (1998)

WM (Wave

Maker )

,

.

2

本研究では

, NCEP/NCAR (National Center for Environmental Prediction and Na- tional Center for Atmospheric Ressearch) Reanalysis Data

(Kalnay et al.

1996).

NCEP/NCAR Reanalysis Data

, 1948

1

1

(http://www.cdc.noaa.gov/cdc/data.ncep.reanalysis.html)

•

1950

1

1

12

31

•

Four time daily (0000Z, 0600Z, 1200Z, 1800Z)

•

u [ms

]

v [ms

]

φ [gpm]

•

2.5

longitude × 2.5

latitude

•

1000, 925, 850, 700, 600, 500, 400, 300, 250, 200, 150, 100, 70, 50, 30, 20, 10 [hPa]

3

本研究では、

Tanaka (1991;1998)

3

(three- dimensional normal mode functions,

3-D NMFs)

また順圧モデルに関する詳細についても述べる．

3.1

本研究で用いた数値モデルの基礎方程式系である球座標系

(λ, θ, p)

(小倉, 1978).

•

(予報方程式)

∂u

∂t − 2Ωsinθv + 1 acosθ

∂φ

∂λ = − V · ∇ u − ω ∂u

∂ p + tanθ

a uv + F

(2)

∂ v

∂t + 2Ωsinθu + 1 a

∂φ

∂θ = − V · ∇ v − ω ∂v

∂ p − tanθ

a uu + F

(3)

•

(予報方程式)

∂c

T

∂t + V · ∇ c

T + ω ^³ c

T

∂ρ − α ^´ = Q (4)

•

(診断方程式)

1 acosθ

∂ u

∂λ + 1 acosθ

∂vcosθ

∂θ + ∂ω

∂p = 0 (5)

•

(

)

pα = RT (6)

•

(診断方程式)

∂φ

∂p = − α (7)

ただし,

V = (u, v) V · ∇ = u

acosθ

∂

∂λ + v a

∂

∂θ

である.

式

(1)～(6)

λ :

ω :

p

(= dp/dt)

θ :

F

:

p :

F

:

t :

Q :

u :

Ω :

(7.292 × 10

s

) v :

a :

(63712.2km)

φ :

R :

(287.04JK

kg

)

T :

c

:

(1004JK

kg)

α :

3

(1)～(3)

3

(3)

T

α

(4)～(6)

　ここで気温

T

α

φ

T (λ, θ, p, t) = T

(p) + T

(λ, θ, p, t) (8) α(λ, θ, p, t) = α

(p) + α

(λ, θ, p, t) (9) φ(λ, θ, p, t) = φ

(p) + φ

(λ, θ, p, t) (10)

T

(p), α

, φ

p

T

, α

, φ

　これを考慮すると診断方程式

(5),(6)

pα

= RT

(11)

dφ

dp = − α

(12)

pα

= RT

(13)

∂φ

∂p = − α

(14)

　以上の式

(7)～(13)

(3)

∂T

∂t + V · ∇ T

+ ω

µ ∂T

∂p − RT

pc

¶

+ ω

µ dT

dp − RT

pc

¶

= Q

C

(15)

ただし,全球平均気温

T

　ここで,全球平均気温

T

T

T

À T

(14)

3

ω RT

pc

À ω RT

pc

(16)

この近似は,下部成層圏においてよく成り立っている

(Holton, 1975).

　式

(14)

4

γ(p)

(Tanaka,985).

γ(p) = RT

(p)

c

− p dT

(p)

dp (17)

式

(15),(16)

(14)

(17)

∂T

∂t + V · ∇ T

+ ω ∂T

∂p − ωγ p = Q

C

(18)

式

(12),(13)

T

= pα

R = − p R

∂φ

∂p

(17)

∂

∂ t

µ

− p R

∂φ

∂ p

¶

− p

R V · ∇ ∂φ

∂p − ω ∂

∂p

µ p R

∂φ

∂p

¶

− ωγ p = Q

c

(19)

を得る

.

(18)

p/γ

,

∂

∂t

"

−

µ p

Rγ

∂

∂p φ

¶#

− p

Rγ V · ∇ ∂φ

∂p − ωp γ

∂

∂p

µ p R

∂φ

∂p

¶

− ω = pQ

c

γ (20)

となる.式

(19)

(3)

φ

.

(1),(2),(19)

,

(4)

,

(19)

p

4

(4)

.

∂

∂t

"

−

µ ∂

∂p p

Rγ

∂

∂p

¶

φ

#

+ 1

a cos θ

∂u

∂λ + 1 a

∂v

∂θ

= − ∂

∂ p

"

p

Rγ V · ∇ ∂φ

∂p + ωp γ

∂

∂p

µ p R

∂φ

∂p

¶#

+ ∂

∂p

µ pQ c

γ

¶

(21)

また有効位置エネルギー

A = ¹ _{2 Rγ} ^p

µ ∂φ

∂p

¶ 2

の保存性

µ ∂

∂t + V · ∇ + ω ∂

∂p

¶

A = 0 (22)

より,式

(20)

γ(p)

p

∂

∂t

"

−

µ ∂

∂p p

Rγ

∂

∂ p

¶

φ

#

+ 1

a cos θ

∂u

∂λ + 1 a

∂ v

∂θ

= − ∂

∂p

"

p

Rγ V · ∇ ∂φ

∂p + ωp ∂

∂p

µ p Rγ

∂φ

∂p

¶#

+ ∂

∂p

µ pQ c

γ

¶

(23)

(3)

T

α

φ

(u, v, φ

)

3

程式

(1), (2), (22)

Tanaka (1985)

(1), (2), (22)

M ∂U

∂τ + LU = N + F (24)

尚,式

(23)

φ

φ

τ

τ = 2Ωt

(23)

• U:従属変数ベクトル

U = (u, v, φ)

(25)

• M, L:

M = 2Ωdiag

µ

1, 1, − ∂

∂p p

Rγ

∂

∂p

¶

(26) L =

⎛

⎜ ⎝

0 − 2Ω sin θ

2Ω sin θ 0

1 acosθ

∂

∂λ 1 acosθ

∂() cosθ

∂θ

0

⎞

⎟ ⎠ (27)

• N:

N =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

− V · ∇ u − ω

+

uv

− V · ∇ v − ω

−

uu

∂

∂p

"

p²

Rγ

V · ∇

+ ωp

µ

p Rγ

∂φ

∂p

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠ (28)

• F:

F =

µ

F

, F

, ∂

∂ p

µ pQ c

γ

¶¶

(29)

ただし,

diag() :

()

:

.

3.2

3.2.1

3

(基本)

　式

(23)

(F=0)

((¯ u, v, ¯ φ))=0 ¯

(u

,v

)

(23)

N

N =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎝

−

µ

u⁰ acosθ

∂

∂λ

+

¶

u

− ω

u

+

u

v

−

µ

u⁰ acosθ

∂

∂λ

+

¶

v

− ω

v

−

u

u

∂

∂p

"

p² Rγ

µ

u⁰ acosθ

∂

∂λ

+

¶

∂φ⁰

∂p

+ ωp

µ

p Rγ

∂φ⁰

∂p

¶#

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎠

2

N=0

(23)

M ∂U

∂τ + LU

= 0 (30)

U

= (u

, v

, φ

)

これ以降は簡単のため,U⁰

= (u

, v

, φ

)

U = (u, v, φ)

(29)

G

(p)

U(λ, θ, p, τ) = (u, v, φ)

=

X

(u

, v

, φ

)

G

(p)

=

X

U

(λ, θ, τ)G

(p) (31)

ここで,添字の

m

(vertical mode number)

(29)

(U

3

　第

m

∂

∂t

"

− ∂

∂p p

Rγ

∂

∂p (φ

G

)

#

+ G

a cos θ

∂ u

∂λ + G

a cos θ

∂v

cos θ

∂θ = 0 (32)

ここで

φ

(λ, θ, t)

p

∂

∂t

"

− φ

1 G

d dp

p

Rγ

dG

dp

#

+ 1

a cos θ

∂u

∂λ + 1 a cos θ

∂v

cos θ

∂θ = 0 (33)

また

p

∂φ

∂ t 1 G

∂

∂p p

Rγ

∂G

∂ p = 1 a cos θ

∂u

∂λ + ∂v

cos θ

∂θ

⇔ ∂φ

∂ t

µ 1 a cos θ

∂ u

∂λ + 1 a cos θ

∂v

cos θ

∂θ

¶

= G

µ d dp

p

Rγ

dG

dp

¶

(34)

(33)

λ, θ, t

p

− gh

d dp

p

Rγ

dG

dp + 1

gh

G

= 0 (35)

1 gh

∂φ

∂t + 1 a cos θ

∂u

∂λ + 1 a cos θ

∂ v

cos θ

∂θ = 0 (36)

常微分方程式

(34)

(vertical structure equation)

∂u

∂t − 2Ω sin θv

+ 1 a cos θ

∂φ

∂λ = 0 (37)

∂v

∂t + 2Ω sin θu

+ 1 a

∂φ

∂θ = 0 (38)

と導ける.式

(35), (36), (37)

(horizontal structure equation)

h

(L)

(34)

G

(p)

(35)

h

h

(equivalent

height)

3.2.2

　ここでは前節で導いた鉛直構造方程式

(34)

G

(p)

G

(p)

.

(34)

.

L

"

G

(p)

#

+ 1

gh

G

(p) = 0 (39)

ただし,

L = d dp

β R

d dp = β

R d

dp

+ 1

R dβ dp

d dp β(p) = p

γ(p)

とする

.

,

.

ω → 0, as p → 0 (40)

(u, v, w) = 0, atp = p

(41)

(39)

　以上の境界条件

(39),(40)

(42),(45)

.

(19)

,

∂

∂t

µ p

Rγ

∂φ

∂ p

¶

+ω = 0 (42)

上部境界の場合,式

(42)

(40)

(30)

dG

(p)

dp → 0, as p → 0 (43)

という上部境界条件を得る.

　下部境界条件の場合,境界条件

(41)

gw = dφ

dt

¯ ¯

¯ ¯

p=ps

=

"

∂φ

∂t + V · ∇ φ

+ ω ∂φ

∂p

#

p=ps

= 0 (44)

また状態方程式

(5),

(6),

0

∂φ

∂t

¯ ¯

¯ ¯

p=ps

− ω RT

p

= 0 (45)

となる

(T

p

(41)

(44)

ω

(45)

dG

(p)

dp + γ

pT G

(p) = 0, at p = p

(46)

鉛直構造方程式

(38)

(42),(45)

G

(p) = 0

(自明でない解)

(38)

(42)，(45)

G

(p)

h

　この固有値問題については,有限要素法あるいは

Galerkin

(Tanaka, 1985).

Kasahara (1984)

Galerkin

Legendre

P

(p)

G

(p) =

J

X

i=0

a

P

(p) (47)

J

1 p

Z

0

P

(p)P

(p)dp = δ

(48)

a

Z

0

µ d dp

p

Rγ

dG

(p)

dp + 1

gh

G

(p)

¶

P

(p)dp = 0 (49)

に

(46)

Z

0

µ d dp

p

Rγ

d dp

J

X

i=0

a

P

(p)

¶

P

(p)dp + 1 gh

J

X

i=0

a

P

(p)P

(p)dp = 0 (50)

(47)

Legendre

J

X

i=0

a

Z

µ d dp

p

Rγ

d dp P

(p)

¶

P

(p)dp + 1

gh

p

a

= 0 (51)

境界条件

(42), (45)

(46)

, dP

(p)

dp

¯ ¯

¯ ¯

p→0

→ 0, as p → 0 (52)

dP

(p) dp

¯ ¯

¯ ¯

p→0

+ γ(p

)

T

(p

) P

(p

) = 0, at p = p

(53)

(50)

J

X

i=0

K

a

= 1

gh

a

(54)

ただし,

K

= p

RT

(p

) P

(p

)P

(p

) +

Z

0

dp p

Rγ

dP

(p) dp

dP

(p)

dp (55)

とする

.

(53)

,

h

a

,

(46)

G

(p)

.

,

(54)

T

(p)

.

　このようにして得られた鉛直構造関数

G

(p)

,

.Sturm-Liouville

Z

0

G

L

"

G

#

dp = β R G

m^0dGm_dp

¯ ¯

¯ ¯

ps

p=0

−

R

β RdGm

dp dGm0

dp dp

(56)

Z

0

G

L

"

G

#

dp = β R G

dG

dp

¯ ¯

¯ ¯

ps p=0

−

Z

β R

dG

dp

dG

dp dp (57)

式

(55)

(56)

Z

0

µ

G

L

"

G

#

− G

L

"

G

#¶

dp =

"

G

β R

dG

dp − G

β R

dG

dp

#

(58)

(38)

L

"

G

(p)

#

= − 1

gh

G

(p) (59)

L

"

G

(p)

#

= − 1 gh

G

(p) (60)

それぞれを式

(57)

(42), (45)

1

g

h

− h

h

h

Z

0

G

(p)G

(p)dp =

"

G

β R

dG

dp − G

β R

dG

dp

#

(61)

= 0 (62)

式

(60)

h

6 = h

G

(p)

1 p

Z

0

G

(p)G

(p)dp = δ

(63)

以上の鉛直構造関数

G

(p)

p

f (p)

f(p) =

X

f

G

(p) (64)

f (m) = 1 p

Z

0

f (p)G

(p)dp (65)

ここで

f

m

　鉛直モード

m = 0

(barotropic)

(external)

m ≥ 1

(baroclinic)

(internal)

m

　本研究で用いた順圧スペクトルモデルは,鉛直モード

m = 0

m = 0

h

9728.4 m

3.2.3

　本節では,鉛直構造関数

G

(p)

3

H

(λ, θ)

H

(λ, θ)

.

　前節で

,

m

h

,

(35),(36),(37)

.

(35),(36),(37)

,

M

∂

∂τ U

+ LU

= 0 (66)

と行列表記する.添字の

m

m

M

= 2Ωdiag

µ

1, 1, 1 gh

¶

U

= (u

, v

, φ

)

X

, Y

X

= diag(

q

gh

,

q

gh

, gh

) (67)

X

= 2Ωdiag(

q

gh

,

q

gh

, 1) (68)

これらを式

(64)

(Y

M

X

) ∂

∂t (X

U

) + (Y

LX

)(X

U

) = 0 (69)

Y

M

X

= diag(1, 1, 1) (70)

だから,式

(67)

∂

∂τ (X

U

) + (Y

LX

)(X

U

) = 0 (71)

Y

LX

=

⎛

⎜ ⎝

0 − sin θ

sin θ 0 α

αm cosθ

∂

∂λ αm cosθ

∂() cosθ

∂θ

0

⎞

⎟ ⎠ (72)

である.式

(70)

α

α

=

√ gh

2Ωa (73)

このことは,浅水方程式の

4

(g :

Ω :

:)

α

(Tanaka, 1985).

　式

(69)

τ

X

U

(λ, θ, τ ) =

X

X

H

(λ, θ)e

(74) H

(λ, θ)

(horizontal sutructure function),

Hough

m

λ

θ

n

l

　式

(72)

(69)

− iσ

H

+ (Y

LX

)H

= 0 (75)

H

(λ, θ)

σ

(69)

λ

Θ

(θ)

textbf H

(λ, θ)

textbf H

(λ, θ) = Θ

(θ)e

(76)

,

Θ

(θ) =

⎛

⎜ ⎝

U

(θ)

− iV

(θ) Z

(θ)

⎞

⎟ ⎠ (77)

とする

.

π/2

i = √

− 1

.

3

.

(Rossby mode)l

,

,

(gravity mode)l

, l

.

Swarztrauber and Kasahara (1985)

,

H

(λ, θ)

H

(λ, θ)

　経度と緯度に関する内積は以下のように表される.

h H

, H

i = 1 4π

Z

2

−^π₂

Z

0

(U

U

+ V

V

+ Z

Z

)

e

cos θdλdθ (78)

n

l

m

(73)

L

= Y

LX

(skew-self adjoint)

h H

, L

H

i + h L

H

, H

i (79)

(77)

(73)

,

(σ

− σ

) h H

, H

i = 0 (80)

(78)

• n = n

l = l

h H

, H

i

(78)

σ

= σ

σ

•

σ

6 = σ

(78)

h H

, H

i = 0

σ

H

σ

H

以上の二つの条件から,任意のモード

nlm

h H

, H

i = 1 4π

Z

2

−^π2

Z

H

· H

cos θdλdθ

= σ

σ

(81)