寡占における相対利潤最大化のもとでのCournot均 衡とBertrand均衡の同値性について
著者 田中 靖人
雑誌名 經濟學論叢
巻 65
号 3
ページ 261‑278
発行年 2014‑03‑20
権利 同志社大學經濟學會
URL http://doi.org/10.14988/00027405
寡占における相対利潤最大化のもとでの Cournot 均衡と Bertrand 均衡の同値性について
田 中 靖 人
1 は じ め に
本稿では差別化された代替財を生産する寡占において企業が相対的な利 潤（自らの利潤と他の企業の利潤の平均値との差）を最大化しようとする場合の
Cournot均衡とBertrand均衡の関係について考察する．Cournot均衡とは各企
業が産出量を戦略変数として行動する場合の均衡，Bertrand均衡とは各企業 が財の価格を戦略変数として行動する場合の均衡である．以下の各節では線 型の需要関数と一定で共通の限界費用の仮定のもとで次の結論を証明する．
1． 絶対利潤（企業の利潤そのもの）を最大化する企業と相対利潤を最大化 する企業が混在する場合，企業が産出量を戦略変数とするCournot的 な行動をとるときも価格を戦略変数とする Bertrand的な行動をとる ときも，相対利潤を最大化する企業の方がより大きい絶対利潤を得る．
2． 企業が相対的な利潤を最大化する場合，Cournot均衡における各企 業の産出量および各財の価格がBertrand均衡における各企業の産出 量および各財の価格とそれぞれ等しいという意味でCournot均衡と
Bertrand均衡は一致する．
3． 相対利潤最大化のもとでの各企業の均衡産出量は企業が絶対的な利潤 を最大化するときのCournot均衡における各企業の産出量，Bertrand 均衡における各企業の産出量よりも大きく．また相対利潤最大化の
もとでの均衡価格は絶対的な利潤を最大化するときのCournot均衡，
Bertrand均衡における均衡価格よりも低い．
相対的な利潤，あるいは相対的な便益の最大化については以下の文献があ る．Schaffer (1989)は進化論的な枠組みの中で絶対的な利潤を最大化する企 業よりも相対的な利潤を最大化する企業の方がより生き延びることを示し た．それは以下のような論理による．通常のCournot均衡において産出量を 増やした企業はその財の価格を下げることによってそれ自身の利潤を減らす が，その一方他の企業は産出量が増えずに価格だけが下がるのでその利潤は 一層大きく減ることになり，産出量を増やした企業の相対的な利潤は増える．
Vega-Redondo (1997)は同質財を生産する寡占において各企業が相対的な利潤
を最大化する場合には完全競争の均衡と同様の結果が得られることを示し た．その他相対的な利得あるいは効用を求めることの意味についてLundgren (1996)，Lu (2011)，Kockesen et al. (2000)などが取り扱っている．
筆者自身もTanaka (2013)で単純な複占における相対利潤最大化のもとでの
Cournot均衡とBertrand均衡の同値性を証明した．本稿はそれを寡占に拡張
したものである．
以下，第4節では企業が絶対利潤を最大化する場合のCournot均衡と
Bertrand均衡を分析し，第5節では相対利潤を最大化する場合のCournot均
衡とBertrand均衡を分析して，それらが同値であることを明らかにする．また，
第3節では絶対利潤を最大化する企業と相対利潤を最大化する企業の両方が 存在するときに両企業が価格を設定する場合も，数量を設定する場合もとも に相対利潤を最大化する企業の方が大きな利潤，すなわちより大きな絶対利 潤を得ることを示す．
2 モ デ ル
n社の企業があり，それぞれ差別化された（differentiated）財を生産している．
n≥2である．企業の産出量や財の価格は次のように表す．
企業iの産出量 xi，i!{1, 2, ..., n}
企業iが生産する財の価格 pi，i!{1, 2, ..., n}
企業の限界費用は共通であって，cで表される．c>0である．固定費用はない．
各企業の財に対する逆需要関数（inverse demand function）は次のように表さ れる．
p a x b x i, { , ,1 2 , n}
,
i i j
j j i n 1
f
!
= - -
=
!
! , { , , , }p a x b x i 1 2 n
,
i i j
j j i n 1
f
!
= - -
=
!
! （1）a>cかつ0<b<1である．xiは企業iが生産する財に対する需要であり，その 価格は消費者による財の需要と企業による供給が等しくなるように決められ る．これらの逆需要関数は対称的であり，また各企業は同一の費用関数を持 つので市場の構造は対称的である．
3 相対利潤最大化のメリット
相対利潤最大化の紹介を兼ねて絶対利潤最大化と比較したメリットについ て説明しよう．まず各企業が産出量を選択する数量設定行動をとるものとし，
n社の内m社が絶対利潤（利潤そのもの）最大化，残りのn-m社が相対利潤 最大化を目的とした行動をとるものとする．前者の各企業をiで，後者の各 企業をjで表す．すると企業iの絶対利潤riと企業jの相対的潤Pjはそれぞ れ以下のように表される．
a x b x x x cx
,
i i k
k k i
m
l l m
n
i i
1 1
r = - - + -
= ! = +
d n
<
! !
F
n11
,
j j k
k m
l l m l j
n
1 1
r r r
P = - - +
= = + !
d
! !
na x b x x x cx
,
j k
k m
l l m l j
n
j j
1 1
= - - + -
= = + !
d n
<
! !
F
n11 a x b x x x cx
,
k k
k k k
m
l l m
n
k k
k m
1 1
1
- - - - + -
= ! = +
=
l
l l
l l
d n
< F
(
! !
2!
n11 a x b x x x cx
, ,
l k
k m
l
l m l l
n
l l
l m l j n
1 1
1
- - - - + -
!
! = = +
= +
l l
l
l l
d n
< F
(
! !
2!
相対利潤は自身の利潤と他企業の利潤の平均の差に等しい．相対利潤には Pjの記号を使う．企業iの絶対利潤最大化条件と企業jの相対利潤最大化条 件はそれぞれ次のようになる．
a 2x b x x c 0
,
i k
k k i
m
l l m
n
1 1
- - + - =
= ! = +
d
! !
na 2x b x x n11 b x b x c 0
, ,
j k
k m
l l m l j
n
k k
m
l l m l j
n
1 1 1 1
- - + + - + - =
! !
= = + = = +
d
! !
n d! !
n市場の構造が対称的であるからすべての絶対利潤を最大化する企業の産出 量は等しく，またすべての相対利潤を最大化する企業の産出量も等しい．し たがって上の二つの式は以下のように書き直される．
a-2xi-(m-1)bxi- -(n m bx) j- =c 0
( ) ( )
a-2xj-mbxi- - -n m 1 bxj+n-116mbxi+ - -n m 1 bxj@- =c 0
これらを整理すると
[2+(m-1) ]b xi+ -(n m bx) j= -a c （2）
nn--12mbxi+ +:2 nn--21(n m- -1)b xD j= -a c （3）
が得られる．（2），（3）を解いて均衡産出量
xi=D1 2 18 ( - +b) n-m b a c1 B( - )
xj=D1 2` - +b nm b a c-1 j( - ) が求められる．ここで
D= +4 n-21(n2-4n m+ +3)b- -(n 2)b2>0 である．（2）より
pi= +xi c
であるから企業iの財の均衡価格
pi= D1 2 18 ( - +b) n-m b a c c1 B( - +) が得られる．また
xj- =xi Db a c( - ) であり，逆需要関数から
pj- =- -pi (1 b x)( j-xi) であるから
( ) ( )
p p D
b b
1 a c
j= -i -
-
となり，企業jの財の均衡価格は次のようになる．
pj=D1 8(1-b)(2- +b) n-m b a c c1 B( - +) そのとき各企業の利潤は
( ) ( )
D1 2 1 b nm b a c1
i 2
2 2
r = 8 - + - B -
( )( ) ( ) D1 1 b 2 b nm b1 2 b nm b a c1
j 2
r = 8 - - + - B` - + - j - 2
と表される．これらを比較すると
( ) ( )
D1 b 1 b nm b a c1 >0
j i 2
2 3 2
r -r = 8 - + - B -
となるから，mの値に関わらず相対利潤を最大化する企業の方が絶対利潤を 最大化する企業よりも大きな利潤を得ることができる．
次に各企業が価格を選択する価格設定行動をとるものとし，やはりn社の 内m社が絶対利潤最大化，残りのn-m社が相対利潤最大化を目的とした行 動をとるものとする．前者の各企業をiで，後者の各企業をjで表す．各企 業の利潤の計算の前に準備が必要である．（1）を，企業i以外の財の価格が一 定であるという仮定のもとでpiで微分すると，
px b xp b xp 1
i , i
i k
k k i
m
i l l m
n
1 1
2 2
2 2
2
- - - 2 =
= ! = +
l
l l
l
!
l!
（4）
, , { , , , } p
x b xp b xp 0 k i k 1 2 m
i , k
i k
k k k
m
i l l m
n
1 1
2 2
2 2
2
2 ! ! f
- - - =
= ! = +
l
l l
l
!
l!
, , { , , , } p
x b p
x b p
x 0 k i k 1 2 m
i , k
i k
k k k
m
i l l m
n
1 1
2 2
2 2
2
2 ! ! f
- - - =
= ! = +
l
l l
l
!
l!
（5）, { , , , } p
x b p
x b p
x 0 l m 1 m 2 n
i , l
i k k
m
i l
l m l l
n
1 1
2 2
2 2
2
2 ! f
- - - = + +
= = + !
l l
l
l l
! !
, { , , , } p
x b xp b xp 0 l m 1 m 2 n
i , l
i k k
m
i l
l m l l
n
1 1
2 2
2 2
2
2 ! f
- - - = + +
= = + !
l l
l
l l
! !
（6）
が得られる．市場の構造が対称的であるから，すべてのk!iについてuxk/ upiは等しく，同様にすべてのlについてuxl/upiは等しい．したがって，（4），
（5），（6）は次のように書き直される．
px (m 1)b xp (n m b) px 1
i i
i k
i l
2 2
2 2
2
- - - 2 = （7）
xp b px (m 2)b xp (n m b) px 0,k i k, { , ,1 2 , m}
i k
i i
i k
i l
2 2
2 2
2 2
2
2 ! ! f
- - - =
( ) ( ) , , { , , , }
p
x b px m 2 b xp n m b xp 0 k i k 1 2 m
i k
i i
i k
i l
2 2
2 2
2 2
2
2 ! ! f
- - - = （8）
p ( ) ( )
x b p
x m b p
x n m b p
1 1 x 0
i l
i i
i k
i l
22 2 2
2 2
2
- - - 2 = ,
l!"m+1, m+2, f, n, （9）
（8），（9）より ( b) px
p
1 x 0
i l
i k
2 2
2 - c -2 m=
となるから p
x p x
i k
i l
2 2
2
=2
が得られる．よって（7），（8）はさらに次のように書き直される．
px (n 1)b xp 1
i i
i k
2 2
2
- - - 2 =
b xp ( ) p
x n 2 b xp 0
i i
i k
i k
2 2
2 2
2
- - - - 2 =
これらの式から
( )[ ( ) ] ( ) p
x
b n b
n b
1 1 1
1 2
i i
2 2 =-
- + -
+ - （10）
xp ( )[ ( ) ],
b n b
b k i
1 1 1
i k
2
2 = !
-( )[+ -( ) ], p
x
b n b
b k i
1 1 1
i k
2
2 = !
- + - （11）
を得る．同様にして（1）をpjで微分することによって p ( )[ ( ) ]
x
b n b
n b
1 1 1
1 2
j j
2 2 =-
- + -
+ -^ h
p ( )[ ( ) ], x
b n b
b k j
1 1 1
j k
2
2 = !
-( )[+ -( ) ], p
x
b n b
b k j
1 1 1
j k
2
2 = !
- + -
が得られる．また絶対利潤最大化企業をkとし，j以外の相対利潤最大化企業 をlとするとuxk/upj=uxl/upjが成り立つ．
企業iの絶対利潤と企業jの相対利潤は ri=(pi-c x) i
および
n11
,
j k
k m
l l m l j
n
1 1
r r r
P= - - +
= = + !
d
! !
np c x n11 p c x p c x
,
j i k k
k m
l l
l m l j
n
1 1
= - - - - + -
= = + !
^ h <
!
^ h!
^ h Fと表される．それぞれの最大化条件は ( ) , { , , , }
x p c p
x 0 i 1 2 m
i i
i i
2
2 ! f
+ - =
x p c p
x
n p c xp p c px
1
1 0
,
j j
j
j k
j k k
m
l j
l l m l j
n
1 1
2 2
2 2
2
+ - - - - + - 2 =
= = + !
^ h <
!
^ h!
^ h F, , , j!"m+1 m+2 f n, ( ) , { , , , } x p c p
x 0 i 1 2 m
i i
i i
2
2 ! f
+ - =
となる．市場の対称性によってすべての絶対利潤最大化企業の財の価格は等 しく，すべての相対利潤最大化企業の財の価格は等しいので，uxk/upj=uxl/ upjを用いてこれらの式は
( )
( )[ ( ) ] ( ) x p c
b n b
n b
1 1 1
1 2
0
i- i-
- + -
+ - = （12）
x p c b n b
n b
1 1 1
1 2
j- j-
- + -
^ h^ + -h^ ^ h h
6 @
n m p c n m p c b b n b
1
1 i 1 j 1 1 1 0
- - - + - - -
- + - =
^ h ^ h^ h ^ h ^ h
6 @ 6 @ （13）
と書き直される．対称性を考慮した逆需要関数
pi= - -a xi (m-1)bxi- -(n m bx) j
pj= - -a xj mbxi- - -(n m 1)bxj
より
( )[ ( ) ]
( )( ) [ ( ) ]( ) ( ) ( )
x b n b
b a c n m b p c n m b p c
1 1 1
1 1 1
i i j
= - + -
- - - + - - - + - -
（14）
( )[ ( ) ]
( )( ) [ ( ) ]( ) ( )
x b n b
b a c m b p c mb p c
1 1 1
1 1 1
j j i
= - + -
- - - + - - + -
（15）
が得られる．これらを（12），（13）に代入すると
[2+(2n m- -3) ](b pi- - -c) (n m b p) ( j- = -c) (1 b a c)( - ) （16）
および
nn mb p c n m b n
n m b
p c 1
2 2 3 1
1
i j
- -- - + + + - + -
- - -
a k ^ h ; ^ h ^ h E^ h
= -^1 b a ch^ - h （17）
が導かれる．これらを解いて，均衡価格
pi= 1 2 1D$ [ + -(n 1) ]b-n-m b1 .(1-b a c)( - +) c （18）
pj=D1 2 1$ [ + -(n 1) ]b- -b nm b-1 .(1-b a c)( - +) c （19）
を得る．ここで
[ ( ) ] ( ) ( )
( )
n m b n m b n
n m b
n
n m n m b
2 2 3 2 3 1
1
1
2 2>0
D= + - - + + - + -
- - - -- -
; E
[ ( ) ] ( ) ( )
( )
n m b n m b n
n m b
n
n m n m b
2 2 3 2 3 1
1
1
2 2>0
D= + - - + + - + -
- - - -- -
; E
である．piとpjの差を求めると
pi- =pj Db (1-b a c)( - )>0 （20）
となる．（14），（15）を用いて各企業の利潤は次のように表される．
p c x
i i i
r =^ - h
b n b
b a c p c n m b p c n m b p c p c
1 1 1
1 i 1 1 i 2 i j
= - + -
- - - - + - - - + - - -
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
h h
h h h h h h h h
6 6
@ @ p c x
j j j
r =^ - h
b n b
b a c p c m b p c mb p c p c
1 1 1
1 j 1 1 j 2 i j
= - + -
- - - - + - - + - -
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
h h
h h h h h h h
6 6
@ @ これらを比較すると
b n b b a c p p m b p c n m b p c m n b p c p c
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2
j i j i j 2 i 2 i j
r - =r
- + - - - + - - + + - - - + - - -
^ h6 ^ h @"^ h^ h^ h 6 ^ h @^ h 6 ^ h @^ h ^ h ^ h^ h,
b n b b a c p p m b p c n m b p c m n b p c p c
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2
j i j i j 2 i 2 i j
r - =r
- + - - - + - - + + - - - + - - -
^ h6 ^ h @"^ h^ h^ h 6 ^ h @^ h 6 ^ h @^ h ^ h ^ h^ h,
b n b b a c p p n m b p c m b p c p p
1 1 1
1 1 j i 1 1 i 1 1 j i j
= - + - - - - + + - - - + + - - -
^ h6 ^ h @6^ h^ h^ h "6 ^ h @^ h 6 ^ h @^ h,^ h@
b n b b a c p p n m b p c m b p c p p
1 1 1
1 1 j i 1 1 i 1 1 j i j
=^- h6+ -^ h @6^- h^ - h^ - +h "6+ - -^ h @^ - + +h 6 ^ - h @^ - h,^ - h@
b n b
p p
b a c n m b p c m b p c
1 1i j 1 1 1 1 i 1 1 j
= - + -
- - - - + + - - - + + - -
^ h6 ^ h @6 ^ h^ h "6 ^ h @^ h 6 ^ h @^ h,@
b n b
p p
b a c n m b p c m b p c
1 1i j 1 1 1 1 i 1 1 j
= - + -
- - - - + + - - - + + - -
^ h6 ^ h @6 ^ h^ h "6 ^ h @^ h 6 ^ h @^ h,@
を得る．ここで
C=- -(1 b a c)( - + + - -) [1 (n m 1) ](b pi- + +c) [1 (m-1) ](b pj-c) とすると（16）より
(1-b a c)( - =) [2+(2n m- -3) ](b pi- - -c) (n m b p) ( j-c)
であるから，これをCに代入して
n m b p c n m b p c
2 2 3 i j
C=- +6 ^ - - h ^ - + -h ^ h @^ - h
n m b p c m b p c
1 1 i 1 1 j
+ + - -6 ^ h @^ - + +h 6 ^ - h @^ - h
n b p c n b p c
1 2 i 1 1 j
=- + -6 ^ h @^ - + + -h 6 ^ h @^ - h
が得られる．（20）よりpj-c=pj-c--3b (1-b)(a-c)であるから（18）を用い て
b p c n b
b b a c
1 1
1 C i
= - - + -D
- -
^ h ^ h ^ h^ h
b 1 n 1 b nm b1 1 b a c 20
= D$6+ -^ h @- - .^ - h^ - h
となる．したがって企業が価格を選択する場合にも相対利潤を最大化する企 業の方が絶対利潤を最大化する企業よりも大きな利潤を得ることができる．
4 絶対利潤最大化
まず，企業が絶対利潤を最大化する場合を取り上げる．
4. 1 Cournot均衡
企業が産出量を決定する場合，企業iの利潤は次のように表される．
a x b x x cx i, { , ,1 2 , n}
,
i i j
j j i n
i i
1
f
!
r = - - -
= !
d a x b
!
nx x cx i, { , ,1 2 , n},
i i j
j j i n
i i
1
f
!
r = - - -
= !
d
!
n各企業は自らの絶対利潤（利潤そのもの）が最大となるように，他の企業の産 出量を与えられたものとして，その産出量を決める．企業iの利潤最大化条 件は
a c 2x b x 0,i { , ,1 2 , n}
,
i j
j j i
n 1
f
!
- - - =
=
!
! , { , , , }a c 2x b x 0 i 1 2 n
,
i j
j j i n 1
f
!
- - - =
=
!
!と表される．需要関数が対称的ですべての企業が同じ費用関数を持っている
から均衡におけるすべての企業の産出量は等しく，次のように求められる．
x ( ) , { , , , }
n b
a c i n
2 1 1 2
iC
! f
= + - -
( ) , { , , , }
x n b
a c i n
2 1 1 2
iC
! f
= + - -
また，財の均衡価格は ( )
[ ( ) ]
, { , , , }
p n b
a n b c
i n
2 1
1 1
iC 1 2
! f
= + -
+ + - ( ) [ ( ) ]
, { , , , }
p n b
a n b c
i n
2 1
1 1
i 1 2
C= ! f
+ - + + -
となる．
4. 2 Bertrand均衡
企業が価格を決定する場合，企業iの利潤は次のように表される．
rir=i=(p(ip-i-c x i) ,c x i) ,i i!!{ , ,1 2{ , ,1 2ff, ,n}n}
各企業は自らの絶対利潤が最大となるように，他企業の財の価格を与えられ たものとして，その財の価格を決める．riをpiで微分すると，（10），（11）を用 いて企業iの利潤最大化条件は次のように求められる．
x p c px x p c
b n b
n b
1 1 1
1 2
i i 0
i
i i i
2
+ - 2 = - -
- + -
+ - =
^ h ^ h^ h^ ^ h h
6 @
市場の対称性により，すべてのiについてxiが等しいと仮定すると，
{ [ ( ) ] }
( )[ ( ) ] ( )
x a n b x c
b n b
n b
1 1
1 1 1
1 2
i- - + - i- 0
- + -
+ - =
となる．これを少し変形して
{[(1-b)[1+ -(n 1) ]] [b + + -1 (n 1) ][b 1+ -(n 2) ]}b xi= + -[1 (n 2) ](b a c- ) が得られるから均衡における企業の産出量は
[ ( ) ][ ( ) ] [ ( ) ]( )
, { , , , }
x n b n b
n b a c
i n
1 1 2 3
1 2
iB 1 2
! f
= + - + -
+ - -
[ ( ) ][ ( ) ] [ ( ) ]( )
, { , , , }
x n b n b
n b a c
i n
1 1 2 3
1 2
iB 1 2
! f
= + - + -
+ - -
となる．また，各財の均衡価格は次のように求められる．
( ) ( ) [ ( ) ]
, { , , , }
p n b
b a n b c
i n
2 3
1 1 2
iB= ! 1 2 f
+ - - + + -
( ) ( ) [ ( ) ]
, { , , , }
p n b
b a n b c
i n
2 3
1 1 2
iB= ! 1 2 f
+ - - + + -
xBiとxCiを比較すると，
x x
n b n b
n b a c
n b
a c
1 1 2 3
1 2
2 1
iB iC
- =
+ - + -
+ - -
- + -
^ ^ ^^ -
^
h h hh
6 6 6 h
@ @ @
n b n b n b
n b a c
1 1 2 3 2 1
1 0
2 2
= + - + - + -
- -
^ ^ ^ ^ ^
h h h h h
6 @6 @6 @
となる．
さらに，pBiとpCiを比べると，
p p n b
b a n b c
n b
a n b c
2 3
1 1 2
2 1
1 1
iB iC
- =
+ - - + + -
- + -
+ + -
^ ^ ^
^^
h h h
hh
6 @ 6 @
n b n b
n b a c
2 3 2 1
1 0
2 1
=- + - + -
- -
^^ ^ ^
hh h h
6 @6 @
を得る．したがって，絶対利潤最大化の仮定のもとでは，Bertrand均衡にお ける均衡産出量はCournot均衡における均衡産出量より大きく，Bertrand均 衡における均衡価格はCournot均衡における均衡価格より低い．
5 相対利潤最大化 5. 1 Cournot均衡
企業iの相対利潤は，それ自身の利潤と他の企業の利潤の平均値の差とし て定義される．それをPiで表すと
n11
,
i i j
j j i n 1
r r
P = - - =
!
!a x b x c x n11 a x b x c x
, , ,
i j
j j i n
i j k
k k j n
j j j i
n
1 1 1
= - - - -
! ! !
= = =
d
!
n!
<d!
n Fである．各企業は他の企業の産出量を与えられたものとして自らの相対利潤 を最大化するようにその産出量を決める．つまり，企業iはPiを最大化する
ようにxiを決める．すべてのj!iについてxjを一定としてPiをxiで微分す ることによって企業iの相対利潤最大化条件が次のように得られる．
a 2x b x c nb1 x 0
, ,
i j
j j i
n
j j j i
1 1
- - - + - =
! !
=
!
=!
市場の構造が対称的であるからすべての企業の産出量が等しくなり x ( ) , { , , , }
n b
a c i n
2 2 1 2
iC= ! f
+ -
u
x -( ) , { , , , }n b
a c i n
2 2 1 2
iC= ! f
+ -
u
-となるので，財の均衡価格は次のように求められる．
( )
( ) [ ( ) ]
, { , , , }
p n b
b a n b c
i n
2 2
1 1 1
iC 1 2
! f
= + -
- + + -
u
( )( ) [ ( ) ]
, { , , , }
p n b
b a n b c
i n
2 2
1 1 1
iC 1 2
! f
= + -
- + + -
u
5. 2 Bertrand均衡
Cournot均衡での議論と同様に企業iの相対利潤をPiとすると，
n11 p c x n p c x 1
1
,
i i j
j j i
i i j j
j j i
1 1
r r
P = - - = - - - -
! !
=
!
^ h =!
^ hと表される．各企業は他の企業の財の価格を与えられたものとして自らの相 対利潤を最大化するようにその財の価格を決める．すなわち企業iは，すべ てのj!iについてpjを与えられたものとしてPiを最大化するようにpiを決 める．すべてのj!iについてpjを一定としてPiをpiで微分すると企業iの 相対利潤最大化条件が次のように得られる．
x (p c) px
n p c p
x 1
1 0
,
i i
i
i j
j j i i
j
2 1
2
2
+ - - - - 2 =
=
!
!^ h市場構造が対称的であることによってすべてのj!iについてuxj/upiが等し く，またpiを含むすべてのpiが等しいと考えられるので
x (p c) p x
p
x 0
i i
i i
i j
2 2
2
+ - c -2 m= （21）
が満たされる．（10）と（11）は相対利潤最大化の場合にも成り立つので
b n b
n b
1 1 1 b
1 1
11
=- - + -
+ - =- -
^ ^ ^
h h h
6 @
p x
p x
b n b
n b
b n b
b
1 1 1
1 2
1 1 1
i i
i j
2 2
2 -2 =-
- + -
+ - -
- + -
^ ^ ^
^ ^
h h h
h h
6 @ 6 @
が得られる．これを（21）に代入すると { [ ( ) ] }
( )
x a n b x c
1 1 b
1
1 0
i- - + - i-
- =
となり，この式を整理して
{(1- + + -b) [1 (n 1) ]}b xi= -a c を得る．そのとき
[2+ -(n 2) ]b xi= -a c であるから，各企業の均衡産出量が
x ( ) , { , , , }
n b
a c i n
2 2 1 2
iB= ! f
+ -
u
x -( ) , { , , , }n b
a c i n
2 2 1 2
iB= ! f
+ -
u
-となり，各企業の財の均衡価格は以下のようになる．
( )
( ) [ ( ) ]
, { , , , }
p n b
b a n b c
i n
2 2
1 1 1
iB= ! 1 2 f
+ - - + + -
u
( )( ) [ ( ) ]
, { , , , }
p n b
b a n b c
i n
2 2
1 1 1
iB= ! 1 2 f
+ - - + + -
u
以上によって
xiC x ,p p
iB iC
iB
= =
u
xiCu u
x ,pu
piB iC
iB
= =
u u u u
が成り立つので，相対利潤最大化のもとにおいてはCournot均衡における均 衡産出量・価格とBertand均衡における均衡産出量・価格が等しい．
xuBiと（あるいはxuCi）とxBiを比較すると x x a cn b
n b n b
n b a c
2 2 1 1 2 3
1 2
iB iB
- =
+ -- -
+ - + -
+ - -
u ^ ^ ^ ^^
h h h hh
6 6 6
@ @ @
n b n b n b b b a c
2 2 1 1 2 3
1 20
= + - + - + -
- -
^ ^ ^ ^ ^
h h h h h
6 @6 @6 @
が，puB
i（あるいはpuC
i）とpBiを比較すると
p p
n b
b a n b c
n b
b a n b c
2 2
1 1 1
2 3
1 1 2
iB iB
- =
+ - - + + -
- + -
- + + -
u ^ ^ ^
^ ^ ^
h h h
h h h
6 @ 6 @
n b n b
b b a c
2 2 2 3
1 10
=- + - + -
- -
^ ^ ^ ^
h h h h
6 @6 @
が得られる．したがって相対利潤最大化のもとでの各企業の均衡産出量は企 業が絶対的な利潤を最大化するときのCournot均衡における各企業の産出量，
Bertrand均衡における各企業の産出量のいずれよりも大きく．また相対利潤
最大化のもとでの均衡価格は絶対的な利潤を最大化するときのCournot均衡 における均衡価格，Bertrand均衡における均衡価格のいずれよりも低い．
【参考文献】
Kockesen, L., E.A. Ok and R. Sethi (2000) “The strategic advantage of negatively interdependent preferences,” Journal of Economic Theory, 92, pp. 274―299.
Lu, Y. (2011) “The relative-profit-maximization objective of private firms and endogenous timing in a mixed oligopoly,” The Singapore Economic Review, 56, pp. 203―213.
Lundgren, C. (1996) “Using relative profit incentives to prevent collusion,” Review of Industrial Organization, 11, pp. 533―550.
Schaffer, M.E. (1989) “Are profit maximizers the best survivors?” Journal of Economic Behavior and Organization, 12, pp. 29―45.
Tanaka, Y. (2013) “Equivalence of Cournot and Bertrand equilibria in differentiated duopoly under relative profit maximization with linear demand,” Economics Bulletin, 33, pp. 1479
―1486.
Vega-Redondo, F. (1997) “The evolution of Wal-rasian behavior,” Econometrica, 65, pp. 375―
384.
（たなか やすひと・同志社大学経済学部教授）
The Doshisha University Economic Review, Vol. 65 No. 3 Abstract
Yasuhito TANAKA, Equivalence of Cournot Equilibrium and Bertrand Equilibrium under Relative Profit Maximization in an Oligopoly
This paper investigates the relationship between the Cournot equilibrium and the Bertrand equilibrium in an oligopoly with differentiated goods, in which each firm maximizes its relative profit. Assuming linear demand functions and constant marginal costs, we show that the Cournot equilibrium and the Bertrand equilibrium coincide, in the sense that the outputs and prices of the two equilibria are identical.
