確率論

(1)

確率論

I

^中間試験

2014/11/14,金5限, 西岡

• この中間試験の成績は出席点に加点するので,必ずしも受験しなくてよい.

• ^{持ち込み自由}. ただし,電子機器の通信機能は使用禁止.

問題1 (数的推理, 10点). 常に一定量の水が湧き出している貯水池から,ポンプを用いて水をすべて汲み出し,貯水池を一時的に空にする作業を行う. いまA, B 二種類のポンプが複数台用意されている. 次が判っているとき,ポンプ B を3台用いるときの作業時間を求めよ.

• この作業に要する時間はポンプ Aを1台用いた場合は30分,

• ^ポンプ B を1台用いた場合は20分かかる.

• ^また1台ずつのポンプA, B を同時に用いると15/2分である.

問題 2 (5 点). The 4-by-4 magic square bellow consists of the numbers between 1 and 17 inclu- sive, each of which appears only once. The sum of the numbers in each row, each column, and both diagonals must all be equal. Find the value ofx.

6 12 9

14

5 16

10 x 7 13

問題3(ベイズ). a, b二つの箱があり,aには赤玉3個と白玉1個,b には赤玉4個と白玉2個が入っている. 公平なサイコロを振り, 4以下の数字が出た場合はa の箱から玉を一つ取り出し, 5以上の数字が出た場合はb の箱から玉を一つ取り出す. (i) aの箱から白玉を取り出す確率を求めよ. (10点) (ii) 取り出した玉が白である確率を求めよ. (10点) (iii) 取り出した玉が白であるとき, この白玉がaの箱から取り出したものである確率を求めよ. (20点)

問題 4 (ベイズ). You have three bags, each containing three balls. Bag Acontains three black balls, BagB contains two white balls and one black ball, and BagC contains three white balls. You pick BagA with probability 1/4 and BagB with probability 1/2 and BagCwith probability 1/4.

LetW be an event to take out a white ball from a bag. (i) Calculate P[W]. (15 points) (ii) Assuming thatW holds, calculate such probability that a black ball remains in the same bag. (15 points)

問題5(平均, 15点). 7枚のカードがあり,それぞれに13から19までの数字が書かれている. そのなかから無作為に1 枚選ぶとき, そのカードに書かれている数字を X とする. そしてX を3 で割ったときの余りをY, 4で割ったときの余りをZ とおく. 確率変数2Y + 7Z+ 3の平均を求めよ.

(ヒント: 下の表を完成させ,平均の計算に利用せよ. )

X の値 13 14 15 16 17 18 19 確率

Y の値 1

Z の値 0

以上

(2)

確率論 I, 金5限, 中間試験

[問題 1 解答] ポンプA, B の毎分当たりの排水能力をa, b とし, 1分間に涌き出す水量をx,池の総水量を Kで表す. ^{次の連立方程式が立つ}:

30 (a−x) =K, 20 (b−x) =K, 15

2 (a+b−x) =K,

⇒ a+b−2x= K 30+K

20 = K

12, a+b−x=2K

15 ⇒ x= K

20, a= K

12, b= K 10. よって, B ^を3台使うときの作業時間をt^と置くと, K=t(3b−x) =t(3·K

10−K 20) =tK

4 ⇒ t= 4^分. 2 [問題 2解答] x= 8,マジックナンバーは38. 2

[^問題 3^解答] aの箱から玉を取り出すことをA,b^{から取り出すことを}B ^で表す. ^またW は白玉を取り出すこととする. 判っていることは:

P[WA] = 1

4, P[A] = 4

6, P[WB=2

6, P[B] = 2 6.

(i) P[A∩W] = 4 6·1

4= 1 6. (ii) 求める確率は

P[W] =P[A∩W] +P[B∩W]

=4 6·1

4+2 6·2

6 =1 6+1

9= 5 18.

(iii) ^{求める確率は} P[AW]. ^{ベイスの公式を使うと} P[AW] = P[A∩W]

P[W] = 1/6 5/18=3

5. 2

[^問題 4^解答] “^バッグA^を選ぶ”^事象をA,· · ·, “^バッグC ^を選ぶ”^事象をC^で表す. ^{問題文より}, P[WA] = 0, P[WB] = 2

3, P[WC] = 1, P[A] = 1

4=P[C], P[B] = 1 2.

(i) ^{ベイズの公式を使うと}

P[W] =P[W∩A] +P[W∩B] +P[W∩C]

=P[WA]·P[A] +P[WB]·P[B] +P[WC]·P[C]

= 0·1 4+2

3·1 2+ 1·1

4= 7 12

(ii) 白を一個取り出したとき,^バッグB^{だけが黒が一個残る}. ^{よって求める確率は} P[BW] = P[W∩B]

P[W] = 1/3 7/12 =4

7. 2 [問題5 解答] まず

X の値 13 14 15 16 17 18 19 確率 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7

Y の値 1 2 0 1 2 0 1

Z の値 1 2 3 0 1 2 3

平均の定義より

E[Y] = 1 7

(

1 + 2 + 0 + 1 + 2 + 0 + 1)

=7 7 = 1, E[Z] = 1

7 (

1 + 2 + 3 + 0 + 1 + 2 + 3)

= 12 7,

E[2Y + 7Z+ 3] = 2E[Y] + 7E[Z] +E[3] = 2·1 + 7·12

7 + 3 = 17. 2