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2E とすると,動径方程式は d 2 L() d 2 +(2l+2;) dL() d +(;1;l)L()=0 となることを示せ

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Academic year: 2021

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(1)

数理物理及び演習III( 量子力学) 2004.6.10

4 水素原子

1【エネルギー固有値】水素原子の動径部分のSchrodinger方程式は,電子の換算質量 ,電荷を;eとすると

"

; h 2

2

1

r d

2

dr 2

r

!

+

l(l+1)h 2

2r 2

; e

2

4"

0 r

#

R

l

(r)=ER

l (r)

で与えられる(ただし,E <0 l=01 2

(1)R

l

(r)=e

;

2

l

L() = p

;8E

h

r = e

2

4"

0 h

r

;

2E

とすると,動径方程式は

d

2

L()

d 2

+(2l+2;) dL()

d

+(;1;l)L()=0

となることを示せ。

(2)L() = 1

X

n=0 c

n

n(1)の結果に代入し,cn+1

c

n

=

n+l+1;

(n+1)(n+2l+2)

を導け。これ より,は正の整数(=n)であり,nl+1をみたすことを示せ。

(3)エネルギー固有値は,Bohr半径a0 = 4"0h

2

e 2

=0:529

Aを用いると

E

n

=; e

2

8"

0 a

0 n

2

となることを示せ。

2【波動関数とLaguerreの陪多項式】

(1)1(1)=nとおいた動径方程式の解は,Laguerreの陪多項式

L 2l +1

n+l ()=

n;l ;1

X

k=0 (;1)

k+2l +1

(n+l)!]

2

k

(n;l;1;k)!(2l+1+k)!k!

で与えられる。これを用いて,n =1 2のときの動径波動関数Rnl(r)をすべて求 めよ。また,動径確率密度Pnl(r)=r2Rnl(r)]2が最大値をとるときのrを求め,そ の概形を横軸を r

a

0

として図示せよ。規格化はしないでよい。

(2)n=1のとき,波動関数を規格化せよ。また,rの期待値hriを求めよ。

(3)ビリアル定理を用いて,n =1のときの電子の平均2乗速度

q

hp 2

i

が光速cの約何 分の1になるか計算せよ。ただし, e

2

4"

= hc

137

を用いてよい。

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