数理物理及び演習III( 量子力学) 2004.6.10
4 水素原子
1【エネルギー固有値】水素原子の動径部分のSchrodinger方程式は,電子の換算質量 を,電荷を;eとすると
"
; h 2
2
1
r d
2
dr 2
r
!
+
l(l+1)h 2
2r 2
; e
2
4"
0 r
#
R
l
(r)=ER
l (r)
で与えられる(ただし,E <0 l=01 2 )。
(1)R
l
(r)=e
;
2
l
L() = p
;8E
h
r = e
2
4"
0 h
r
;
2E
とすると,動径方程式は
d
2
L()
d 2
+(2l+2;) dL()
d
+(;1;l)L()=0
となることを示せ。
(2)L() = 1
X
n=0 c
n
nを(1)の結果に代入し,cn+1
c
n
=
n+l+1;
(n+1)(n+2l+2)
を導け。これ より,は正の整数(=n)であり,nl+1をみたすことを示せ。
(3)エネルギー固有値は,Bohr半径a0 = 4"0h
2
e 2
=0:529
Aを用いると
E
n
=; e
2
8"
0 a
0 n
2
となることを示せ。
2【波動関数とLaguerreの陪多項式】
(1)問1(1)で=nとおいた動径方程式の解は,Laguerreの陪多項式
L 2l +1
n+l ()=
n;l ;1
X
k=0 (;1)
k+2l +1
(n+l)!]
2
k
(n;l;1;k)!(2l+1+k)!k!
で与えられる。これを用いて,n =1 2のときの動径波動関数Rnl(r)をすべて求 めよ。また,動径確率密度Pnl(r)=r2Rnl(r)]2が最大値をとるときのrを求め,そ の概形を横軸を r
a
0
として図示せよ。規格化はしないでよい。
(2)n=1のとき,波動関数を規格化せよ。また,rの期待値hriを求めよ。
(3)ビリアル定理を用いて,n =1のときの電子の平均2乗速度
q
hp 2
i
が光速cの約何 分の1になるか計算せよ。ただし, e
2
4"
= hc
137
を用いてよい。