6
Feynman
ルールと 生成氾関数
場の理論における最も重要な量は相関関数(Green関数)である。この章で はその総体を一度に扱う生成氾関数について述べ、それを摂動論で求める 際に有用なFeynmanルールを導出する。
6.1 Green関数のgenerating functional Z[J]
簡単のため、φ4理論を例にとる。ラグランジアンは L = 1 2∂µφ∂ µφ − m 2 φ 2 − λ 4!φ 4 (1) S[φ] = Z d4x µ 1 2φKφ − λ 4!φ 4 ¶ (2) K = −(∂2 + m2) (3) 基本場のn点関数を次のように定義 G(n)(x1, x2, . . . , xn) = hφ(x1)φ(x2) · · · φ(xn)i ∗
これは次の経路積分表示を持つ G(n)(x1, x2, . . . , xn) = 1 N Z DφeiSφ(x1)φ(x2) · · · φ(xn) (5) N = Z DφeiS (6) すべてのG(n)を同時に扱う標準的な方法は、次のように生成氾関数 (gen-erating functional)を定義すること： Z[J] ≡ ∞ X n=0 1 n! Z d4x1 · · · Z d4xnG(n)(x1, x2, . . . , xn)
·(iJ(x1))(iJ(x2)) · · · (iJ(xn))
= 1 N Z Dφ exp (iS[φ] + iJ · φ) (7) ここで J · φ ≡ Z d4xJ(x)φ(x) (8) φをスピンと見れば、J は磁場にあたる。(1/i)(δ/δJ(x)) を作用する度 毎に、φ(x)が一つ指数関数の肩からおりてくる。 Z[J]を図示すれば、
Z[J] = 1 + J J J + + · · · + · · · J J J J J 2 Z[J]の摂動展開 : λは小さいとして、Z[J]をλの巾で展開して計算しよう。そのために、作 用をfreeな部分と相互作用部分に分ける： S0[φ] = Z d4x1 2 ¡ (∂φ)2 − m2φ2¢ = Z d4x1 2φ(−∂ 2 − m2)φ (9) SI[φ] = − λ 4! Z d4xφ(x)4 (10) (全体の規格化の因子1/N はしばらく忘れて) 自由な理論に対する generat-ing functional Z0[J] を考える： Z0[J] = Z Dφ exp (iS0[φ] + iJ · φ) (11)
指数部分はφの二次式であるから、ガウス積分が容易に実行できる: 1 2φKφ + J · φ = 1 2(φ + K −1J)(φ + K−1J) − 1 2JK −1J (12) s ss Z0[J] = exp µ −i 2JK −1J ¶ (13) ここでK−1(x, y) = ∆F(x − y)はFeynman propagator： −(∂2 + m2 − i²)K−1(x, y) = δ4(x − y) K−1(x − y) = Z d4p (2π)4K −1(p)e−ip·(x−y) K−1(p) = 1 p2 − m2 + i² (14) δ/δ(iJ)を作用すると、経路積分中にφを挿入することができるから、Z[J]
を次のように書くことができる： Z[J] = G · δ δ(iJ) ¸ F [iJ] (15) ここで G · δ δ(iJ) ¸
= exp (iSI[δ/δ(iJ)]) (16)
F [iJ] = exp µ i 2(iJ)∆F(iJ) ¶ = Z0[J] = free part (17) これをSI の巾で展開することによって、摂動展開が得られる。 実はこの展開を得るための、よりうまい方法があり、それからFeynman di-agramの規則が自然に得られる。まず、明らかに、 G · δ δ(iJ) ¸ F [iJ] = G · δ δ(iJ) ¸ F [iJ]eiJφ ¯ ¯ ¯ ¯ φ=0 (18) これは次のように書き換えられる G · δ δ(iJ) ¸ F [iJ]eiJ·φ = G · δ δ(iJ) ¸ F · δ δφ ¸ eiJ·φ (19)
GとF の操作は交換するから、これはさらに次のように書き直せる： = F · δ δφ ¸ G · δ δ(iJ) ¸ eiJ·φ = F · δ δφ ¸ G[φ]eiJ·φ (20) 従って、結局 G · δ δ(iJ) ¸ F [iJ] = F · δ δφ ¸ G[φ]eiJ·φ ¯ ¯ ¯ ¯ φ=0 (21) これより、Z[J]に対する非常に便利な表式を得る： (?) Z[J] = exp µ 1 2 δ δφ∆ δ δφ ¶ exp (iSI[φ] + iJ · φ) ¯ ¯ ¯ ¯ φ=0 (22) ここで ∆ = i∆F (23)
さらに、次の簡略記号を用いると以下の計算が容易になる： δ δφ∆ δ δφ = Z d4x1d4x2 δ δφ(x1)∆(x1 − x2) δ δφ(x2) = ∆ij∂i∂j (24) δ δφ(xi) = ∂i (25) すなわち、添え字iで場の変数を、その和で積分を表す。 2 ファインマン図による表現の例 : N 点関数はJN の係数であることを思い出そう。 0点関数(vacuum bubble): 基本公式(?)でJ = 0とおき、eiSI を展開 すると、最初の非自明な項として iSI[φ] = −i λ 4!φ 4 (26) を得る。最後にφ = 0と置くので、ゼロにならないためにはexp(12∆ij∂i∂j) 部分から4つの微分が必要。これはTaylor展開の第2項から生ずる。従って
求める寄与は 1 2! µ 1 2∆ij∂i∂j ¶2 µ −i λ 4!φ 4 ¶ = 1 2 µ 1 2 ¶2 µ −i λ 4! ¶ ∆12∆34∂1∂2∂3∂4φ4i (27) ∂iφj = δij を用い、同一の添え字に付いては和をとることを考慮すると、 ∂4φ4i = 4δ4iφ3i のように次々と微分すると、因子4!が得られ、次の結果を 得る： 1 2 µ 1 2 ¶2 µ −iλ 4! ¶ 4!∆ii∆ii = 1 2(−iλ) | {z } standard factor × 1 4 |{z} symmetry factor ×∆ii∆ii (28)
これは次の2-loop vacuum bubble diagramで表される： i
すべてのvacuum bubble diagramsを足し合わせたものとしてZ[J = 0]がえ
取り除いたものが得られる。このため規格化を次のようにとったのである。 Z[J] = R DφeiS+iJ·φ R DφeiS (29) 2点関数(propagator): 次にO(λ)の2点関数を考える。これはSIJJ か ら得られるが、このような項は、Taylor展開における3次の項(SI+J ·φ)3 3 3SIJJ から生ずる。この因子3も考慮すると、 i3 3! × 3 × SI[φ](J · φ) 2 = i3 3! × 3 × µ −iλ 4! ¶ φ4iJjφjJkφk (30) 今度は6個の微分が必要。これはexp(12∆ij∂i∂j) の展開の3次の項から得 られる。従って、求める寄与は i3 3! × 3 × µ −iλ 4! ¶ 1 3! × µ 1 2 ¶3 JjJk∆12∆34∆56∂1∂2 · · · ∂6(φ4iφjφk) (31) Diagramとしては、次の形。
微分の演算は容易ではあるが、若干面倒である。うまい計算の規則を得る には、まず縮約に関するcombinatiricsを理解する必要がある。 2 縮約のCombinatorics 相関関数の計算に関するファインマン規則は、以下に述べるように、 com-binatoricsのルールが非常に規則的になっていることに起因する。 まず二つの場の積を考えると、 1 2 δ δφ∆ δ δφ(φ1φ2) = 1 2 δ δφi∆ij(δj1φ2 + φ1δj2) = 1 2∆ij(δj1δi2 + δj2δi1) = ∆12 (s ss ∆ij = ∆ji) 次に2n個の積φ1φ2 · · · φ2nを考える。するとゼロにならない寄与は 1 n! µ 1 2 δ δφ∆ δ δφ ¶n (φ1φ2 · · · φ2n) = 1 n!2n µ δ δφ∆ δ δφ ¶n (φ1φ2 · · · φ2n) 最初のδ/δφは2n個の異なるφiに働くことができ、二番目の微分は残り の2n − 1のφiに働く。これを繰り返すと微分から生ずる項の数は(2n)!
となるが、これと1/2nn!の因子を組み合わせると (2n)! 2nn! = (2n)!!(2n − 1)!! 2nn! = (2n − 1)!! この数を理解するために、propagatorsの異なる積のcombinationsの数を求 めてみる。 まず一つのφiを選択すると、これとpairをなすことができるφjの数は2n− 1であり、これが一つのpropagatorを与える。 のこりの2n − 2個のφの中からまた一つ選ぶと、同様にして2n − 3個の propagatorのchoiceが得られる。 この操作を繰り返すと、結局丁度(2n − 1)!!通りのn個のpropagatorの異 なる積が得られる。 このことから、次の非常にきれいな公式が得られる： 1 n! µ 1 2 δ δφ∆ δ δφ ¶n (φ1φ2 · · · φ2n) = X distinct ∆i1i2∆i3i4 · · · ∆i2n−1i2n (32)
この公式において、右辺の各項の係数は丁度1になっている。つまり、異 なるpropagatorの組み合わせが丁度一回ずつ現れる。 これより、φiを結ぶ 線に一つのpropagatorを対応させることができるのである。 2 Symmetry factorの勘定 上記のルールは、相互作用vertexのように、同一点での場の積を挿入する場合 には修正が必要になる。 例1 φ4: すべて異なる位置の場合には(4 − 1)!! = 3通りのdiagramsが 生成される。これらは具体的には次の表式と対応する ∆12∆34 + ∆13∆24 + ∆14∆23 (33) しかし、すべての位置が同じ場合には、同一の図になり、余分な因子3が 掛かることになる。 i
例2 φ1φ2φ43: すべての位置が異なれば、(6 − 1)!! = 15個の異なる図 が生成される。実際には独立な図の数は2個である。 1 2 3 1 2 3 (a) (b)
(a) ∆12 と vacuum bubbleからなる。 これに掛かる因子は3。
(b) この場合には、φ1とφ2両方がφ43とcontractされる。これは4 × 3 = 12 通り。 これらを併せれば正しく15個の図に対応する。 従って、正しいsymmetry factorを得るには、まずすべての点が異なるとし てカウントし、次に同一点を同定したときの独立な図をすべて描き、それ に対する重複の数を勘定すればよい。
6.2 連結(connected)グリーン関数に対する生成氾関数W [J]
外線の数が固定されたグリーン関数に寄与するdiagramはconnectedと
dis-connected に分類される。物理的に非自明なダイナミックスを表すのは 連結された相関関数。非連結相関関数は連結なものの組み合わせで構成さ れる。 連結グリーン関数の生成氾関数W [J]は次のように定義される： iW [J] = ∞ X n=0 1 n! Z d4x1 · · · Z d4xnG(n),c(x1, x2, . . . , xn)
·(iJ(x1))(iJ(x2)) · · · (iJ(xn))
= ∞ X n=0 1 n!G (n),c
i1i2...in(iJi1)(iJi2) · · · (iJin) (34)
以下で、Z[J]とW [J]の関係 を二通りの方法で調べる。
2 Combinatoric Method
Z[J]に寄与する項を連結成分の数で分類する。n個の連結成分を持つ項
のW [J]の因子の並べ方の数n!で割らねばならない。従って、各W [J]に iをつけるconventionを採用すれば、次の関係を得る： Z[J] = X i n n!W [J] n = eiW [J] (35) この形から、統計物理の立場ではW [J]はHelmholtzの自由エネルギー F (V, T )にあたることが分かる。対応は、V ∼ J, T ∼ ~となっている。
注: 場を適当にrescaleすると、温度T は実はcoupling constantに対応して いることがわかる。 φ4理論の例： φ = λ−1/2χとおいて作用を書き換えると、 S = 1 λ Z d4x µ 1 2∂µχ∂ µχ − m 2 χ 2 − 1 4!χ 4 ¶ (36) となり、T ∼ ~λとなっている。
全相関関数と連結相関関数の関係の具体例： hφiic = 1 Z δ δiJiZ = δiW δiJi = δW δJi (37) Z で割ることで、disconnected diagramsを取り除いている。 hφiφji = 1 Z 1 i δ δiJi 1 i δ δiJjZ = δ 2iW δiJiδiJj + δiW δiJi δiW δiJj = hφiφjic + hφiichφjic (38) 2 W [J]の物理的な特徴 :
W [J]がconnectedな相関関数の母関数であることは、cluster
decompo-sitionに対する性質から、より物理的に理解することができる。
図のようにN -点関数を二つのclusterにわけ、それらをspace-likeな遠方に 引き離す。
∼
∼
connected
disconnected
Connectedの場合には、必ず長距離のpropagatorが現れるので、dampしてゼ
ロになる。一方disconnectedの場合には、そこで切れば、必ずしもdampし ない。この違いによって、connected graphを区別することができる。
系を有限な箱に入れ、sourceを次のように局所的なsupportを持つ部分に分 解する。
Ω1 Ω2 J1(x) 6= 0, J2(x) = 0 J2(x) 6= 0, J1(x) = 0 J(x) = J1(x) + J2(x) 作用Sがlocal interactionのみを含むとすると、 S[φ] + J · φ = Z Ω1 dnx(L + J1 · φ) + Z Ω2 dnx(L + J2 · φ) + Z x /∈Ω1,Ω2 dnxL (Jiに依らない) + 境界∂Ωiからの寄与 (39)
従って、generating functionalは次のようにfactorizeする: Z[J] = Z1[J1]Z2[J2]Z12[J1, J2] (40) Zi[Ji] = Z x∈Ωi Dφei(S+Ji·φ) (41) Z12 = 境界 ∂Ωiからの寄与 (42)
ここで全系をlinearにscale upして、無限大volumeにすると、境界からの寄 与は他の寄与に比べて落ちる。ここでZ = eiW とすると、
W [J] = W1[J1] + W2[J2] (43)
これをJ の巾で展開して連結相関関数を定義する。 iW [J] = X 1 n! Z dx1dx2 · · · dxniG(n)c (x1, . . . , xn)(iJ(x1)) · · · (iJ(xn)) = X 1 n! Z dx1 · · · dxpdyp+1 · · · dyn × iG(n)c (x1, . . . , xp, yp+1 . . . yn)inJ1(x1) · · · J1(xp) × J2(yp+1) · · · J2(yn) xi ∈ Ω1 , yj ∈ Ω2 この表式がiW1[J1] + iW2[J2]と分解しなければならないから、二つの sourceが混合した部分はゼロとなる必要がある。すなわち、 G(n)c (x1, . . . , xp, yp+1 . . . yn) −→ 0 as min|xi − yj| → ∞ (44)
これはまさしくconnected な相関関数がもつ性質であり、disconnected
dia-gramsはこれを満たさない。
6.3 1PI グラフに対する生成氾関数=有効作用 W [J]がHelmholtzの自由エネルギーに対応することを見たが、次にGibbs の自由エネルギーG(P, T )に対応する有効作用 Γ[Φ]を定義する。これは V ↔ J からP ↔ ΦiへのLegendre変換で得られる。 Φi ≡ δiW δiJi = δW δJi = hφiic in the presence of Ji (45) (−iΓ[Φ]) ≡ (iJi)Φi − iW ⇒ Γ[Φ] = W − JiΦi (46) (45)を逆に解いた式も非常に重要になる。(46)をΦiで氾関数微分すると、 δ(−iΓ) δΦi = iJi + δiJj δΦi Φj − δiW δΦi = iJi + δiJj δΦi Φj − δiW δiJj δiJj δΦi (47) (45)より、第2項と3項はキャンセルするから、 δ(−iΓ) δΦi = iJi ⇒ δΓ δΦi = −Ji (48)
注: −iΓ, iW, iJ のように適当にiをつけたものを基本と考えると、統計 物理との対応が良くなると同時に、符号の規則が系統的になる。 2 Γ[Φ]の意味 : 具体的にΓ[Φ]を計算して、その意味を見てみよう。 • 2点関数: (48) の左側の式を iJiで微分すると δij = δ 2(−iΓ) δiJiδΦj = δΦk δiJi δ2(−iΓ) δΦkδΦj = hφiφki δ2(−iΓ) δΦkδΦj (49) 従って δ2(−iΓ) δΦkδΦj = hφkφji −1 (50)
• 3点関数: (49) をiJ`で微分すると、 0 = hφiφkφ`ihφkφji−1 + hφiφkihφ`φmi δ 3(−iΓ) δΦmδΦkδΦj s ss hφiφjφki = hφiφi0ihφjφj0ihφkφk0i iδ3Γ δΦi0δΦj0δΦk0 (51)
これは、propagatorの足を取り去った amputated 3-point function
を表す。
• この式をさらにiJ`で微分すると、
hφiφjφkφ`i = δ
δiJ` (hφiφi0ihφjφj0ihφkφk0i)
iδ3Γ
δΦi0δΦj0δΦk0
+hφiφi0ihφjφj0ihφkφk0ihφ`φ`0i iδ
4Γ
1行目の微分は、3つのconnected 3-pt functionsを生み出す。これらはそ れぞれ上記の公式(51)を用いてΓ(3)で書き直せる。従って図示すると、 l + i(j, k) j(k, i) k(i, j) これより、Γは1粒子のpropagatorで結ばれているもはや1粒子線を含まな いようなグラフの総体であることが予想される。そのようなグラフは1粒 子既約(1-particle-irreducible=1PI)と呼ばれる。
従って、1PI n-point function (n ≥ 3)でamputated Green’s function と余分 なiの因子なしに結ばれているものをΓi1i2...in と書くことにすると、Γは
Γ = i 2ΦiG −1 ij Φj − i X 1 n!Γi1i2...inΦi1Φi2 · · · Φin (52) 2点関数のみ少し例外であり、 Γij = −G−1ij (53) と定義される。 2 Tree levelでの作用との比較 :
Tree levelではΓはもともとの作用と一致する。例えばscalar理論では(積分
記号を省略すると) Γ(0) = 1 2Φi(∆ −1 F )ijΦj − X 1 n!λi1i2...inΦi1Φi2 · · · Φin = i 2Φi∆ −1 ij Φj − X 1 n!λi1i2...inΦi1Φi2 · · · Φin (54)
上記の一般形と比較すると
Γ(0)i1i2...in = −iλi1i2...in (55)
のように同定される。 2 Γの物理的有用性 : • δΓ/δΦi = −Jiであるから、これをゼロにおくと、ちょうど 外部source をゼロにする条件が得られる。これは量子効果も含めた運動方程式を与 える。 • S 行列との関係: 6.4 Γ[Φ]が1PI diagramの生成氾関数であることの証明
1PI diagram ⇔ どの1本のlineを切断してもdiagramはconnected
実は、effective action Γ[Φ]はこのようなdiagramsの生成氾関数になってい
2 Propagatorを切断するtrick: 作用を次のように少しmodifyしたものを考える： S² = 1 2 Z dxdyφ(x)φ(y) [K(x, y) + ²] + V (φ) (56) K(x, y) = wave operator , ² = small parameter (57) Modified propagator ∆Z ²が次のように定義される： dz∆²(x, z) [K(z, y) + ²] = δ(x − y) (58) ∆²を²の巾で展開すると、 ∆² = ∆ + ²∆(1) + · · · (59) ∆ = K−1 = 通常のpropagator (60) (58)の²の一次の項は ² Z dz h ∆(x, z) + ∆(1)(x, z)∆−1(z, y) i = 0 (61) ∆(y, w)を掛けてZ yで積分すると、 dz∆(x, z) Z dy∆(y, w) + ∆(1)(x, w) = 0 (62)
ここでη(x) ≡ R dz∆(x, z)と定義すると、
∆(1)(x, y) = −η(x)η(y) (63)
従って、
∆²(x, y) = ∆(x, y) − ²η(x)η(y) + O(²2) (64)
²の一次の項はfactorizeしているので、これをinsertすると、Feynman diagram の対応するlineが切断される。
従って、示すべきことは、∆²を用いて構成したΓ²[φ]において、O(²)で 生成されるdiagramsが依然としてすべてconnectedであること。
2 Γ²[φ]の構成 : まずZ²[J]をO(²)まで構成する。作用に付け加えた余分な²に比例する 項を考慮すると、 Z²[J] ≡ eiW²[J] = Z Dφ µ 1 + i² 2 Z dxdyφ(x)φ(y) ¶ ei(S+J·φ) + O(²2) = µ 1 + i² 2 Z dxdy1 i δ δJ(x) 1 i δ δJ(y) ¶ eiW [J] + · · · = Ã 1 + i² 2 "µZ dx δW δJ(x) ¶2 + 1 i Z dxdy δ 2W δJ(x)δJ(y) #! eiW [J] + · · · 従って、 W²[J] ' W [J] + ² 2 "µZ dx δW δJ(x) ¶2 + 1 i Z dxdy δ 2W δJ(x)δJ(y) # (65) O(²)の第一項はdisconnectされているので、Γに行くと落ちる。
ている場合のLegendre変換の性質を見てみよう。定義より、 Γ[φ] = W [J] − Z dxJ(x)φ(x) (66) φ(x) = δW δJ(x) = ²に依っている (67) Γ[φ]を²で微分する。左辺にはchain ruleを用いると、 LHS = ∂Γ ∂² + Z dx∂φ(x) ∂² δΓ δφ(x) (68) RHS = ∂W ∂² − Z dxJ(x)∂φ(x) ∂² (69) 左辺第二項のδΓ/δφ(x)は、² = 0とおくと−J(x)に等しい。従って、 ∂Γ ∂² ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 = ∂W ∂² ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 (70) これより、²の一次の項はΓとW で相等しい。従って (65)より Γ²[φ] = Γ[φ] + ² 2 Z dxdyφ(x)φ(y) + ² 2i Z dxdy δ 2W δJ(x)δJ(y) + · · · (71)
第2項はもともとのactinに加えた項であるので無視してよい。第3項はsource がある場合のconnected propagatorを表しており、一つの内線をcutしても
まだconnectedになっていることを表している。図示すると、 x y J φ φ φ φ J φ φ φ φ J φ φ φ φ J φ φ φ φ J φ φ φ φ
