微積分の復習 2015.04.10

微積分の復習

2015.04.10 定義 微分の定義

f^′(x) = lim

∆x→0

f(x+∆x)−f(x)

∆x

例 f(x) =xⁿのとき、f^′(x)を定義にしたがって求める。

f^′(x) = lim

∆x→0

f(x+∆x)−f(x)

∆x = lim

∆x→0

(x+∆x)ⁿ−xⁿ

∆x = lim

∆x→0

nxⁿ⁻¹∆x+ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ xⁿ⁻²(∆x)²+···+(∆x)ⁿ

∆x =nxⁿ⁻¹

定義 lim

∆x→0 a^∆x−1

∆x = 1となるaの値をeと定義する。

実際、これを満たすeはただひとつ存在することが証明できる。e= 2.71828· · · を自然対数の底と呼ぶ。

f(x) =a^xとする。このとき、f^′(x) = lim

∆x→0

f(x+∆x)−f(x)

∆x = lim

∆x→0

a^x+∆x−a^x

∆x =a^x lim

∆x→0 a^∆x−1

∆x なので、a=eと とれば、

{e^x}^′ =e^x

を得る(微分しても形が変わらない関数)。y=e^xのとき、x= log_ey (= lny)とかき、自然対数と呼ぶ。自 然対数の微分は次に説明する公式５を使う。

よく使う公式 3、4、5はなじみのない人がいるかもしれない・・ 1. {αf(x)±βg(x)}^′=αf^′(x)±βg^′(x)

2. {f(x)g(x)}^′=f^′(x)g(x) +f(x)g^′(x)

例 {xⁿ}^′ =x^′·xⁿ⁻¹+xx^′xⁿ⁻²+· · ·+xⁿ⁻¹x^′=nxⁿ⁻¹ 3. {

f(x)1

}_′

= _{f(x)}^−f′(x)2

証明 f(x)g(x) = 1のとき、g^′(x) ={

f(x)1

}_′

に注意する。

f^′(x)g(x) +f(x)g^′(x) = 0なので、g^′(x) =−^f′(x)g(x)_f(x) =−_{f(x)}^f′(x)2 を得る。

4. {f(g(x))}^′=f^′(g(x))·g^′(x)

g(x) =uとおくと、z=f(g(x)) =f(u) よって、^dz_dx =_du^dzdu_dx

例 いくつかの例を挙げる。

• {(2x+ 3)⁴}^′= 4(2x+ 3)³·(2x+ 3)^′ = 2·4(2x+ 3)³

• {e^2x}^′=e^2x· {2x}^′ = 2e^2x

• {e^−2x}^′ =−2e^−x

• {e^ax}^′ =ae^ax 5. 逆関数の微分

y=f(x)かつf^′(x)̸= 0のとき、x=f⁻¹(y)なので、x=f⁻¹(f(x))が成り立つ。両辺をxで微分す ると

1 ={f⁻¹(y)}^′f^′(x) =⇒ {f⁻¹(y)}^′= 1 f^′(x) よって、y=f(x)のとき、逆関数の微分は ^dx_dy = dy¹

dx

例 y=e^xのとき、^dx_dy = dy¹

dx =_e¹x となる。

よって、(lny)^′= _e¹x =_y¹となり、(lnx)^′= ¹_xを得る。

より一般には、{logf(x)}^′ =^f_f(x)^′(x)。

1

例 {log_ax}^′ ={^log_log^ex

ea}^′= _log¹

ea1 x

{a^x}^′=? a^x=yとおくと、lny=xlna。両辺をxで微分して、^y_y^′ = lna=⇒y^′= (a^x)^′= (lna)a^x。 定義 微分したときf(x)となる関数をf(x)の原始関数と呼び、∫

f(x)dxと書く。

即ち、F^′(x) =f(x)のとき、F(x) =∫

f(x)dxである。

定理 G(x) =∫_x

a f(t)dtのとき、G^′(x) = _dx^d ∫_x

a f(t)dt=f(x)である。

略証 f(x)の原始関数をF(x)とおくと、G(x) = [F(x)]^x_a=F(x)−F(a)。微分して、G^′(x) =F^′(x) =f(x)。 別証) G(x+ ∆x) =∫_x+∆x

a f(t)dt=∫_x

a f(t)dt+∫_x+∆x

x f(t)dtなので、

G(x+ ∆x)−G(x) =∫_x+∆x

x f(t)dt ここで、m= min

x≤t≤x+∆xf(t)、M = max

x≤t≤x+∆xf(t)とおくと、m∆x≤∫_x+∆x

x f(t)dt≤M∆xが成り立つ。

このとき、m≤ ^Rxx+∆x_∆x^f(t)dt ≤M であり、∆x→0のとき、m→f(x), M →f(x)。

よって、G^′(x) = lim

∆x→0 R_x+∆x

x f(t)dt

∆x =f(x) 部分積分法 ∫

f^′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫

f(x)g^′(x)dx

公式の証明 {f(x)g(x)}^′=f^′(x)g(x) +f(x)g^′(x)なので、f(x)g(x) =∫

f^′(x)g(x)dx+∫

f(x)g^′(x)dx。

例1 (log_ex)^′= ¹_x に注意すると、

∫log_exdx=∫

x^′log_exdx=xlog_ex−∫

x¹_xdx=xlog_ex−x+c 例2 Γ(x) =∫_∞

0 t^x−1e^−tdtのとき、Γ(x) = (x−1)Γ(x−1) Γ(x) = ∫_∞

0 t^x−1e^−tdt=∫_∞

0 (−e^−t)^′t^x−1dt=[

−e^−tt^x−1]_∞

0 −∫_∞

0 (x−1)(−e^−t)t^x−2dt

= (x−1)∫_∞

0 t^x−2e^−tdt= (x−1)Γ(x−1) 置換積分法 積分する際の変数変換

F(x) =∫

f(x)dxとする。このとき、x=g(t)と置き、_dt^dF(g(t))を求めると d

dtF(g(t)) = dF dx

dx

dt =f(x)dx dt よって、この両辺をtで積分すると

F(g(t)) =

∫

f(x)dx dtdt となる。まとめると、 ∫

f(g(t))dx

dtdt=F(g(t)) +C

∫ f(x)dx(xに関する積分) =

x=g(t)

∫ f(g(t))g^′(t)dt(tに関する積分)

例 正規分布への応用

∫_+∞

−∞ 1

σ√

2πe^{−12(x−µσ )2}dxの値は？

x−µσ =tとおくと、

x→ −∞のとき、t→ −∞

x→ ∞のとき、t→ ∞ また、dx=σdt。

よって、∫_+∞

−∞ 1

σ√

2πe^−12t2σdt=∫_+∞

−∞ √1

2πe^−12t2dt

2