スケーリング理論とは何か ?

科研費特定領域研究「情報統計力学の深化と展開」平成

18

スケーリング理論とは何か ?

– 有限系から無限系を見る方法 –

福島孝治

¹

東京大学大学院総合文化研究科 広域科学専攻 相関基礎科学系

物理のいろいろな分野にスケーリング理論と呼ばれる理論が沢山あり，それぞれの分野で重要 な寄与を与えている．今の世界から長さを

2

1 尺度を変えて見えること

スケーリングとは，ある物体のスケール

(尺度)

r

S

S = (定数) × r ⁿ (1)

の関係がある．もちろん，この「定数」は

π

n

2

2

4

L

2

DNA

2

(1)

(スケーリング則)

[1]

[4]

²

n

³

m

N

r _i (i = 1, · · · , N)

U (r ₁ , r ₂ , · · · , r _N )

m d ²

dt ² r i = − ∂

∂r i

U (r 1 , r 2 , · · · , r N ) (2)

である．ここでポテンシャル

U

k

U (ar 1 , ar 2 , · · · , ar N ) = a ^k U(r 1 , r 2 , · · · , r N ) (3)

1

E-mail: [email protected]

2少し大げさに言えば，どの分野にも「Scaling theory of XXX」という論文があるくらいだ．

3指数が普遍でないスケーリング則を表す現象も見つかっている．そのときは指数には当然普遍的な理由を求めることはできず，個 別論が重要になってくる．

図

1:

3/2

3

0.01 0.1 1 10 100 1000

1 10

Kepler’s third law

をもっているとする．この力学の問題で長さと時間の

2

α

β

r i → r ⁰ _i = αr i , t → t ⁰ = βt. (4)

(2)

β ² α m d ²

dt ^{0 2} r ⁰ _i = − 1 α ^{k − 1}

∂

∂r ⁰ _i U (r ⁰ ₁ , r ⁰ ₂ , · · · , r ⁰ _N ) (5)

β ² = α ^{2 − k} = ⇒ β = α ^{1 −}

(6)

であることがわかる．スケール変換に対して物理法則が不変である

(スケール変換不変性)

例えば，万有引力は

k = − 1

= α ^3/2

t ⁰ t =

µ r ⁰ r

¶ ^3/2

である．地球の公転半径を

α

α ^3/2

2 統計力学での熱力学 ( 大システム ) 極限への接近

樺島氏や渡邊氏のの講演のように，「量が質を変える」ことは物理の分野ではたびたび発見されている．そ の一つの典型は相転移現象である．相転移は自由エネルギーの特異性で特徴づけられる．カノニカル分布 を考える限り，ボルツマン因子

exp( − βE)

(積分)

Z，あるいは分配関数の対数である自由エネルギー F = − k _B log Z

( ∼ 10 ²³ )

しかし，このことは有限の世界にいる限り，相転移は決してみることはできないことを意味している．例 えば，厳密に取り扱うことの難しい多体系の統計力学の問題を計算機実験で調べるとき，必然的に有限の 系しか扱うことができない．無限に大きいメモリーを持ったコンピューターはこの世には存在しないわけで

ある．何とか有限系の情報から，熱力学極限で起きていることはわからないだろうか? また，逆に熱力学 極限からの接近法として有限系を捉えるならば，有限系がどのように無限系と接続しているかは重要な問 題になる．

一見すると，これは有限の系の計算機実験で得られた数値データの外挿方法のような退屈な数値解析の 話しに思えるかも知れない．しかし，ここでは前章で議論したスケーリングの考え方を用いた無限系の捕ま え方と捉えてみたい．系の大きさを二倍にしたときの性質がよく分れば，それを繰り返すことで無限系の 様子を知ることができる．．．だろうと思うわけである．

2.1

–

–

ここでは有限系の磁性体の問題を考えることにする．有限系の体積を

V

M

σ _i

M = 1 V

X

i

σ i (7)

で表される．この確率分布関数

P (M )

(P (M ) = P( − M ))

h M ^k i ≡ Z ∞

−∞

M ^k P (M ) = 1 V ^k

X

i

X

i

· · · X

i

h σ i

σ i

· · · σ i

i (8)

と表せる．この問題での相転移現象は，例えば

h M i

h M i = 0

(転移温度 T c )

h M i > 0

k

(8)

0

⁴

h M i 6 = 0

そこで，通常は磁化密度の感受率である帯磁率

χ

χ = V ¡

h M ² i − h M i ² ¢

. (9)

二次の相転移が起きるときに，この帯磁率は転移温度

T c

χ(T ) = A _χ

¯ ¯

¯ ¯ T − T _c

T c

¯ ¯

¯ ¯

− γ

(10)

A χ

この関係式は，温度を転移温度からのズレを

2

(9)

χ/V ˜ = h M ² i

V

問題点をここでまとめておくと以下のとおりである．

1.

4信念伝搬法などで有限系でゼロでない磁化密度が求まることはある．このときは反復方程式の初期条件が対称性を破っているの で，心配しなくてもよい．

1 10 100 1000 10000

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

( T,L )

T/J

L= 4 8 16 32 64 N=

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

’ ( T,L ) /V=

M

T/J

L= 4 8 16 32 64

図

2: 2

(左)

(二乗磁化)(右)

V = L ²

T c = 2.26918533229 · · ·

γ

7/4

2.

1．では無限系の値を求めることを直接せずに，知りたい情報である転移温度等だけを知ることを想定して

1．は可能であるので，2．は 1．を含んで

しかも，一般には転移温度がどこにあるかは事前にはわからないのである．つまり，与えられた温度でどの 外挿公式を使うのがよいのかが自明でないわけである．

3 有限サイズスケーリング理論 [2, 3]

ここでは先の問いに答える手法として有限サイズスケーリング理論を紹介する．例えば，帯磁率のような 示強的な量が熱力学極限でかつ相転移温度近傍で特異的な振る舞い

h A i ( ∞ , T ) ∝

¯ ¯

¯ ¯ T _c − T

T c

¯ ¯

¯ ¯

− x

at T ∼ T _c (11)

を示すとする．ここで

x A

c

t ≡ | (T c − T )/T |

⁵

V

= V ^1/d

V

L

有限サイズスケーリングの基本的な仮定は，「サイズ

L

L/ξ _∞

ξ _∞

5一般には転移温度近傍でずれを表していれば良いので，逆温度の差

τ ≡ | (β − β

)/β

|

t

τ

[6]．ここではこれ以上深入りせずに伝統的な記法に

移温度近傍で

ξ _∞ ∝

¯ ¯

¯ ¯ T c − T

T _c

¯ ¯

¯ ¯

− ν

(12)

ν

_∞

L

ξ _∞

L

_∞

有限系のスケール

L

ξ _∞

L/ξ _∞

この仮定は有限系の量

h A i (L, T )

有限サイズスケーリング仮説

: h A i (L, T ) = L ^x

^/ν f _A µ L

ξ _∞

¶

. (13)

ここで

f _A

T

L

ξ _∞

(11)

f A

f _A (y) ∼ y ^{− x}

^/ν for large y (14)

にある．

この仮定は，前章での同次関数性

(3)

A

⁶

有限サイズスケーリング則はこのスケーリング仮説から展開されるが，式

(13)

ξ _∞

(13)

A

ξ

ξ L

ξ L (T) = Lf ξ

µ L ξ _∞

¶

. (16)

関数

f _ξ

_∞ /L

ξ _L /L

実際に使われる有限サイズスケーリングの幾つかの表現

(流儀)

h A i (L, T) = L ^x

^/ν f ˜ A (L ^1/ν t), (17) h A i (L, T)

h A i ( ∞ , T ) = f ˜ _A ⁰ (L/ξ L ), (18)

h A i (L, T )

h A i (2L, T ) = f ˜ _A ⁰⁰ (L/ξ _L ), (19)

ここで

f ˜ A , f ˜ _A ⁰ , f ˜ _A ⁰⁰

6一般化同次関数の性質を用いて，

h A i (L, T ) = α

h A i (αL, α

t) = ξ

h A i (L/ξ

, t/ξ

)

= L

³ _ξ

∞

L

´

h A i

³ _L

ξ

, t ξ

´

(15)

α

1/ξ

= 1/ν

(13)

3.1

最もよく使われているのは，式

(17)

χ(T, L)

L ^γ/ν = f _χ (L ^1/ν t) (20)

と書けるので，未知の変数

T c , ν, γ

χ/L ^γ/ν

L ^1/ν t

例の二次元イジング模型の臨界温度や臨界指数は全て知っているので，それを用いてこのスケーリングプ ロットをしたのが

Fig. 3

今の例題では，スケーリング則の変数

T _c , γ, ν

図のような普遍関数を与えるようにそれらの変数を決めることになる．

図

3:

T _c = 2.2691..., γ = 7/4, ν = 1

| T /T c − 1 | L ^1/ν

x ^{− 7/4}

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-10 -5 0 5 10 15

( T,L ) /L

/µ

(T/T

−1)L

L= 4 8 12 16 24 32 48 64

10

10

10

10

10

10

10

10

10

|T/T

−1|L

この図を見て，まず

Fig. 2

1

L ^1/ν t

(T < T _c )

(言い訳)

後者の理由は明らかで，前章で議論したように，ここで測っている量は正確には帯磁率ではないことによる と考えられる．前者は深刻な問題で，多くの教科書にはスケーリング補正項がその理由だと説明されてい る．つまり，帯磁率が式

(10)

(20)

χ(T, L) = L ^γ/ν ³

f χ (L ^1/ν t) + L ^ω f 1 (L ^1/ν t) + · · · ´

(21)

事前にわかっている自明な補正項はできるだけ見えないようにする試みがある

[6]．

もし，転移温度に興味があるのであれば，式

(17)

x _A

Binder parameter

g = 1 2

µ

3 − h M ⁴ i h M ² i ²

¶

(22)

である

[9]．x A = 0

g(T, L) = f g (L ^1/ν t) (23)

となるので，t

= 0

T = T _c

L

温度が直接わかることやスケーリングをするために調整する変数が

T c

ν

x _A = 0

この

Binder parameter

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

g ( T,L )

T/J L= 4

L= 8 L=16 L=32

L=64 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-10 -5 0 5 10

g ( T,L )

( T/Tc −1) L

L= 4 L= 8 L=16 L=32 L=64

図

4:

Binder parameter

(左)

(右)．左図で異なるサイズのデータが交わる点が転移温度に対応している．

3.2

前節の方法では，転移温度や臨界指数を評価することに重点が置かれているように思うが，もう少し熱力 学極限への外挿を重視して考える．ここでは，式

(18)

Kim

[8]

χ(L, T) χ( ∞ , T ) = f χ

µ L ξ L

¶

(24)

T c

ξ L

ξ L (L, T) = 1 2 sin ¡ π

L

¢ s

G(0)

G(k _min ) − 1 (25)

として評価することが出来る

[10].

G(k)

g(r) = h σ i σ i+r i

k min ≡ (2π/L, 0, · · · )

χ(L, T)

ξ(L, T )

アウトプットは

χ( ∞ , T )

T

f _χ

f χ

Fig. 5

Fig. 2

帯磁率を

ξ L (T )/L

f χ (x)

x = 0

T ⁰

f _χ (x)

χ( ∞ , T ⁰ )

x = 0

外挿値を評価できることが分る．スケーリング関数の勾配が大きいときには，外挿値に不定性が残りやす い．Fig. 5の

x = 1

この有限サイズスケーリングでも，スケーリング関数

f χ

るかを考えてみる．相転移温度以外では相関長

ξ

転移温度に付近になると，段々と原点に近付けなくなり，転移温度では決して原点に到達することはない．

スケーリング仮説ではそこをうまく連続函数で繋いでいるわけである．

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

( L,T ) / (

,t )

( L,T ) /L

T/J=3.00 2.94 2.88 2.79 2.74 2.66 2.58 2.44 2.32

2.29

5:

スケーリング

2：元のデータは Fig. 2

ξ L (T )/L

T

L

3.3

前節の方法では一足飛びに無限系の結果を外挿したのだが，徐々に大きくする方法も考えることが出来 る．先のスケーリング関係式と２倍にした式の比をとることで，

χ(L, T) χ(2L, T ) = f _χ ⁰

µ L ξ L

¶

(26)

[7]．ここで f _χ ⁰

f _χ ⁰

2

図

6: 2

3：元データは Fig. 2

f _χ ⁰ (x) = 1 + a ₁ exp(1/x) + a ₂ exp(2/x) + · · ·

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

( L,T ) (2 L,T )

( L,T ) /L

L= 4 L= 8 L=12 L=16 L=24 L=32

この節と前節の

2

Fig. 7

3

T c

γ

題になっていた．それに対して，残りの

2

図

7:

t = T /T c − 1

(Carraciolo’s method)

(Kim’s

method)

た．直線は期待される熱力学極限での振る舞い である．

1 10 100 1000

0.01 0.1 1

( T,L )

T/Tc −1

L= 4 8 16 32 64 Carraciolo’s method Kim’s method

4 おわりに

本解説では，物理の分野でのスケーリング理論について，そのほんの一部を概観した．その共通する基本 的な考え方は，スケールを変えたときに物事はどのようにみえるかということであった．この特徴を顕著に 使った例である統計力学の有限サイズスケーリング理論について詳しく解説した．統計力学ではサイズ

L

P (M )

この解析がうまくいった背景を考えてみると，相関長の存在が重要だと思われる．有限系のサイズを大き くして，無限系をめざしたときに，どの程度大きくすれば無限系と思えるかの目安を知る必要がある．物理 の問題ではそれが相関長であることが多い．相転移の問題では相関長は転移温度においてのみ無限大に発 散していて，それ以外ではある有限の値をもっている．有限サイズスケーリング仮説では，サイズ

L

ξ

[11]．そうしたスケール変数の

参考文献

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Rev. Lett. 28, 1516 (1972)

[3] M.N.Barber, in Phase transitions and Critical Phenomena edited by C.Domb and J.L.Lebowitz, Vol.

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[5]

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[7] S. Caracciolo, R. G. Edwards, S. J. Ferreira, A. Pelissetto, and A. D. Sokal: Extrapolating Monte Carlo Simulations to Infinite Volume: Finite-Size Scaling at ξ/L À 1, Phys. Rev. Lett. 74, 2969 (1995).

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[9] K. Binder: Finite size scaling analysis of ising model block distribution functions, Z. Phys. B43, 119 (1981).

[10] F. Cooper, B. Freedman and D. Preston: Solving φ ⁴ ₁₂ field theory with Monte Carlo, Nuclear Physics B, 210, 210 (1982).

[11] R.Botet, R.Jullien and P.Pfeuty: Size Scaling for Infinitely Coordinated Systems , Phys.Rev.Lett.

49, 478 (1982).