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CAL 2012/5/31

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Academic year: 2021

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(1)

CAL 2012/5/31

問題

1

は解答用紙の表に、問題

2

は裏に解答すること。

1

(i)

定積分

R

b

a

f (x) dx

は、「符号付き面積」という幾何学的意味を持つので あるが、それ以外にも定積分で表される量が多数存在する。そのような 実例を一つ挙げ、簡単に説明せよ。

(ii) x arctan x

の微分を利用して、定積分

Z

0

1

arctan x dx

の値を求めよ。

(i)

は、省略。

(ii)

(x arctan x)

0

= arctan x + x x

2

+ 1

を積分して、

Z

0

1

arctan x dx = [x arctan x]

01

1

2 [log(x

2

+1)]

01

= arctan( 1)+ 1

2 log 2 = π 4 + 1

2 log 2.

2

(i)

不定積分

Z

e

3x

+ 2e

2x

2 e

3x

+ 2e

2x

+ 2e

x

dx

において、変数の置き換え

t = e

xを実行せよ。

(ii) e

3x

+ 2e

2x

2

e

3x

+ 2e

2x

+ 2e

x の原始関数を求めよ。

(i) dx = dt/t

に注意すれば、

Z e

3x

+ 2e

2x

2 e

3x

+ 2e

2x

+ 2e

x

dx =

Z t

3

+ 2t

2

2 t

2

(t

2

+ 2t + 2) dt.

(ii)

変数を置き換えた後の被積分関数は、

t

3

+ 2t

2

2 t

2

(t

2

+ 2t + 2) = 1

t 1

t

2

+ 1 t

2

+ 2t + 2

と部分分数に分解されるので、

Z t

3

+ 2t

2

2

t

2

(t

2

+ 2t + 2) dt = log t + 1

t + arctan(t + 1)

となり、求める原始関数(の一つ)は、

x + e

x

+ arctan(e

x

+ 1).

1

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