応力解の未定係数について   

 

応力解の未定係数について   

日大生産工 ○渡里  望    

 

半無限帯状の２次元弾性体が変位による拘束 をうけるときの自由縁での応力の解について調 べる。とくに自由縁端部の角点では応力の特異 性が現れる。このような性質を表す関数として 複素応力関数（

Goursat

の応力関数）が知られ ている

¹⁾

。前回講演

²⁾

で扱ったように変位につい ては、横方向u、縦方向vがy軸についてそれぞれ 顕著な逆対称性、対称性をもった場合について 考える（図

1

）。具体的にはx=a上、すなわち弾 性体の側辺にそって変位拘束の状態にあって、

x

軸上では自由縁の状態（応力自由）である。  

 

2 境界条件 

 

      

!

u= X , v= 0 x=a

上

 (1) 

 

      

!

"_yx =0,

!

"_yy =0       _x

_軸上

₍₂₎

 

      

３ 

Goursat

の複素応力関数

 

Goursatの関数を用いると応力と変位は次式のよう

な関係式が成立している。 

 

!

"xx +"yy =2($ # (z)+$ # (z))

      

(3) 

 

!

"yy #"xx +2i"xy =2(z% $ $ (z)+& $ (z))

      

(4)

   

!

" =u+iv=c_w#(z)$z# % (z)$&(z)

      

(5)

 

!

c_w ="+3µ

"+µ

   

(6) 

 

３ 原点OまわりのTaylor級数展開 

 

このような場合に角点C周辺を除く自由縁（x軸上）

上では複素応力関数は正則であると考えられる。

したがって、この関数は原点まわりでTaylor級数 に展開される。

そこで、

         

!

"(z)=

$

#_nzⁿ (7)

         

!

"(z )=

$

#_nzⁿ (8)

とする。このとき、(5)は 

      

!

" = (cw#nzn$n#nzzn$1

$%nzn

&

)

 

       (9)

   

4. 変位の鏡映について   

２次元弾性での変位は

Goursat

の複素応力関数 を用いて式(5)で表される。

!

"=u+iv

 ^の鏡映

操作

!

M

は、 

     

!

M " = M ( u + iv) = Mu + iMv  

 

であり、 

       

!

M " = #u + iv  

 

すなわち、 

       

!

M" = # "      ⁽¹⁰⁾ 

 

が得られる。上の関係から、 

 

 

!

"(z)= a_2m+1z^2m+1+i

m=0

#

$

^a2mz2m

m=0

#

$

  (11)   

 

!

"(z)= b_2m+1z^2m+1+i

m=0

#

$

^b2mz2m

m=0

#

$

        (12)   

が得られる。(3),(4),(5)を考慮することにより、

変位と応力について次式が得られる。 

   

On the unknown coefficients of Stress

Nozomu WATARI

 

−日本大学生産工学部第42回学術講演会（2009-12-5）−

― 33 ― 8-15

変位： 

 

!

(u)_y=0 = [(c_w"(2m+1))a_2m+1"b_2m+1]

m=0

#

$

^x2m+1

        (13) 

!

(v)_y=0 = [(c_w +2m)a_2m +b_2m]^x2m

m=0

"

#

 

                  (14)        

    応力： 

!

("_yy)_y=0 = (2m+1) 2(m[ +1)a_{2 m+1}+b_{2 m+1}]^{x2 m}

m=0

#

$       

      (15) 

!

("_xy)_y=0 = 2m (2m[ #1)a_{2 m} +b_{2 m}]^{x2 m#1}

m=0

$

%

        (16) 

!

("_xx)_y=0 = (2m+1) 2(1[ #m)a_{2 m+1}#b_{2 m+1}]^{x2 m}

m=0

%

$

        (17)   

そして自由縁での境界条件(2)から係数の関係式： 

     

!

b_2m+1="2(m+1)a_2m+1 

      (18)

       

!

b_2m = "(2m"1)a_2m 

      (19)

 

が得られる。これから変位について、 

!

(u)_y=0 =(c_w +1) a_2m+1 m=0

"

#

^x2m+1

        (20) 

!

(v)_y=0 =b₀ +c_wa₀ +(c_w +1) a_2m m=0

"

#

^x2m

  (21)  そして応力については 

!

("_xx)_y=0 =4 (2m+1)a_2m+1x^2m

m=0

#

$

       (22)  が得られる。 

 

5. 角点Cまわりの解   

図２に示すように角点Cを原点にとり、

x

 ^軸は右

方向へとる。弾性体は第２象限にあるものとす る。このとき 

!

"(z)

,

!

"(z)

を         

!

"(z)=Az^p

      (23)      

       

!

"(z)=Bz^p

      (24) 

とおく。A, B  は複素定数、pは実数とする。 

このときの解は     

!

(u)_C =(c_w +1) cos"_p#r^pA_s

          (25) 

   

!

(v)_C =(c_w +1) sin"_p#r^pA_s

       (26) 

!

("_xx)_C =#4pcos$_p%r^p#1A_s

       (27) 

ただし、 

 

!

A=Asei"

   

!

B=B_se^i"

   

!

"_p =p# + "

 

である。ここで、(27)の

As とベキ級数展開の

a2m+1 , a2m などは未定係数である。 

 

!

"#$%#&#'

"#($%#&#'

)

* ()

*

+

  図１  鏡映対称 

 

       

!

"

#

  図２ 角点C周りの解 

 

参考文献   

1) 線形破壊力学  岡村  弘之 著 

2) 平成１８年度学術講演会概要集        複素応力関数のTaylor展開 

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