圏の「対数」

圏の「対数」

alg-d

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2021 年 4 月 29 日

圏C ^{に対して，}C ≃Set^{D となるような圏}D^をCの「対数」と思うことにすれば，こ のような「対数」がいつ存在するかは既に分かっている(「Kan拡張」のPDFを参照)． ここではそれとは違った観点から「対数」を考える^*1．

まず実数の場合について復習しておく．実数の和と積は可換であり，分配法則 (a+b)×c=a×c+b×c

を満たすのであった．同様に積と冪も分配法則

(a×b)^c =a^c ×b^c

を満たす．しかし積とは違って冪a^b は非可換である．ところが実は，「冪」の定義を少し 変えると，分配法則と可換性両方が成り立つようにすることができる．それには演算a∗b をa∗b:=a^logb と定義すればよい．これは容易に分かるように

(a×b)∗c= (a∗c)×(b∗c), a∗b=b∗a を満たす．

さて，圏の直和を和，直積を積と思えば，圏の場合もこれらは可換であり，分配法則 (A⨿B)×C = (A×C)⨿(B×C)

が成り立つが，上記の演算∗についても，圏バージョンを考えることができる．そのため に準備をする．

定義. C, D, U ^を圏，F: D→C^，E: U →C ^{を関手とする．}F ^に沿ったE ^の左Kan^リ フトとは組⟨F_†E, η⟩であって，以下の条件を満たすものである．

*1これは，以前Sさんに教えてもらった内容[1]を文書化したものです．Sさん，ありがとうございます．

(1) F_†Eは関手U →Dで，ηは自然変換E ⇒F ◦F_†E である．

D

C U

η =⇒

F

E F_†E

(2) ^組⟨S, θ⟩^{が同じ条件を満たす}(^即ち S: U → D^は関手でθ: E ⇒ F ◦S ^は自然変 換) ならば，自然変換τ: F_†E ⇒S が一意に存在してθ =F τ ◦ηとなる．即ち次 の等式が成り立つ．

D

C^η =⇒ U

F

E F_†E

S

τ =

D

C U

=⇒

F θ

E S

即ち左Kanリフトとは，左 Kan拡張の定義において関手の向きを逆にしたものであ る．絶対左Kanリフトについても絶対左Kan拡張と同様に定義できる．

定義. F: D → C，E: U → C，K: V → U を関手として左Kanリフト⟨F_†E, η⟩^が存 在するとする．

D

C U V

η =⇒

F

E F_†E

K

このときK ^が左Kan^リフト⟨F_†E, η⟩^{と交換するとは，}K を合成して得られる次の図式 も左Kanリフトとなることを言う．

D

C U V

ηK

=⇒

F

E

(F_†E)◦K

K

定義. F: D→C，E: U →Cを関手として左KanリフトF_†Eが存在するとする．F_†E が任意の関手K: V →U と交換するとき，F_†E は絶対左Kan拡張であるという．

拡張のときと全く同様にして次の定理が得られる．

定理 1. G: D→C を関手とするとき，以下の条件は同値である．

(1) Gが左随伴を持つ．

(2) 絶対左Kanリフト⟨G_†id_C, η⟩^{が存在する．}

(3) 左Kanリフト⟨G_†id_C, η⟩^{が存在し，}GがG_†id_C と交換する．

D

C C D

η =⇒

G

idC

G_†idC

G

またこのときG_†idC ⊣Gでありηがそのunitである．

これを使うことで次の命題を得る．

命題 2. C, Dを圏，F ⊣G: C →D，F^′ ⊣ G^′: C →Dを随伴関手とする．このとき自 然変換F ⇒F^′とG^′ ⇒G^{は一対一に対応する．}

証明. ^随伴 F ⊣ G^，F^′ ⊣ G^{′ の} unit ^{をそれぞれ} η, η^{′ とする．このとき} G_†idC ∼= F^， F^′†id_C ∼=G^′ である．よって左Kan拡張，左Kanリフトの普遍性から，等式

D

C C

=⇒^η

F^′ F

idC

⇒ G

φ =

D

C C

=⇒

η^′ F^′

idC

G^′ G ψ⇒

によりφ: F ⇒F^′とψ: G^′ ⇒Gが一対一に対応する．(即ち，任意のφに対して，一意 にψが存在して等式が成立し，また任意のψ^{に対して一意に}φが存在して等式が成り立 つ．)

そこで，随伴の圏Adj(C, D)を次のように定義することができる．

定義. 圏C, Dに対して，圏Adj(C, D)を

• Ob(Adj(C, D)) :={F ⊣G: C →D}^．

• Hom_Adj(C,D)(F ⊣G, F^′ ⊣G^′) := Hom_DC(F, F^′)∼= Hom_C^D(G^′, G)． により定める．

これを使うことでいよいよ∗を定義することができる．

定義. 圏C, Dに対してC ∗D := Adj(C, D^op)^op． 命題 3. C∗D=D∗C である．

証明. Adj(C, D) = Adj(D^op, C^op)だから

C∗D= Adj(C, D^op)^op = Adj(D, C^op)^op =D∗C である．

命題 4. A, B, Cを圏として，A, Bは始対象0を持ち，Cは二項余直積を持つとする．こ のとき(A×B)∗C ≃(A∗C)×(B∗C)^である．

証明. 示すべき圏同値は Adj(A×B, C^op)^op ≃ Adj(A, C^op)^op ×Adj(B, C^op)^op だから Adj(A×B, C)≃Adj(A, C)×Adj(B, C)を示せばよい．

P0: A×B →A，P1: A×B→Bを射影とする．P0, P1 は左随伴L0, L1を持つ．

...

) 0⊣! : 1→BだからA=A×1−−−−→^idA×0 A×BをL0とすればL0 ⊣P0である．

L1 についても同様．

よって関数

X: Ob(Adj(A×B, C)) Ob(Adj(A, C)×Adj(B, C))

∈ ∈

(L⊣R) ⟨LL0 ⊣P0R, LL1 ⊣P1R⟩ C

A×B

A ^P0 B

L0 P1

L1

L R

が得られる．これは関手になる．逆向きの関数

Y : Ob(Adj(A, C)×Adj(B, C)) Ob(Adj(A×B, C))

∈ ∈

⟨L₀ ⊣R₀, L₁ ⊣R₁⟩ ⨿ ◦(L₀×L₁)⊣(R₀×R₁)◦∆

A×B ^⊥ C×C ^⊥ C

L0×L1

R0×R1

⨿

∆

も得られる．これも関手になる．これらは互いに逆の関手を与える．

...

) L ⊣R: A×B→C とすると

Y X(L⊣R) =Y(LL₀ ⊣P₀R, LL₁ ⊣P₁R)

= ⨿ ◦(LL₀×LL₁)⊣(P₀R×P₁R)◦∆ である．a ∈A，b∈Bに対して

⨿ ◦(LL₀×LL₁)(a, b) =LL₀(a)⨿LL₁(b)

=L(a,0)⨿L(0, b)

∼=L(a, b)

であり，c∈Cに対して

(P₀R×P₁R)◦∆(c) =⟨P₀R(c), P₁R(c)⟩=R(c) だからY X(L⊣R)∼= (L ⊣R)である．一方

XY(L₀ ⊣R₀, L₁ ⊣R₁) =X ⨿ ◦(L₀×L₁)⊣(R₀×R₁)◦∆

=⟨⨿ ◦(L₀×L₁)◦L₀ ⊣P₀◦(R₀×R₁)◦∆,

⨿ ◦(L₀×L₁)◦L₁ ⊣P₁◦(R₀×R₁)◦∆⟩ であり，a ∈A，b∈B，c∈C に対して

⨿ ◦(L₀×L₁)◦L₀(a) =L₀(a)⨿L₁(0)

∼=L₀(a)⨿0

∼=L₀(a)

P₀◦(R₀×R₁)◦∆(c) =P₀(R₀(c), R₁(c))

=R₀(c)

⨿ ◦(L₀×L₁)◦L₁(b) =L₀(0)⨿L₁(b)

∼= 0⨿L₁(b)

∼=L₁(b)

P₁◦(R₀×R₁)◦∆(c) =P₁(R₀(c), R₁(c))

=R₁(c)

よりXY(L0 ⊣R0, L1 ⊣R1)=∼⟨L0 ⊣R0, L1 ⊣R1⟩^である．

従ってAdj(A×B, C)≃Adj(A, C)×Adj(B, C)が分かる．

つまり今定義した C∗Dという演算は可換でかつ(ある程度の条件の下で)積に対して 分配法則が成り立つ．よってこれは実数の場合の∗の圏バージョンであると考えることが できる．そこで，実数の場合に倣ってC^log(D) := C∗D = Adj(C, D^op)^op と書くことに する．^*2

命題 5. A, B, Cを圏として，Aは二項余直積を持ちB, Cは始対象0を持つとする．この ときA^log(B×C) ≃A^log(B)×A^log(C)である．(この意味でlog(B×C) = log(B) + log(C) と思うことができる．)

証明. 命題4から明らか．

命題 6. 圏Aが終対象を持つときA^log(1)≃1^である．(この意味でlog(1) = 0と思うこ とができる．)

証明. Aが終対象1を持つからAdj(A,1)≃ {!⊣1 : A→ 1}= 1^{となる．従ってこの場} 合A^log(1)= Adj(A,1^op)^op ≃1^である．

命題 7. A̸=0のときA^log(0)=0である．

証明. A(̸=0)から0への関手は存在しないからA^log(0)= Adj(A,0^op)^op =0．

命題 8. U が余完備のとき，U^log(SetC)≃U^C である．(この意味でlog(Set^C) =C と思 うことができる．)

証明. ^{示すべき圏同値は}Adj(Set^C, U^op)^op ≃U^{C だから}Adj(Set^Cop, U^op) ≃(U^op)^Cop を示せばよい．即ちAdj(C, Ub )≃U^C を示せばよい．

米田埋込y: C →Cbにより関手y^†: U^C →U^Cb_{が得られる．}

Cb

C U

y

F y^†F

F^†y

普遍随伴によりy^†: U^C →Adj(C, Ub )であり，これは本質的全射である．yが忠実充満だ からy^†も忠実充満で，故にy^†は圏同値である．

命題 9. 圏U が余完備のときSet^log(U) ≃U である．(これはe^logx =xに対応する．) 証明. 命題8によりSet^log(U) =U^log(Set)≃U である．

参考文献

[1] ft_math^{さんによる圏論祭}, 2012^年12^月8^日,http://alg-d.com/math/ft_math/