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What is identity?: A review of `What is Reality?’ by Hayato Saigo and Sigeru Taguchi

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Academic year: 2021

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(1)科学哲学 53-2(2020). 書評論文. 〈同じさ〉とは何か. ―西郷甲矢人・田口茂『〈現実〉とは何か』 (筑摩書房)の書評― 北島雄一郎. Abstract ‘What is reality?’ is a Japanese book whose authors are a mathematician and a phenomenologist. The authors examine the general structure of nature as well as our behavior. In the present note, we review its content from the perspective of identity, which is an isomorphic natural transformation according to the authors.. 1 1 はじめに ͸͡Ίʹ   ຊॻ 1 ͸਺ֶऀͱ‫ݱ‬৅ֶऀʹΑΔ‫ڞ‬ஶͰɺ༷ʑͳ෼໺ʹ͓͍ͯʮʪ‫࣮ݱ‬ʫͱ ͸Կ͔ʯͱ͍͏େ͖ͳ໰͍Λߟ࡯͍ͯ͠Δɻೋਓͷ‫ڀݚ‬෼໺͕ҟͳΔʹ΋ؔ ΘΒͣௐ࿨ͷऔΕͨߟ࡯͕ͳ͞Ε͍ͯΔɻஶऀ΋ʮͳͥ͜Ε΄Ͳ࿩͕௨͡Δ ͷ͔ʁʯͱࢥͬͨͱͷ͜ͱͰ͋Δɻͦͯ͠ɺͦͷཧ༝͸ʮ਺ֶ΍఩ֶΛ௨͠ ͯɺ͍ͭ΋ʮ‫࣮ݱ‬ʯʹ͍ͭͯߟ͍͑ͯΔʯ ʢp. 132 ʣ͔ΒͰ͋Δͱड़΂͍ͯΔɻ ·ͨɺ࣍ͷΑ͏ͳ‫ه‬ड़΋͋Δɻ ࣗવքʹ‫ݟ‬ΒΕΔ‫࣮ݱ‬ͷʮҰൠߏ଄ʯ͕ɺΘΕΘΕࣗ਎ͷߦҝ ΍ੜͱ͍ͬͨϨϕϧͷग़དྷࣄʹ΋·͘͞͠౰ͯ͸·ΔɻͦΕΒ͸݁ ‫ہ‬ɺʮಉ͡‫࣮ݱ‬ʯʹ͍ͭͯ‫͍ͯͬޠ‬Δͷ͔ͩΒɺͦ͏ͳΔͷ͕౰વ ͱ΋͍͑Δ͔΋͠Εͳ͍ɻʢp. 207ʣ ͜ͷΑ͏ʹຊॻͰ͸ɺࣗવքͷҰൠߏ଄͔ΒΘΕΘΕͷߦҝʹؔΘΔग़དྷ ࣄ·ͰҰ؏ͨ͠ࢹ఺Λ௥‫͍ͯ͠ٻ‬ΔɻຊॻͰ͸ࣗ༝΍ྙཧʹؔͯ͠΋‫ڵ‬ຯਂ ͍ٞ࿦Λల։͍ͯ͠Δ͕ɺධऀͷྗෆ଍ͷͨΊ͢΂ͯΛ঺հ͢Δ͜ͱ͸Ͱ͖ ͳ͍ɻ͜ͷॻධͰ͸ʮՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬Λ௨ͯ͡ɺʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ͢Δʯʢp. 142ʣͱ͍͏ຊॻͷओுΛ۩ମతʹ঺հ͍ͯ͘͠ɻ ຊॻʹ͓͍ͯஶऀ͸ʮಉ͡͞ʯ͸͋Β͔͡Ί༩͑ΒΕ͍ͯΔ΋ͷͰ͸ͳ͘ ʮಉ͡͞ʯΛઃఆ͢Δඞཁ͕͋Δ͜ͱΛࢦఠ͠ɺՄ‫ͳٯ‬ม‫͔఺؍͏͍ͱ׵‬Β ʮಉ͡͞ʯΛଊ͑Δ͜ͱͷॏཁੑΛઆಘతʹ࿦͍ͯ͡Δɻ2 અͰ͸ɺʮಉ͡͞ʯ ʹؔΘΔຊॻͷٞ࿦Λ঺հ͢Δɻ 2 અͰ঺հ͢Δຊॻͷ͜͏ͨٞ͠࿦͚͔ͩΒͰ΋ɺՄ‫ͳ׵‬ม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬Β ʮಉ͡͞ʯΛଊ͑Δ͜ͱͷॏཁੑ͕෼͔ΔɻຊॻධͰ͸ɺ͜ͷࢹ఺ͷॏཁੑΛ ͞Βʹิ‫͢ڧ‬ΔͨΊʹɺ3 અҎ߱Ͱྔࢠ࿦ͷதͷҰͭͷཧ࿦Ͱ͋Δ DHR ཧ࿦ ΛऔΓ্͛ɺ2 અͰ঺հͨ͠ຊॻͷ‫͔఺؍‬Β‫ݕ‬౼͢ΔɻDHR ཧ࿦Λ‫ݕ‬౼͢Δ ཧ༝͸ɺ3 અͱ 4 અͰड़΂ΔΑ͏ʹ͜ͷཧ࿦͸ཻࢠΛѻ͍ͬͯΔΑ͏ʹΈ͑Δ 2020 年 8 月 13 日投稿,2020 年 11 月 13 日審査終了 1. 275.

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(5) 〈同じさ〉とは何か. ఆ࿦తͳ๏ଇΛखʹೖΕͨͱ͍͑Δɻ͜ͷྫΛ‫ݟ‬Δͱɺ ʮಉ͡͞ʯͷ౓߹͍Λ ߴΊ͍͚ͯ͹ܾఆ࿦తͳϞσϧΛखʹೖΕΔ͜ͱ͕Ͱ͖ΔΑ͏ʹΈ͑Δɻ͠ ͔͠ɺͨͩ୯ʹʮಉ͡͞ʯͷ౓߹͍ΛߴΊΔ͚ͩͰ͏·͍͘͘Θ͚Ͱ͸ͳ͍ ͱ͍͏͜ͱΛஶऀ͸࣍ͷΑ͏ͳྫͰઆ໌͍ͯ͠Δɻ ͋Δ‫͍ͯͭʹऀױ‬ʮฏ‫ۉ‬༨໋ʯΛߟ͑Δͱ͢Δ৔߹ɺͦͷ‫ऀױ‬ Λʮࡾे୅ͷਓؒʯͷҰਓͱͯ͠ߟ͑Δ͔ɺʮஉੑʯͷҰਓͱͯ͠ ߟ͑Δ͔ɺ͋Δ͍͸ʮA ࢢࡏॅͷࡾे୅உੑʯͷҰਓͱͯ͠ߟ͑Δ ͔ͳͲɺʮͲͷ฼ूஂͷҰһͱͯ͠ߟ͑Δ͔ʯʹΑͬͯͦͷਪଌ஋ ͸͔ͳΒͣҟͳͬͯ͘Δ͸ͣͰ͋ΔɻͰ͸ͱ‫ͯͬݴ‬ɺ৚݅Λ‫ڧ‬ΊΕ ͹‫ڧ‬ΊΔ΄Ͳྑ͍ͩΖ͍͏ͱ͍͏Θ͚ʹ΋͍͔ͳ͍ɻʮಉ͡͞ʯͷ ౓߹͍͸ΑΓߴ·ΔͩΖ͏ͱ͍͏ͷ͸ૉ๿ͳߟ͑Ͱ͸͋Δ͕ɺҰํ Ͱͦͷ฼ूஂ͕ͲΜͲΜগͳ͘ͳΔͨΊɺ๏ଇͷ৴པੑ͕֮ଋͳ͘ ͳͬͯ͘Δ͔ΒͰ͋Δɻʢp. 192ʣ զʑ͸ʮಉ͡͞ʯͷόϥϯεΛऔΔඞཁ͕͋Γɺఱจֶ͸͜ͷόϥϯεΛ औͬͨ݁Ռɺܾఆ࿦తʹͳͬͨΘ͚Ͱ͋Δɻ ʮࣗવʹ͓͍ܾͯఆ࿦తͳଊ͑ํ ͕ଥ౰Ͱ͋Δͱ‫͑ݴ‬Δͷ͸Ή͠Ζಛघͳέʔεʯʢp. 193ʣͰ͋Γɺܾఆ࿦͕ ઈରతͳ΋ͷͰ͋ΔΘ͚Ͱ͸ͳ͍ɻ Ҏ্ɺ೔ৗతͳྫΛத৺ʹຊॻͷʮಉ͡͞ʯͷߟ͑ํΛ঺հͨ͠ɻ. 1. Պֶత๏ଇΛߟ͑ΔͨΊʹ͸ʮಉ͡͞ʯΛઃఆ͢Δඞཁ͕͋Γɺ໰͍͕ ͳ͚Ε͹౴͑͸ͳ͍ɻ 2. ʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ͢Δʹ͸ඇ‫ن‬४తબ୒͕ෆՄܽͰ͋Δɻ 3. ʮಉ͡͞ʯΛߟ͑ΔͨΊʹ͸࣮ମͰ͸ͳ͘ม‫׵‬Λߟ͑Δඞཁ͕͋Γɺ ʮಉ ͡͞ʯ͸ม‫׵‬ͷՄ‫ٯ‬ੑͰ͋Δɻ Պֶత๏ଇΛߟ͑ΔͨΊʹ͸ʮಉ͡͞ʯΛઃఆ͢Δඞཁ͕͋Δͷ͕ͩɺຊ ॻͰ͸͜ΕΛՄ‫ͳٯ‬ม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬Βߟ͍͑ͯΔɻ͜ͷઅͰ͸೔ৗతͳྫΛ΋ ͱʹ঺հ͕ͨ͠ɺ͜ͷ‫఺؍‬ͷࣹఔͷ޿͞Λࣔͨ͢ΊʹɺҎԼͷઅͰ͸ DHR ཧ ࿦ͱΑ͹ΕΔՊֶཧ࿦ʹ͓͚Δʮಉ͡͞ʯΛՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬Β‫ݕ‬౼ ͢Δɻ. 3 3 DHR ཧ࿦ʹ͓͚Δཻࢠ   DHR 理論における粒子 2 અͰ͸ɺʮಉ͡͞ʯΛத৺ʹຊॻΛ঺հͨ͠ɻ͜ͷઅҎ߱͸ɺҰ‫ࢠཻݟ‬త ͳঢ়ଶΛѻ͍ͬͯΔΑ͏ʹΈ͑Δ DHR ཧ࿦ [3, 4, 5, 6] ͱΑ͹ΕΔྔࢠ৔ཧ ࿦ͷҰͭͷཧ࿦ΛऔΓ্͛Δ 3 ɻͦͯ͠ɺͲͷΑ͏ͳҙຯʹཻ͓͍ͯࢠతͳঢ় ଶΛѻ͍ͬͯΔΑ͏ʹΈ͑Δͷ͔Λઆ໌͢Δɻ 5. 279.

(6) DHR ཧ࿦͸ɺ୅਺త৔ͷྔࢠ࿦ͷ࿮૊Έ [1] Ͱల։͞ΕΔɻ୅਺త৔ͷྔ ࢠ࿦Ͱ͸ɺ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ‫؍‬ଌՄೳྔΛׂΓ౰ͯΔɻ‫؍‬ଌՄೳྔ͸ C*୅਺ ͷࣗ‫ڞݾ‬໾ͳ‫ݩ‬ɺঢ়ଶ͸ C*୅਺্ͷઢ‫ܗ‬൚ؔ਺Ͱද͞ΕΔɻঢ়ଶʹΑͬͯɺ ‫؍‬ଌՄೳྔͷ‫ظ‬଴஋Λ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ 2 અͷ࠷‫ޙ‬ͷՕ৚ॻ͖ͷ 1 Ͱड़΂ͨΑ͏ʹɺཧ࿦Λߟ͑Δ্Ͱʮಉ͡͞ʯΛ ઃఆ͢Δඞཁ͕͋Δɻྔࢠ࿦ʹ͓͍ͯॏཁͳʮಉ͡͞ʯ͸ϢχλϦಉ஋ 4 Ͱ ͋Δɻ2 ͭͷද‫͕ݱ‬ϢχλϦಉ஋ͱ͸ɺҰํͷද‫͚͓ʹݱ‬Δ‫؍‬ଌՄೳྔʹର͠ ͯɺ΋͏Ұํͷද‫͍͓ͯʹݱ‬΋ඞͣҰͭͷ‫؍‬ଌՄೳྔ͕ରԠ͢Δͱ͍͏Α͏ ͳ৚݅Ͱ͋Δɻ͜ͷΑ͏ͳ৚݅Λຬͨ͢ͱ͖ʮಉ͡ʯͱΈͳ͞ΕΔɻ͜Ε͸ɺ ୅਺త৔ͷྔࢠ࿦ʹ‫ݶ‬Βͣྔࢠ࿦Ұൠʹ͓͍ͯɺΑ͘࢖ΘΕΔʮಉ͡͞ʯͰ ͋Δɻ ͜ͷʮಉ͡͞ʯͷΠϝʔδΛઆ໌͢ΔͨΊʹɺ෺ମͷ௕͞Λఆ‫Ͱن‬ଌΔ͜ ͱΛߟ͑Α͏ɻೋछྨͷఆ‫͕͋ن‬ΓɺҰͭͷఆ‫ن‬ͷ୯Ґ͸ cmɺ΋͏Ұํͷఆ ‫ن‬ͷ୯Ґ͸ੇͱ͠ɺҰੇ͸ 3.03cm ͱ͠Α͏ɻ਎௕͕ 3.03cm ͷࢠ‫ڙ‬ͷ਎௕Λ ୯Ґ͕ cm ͷఆ‫Ͱن‬ଌΔͱ 3.03cm ͱͳΓɺ୯Ґ͕ੇͷఆ‫Ͱن‬ଌΔͱҰੇͱͳ ΔɻҰରҰʹ‫ʹ͍ޓ‬ରԠ͢ΔͷͰɺͦΕͧΕͷ௕͞ͷද͠ํ͸ҟͳΔ͕ɺಉ ͡௕͞ͱ‫͖Ͱ͕ͱ͜͢ͳݟ‬Δɻಉ༷ʹɺϢχλϦಉ஋ͳද‫ݱ‬͸ɺද‫͕ݱ‬ҧͬ ͍ͯͯ΋‫ʹ͍ޓ‬ҰରҰʹରԠ͢ΔͷͰಉ͡ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ ௨ৗͷྔࢠ࿦͸ɺώϧϕϧτۭؒΛ΋ͱʹల։͞ΕΔɻҰํɺC*୅਺Λ΋ ͱʹͨ͠୅਺త৔ͷྔࢠ࿦Ͱ͸ώϧϕϧτۭؒΛԾఆ͠ͳ͍ɻ྆ऀΛ݁ͼͭ ͚Δͷ͸ GNS ߏ੒ఆཧ [12, ఆཧ 3.34] Ͱ͋Δ 5 ɻC*୅਺ͷ‫ݩ‬͸ɺͦͷ C*୅ ਺্ͷঢ়ଶ͔Β GNS ߏ੒ఆཧΛ௨ͯ͠ɺ͋Δώϧϕϧτ্ۭؒͷ࡞༻ૉͱ͠ ͯද‫͞ݱ‬ΕΔɻ͜ͷΑ͏ͳද‫ݱ‬͸ɺϢχλϦಉ஋ੑΛͷ͍ͧͯҰҙͰ͋Δɻಛ ʹਅۭΛද͢ঢ়ଶ [1, p. 10] ͔Βߏ੒͞ΕΔද‫ݱ‬͸ਅۭද‫ͱݱ‬Α͹ΕɺDHR ཧ࿦ʹ͓͍ͯॏཁͳ໾ׂΛՌͨ͢ɻ DHR ཧ࿦ʹ͓͍ͯѻΘΕΔද‫ݱ‬͸ɺ೚ҙͷ༗քͳۭ࣌ྖҬʹରͯ͠ɺͦͷ ྖҬͱۭؒతʹ཭ΕͨྖҬʹ͓͍ͯਅۭද‫ͱݱ‬ϢχλϦಉ஋ͱͳΔΑ͏ͳද ‫͋Ͱݱ‬Δɻ͜ͷද‫ݱ‬͸ɺແ‫ݶ‬ԕʹ͓͍ͯਅۭঢ়ଶͱͳΔΑ͏ͳঢ়ଶͷද‫ͱݱ‬ ͍͏͜ͱ΋Ͱ͖Δ 6 ɻͦͯ͠ɺ͜ͷΑ͏ͳঢ়ଶͷද‫ݱ‬͸ɺ‫؍‬ଌՄೳྔ͔Β‫؍‬ଌ Մೳྔ΁ͷࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ͱ૾ࣸܕ‬ରԠ͍ͯͯ͠ɺ͜ͷࣸ૾͸‫ࡏہ‬ՄೳͱҠಈՄೳ ͱ͍͏ੑ࣭Λ΋ͭ [1, Thoerem 2.1.3] [7, Definitions 150 and 152]ɻ͞Βʹɺ ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ͱ૾ࣸܕ‬ਅۭද‫ݱ‬Λ࢖ͬͯঢ়ଶΛఆٛ͢Δ͜ ͱ͕Ͱ͖Δɻͭ·Γɺ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫૾ࣸܕ‬͸ɺঢ়ଶͱରԠ ͍ͯ͠Δɻ্Ͱड़΂ͨΑ͏ʹɺঢ়ଶͱද‫ݱ‬͸ରԠ͍ͯ͠ΔͷͰɺ‫ࡏہ‬ՄೳͰ ҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫૾ࣸܕ‬Λѻ͏ͱ͍͏͜ͱ͸ɺঢ়ଶΛѻ͍ͬͯΔͱ͍͏͜. 280. 6.

(7) 〈同じさ〉とは何か. ͱͰ͋Δɻ ‫ࡏہ‬Մೳͱ͍͏ੑ࣭͸ɺ༗քͳۭ࣌ྖҬ͕ଘࡏͯ͠ɺͦͷྖҬͱۭؒతʹ ཭ΕͨྖҬͷ‫؍‬ଌՄೳྔʹରͯ͜͠ͷࣗ‫ݾ‬४ಉ‫߃͕૾ࣸܕ‬౳ࣸ૾ͱͳΔΑ͏ ͳੑ࣭ɺͭ·Γͦͷ༗քͳۭ࣌ྖҬҎ֎͸ਅۭͱΈͳͤΔΑ͏ͳੑ࣭Ͱ͋Δɻ ͦͯ͠ɺ͜ͷΑ͏ͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫૾ࣸܕ‬͸ɺͦͷ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δ ͱ͍͏ɻ͜ͷΑ͏ͳੑ࣭Λ΋ͭ৔߹ɺ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ͓͍ͯͷΈਅۭͱ͸ ҟͳΓɺͦͷ֎Ͱ͸ਅۭͱͳ͍ͬͯΔɻཻࢠͱ͍͏΋ͷΛ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ͋ Δ΋ͷͱߟ͑Δͱɺ‫ࡏہ‬Մೳͱ͍͏ੑ࣭͸ཻࢠతͳੑ࣭ͷҰ෦ͱߟ͑ΒΕΔɻ ͔͠͠ɺ‫ࡏہ‬Մೳͱ͍͏ੑ࣭͚ͩͰ͸ɺཻࢠతͳੑ࣭ͱ͸͍͑ͳ͍ɻͦͷ ͜ͱΛઆ໌͢ΔͨΊʹɺ2 અͰ঺հͨ͠‫ص‬ͷྫͱಉ༷Ͱ͋Δ͕ɺ͜͜Ͱͷٞ࿦ ͱؔ࿈͕෼͔Γ΍͍͢ଞͷ࿦จͰड़΂ΒΕ͍ͯΔྫΛҾ༻͠Α͏ɻ ಈ͍͍ͯΔϘʔϧΛɺΘΕΘΕ͸ʮಉ͡΋ͷʯͱ‫͢ͳݟ‬ɻͳͥͦ Μͳ͜ͱ͕ՄೳͳͷͩΖ͏͔ɻϘʔϧ͸ࠁҰࠁҐஔΛม͍͑ͯΔɻ ͦΕΛผʑͷର৅ͱ‫ͱ͜͢ͳݟ‬΋Ͱ͖Δ͸ͣͰ͋Δɻ ͔ͨ͠ʹɺϘʔϧͷҐஔ͸࣌ؒͱ‫ʹڞ‬มԽ͢Δɻ͔͠͠ɺϘʔ ϧΛҐஔ A ͔ΒҐஔ B ʹ্࣋ͪ͛ͯɺ·ͨҐஔ A ʹ໭͢ͱ͖ɺͦ Ε͸Կ΋͠ͳ͔ͬͨͷͱಉ͡ʹͳΔɻ͜ͷΑ͏ͳͱ͖ɺΘΕΘΕ͸ ͜ΕΛʮಉ͡Ϙʔϧʯͱ‫͢ͳݟ‬ɻ͜Ε͸ඞͣ͠΋ࣗ໌Ͱ͸ͳ͍ɻର ৅Λ্࣋ͪ͛ͯɺ·ͨԼΖͨ͠Βɺผͷ΋ͷʹͳ͍ͬͯͨɺ্࣋ͪ ͛ͯԼΖͨ͠Βফ͑ͯ͠·ͬͨɺͱ͍ͬͨέʔε΋ߟ͑ΒΕΔɻ͋ Δૢ࡞ͱผͷૢ࡞Λ߹੒ͨ͠Βɺผͷ΋ͷʹͳΔํ͕ɺΉ͠Ζࣗવ Ͱ͋Δͱ͑͞ࢥ͑ͯ͘Δɻ͋Δૢ࡞Λ૬ࡴ͢Δผͷૢ࡞͕͋Δɺ͋ Δ͍͸ΑΓҰൠతʹɺ͋Δಈ͖Λ૬ࡴ͢Δผͷಈ͖͕͋Δͱ͍͏‫ك‬ ͳࣄଶ͕ੜ͍ͯ͡Δͱ͖ɺΘΕΘΕ͸ͦ͜ʹʮಉ͡͞ʯΛ‫ݟ‬ΔͷͰ ͋Δɻ[11, p. 205] ͜ͷҾ༻จͷதͷೋஈམ໨ͷจষͷதͷϘʔϧΛཻࢠʹஔ͖‫ͯ͑׵‬ΈΑ͏ɻ ཻࢠΛ͋ΔྖҬ͔ΒଞͷྖҬʹҠಈ͠࠶ͼ΋ͱͷྖҬʹ໭ͨ͠ͱ͖ɺ͜Ε͕ Կ΋͠ͳ͔ͬͨͷͱಉ͡ʹͳΔΑ͏ͳͱ͖ɺΘΕΘΕ͸͜ΕΛʮಉཻ͡ࢠʯͱ Έͳ͢ɻ͜Εʹؔ࿈͢Δੑ࣭͕ҠಈՄೳͱ͍͏ੑ࣭Ͱ͋Δɻ͋Δ༗քͳۭ࣌ ྖҬʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ Λߟ͑ɺ͜Ε͕ҠಈՄೳͱ͍͏ੑ࣭Λ ຬ଍͍ͯ͠Δͱ͠Α͏ɻ͜ͷͱ͖ɺ೚ҙͷ༗քͳۭ࣌ྖҬ O ʹରͯ͠ɺρ ͱ ϢχλϦಉ஋ͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ ͕ଘࡏͯ͠ɺρ ͸ O ʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δɻ͜Ε ͸ɺ͋Δ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δ ρ Λଞͷ༗քͳۭ࣌ྖҬ O ʹҠಈ͠ ͨͱߟ͑ΒΕΔɻͦͯ͠ɺρ ͸΋ͱͷ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ‫͍ͯ͠ࡏہ‬Δ ρ ͱϢ χλϦಉ஋ͳͷͰɺO ʹҠಈͯ͠΋ͱͷྖҬʹ໭ͨ͠৔߹ͱɺԿ΋͠ͳ͔ͬ. 7. 281.

(8) ͨ৔߹͸ಉ͡ʹͳΔɻ͜ͷΑ͏ʹɺ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫૾ࣸܕ‬͸ɺ ͍Ζ͍Ζͳۭ࣌ྖҬʹ‫͍ͯͯ͠ࡏہ‬΋ɺ͜ͷҾ༻จͷҙຯͰʮಉ͡΋ͷʯͱ Έͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻDHR ཧ࿦Ͱѻ͏ද‫ݱ‬͸ɺ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ ಉ‫ͱ૾ࣸܕ‬ਅۭද‫Ͱݱ‬ද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δͷ͔ͩΒɺཻࢠతͳঢ়ଶΛѻ͏ཧ࿦ ͱߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ ͋Δঢ়ଶʹରԠ͢Δࣗ‫ݾ‬४ಉ‫૾ࣸܕ‬ͷ΋ͱͰ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ͓͍ͯૢ࡞ Λߦ͏ͱɺҰൠʹ͸ҧ͏ঢ়ଶʹରԠ͢Δࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ͳʹ૾ࣸܕ‬ΔɻDHR ཧ࿦ͷ ࿮૊ΈͰ͸ɺૢ࡞Λߦ͏ͱɺ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ ͸ɺҧ͏ ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ ʹม‫͞׵‬ΕΔɻρ ͱ ρ Λؔ܎͚ͮΔ བྷ࡞༻ૉͱΑ͹ΕΔ࡞༻ૉͷू߹͸ (ρ, ρ ) ͱॻ͔ΕΔ [1, p. 73] [7, Definition 154]ɻ ͜ͷઅͰड़΂ͨ DHR ཧ࿦ͷղऍΛ·ͱΊΔͱɺ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻҰൠʹ ͸ɺཻࢠతͳঢ়ଶʹରԠͨࣗ͠‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ ʹ (ρ, ρ ) ͷཁૉ͕࡞༻͠ɺଞ ͷཻࢠతͳঢ়ଶʹରԠͨࣗ͠‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ ʹม‫͞׵‬Ε͍ͯ͘ɻρ ͱ ρ ͕Ϣ χλϦಉ஋ͱ͍͏ಛघͷ৔߹͸ɺҧ͏ۭ࣌ྖҬʹ‫͍ͯͯ͠ࡏہ‬΋ʮಉ͡ʯཻ ࢠతͳঢ়ଶʹରԠͨࣗ͠‫ݾ‬४ಉ‫ͱ૾ࣸܕ‬ղऍ͞ΕΔɻ.   DHR 理論における対象と射 4 4 DHR ཧ࿦ʹ͓͚Δର৅ͱࣹ ຊॻʹ͓͍ͯॏཁͳ໾ׂΛՌ͍ͨͯ͠Δ΋ͷͷҰͭ͸‫ݍ‬࿦Ͱ͋Δɻ͜ͷઅ Ͱ͸ɺຊॻͷ‫͔఺؍‬Β DHR ཧ࿦ͱ‫ݍ‬࿦ͷؔ܎Λߟ͑Δɻ ·ͣɺ‫ؔ͢ʹݍ‬Δຊॻͷ௚‫؍‬తͳઆ໌ΛҾ༻͢Δɻ ͋Δ‫ݱ‬ΘΕ͔Βผͷ‫ݱ‬ΘΕ΁ͷʮมԽʯͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯͨ΋ͷ͸ɺ ‫͍͓ͯʹݍ‬͸ɺʮࣹʯʢmorphismʣͱ‫ݺ‬͹ΕΔҰछͷʮ໼ҹʯͱ͠ ͯѻΘΕΔɻ‫ͱݍ‬͸ɺ͋ΔछͷࣹͷωοτϫʔΫͰ͋Δɻʢp. 99ʣ. 3 અͰड़΂ͨ͜ͱ͸‫ݍ‬࿦ͷ‫ݴ‬༿Ͱड़΂Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͋Δ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠ ಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ ΍ ρ ͸ର৅Ͱ͋Γɺρ ͔Β ρ ΁ͷม‫׵‬Λද͢བྷ࡞ ༻ૉͷू߹Λ (ρ, ρ ) ͱද‫͠ه‬ɺ͜Ε͕ʮࣹʯͱͳΔ [7, Definition 154]ɻ͜͏ ͨ͠‫ݍ‬Λ E ͱॻ͘ 7 ɻ3 અͰड़΂ͨΑ͏ʹɺ‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ܕ‬ ࣸ૾͸ɺཻࢠతͳঢ়ଶʹରԠ͢ΔͷͰ͋ͬͨɻ͕ͨͬͯ͠ɺE ͸ཻࢠతͳঢ় ଶΛର৅ɺཻࢠతͳঢ়ଶ͔Βཻࢠతͳঢ়ଶ΁ͷม‫׵‬Λࣹͱ͢ΔΑ͏ͳ‫ͱݍ‬Έ Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ ࣮ࡍʹ΋ɺཻࢠతͳঢ়ଶͷΈ͕୯ಠͰ͋ΔΘ͚Ͱ͸ͳ͘ɺͦΕʹର͢Δ༷ʑ ͳ࡞༻͕͋Γɺଞͷཻࢠతͳঢ়ଶʹมԽ͍ͯ͘͠ɻ͜ͷΑ͏ͳมԽΛଊ͑Δͨ Ίʹɺཻࢠతͳঢ়ଶʹରԠͨ͠ର৅ ρ Λ‫ݻ‬ఆ্ͨ͠Ͱɺؔख (ρ, −) : E → Set Λఆٛ͠Α͏ [2, Example 1.2.8.d] [14, pp. 73-76]8 ɻ͜ͷؔख͸ɺཻࢠతͳ 282. 8.

(9) 〈同じさ〉とは何か. ঢ়ଶʹରԠͨ͠ର৅ σ ʹରͯ͠ (ρ, σ) ΛׂΓ౰ͯΔɻDHR ཧ࿦ͷ࿮૊ΈͰड़ ΂Δͱɺ͋Δ༗քͳۭ࣌ྖҬʹ‫ࢠཻͨ͠ࡏہ‬తͳঢ়ଶʹରԠͨ͠ର৅ ρ Λ‫ݻ‬ ఆ্ͨ͠Ͱɺρ ͔Βଞͷཻࢠతͳঢ়ଶʹରԠͨ͠ର৅ σ ΁ͷมԽͷू߹Λߟ ͍͑ͯΔɻ͜Ε͸ɺρ Λத৺ͱࣹͨ͠ͷωοτϫʔΫɺͭ·Γɺρ ͔Βଞͷཻ ࢠతͳঢ়ଶʹରԠͨ͠ର৅ʹͳΔΑ͏ͳ࡞༻ͷωοτϫʔΫΛߟ͍͑ͯΔ͜ ͱʹͳΔɻ. 5 5 DHR ཧ࿦ʹ͓͚Δࣗવม‫׵‬   DHR 理論における自然変換 3 અͱ 4 અͰɺDHR ཧ࿦Λཻࢠʹؔ͢Δཧ࿦Ͱ͋Δ͔ͷΑ͏ʹ঺հ͖ͯ͠ ͨɻ4 અͰಋೖͨؔ͠ख (ρ, −) ΋ཻࢠతͳঢ়ଶ ρ ͔Βଞͷཻࢠతͳঢ়ଶʹͳ ΔΑ͏ͳ࡞༻ͷωοτϫʔΫͰ͋ͬͨɻ͔͠͠ɺຊॻͷཱ৔͔Β‫ݟ‬Ε͹ɺ͜ Ε͸ཻࢠͱ͍͏ʮ੩తɾ‫ݻ‬ணతͳʮઈରੑʯΛମ‫ʹܥ‬ʮಡΈࠐΜͰ͠·ͬͯ ͍Δʯʯʢp. 179ʣͱ͍͑ΔͩΖ͏ɻ2 અͷ࠷‫ޙ‬ͷՕ৚ॻ͖ͷ 3 Ͱड़΂ͨΑ͏ ʹɺʮಉ͡͞ʯΛߟ͑ΔͨΊʹ͸࣮ମͰ͸ͳ͘ม‫׵‬Λߟ͑Δඞཁ͕͋Δɻ DHR ཧ࿦ͱ͸Ұ‫ݟ‬ແؔ܎ͳຊॻͷ AɺBɺC ͷձ࿩ͷྫ΋Ҿ༻͠Α͏ʢpp. 144-145ʣɻ A ʮࢲ͸͜ͷຊ͕޷͖ͳΜͰ͢ɻʯ B ʮࢲ΋Ͱ͢ʂʯ C ʮࢲ͸ͦ͏Ͱ΋ͳ͍͔ͳɾ ɾ ɾʯ ͜ͷձ࿩ࣗମʹҧ࿨‫ײ‬Λ‫͡ײ‬Δਓ͸͍ͳ͍ͩΖ͏ɻ͔͠͠ɺ࣍ͷΑ͏ʹࢲ Λ W ʹม͑Δͱɺʮࢲʯͱ͍͏‫ݴ‬༿ͷಛҟੑ͕Θ͔Δɻ. A ʮW ͸͜ͷຊ͕޷͖ͳΜͰ͢ɻʯ B ʮW ΋Ͱ͢ʂʯ C ʮW ͸ͦ͏Ͱ΋ͳ͍͔ͳɾ ɾ ɾʯ ͜ͷձ࿩Λ‫ͨݟ‬ਓ͸ɺW ͱ͍͏‫Ͱ߸ه‬ಉҰਓ෺Λ૝૾ͯ͠͠·͏ɻͦͷͨ Ίɺ͜ͷձ࿩ͷҙຯ͸Α͘෼͔Βͳ͍ɻ͔͠͠ɺલͷձ࿩Λ‫ͨݟ‬ਓ͸ɺʮࢲʯ ͱ͍͏‫Ͱ߸ه‬ಉҰਓ෺Λ૝૾͢ΔͷͰ͸ͳ͘ɺͦͷͭͲҧ͏ਓ෺Λࢦ͍ͯ͠ Δͱߟ͑ΔɻA ΋ B ΋ C ΋ʮࢲʯͱ͍͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ͕ɺʮࢲʯͱ͍͏‫ݴ‬༿ ͷத਎͸ͦΕͧΕҟͳ͍ͬͯͯஔ͖‫͑׵‬ՄೳͰ͋Δɻ W ͱʮࢲʯͷҧ͍͸ɺW ͸͋Δ‫ݸ‬ମΛ‫ݻ‬ఆతʹࢦ͍ࣔͯ͠Δͷʹରͯ͠ɺ ʮࢲʯͱ‫ͱ͜͏ݴ‬͸ʮແ‫ʹݶ‬։͔Εͨஔ͖‫͑׵‬Մೳੑͷͳ͔ʹࣗ෼ࣗ਎Λஔ͘ʯ ʢp. 147ʣͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɻ͜ͷΑ͏ʹɺஶऀʹΑΕ͹ʮࢲʯ͸ม‫׵‬΍ஔ͖ ‫͑׵‬Մೳੑͱͯ͠ଊ͑ΒΕΔ΋ͷͰ͋ΓɺԿΒ͔ͷ࣮ମͱͯ͠ʮࢲʯͱ͍͏ ‫࣮ݱ‬Λଊ͑Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ 9 ɻஶऀ͸ɺ࣍ͷΑ͏ʹड़΂͍ͯΔɻ. 9. 283.

(10) ʮࢲʯͱ͍͏‫ݴ‬༿Ͱ‫͍ݴ‬ද͞Ε͍ͯΔ΋ͷ͸ɺ ʮ‫ݸ‬ମత࣮ମʯͱ ͯ͋͠ΔΘ͚Ͱ΋ͳ͘ɺ ʮීวత࣮ମʯͱͯ͋͠ΔΘ͚Ͱ΋ͳ͍ɻΉ ͠ΖɺͦͷΑ͏ʹʮ࣮ମʯతͳߟ͑ํʹͱΒΘΕ͍ͯΔͱɺ ʮࢲʯͱ ͍͏΋ͷͷຊ࣭Λ͔ͭΉ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͘ͳͬͯ͠·͏ͷͰ͋Δɻ͜ Ε·Ͱల։͖ͯͨ͠ߟ͑ํʹै͏ͳΒɺʮࢲʯͱ͍͏΋ͷ͸ʮஔ͖ ‫͑׵‬ʯ΍ʮม‫׵‬ʯͷͳ͔ʹ͋Δɻ‫ݸ‬ମੑ΋ීวੑΛ΋ઈରԽͤͣʹɺ ʮஔ͖‫͑׵‬ʯͱ͍͏ग़དྷࣄͷ͏ͪͰɺͦͷ྆ऀ͕ෆՄ෼ʹབྷΈ߹ͬ ͍ͯΔ͞·Λ‫͖ͱͨͬͱͯݟ‬ɺ ʮࢲʯͱ͍͏΋ͷͷຊ࣭͕͔ͭΊΔɻ ʢp. 159ʣ ஶऀ͸ʮࢲʯʹؔ͢Δٞ࿦͕ɺཻࢠΛ࣮ମͱͯ͠ଊ͑Δ͜ͱͷ໰୊఺ʹؔ ͢Δٞ࿦ͱࣅ͍ͯΔͱࢦఠ͍ͯ͠Δʢp. 158ʣɻ࣮ࡍɺ͜ͷҾ༻จͷதͷʮࢲʯ Λʮཻࢠʯʹஔ͖‫͑׵‬Δͱɺ͜ͷҾ༻จ͸ʮཻࢠʯʹ͍ͭͯड़΂͍ͯΔ͜ͱ ʹ‫͕ͩͭ͘ؾ‬Ζ͏ɻຊॻͷཱ৔͔Βߟ͑Δͱɺม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬ΒཻࢠΛߟ͑Δ ඞཁ͕͋Δɻ 4 અͰ͸ɺର৅ɺࣹɺؔख͔͠ߟ͍͑ͯͳ͔͕ͬͨɺʮʮࣗવม‫׵‬ʯΛఆٛ ͍͔ͨ͠Βͦ͜‫ݍ‬࿦͕ੜ·Εͨʯʢp. 127ʣͱ͍͏‫͔఺؍‬Βߟ͑ͯ΋ɺର৅ɺ ࣹɺؔखΛߟ͑Δ͚ͩͰ͸ෆे෼Ͱ͋Δͱ͍͑Δɻୈ 3 ষʹ͓͍ͯɺࣗવม ‫͍ͯͭʹ׵‬͸࣍ͷΑ͏ʹड़΂ΒΕ͍ͯΔɻ ؔखͱ͸ʮ‫͔ݍ‬Β‫΁ݍ‬ͷؔ܎͚ͮʯͰ͋Γɺࣗવม‫ͱ׵‬͸ʮؔ ख͔Βؔख΁ͷؔ܎͚ͮʯɺͭ·Γʮؔ܎͚͔ͮΒؔ܎͚ͮ΁ͷؔ ܎͚ͮʯͰ͋Δɻʢp. 118ʣ ʮ‫ݸ‬ʑͷ‫ݱ‬ΘΕʯ=ؔख͕ੜ·ΕΔ͜ͱ͕ඇ‫ن‬४తબ୒Ͱ͋Γɺ ͔͠΋ͦΕ͕ʮͦͷؔखͰͳͯ͘΋Α͔ͬͨʯ ʮผͳؔखʹม‫׵‬Մೳʯ ͱ͍͏͜ͱΛ௨ͯ͡ඇ‫ن‬४ੑ͕ʮফ͞ΕΔʯͱ͍͏͜ͱɺͦͷߏ଄ =ग़དྷࣄ͕ʢ...ʣࣗવม‫ʹ׵‬ରԠ͍ͯ͠ΔͷͰ͋Δɻ ʢpp. 129–130ʣ. 4 અͰड़΂ͨؔख (ρ, −) Λߟ͑Α͏ɻ͜ͷؔख͸ɺཻࢠతͳঢ়ଶʹରԠ͢ Δࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ρ Λɺρ ͔Βҧ͏ཻࢠతͳঢ়ଶʹରԠ͢Δࣗ‫ݾ‬४ಉ‫૾ࣸܕ‬ ΁ͷม‫׵‬ͷू߹΁ͷؔ܎͚ͮͰ͋ͬͨɻ͜ͷؔखΛߟ͑ΔͨΊʹ͸ɺ·ͣର ৅ ρ ΛબͿඞཁ͕͋ͬͨɻ͔͠͠ɺρ ͸ͨ·ͨ·બ୒͞Εͨʹ͗͢ͳ͍ͷͰɺ ؔख (ρ, −) Ͱ͸ͳ͘ɺଞͷର৅ σ ʹ‫ͮ͘ج‬ଞͷؔख (σ, −) Ͱ΋Α͔ͬͨɻ͜ ͷඇ‫ن‬४ੑΛফͨ͢Ίʹ͸ɺؔख (σ, −) ͔Βؔख (ρ, −) ͷؔ܎͚ͮɺͭ·Γ ؔख (σ, −) ͔Βؔख (ρ, −) ΁ͷࣗવม‫ ׵‬10 Λߟ͑ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ [14, pp. 127-130]ɻ. 284. 10.

(11) 〈同じさ〉とは何か. ຊॻͰ͸ɺ ʮʮ࠲ඪม‫׵‬ʯΛҰൠԽͨ͠΋ͷ͕ɺؔख͔Βؔख΁ͷؔ܎͚ͮʹ ʮࣗવม‫׵‬ʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ΋ͷʯʢp. 125ʣͱड़΂͍ͯΔɻ ؔखΛߏங͢Δ͜ͱΛʮ࠲ඪԽʯͱᄻ͑ͨɻ͋Δʮ࠲ඪԽʯ͔ Βผͳʮ࠲ඪԽʯ΁ͷؔ܎͚ͮɺ͢ͳΘͪ࠲ඪม‫׵‬Λߟ͑Δ͜ͱ͕ ॏཁͳ໰୊ҙࣝͰ͋ΔΑ͏ʹɺ͋Δʮؔखʯ͔Βผͳʮؔखʯ΁ͷ ʮࣗવม‫׵‬ʯΛߟ͑Δ͜ͱ΋·ͨॏཁͰ͋Δɻʢp. 125ʣ ࠲ඪม‫Ͱ׵‬͸ɺ͋Δ࠲ඪʹ͓͚Δ఺Λଞͷ࠲ඪʹ͓͚Δ఺ʹؔ܎͚ͮΔͩ ͚Ͱͳ͘ɺ͋Δ࠲ඪʹ͓͚Δؔ܎͚ͮ΋ଞͷ࠲ඪʹ͓͚Δؔ܎͚ͮʹؔ܎ͮ ͚͍ͯΔɻಉ༷ʹࣗવม‫׵‬΋͋Δؔखʹ͓͚Δؔ܎͚ͮΛଞͷؔखʹ͓͚Δ ؔ܎͚ͮʹࣗવʹؔ܎͚ͮΔ 11 ɻ ͜͜Ͱ͸ɺର৅ ρ Λબͼؔख (ρ, −) Λߟ͑Δ͜ͱ͕࠲ඪԽʹ͋ͨΔɻର৅ ρ ΛબͿͱ͍͏બ୒͸ඇ‫ن‬४తબ୒Ͱ͋Δɻଞͷର৅ σ Λબͼଞͷ࠲ඪԽͰ͋ Δؔख (σ, −) Λߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻຊॻͷཱ৔ʹཱͭͳΒ͹ɺؔख (σ, −) ͔Βؔख (ρ, −) ΁ͷࣗવม‫׵‬Λߟ͑Δ͜ͱ͕ॏཁʹͳΔɻ6 અͰɺ͜ͷΑ͏ ͳࣗવม‫׵‬Λ‫ݕ‬౼͢Δɻ.   6 6 DHR ཧ࿦ʹ͓͚ΔถాຒΊࠐΈ DHR 理論における米田埋め込み. 5 અͰड़΂ͨΑ͏ʹɺຊॻͷཱ৔ʹཱͭͳΒ͹ɺؔख (σ, −) ͔Βؔख (ρ, −) ͷؔ܎͚ͮͰ͋Δࣗવม‫׵‬Λߟ͑Δඞཁ͕͋Δɻ͔͠͠ɺDHR ཧ࿦͸ର৅ ρ ͔Β σ ΁ͷࣹ (ρ, σ) Λओʹߟ͑Δ͕ɺ໌ࣔతʹ͸͜ͷΑ͏ͳࣗવม‫׵‬͸ߟ͑ͳ ͍ɻͦͷͨΊɺDHR ཧ࿦͸Ұ‫ݟ‬ຊॻͷཱ৔ͱંΓ߹͍͕ѱ͍Α͏ʹΈ͑Δɻ ͔͠͠ɺ ถాຒΊࠐΈ [2, Proposition 1.5.2] [14, pp. 131-135] ʹ‫ͱͮ͘ج‬ɺ ͦ͏Ͱ͸ͳ͍ɻถాຒΊࠐΈʹؔͯ͠ɺஶऀ͸࣍ͷΑ͏ʹड़΂͍ͯΔɻ ؔखͱ͸ɺ·͞ʹ‫ݱʹݍ͕ݍ‬ΕΔɺͦͷʮ‫ݱ‬ΘΕʯͰ͋Δɻͦ ͯ͠ɺͦͷʮ‫ݱ‬ΘΕͷมԽʢಈ͖ɾϓϩηεʣʯ͕ࣗવม‫͏͍ͱ׵‬ ͜ͱʹͳΔɻ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ɺؔखΛର৅ͱ͠ɺࣗવม‫׵‬Λࣹͱ͢ Δ‫ݍ‬Λߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ΕΛؔख‫ͱݍ‬ΑΜͰ͍Δɻ࣮͸ɺຊ ࣭తʹ͋ΒΏΔ‫ݍ‬͸͋Δؔख‫ݍ‬ͷҰ෦෼ͱߟ͑ΒΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ ͍ͯΔʢถాຒΊࠐΈʣɻ͜͏ͯ͠ɺ‫ݍ‬࿦ͷ࿮૊Έ͕៉ྷʹҰपཐ ટ֊ஈΛొΔʢ͋Δ͍͸Լ΁ͱ߱Γ͍ͯ͘ʣɻʢp. 127ʣ ͜ͷҾ༻ͷ಺༰Λ DHR ཧ࿦ͷ࿮૊ΈͰड़΂Δͱɺର৅ ρ ͔Βର৅ σ ΁ͷ ࣹ͸ɺؔख (σ, −) ͔Βؔख (ρ, −) ΁ͷࣗવม‫ͱ׵‬ಉ͡ͱΈͳͤΔɻ΋͏গ͠ ஸೡʹड़΂ΔͱɺNat((σ, −), (ρ, −)) Λ (σ, −) ͔Β (ρ, −) ΁ͷࣗવม‫͠ͱ׵‬ ͯɺN : E → Set ͱ͍͏ؔखΛ N (σ) = Nat((σ, −), (ρ, −)) ͱఆٛ͢Δͱɺ. 11. 285.

(12) ؔख N ͔Βؔख (ρ, −) ΁ͷՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫͕׵‬ଘࡏ͢Δ 12 ɻʮՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬ Λ௨ͯ͡ɺʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ͢Δʯʢp. 142ʣͱ͍͏ຊॻͷཱ৔͔ΒΈΔͱɺ Nat((σ, −), (ρ, −)) ͱ (ρ, σ) ͸ʮಉ͡ʯʹͳΔɻ ͜ͷΑ͏ʹɺࣗવม‫׵‬͸ʮʮؔख͔Βؔख΁ͷؔ܎͚ͮʯɺͭ·Γʮؔ܎ͮ ͚͔Βؔ܎͚ͮ΁ͷؔ܎͚ͮʯʯ ʢp. 118ʣͱ͍͏ந৅౓ͷߴ͍΋ͷͰ͋Δ͕ɺ ͜ͷΑ͏ʹந৅౓ͷߴ͍ؔ܎͚ͮ͸ɺର৅͔Βର৅΁ͷؔ܎͚ͮͰ͋Δࣹͱ ಉ͡Ͱ͋Δͱ͍͏͜ͱͰ͋ΔɻҾ༻จͷൺᄻʹैͬͯड़΂Δͱɺࣹͱ͍͏஍ ໘͔Βग़ൃͯؔ͠܎͚ͮͱ͍͏໊ͷ֊ஈΛొ͍ͬͯͨΒɺ͍ͭͷؒʹ͔Լʹ ߱Γ͍ࣹͯͯͱ͍͏஍໘ʹ໭͍ͬͯͨͱ͍͏ΤογϟʔͷֆͷΑ͏ͳ‫Ͱ͡ײ‬ ͋Δɻࠓͷ৔߹͸ͩ·͠ֆͰ͸ͳ͘ɺԼͱ্͕Մ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬Βಉ ͡ʹͳ͍ͬͯΔɻ DHR ཧ࿦͸ओʹɺର৅ ρ ͔Βର৅ σ ΁ͷࣹ (ρ, σ) Λௐ΂Δ͕ɺࠓड़΂ͨ Α͏ʹɺถాຒΊࠐΈʹΑΕ͹͜Ε͸ (σ, −) ͔Β (ρ, −) ΁ͷࣗવม‫ͱ׵‬ʮಉ ͡ʯͰ͋Δɻ͕ͨͬͯ͠ɺ͜ͷΑ͏ͳࣗવม‫׵‬Λ໌ࣔతʹѻ͍ͬͯͳͯ͘΋ɺ ถాຒΊࠐΈͷ‫͔఺؍‬Βߟ͑ΔͱɺDHR ཧ࿦͸ຊॻͷཱ৔ͱંΓ߹͍͕ѱ͍ Θ͚Ͱ͸ͳ͍ 13 ɻ ஶऀ͸ɺม‫࣍ͯؔ͠ʹ׵‬ͷΑ͏ʹड़΂͍ͯΔɻ ʮม‫׵‬ʯΛ·ͨ΋΍ʮઈରతʯͳ΋ͷͱଊ͑ͨͳΒ͹ɺͨͩ໰ ୊Λҧ͏ϨϕϧʹઌૹΓ͚ͨͩ͠ͷ͜ͱͱͳΔͷ͸໌Β͔Ͱ͋Δɻ ཁ͢Δʹ͜͜Ͱ໰͍͍ͨͷ͸࣍ͷΑ͏ͳ͜ͱͰ͋Δɻ ʮม‫׵‬ʯʹ ࣠଍ΛҠͨ͠ͱ͖ʹɺΘΕΘΕ͕ಘͨ΋ͷ͸୯ͳΔΑΓߴ࣍ͷʮ֬ ͔͞ʯͰ͋ΓʮίϯτϩʔϧՄೳੑʯͳͷͩΖ͏͔ʁͦ͜ͰΘΕΘ Ε͕ಘͨͷ͸ɺΉ͠Ζʮ‫ݻ‬ఆͨ͠΋ͷʹ‫ݻ‬ண͠ͳ͍ʯͱ͍͏͜ͱɺ ͔ͦ͜Βʮղ์͞ΕΔʯͱ͍͏͜ͱɺʮࣗ༝ʹͳΔʯͱ͍͏͜ͱͳ ͷͰ͸ͳ͍ͩΖ͏͔ʁʢpp. 172-173ʣ ถాຒΊࠐΈΛ௨ͯ͠ɺཻࢠతͳඳ૾ʹ‫ݻ‬ண͔ͤͣͦ͜Β։์͞Εࣗ༝ʹ ͳΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δͱ͍͑ΔͩΖ͏ɻ. 7 7 DHR ཧ࿦ʹ͓͚Δ༷ʑͳಉ͡͞   DHR 理論における様々な同じさ ຊॻͷୈ 4 ষͰ͸ɺʮՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬Λ௨ͯ͡ɺʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ͢Δͱ͍ ͏΂͖Ͱ͋Δʯʢp. 142ʣͱड़΂ΒΕ͍ͯΔɻDHR ཧ࿦ʹ͓͍ͯ΋ɺՄ‫ͳٯ‬ ࣗવม‫͕׵‬ॏཁͳ໾ׂΛՌ͍ͨͯ͠Δɻ 4 અͰߟ͑ͨର৅͸ɺ͋Δ༗քͳۭ࣌ྖҬͰͷΈਅۭͱҟͳΔΑ͏ͳঢ়ଶ Ͱ͋ͬͨɻ͞Βʹɺ2 ͭͷ༗քͳۭ࣌ྖҬ͕͋Γɺͦ͜ʹ͓͍ͯͷΈਅۭͱҟ. 286. 12.

(13) 〈同じさ〉とは何か. ͳΔΑ͏ͳঢ়ଶΛߟ͑Δɺͭ·Γɺೋͭͷର৅Λߟ͑Δ͜ͱ͸ࣗવͰ͋Ζ͏ɻ ͜Ε͸ɺ4 અͰड़΂ͨ‫ ݍ‬E ͷੵ E × E Λߟ͑Δ͜ͱʹରԠ͢Δɻ ೋͭͷ༗քͳۭ࣌ྖҬ O1 ͱ O2 Λߟ͑Α͏ɻO1 ͱ O2 ͰͷΈਅۭͱҟͳ ΔΑ͏ͳঢ়ଶͰ͋ͬͨͱͨ͠Βɺ͜ͷঢ়ଶ͸ɺO1 ͱ O2 Λ‫ؚ‬ΉΑ͏ͳۭ࣌ྖ Ҭ O ʹ͓͍ͯͷΈਅۭͱҟͳΔঢ়ଶͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͕ͨͬͯ͠ɺE ͱ E × E ͸ແؔ܎Ͱ͸ͳ͘ɺԿΒ͔ͷؔ܎͕͋Δ͜ͱ͕༧૝͞ΕΔɻ ͜ͷͱ͖ɺE × E ͔Β E ΁ͷؔ܎͚ͮɺͭ·Γɺؔख ⊗ Λߟ͑Δ͜ͱʹͳ Δ [7, Definitions 170, 176, and 178]ɻ͜ͷؔख͸ɺρ1 ͱ ρ2 ͱ͍͏ E ͷର৅ ʹରͯ͠ ρ1 ⊗ ρ2 ͱ͍͏ E ͷର৅ΛରԠͤ͞ΔΑ͏ͳؔख [7, Proposition 175 and Definition 176] Ͱ͋Δɻ͜ͷؔखͷૢ࡞͸ɺೋͭͷର৅Λͻͱ·ͱΊʹ ͢ΔΑ͏ͳૢ࡞Ͱ͋Δɻͦͯ͠ɺࣹͷରԠ΋ఆٛ͞Ε͍ͯΔ [7, Proposition 177 and Definition 178]ɻ ؔख ⊗ Λఆٛ͢Δͱɺෳ਺ͷؔखΛߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻྫ͑͹ɺ3 ͭͷ ର৅ ρ1 ɺρ2 ɺρ3 Λߟ͑Α͏ɻ·ͣɺρ2 ͱ ρ3 ΛҰͭͷର৅ ρ2 ⊗ ρ3 ͱΈͳ͠ ͨ‫ ޙ‬ρ2 ⊗ ρ3 ͱ ρ1 ΛҰͭͷର৅ ρ1 ⊗ (ρ2 ⊗ ρ3 ) ͱ‫͢ͳݟ‬৔߹ͱɺρ1 ͱ ρ2 ΛҰ ͭͷର৅ ρ1 ⊗ ρ2 ͱΈͳͨ͠‫ ޙ‬ρ1 ⊗ ρ2 ͱ ρ3 ΛҰͭͷର৅ (ρ1 ⊗ ρ2 ) ⊗ ρ3 ͱ ‫͢ͳݟ‬৔߹͸ಉ͡Ͱ͋Δͱߟ͑ΒΕΔɻͳͥͳΒ͹ɺ͜ΕΒ 3 ͭͷର৅ͷଊ ͑ํ͕ҧ͏͚ͩͰ͋Δ͔ΒͰ͋ΔɻDHR ཧ࿦ʹ͓͍ͯ͜ͷ 2 ͭͷؔख͸Մ‫ٯ‬ ͳࣗવม‫͚ͭͼ݁Ͱ׵‬ΒΕΔ [7, Definitions 171, Proposition 181]ɻ ਅۭΛද͢ର৅ ι ͱ ρ1 ͕༗քͳۭ࣌ྖҬ O1 ͰͷΈਅۭঢ়ଶͱҟͳΔର৅ Λߟ͑Α͏ɻ͜ΕΒΛͻͱ·ͱΊʹͨ͠ର৅͸ɺρ1 ͱ͍͏ঢ়ଶͱಉ͡Ͱ͋Δ ͱ͍͏͜ͱͰ͋Δͱߟ͑ΒΕΔɻ࣮ࡍɺDHR ཧ࿦ʹ͓͍ͯ͜ΕΒ͸Մ‫ࣗͳٯ‬ વม‫͚ͭͼ݁Ͱ׵‬ΒΕΔ [7, p. 792]ɻρ1 ⊗ ι ͱ ρ1 ΋ಉ༷Ͱ͋Δɻ ͜ΕΒͷʮಉ͡͞ʯ͸ɺಉ͡Ͱ͋Δ͜ͱ͕༧૝͞ΕΔʮಉ͡͞ʯͰ͋ͬͨɻ Ұ‫ݟ‬ɺಉ͡Ͱ͋ΔΑ͏ʹࢥΘΕͳ͍ʮಉ͡͞ʯ΋͋Δɻ͜Ε͸ɺ൓ཻࢠʹؔ ΘΔɻDHR ཧ࿦ͷ࿮૊ΈͰɺਅۭঢ়ଶʹରԠͨ͠ର৅ ι ͔Β൓ཻࢠʹରԠ͠ ͨର৅ ρ¯ ͱཻࢠʹରԠͨ͠ର৅ ρ ͕ੜ੒͢ΔมԽΛදࣹ͢ R ∈ (ι, ρ¯ ⊗ ρ) ΍ɺ ൓ཻࢠʹରԠͨ͠ର৅ ρ¯ ͱཻࢠʹରԠͨ͠ର৅ ρ ͕ফ໓ͯ͠ਅۭঢ়ଶʹରԠ ͨ͠ର৅ʹͳΔมԽΛදࣹ͢ R∗ ∈ (¯ ρ ⊗ ρ, ι) ͳͲ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔ 14 [1, Proposition 4.7.4] ɻρ¯ ͱ ρ ͕ੜ੒ͨ͠Γফ໓ͨ͠Γ͢ΔࣹͷৼΔ෣͍͔ Β ρ¯ ͸ ρ ͷ൓ཻࢠͱղऍ͞ΕΔɻDHR ཧ࿦ͷ࿮૊ΈͰ͸ɺ൓ཻࢠ͸ੜ੒΍ফ ໓ͱ͍ͬͨม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬ΒఆࣜԽ͞Ε͍ͯΔɻ ͜ͷΑ͏ͳ ρ ͷ൓ཻࢠʹରԠ͢Δର৅ ρ¯ ͱͦΕΒʹؔΘΔࣹ͕ଘࡏ͢Δͱ ͖ɺ೚ҙͷର৅ ρ1 Λ‫ݻ‬ఆ্ͨ͠Ͱɺؔख (ρ1 ⊗ ρ, −) ͱؔख (ρ1 , − ⊗ ρ¯) Λߟ͑ Δɻ͜ͷͱ͖ɺؔख (ρ1 ⊗ ρ, −) ͔Βؔख (ρ1 , − ⊗ ρ¯) ΁ͷՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫ ׵‬15 ͕. 13. 287.

(14) ଘࡏ͢Δ [8, Lemma 2.1] ͷͰɺʮՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬Λ௨ͯ͡ɺʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ ͢Δʯ ʢp. 142ʣͱ͍͏ຊॻͷཱ৔͔Β‫ͯݟ‬ɺ͜ΕΒͷؔख͸ʮಉ͡ʯͱͳΔɻ ಛʹɺρ1 ΛਅۭʹରԠͨ͠ର৅ ι ͱ͠ɺ− ʹ ρ ΛೖΕΔͱɺ(ρ, ρ) ͱ (ι, ρ ⊗ ρ¯) ͸ʮಉ͡ʯͰ͋Δɻ6 અͰड़΂ͨඳ૾ʹै͏ͱɺρ ͔Βଞͷର৅΁ͷม‫ ͱ׵‬ρ ͔Βଞͷର৅΁ͷม‫׵‬ͷؔ܎͚ͮ͸ɺρ ⊗ ρ¯ ͔Βଞͷର৅΁ͷม‫ ͱ׵‬ι ͔Βଞ ͷର৅΁ͷม‫׵‬ͷؔ܎͚ͮͱʮಉ͡ʯͱ͍͏͜ͱʹͳΔɻ ͜ͷΑ͏ʹɺDHR ཧ࿦ʹ͓͍ͯ͸༷ʑͳՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬ɺͭ·Γɺ༷ʑͳ ʮಉ͡͞ʯ͕੔߹తʹಉ‫͍ͯ͠ډ‬Δɻ͜ͷ‫͔఺؍‬Β‫ͯݟ‬΋ɺՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬ͷ ‫͔఺؍‬Βಉ͡͞Λଊ͑Δຊॻͷཱ৔͸ॏཁͰ͋Δͱ͍͑ΔͩΖ͏ɻ.   8 8 おわりに ͓ΘΓʹ ຊॻͰఏࣔ͞Ε͍ͯΔ‫࣮ݱ‬ͷଊ͑ํΛɺʮಉ͡͞ʯΛத৺ʹ঺հ͖ͯͨ͠ɻ ຊॻʹΑΕ͹ɺ ʮಉ͡͞ʯ͸ઃఆ͢Δඞཁ͕͋Δɻஶऀ͸ͦͷதͰ΋ม‫׵‬ͷՄ ‫ٯ‬ੑͷ‫͔఺؍‬Βʮಉ͡͞ʯΛଊ͑Δ͜ͱΛॏཁͰ͋Δͱߟ͓͑ͯΓɺ2 અͰ͸ ‫ص‬΍αΠίϩΛ୊ࡐʹͱͬͨٞ࿦Λ঺հͨ͠ɻ 3 અͱ 4 અͰ͸ɺDHR ཧ࿦ཻ͕ࢠʹؔ͢Δཧ࿦ͷΑ͏ʹΈ͑Δ͜ͱΛड़΂ ͨɻҰํɺຊॻͰ͸ೋॏεϦοτͷ࣮‫࣍ͯؔ͠ʹݧ‬ͷΑ͏ʹड़΂͍ͯΔɻ ࣮ମԽ͞Εཻͨࢠͷඳ૾Ͱ͸ཧղͰ͖ͳ͍ग़དྷࣄʹ͍ͭͯͷ࣮ ‫ͳݧ‬ͷ͔ͩΒɺ݁Ռ͕ʮύϥυΩγΧϧʯʹ‫͑ݟ‬Δͷ͸౰વͰ͋Δɻ લఏ͞Ε͍ͯΔ‫࣮ݱ‬ͷඳ૾ࣗମΛ໰୊ͱͯۛ͠ຯͤͣʹɺ͔͋ͨ΋ ࣗવࣗମ͕ύϥυΩγΧϧͰ͋Δ͔ͷΑ͏ʹड़΂ཱͯΔͷ͸ɺࣗવ ͦͷ΋ͷΛ͍ͨͣΒʹਆൿԽ͢Δ͜ͱʹ΄͔ͳΒͳ͍ɻʢp. 40ʣ. 5 અɺ6 અɺ7 અͰ͸ɺҰ‫ࢠཻݟ‬తͳཧ࿦ʹΈ͑ຊॻͷཱ৔ͱંΓ߹͍͕ѱ ͍Α͏ʹΈ͑Δ DHR ཧ࿦΋ʮՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬Λ௨ͯ͡ɺʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ͢ Δʯ ʢp. 142ʣͱ͍͏‫͔఺؍‬Βଊ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ͜ͱΛ֬ೝͨ͠ɻ͜ͷΑ͏ ʹɺຊॻͰఏࣔ͞Ε͍ͯΔߟ͑ํ͸ద༻ൣғ͕޿͘ॏཁͰ͋Δͱ͍͑Δɻ 3 અҎ߱Ͱ͸ɺDHR ཧ࿦Λ୊ࡐʹͱΓຊॻͷ಺༰Λ঺հͨ͠ͷͰɺຊॻ͕ ෺ཧֶʹͷΈؔΘΔ಺༰Λѻ͍ͬͯΔΑ͏ʹ‫ͨ͡ײ‬ਓ΋͍Δ͔΋͠Εͳ͍ɻͦ ͷΑ͏ͳ͜ͱ͸ͳ͘ɺຊॻͷओுͷద༻ൣғͷ޿͞Λࣔͨ͢ΊʹɺҰ‫ݟ‬ຊॻ ͷཱ৔ͱંΓ߹͍͕ѱ͍Α͏ʹΈ͑Δ DHR ཧ࿦Λඇ‫ن‬४తʹબ୒͚ͨͩ͠ Ͱ͋Δ 16 ɻஶऀ͸΋ͪΖΜଞͷՊֶཧ࿦΋೦಄ʹஔ͍͍ͯΔɻଞͷՊֶཧ࿦ ʹ઀ଓ͢ΔώϯτΛগͳ͘ͱ΋ࡾͭ͸ߟ͑ΒΕΔɻ ҰͭΊ͸ʮ໰͍͕ͳ͚Ε͹౴͑͸ͳ͍ʯ ʢp. 54ʣʹ͓͚Δʮ໰͍ʯͷॱংͰ ͋Δ 17 ɻຊॻͰ͸ɺ͜ͷ͜ͱΛࣾձՊֶͰ࢖ΘΕΔख๏Ͱ͋ΔΞϯέʔτΛ ΋ͱʹߟ࡯͍ͯ͠Δɻྫ͑͹ɺઌʹʮ‫ڕ‬ͷྫΛ͍͋͛ͯͩ͘͞ʯɺ࣍ʹʮϖο 288. 14.

(15) 〈同じさ〉とは何か. τͷྫΛ͍͋͛ͯͩ͘͞ʯͱฉ͘ͱɺ‫ڕ‬ͷྫͱͯ͠ϚάϩͳͲΛ౴͑Δ֬཰ ͕ߴ͍ͷʹରͯ͠ɺॱংΛม͑ͯઌʹʮϖοτͷྫΛ͍͋͛ͯͩ͘͞ʯɺ࣍ ʹʮ‫ڕ‬ͷྫΛ͍͋͛ͯͩ͘͞ʯͱฉ͘ͱʮάοϐʔʯͱ౴͑Δ֬཰͕ߴ͘ͳ Δʢp. 212ʣɻ໰͍ʹઌཱͬͯ౴͕͑͋ΔͷͰ͋Ε͹ɺ͜ͷ͜ͱ͸આ໌͕೉͠ ͘ɺ ʮ໰͍͕ͳ͚Ε͹౴͑͸ͳ͍ʯͱ͍͏ຊॻͷओு͸Ξϯέʔτʹ΋ؔΘΔ ͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠Δͱ͍͑ΔͩΖ͏ɻຊॻͷෟ࿦Ͱ͸ɺ ʮ໰͍ʯͷॱং͕ॏཁ ͱͳΔඇՄ‫཰֬׵‬࿦ͷ࿮૊ΈͰनਓͷδϨϯϚʹ͓͚Δਓؒͷ‫࣮ݱ‬ͷҙࢥܾ ఆͷ͋ΓํΛߟ࡯͍ͯ͠Δ͕ɺ͜Ε͸ຊॻͷओுΛࣾձՊֶʹ઀ଓ͢ΔࢼΈ ͱ‫͑ݴ‬Δɻ ೋͭΊ͸࣮ମʹ‫ݻ‬ண͠ͳ͍ͱ͍͏࢟੎Ͱ͋Δɻ࣮ମʹ‫ݻ‬ண͠ͳ͍ͱ͍͏࢟ ੎͸ຊॻͰ͸పఈ͞Ε͍ͯͯɺྔࢠ࿦ʹؔΘΔٞ࿦ʹ͓͍ͯΑ͘ग़ͯ͘Δ೾ ಈؔ਺ͱ͍͏༻‫ޠ‬͸ɺຊॻͰ͸࢖ΘΕ͍ͯͳ͍ɻ͋͘·Ͱ΋ධऀͷਪଌͰ͋ Δ͕ɺྔࢠྗֶ͕೾ಈͱ͍͏࣮ମΛѻ͏ཧ࿦Ͱ͋ΔͱಡऀʹࢥΘͤΔ͜ͱΛ ආ͚ΔͨΊ࢖Θͳ͔ͬͨͷͰ͸ͳ͍͔ͱࢥ͏ɻྔࢠྗֶʹ͓͍ͯ‫ݱ‬ΕΔඇՄ ‫཰֬׵‬࿦Λਓؒͷҙࢥܾఆʹద༻͢Δͱ͍͏ൃ૝Λ͢ΔͨΊʹ͸ɺྔࢠྗֶ Λཻࢠ΍೾ಈͳͲͷ࣮ମͷཧ࿦Ͱ͋Δͱߟ͍͑ͯͨΒ೉͍͠Ͱ͋Ζ͏ɻਓؒ ͷҙࢥܾఆʹؔΘΔ೴ͳͲͷ࣮ମ͕ྔࢠྗֶʹै͏ͷ͔ͱ͍͏໰୊͕ग़ͯ͘ Δ͔ΒͰ͋ΔɻඇՄ‫཰֬׵‬࿦Λਓؒͷҙࢥܾఆʹద༻͢Δͱ͍͏ൃ૝͸ɺૢ ࡞ͷඇՄ‫׵‬ੑʹ஫໨࣮͠ମʹ‫ݻ‬ண͠ͳ͍͔Βͦ͜ग़͖ͯͨͱ͍͑Δɻ·ͨɺ2 અͰ঺հͨ͠‫ص‬΍αΠίϩͷྫͰ΋ɺ‫ص‬΍αΠίϩͱ͍࣮ͬͨମͰ͸ͳͦ͘ ΕΒʹؔΘΔม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬Βʮಉ͡͞ʯΛߟ࡯͍ͯͨ͠ɻ͔ͩΒͦ͜ 6 અ΍ 7 અͰѻͬͨΑ͏ʹɺ‫ص‬΍αΠίϩͱؔ܎͕ͳ͍Α͏ʹΈ͑Δ DHR ཧ࿦ʹՄ ‫ͳٯ‬ม‫఺ࢹ͏͍ͱ׵‬Λ઀ଓͰ͖ͨͱ͍͑Δɻ ࡾͭΊ͸ɺ͜ͷॻධͰѻͬͨʮಉ͡͞ʯͷ‫͔఺؍‬Βͷ෼ྨͰ͋ΔɻDHR ཧ ࿦Ͱ͸ɺ7 અͰड़΂ͨ൓ཻࢠʹؔΘΔࣹ [7, Definition 214] [8, Definition 3.4] Λ΋ͱʹ࣍‫ͱݩ‬Α͹ΕΔෆมྔΛఆٛ͠ɺͦΕʹ‫͍ͯͮج‬ର৅Λ෼ྨ͢Δɻͦ ͯ͠ɺͦͷதʹ͸ϑΣϧϛΦϯ΍Ϙιϯͱಉ༷ͷৼΔ෣͍Λ͢Δର৅΋‫·ؚ‬ ΕΔɻ෼ྨͱ͍͏ߦҝ͸ɺଞͷՊֶཧ࿦ʹ͓͍ͯ΋ΈΒΕΔɻ෼ྨΛѻ͏Պ ֶཧ࿦ͱຊॻͰߟ͑ΒΕ͍ͯΔ‫࣮ݱ‬ͷҰൠߏ଄Λ઀ଓ͢Δํ๏ͷҰͭͱͯ͠ ͸ɺม‫׵‬ͷ‫͔఺؍‬Βʮಉ͡͞ʯΛઃఆ͠ɺ͜ͷʮಉ͡͞ʯʹ‫͍ͯͮج‬෼ྨ͢ Δͱ͍͏͜ͱͰ͋Ζ͏ɻ ຊॻ͸ɺ༷ʑͳ෼໺Λԣஅ͢ΔΑ͏ͳ‫࣮ݱ‬ͷ౷Ұతͳଊ͑ํΛಡऀʹఏࣔ ͍ͯ͠Δɻ ʮʪ‫࣮ݱ‬ʫͱ͸Կ͔ʯͱ͍͏໰୊ʹ‫ڵ‬ຯ͋Δ༷ʑͳ෼໺ͷ‫ʹऀڀݚ‬ɺ という問題に興味がある様々な分野の研究者 Ұಡɺͦͯ͠ख़ಡΛનΊ͍ͨɻ に、一読、そして熟読を薦めたい。. 15. 289.

(16) ँࣙ  謝辞 ຊߘ͸ɺจ෦ՊֶলՊֶ‫ڀݚ‬අิॿۚ‫ج‬൫‫( ڀݚ‬C) ʢ՝୊൪߸ɿ20K00279ʣ ͷॿ੒Λड͚͍ͯΔɻ ஫  注 1. ͜ͷॻධͰ͸ɺຊॻͱ͍͏ද‫ه‬͸ৗʹจ‫[ ݙ‬13]ɺஶऀͱ͍͏ද‫ه‬͸จ‫ݙ‬ [13] ͷஶऀΛࢦ͢ɻ 2. ҎԼɺຊॻ [13] ͷҾ༻ͷࡍ͸ɺϖʔδ਺ͷΈΛද‫͢ه‬Δɻ. 3. DHR ཧ࿦͕ల։͞Ε͍ͯΔจ‫[ ݙ‬5, 6] ͷλΠτϧʹ͸ʮཻࢠͷ౷‫ܭ‬ʯͱ ͍͏୯‫·ؚ͕ޠ‬Ε͍ͯΔɻ 4. ϢχλϦಉ஋ͷද‫ݱ‬͸ɺࣗવಉ஋ͱΈΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ [14, pp. 141-145][10, ୈ 7 ষ]ɻ 5. GNS ߏ੒ఆཧʹΑΔͱɺC*୅਺ A ্ͷঢ়ଶ ψ ʹରͯ͠ɺώϧϕϧτۭؒ Hψ ͱ A ͷ८ճද‫ ݱ‬πψ ɺώϧϕϧτ্ۭؒͷ८ճϕΫτϧ xψ ͕ଘࡏͯ͠ɺ೚ ҙͷ A ∈ A ʹରͯ͠ ψ(A) = xψ , πψ (A)xψ  ͱͳΔɻ͞Βʹɺ{Hψ , πψ , xψ } ͸ϢχλϦಉ஋ੑΛͷ͍ͧͯҰҙͰ͋Δɻ 6. ʮແ‫ݶ‬ԕʹ͓͍ͯਅۭঢ়ଶͱͳΔΑ͏ͳঢ়ଶʯͱ͍͏‫ํ͍ݴ‬͸ɺ[5] ͷ Proposition A.1 ʹ‫͍͍ͯͮج‬Δɻ 7. ର৅ΛΪϦγΞจࣈͰද‫͢ه‬Δ͜ͱʹҧ࿨‫ײ‬Λ‫͡ײ‬Δਓ΋͍Δ͔΋஌Ε ͳ͍͕ɺจ‫[ ݙ‬1] Ͱ͸‫ࡏہ‬ՄೳͰҠಈՄೳͳࣗ‫ݾ‬४ಉ‫૾ࣸܕ‬ΛΪϦγΞจࣈͰ ද‫͍ͯͯ͠ه‬ɺจ‫[ ݙ‬8] Ͱ͸ର৅ΛΪϦγΞจࣈͰද‫͍ͯ͠ه‬ΔͷͰɺ͜ͷॻ ධͰ͸ର৅ΛΪϦγΞจࣈͰද‫͢ه‬Δɻ 8. ؔख (ρ, −) : E → Set ͸ɺର৅ σ ʹରͯ͠. (ρ, −)(σ) := (ρ, σ) ͱఆٛ͞ΕΔɻSet ͸ू߹ͷ‫͋Ͱݍ‬Δɻࣹ A ∈ (σ  , σ  ) ʹରԠ͢Δࣹ (ρ, A) : (ρ, σ  ) → (ρ, σ  ) ͸೚ҙͷ B ∈ (ρ, σ  ) ʹରͯ͠ (ρ, A)(B) := A ◦ B ͱఆٛ͞ ΕΔ [2, Example 1.2.8.d]ɻ͜ͷؔख͸ɺ− ʹೖΕΔର৅ σ ΛબͿͱɺࣹͷू ߹ (ρ, σ) ͕ఆ·ΔΑ͏ͳؔखͰ͋Δ [2, Example 1.2.8.d] [14, pp. 73-76]ɻ 9. ຊॻͰ͸ɺ ʮࢲʯͷஔ͖‫͑׵‬Մೳੑͷٞ࿦ʹଓ͍ͯɺΧϯτʹΑΔʮͦΕ ͕ීวత๏ଇͱͳΔ͜ͱΛಉ࣌ʹཉ͠͏ΔΑ͏ͳ֨཰ʹैͬͯͷΈߦಈͤΑʯ ͱ͍͏ಓಙ๏ଇ΋ஔ͖‫͑׵‬Մೳੑͷ‫͔఺؍‬Βߟ࡯͍ͯ͠Δʢpp. 149-157ʣɻྫ 290. 16.

(17) 〈同じさ〉とは何か. ͑͹ʮଞਓΛࡴͯ͠͸ͳΒͳ͍ʯͱ͍͏͜ͱΛʮࣗ෼͕ࡴ͞Εͨ͘ͳ͍ʯͱ ͍͏͜ͱͷஔ͖‫͑׵‬Մೳੑͱͯ͠ଊ͍͑ͯΔɻͦͯ͠ɺ ʮΈ͔ͣΒ͕ஔ͖‫͑׵‬ ෆՄೳͰ͋Δͱ͍͏͜ͱͦΕࣗମͷஔ͖‫͑׵‬ՄೳੑΛཧղͨ͠ͱ͖ɺΘΕΘ Ε͸ࣗ‫ݾ‬ͷଘࡏͷࠜຊతͳྙཧੑʹ‫ͮ͘ؾ‬ʯ ʢp. 157ʣͱड़΂͍ͯΔɻ͜ͷΑ ͏ʹʮࢲʯͷஔ͖‫͑׵‬Մೳੑͷٞ࿦͸ɺཻࢠͷٞ࿦ͷΈͳΒͣྙཧֶͷٞ࿦ ʹ΋ͭͳ͕͍ͬͯΔɻ 10. ࣹ A ∈ (ρ, σ) ʹରͯ͠ɺࣗવม‫( ׵‬A, −) : (σ, −) ⇒ (ρ, −) ͸ɺ೚ҙͷ ର৅ σ  ∈ E ͱ B ∈ (σ, σ  ) ʹରͯ͠ɺ(A, −)σ (B) = B ◦ A ͱఆٛ͞ΕΔ [2, Example 1.3.6.c]ɻؔख (ρ, −) Λର৅ͱ͠ɺࣗવม‫( ׵‬A, −) Λࣹͱ͢Δ‫ݍ‬Λ ߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɺ͜ͷΑ͏ͳ‫ݍ‬͸ؔख‫ͱݍ‬Α͹ΕΔʢcf. p. 127ʣɻ 11. ࣹ A ∈ (ρ, σ) ʹରͯ͠ɺࣗવม‫( ׵‬A, −) : (σ, −) ⇒ (ρ, −) Λߟ͑Δɻ೚ ҙͷ B ∈ (σ, σ  )ɺC ∈ (σ  , σ  ) ʹରͯ͠ɺ. (ρ, C) ◦ (A, −)σ (B) = (A, −)σ ◦ (σ, C)(B) ͱͳ͍ͬͯΔɻ͜ͷࣜͷҙຯͰɺࣗવม‫( ׵‬A, −) ͸ (σ, −) ʹ͓͚Δؔ܎͚ͮ Λ (ρ, −) ʹ͓͚Δؔ܎͚ͮʹࣗવʹؔ܎͚͍ͮͯΔɻ 12. ؔख N ͔Βؔख (ρ, −) ΁ͷՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫͕׵‬ଘࡏ͢Δͱ͍͏ࣄ࣮͸ɺถ ాͷิ୊ͷ‫͋Ͱܥ‬Δɻ[2, Theorem 1.3.3 and Proposition 1.5.2] Λ΋ͱʹɺ֓ ུΛड़΂͓ͯ͜͏ɻρ Λର৅ͱ͢Δͱɺؔख N : E → Set ͸೚ҙͷର৅ σ ʹ ରͯ͠ N (σ) = Nat((σ, −), (ρ, −)) ͱఆٛ͞ΕΔɻ͜͜ͰɺNat((σ, −), (ρ,−)) ͸ɺ(σ, −) ͔Β (ρ, −) ΁ͷࣗવม‫͋Ͱ׵‬Δɻࣹ A ∈ (σ, σ  ) ʹରͯ͠ɺ ରԠ͢Δࣸ૾ N (A) : Nat((σ, −), (ρ, −)) → Nat((σ  , −), (ρ, −)) ͸ɺ೚ҙͷ α ∈ Nat((σ, −), (ρ, −)) ʹରͯ͠ɺN (A)(α) = α ◦ (A, −) ͱఆٛ͞ΕΔɻ ࣸ૾ θρ,σ : Nat((σ, −), (ρ, −)) → (ρ, σ) Λɺα ∈ Nat((σ, −), (ρ, −)) ʹର ͯ͠ θρ,σ (α) := ασ (1σ ) ͱఆٛ͢Δɻ೚ҙͷ A ∈ (σ, σ  ) ͱ α ∈ Nat((σ, −), (ρ, −)) ʹରͯ͠ɺ. θρ,σ ◦ N (A)(α) = (ρ, A) ◦ θρ,σ (α) ͱͳΔͷͰɺθρ,σ ͸ σ ʹؔͯؔ͠ख N ͔Βؔख (ρ, −) ΁ͷࣗવม‫͋Ͱ׵‬Δɻ ର৅ σ  ͱ B ∈ (ρ, σ) ʹରͯ͠ɺࣸ૾ τ (B)σ : (σ, σ  ) → (ρ, σ  ) Λ೚ҙͷ A ∈ (σ, σ  ) ʹରͯ͠. τ (B)σ (A) := (ρ, A)(B) = A ◦ B 17. 291.

(18) ͱఆٛ͢Δɻ೚ҙͷ C ∈ (σ  , σ  )ɺA ∈ (σ, σ  ) ʹରͯ͠ɺ. (ρ, C)τ (B)σ (A) = τ (B)σ (σ, C)(A) ͱͳΔͷͰɺτ (B) ͸ࣗવม‫͋Ͱ׵‬Δɻ ೚ҙͷ B ∈ (ρ, σ) ʹରͯ͠. θρ,σ (τ (B)) = τ (B)σ (1σ ) = 1σ ◦ B = B Ͱ͋Γɺ೚ҙͷ α ∈ Nat((σ, −), (ρ, −)) ͱ A ∈ (σ, σ  ) ʹରͯ͠. τ (θρ,σ (α))σ (A) = A ◦ ασ (1σ ) = (ρ, A) ◦ ασ (1σ ) = ασ ◦ (σ, A)(1σ ) = ασ (A) ͱͳΔͷͰɺθρ,σ ͸Մ‫͋Ͱٯ‬Δɻ ͕ͨͬͯ͠ɺ ʮՄ‫ࣗͳٯ‬વม‫׵‬Λ௨ͯ͡ɺ ʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ͢Δʯ ʢp. 142ʣ ͱ͍͏ຊॻͷཱ৔͔Β‫ͯݟ‬ɺN (σ) = Nat((σ, −), (ρ, −)) ͱ (ρ, σ) ͸ʮಉ͡ʯ Ͱ͋Δͱ͍͑Δɻ 13. DHR ཧ࿦ʹ͓͍ͯɺࣹ͸བྷ࡞༻ૉͰ͋ͬͨɻབྷ࡞༻ૉࣗମ͕ࣗવม‫ͱ׵‬ Έͳ͢͜ͱ΋Ͱ͖Δ [14, pp. 141-145][10, ୈ 7 ষ]ɻ 14. ¯ ∈ (ι, ρ ⊗ ρ¯) ͕ଘࡏͯ͠ɺ ର৅ ρɺର৅ ρ¯ɺࣹ R ∈ (ι, ρ¯ ⊗ ρ)ɺࣹ R ¯ ∗ ⊗ 1ρ ◦ 1ρ ⊗ R = 1ρ , R. ¯ = 1ρ¯ R∗ ⊗ 1ρ¯ ◦ 1ρ¯ ⊗ R. ͕੒Γཱͭ [8, p. 106]ɻલऀͷࣜ͸ɺཻࢠ ρ ͕͋Δͱ͜Ζʹɺਅۭ͔Β൓ཻ ࢠ ρ¯ ͱཻࢠ ρ ͕৽ͨʹੜ੒ͨ͠‫ޙ‬ɺ΋ͱ͔Β͋ͬͨ ρ ͱ৽ͨʹੜ੒͞Εͨ൓ ཻࢠ ρ¯ ͕ফ໓͠ਅۭͱͳΓɺ৽ͨʹੜ੒͞Εཻͨࢠ ρ ͚͕ͩ࢒Δͱ͍͏มԽ ͸ɺ΋ͱ͔Β͋ͬͨ ρ ͕Կ΋มΘΒͣ ρ ͷ··Ͱ͋Δͱ͍͏มԽͱಉ͡Ͱ͋ Δ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δɻ 15. ¯ ∈ (ι, ρ ⊗ ρ¯) ͸ɺ ର৅ ρɺର৅ ρ¯ɺࣹ R ∈ (ι, ρ¯ ⊗ ρ)ɺࣹ R ¯ ∗ ⊗ 1ρ ◦ 1ρ ⊗ R = 1ρ , R. ¯ = 1ρ¯ R∗ ⊗ 1ρ¯ ◦ 1ρ¯ ⊗ R. ΛΈͨ͢ͱ͢Δɻ্ͷ‫٭‬஫Ͱड़΂ͨΑ͏ʹɺͦͷΑ͏ͳର৅ͱࣹ͸ଘࡏ͢Δɻ ର৅ ρ1 ͱ ρ2 ʹରͯ͠ɺࣸ૾ iρ1 ,ρ2 : (ρ1 ⊗ ρ, ρ2 ) → (ρ1 , ρ2 ⊗ ρ¯) Λ೚ҙͷ ࣹ T ∈ (ρ1 ⊗ ρ, ρ2 ) ʹରͯ͠. ¯ iρ1 ,ρ2 (T ) := T ⊗ 1ρ¯ ◦ 1ρ1 ⊗ R 292. 18.

(19) 〈同じさ〉とは何か. ͱఆٛ͠ɺࣸ૾ jρ1 ,ρ2 : (ρ1 , ρ2 ⊗ ρ¯) → (ρ1 ⊗ ρ, ρ2 ) Λࣹ T  ∈ (ρ1 , ρ2 ⊗ ρ¯) ʹର ͯ͠ jρ1 ,ρ2 (T  ) := 1ρ2 ⊗ R∗ ◦ T  ⊗ 1ρ ͱఆٛ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺA ∈ (ρ2 , ρ2 ) ʹରͯ͠. (ρ1 , A⊗1ρ¯)◦iρ1 ,ρ2 = iρ1 ,ρ2 ◦(ρ1 ⊗ρ, A), (ρ1 ⊗ρ, A)◦jρ1 ,ρ2 = jρ1 ,ρ2 ◦(ρ1 , A⊗1ρ¯) ͱͳΔͷͰɺiρ1 ,ρ2 ͱ jρ1 ,ρ2 ͸ࣗવม‫͍ͯͬͳͱ׵‬Δɻ·ͨɺ. iρ1 ,ρ2 ◦ jρ1 ,ρ2 (T  ) = T  ,. jρ1 ,ρ2 ◦ iρ1 ,ρ2 (T ) = T. ͱͳΔͷͰɺiρ1 ,ρ2 ͸Մ‫͋Ͱٯ‬Δ [8, Lemma 2.1]ɻ͕ͨͬͯ͠ɺʮՄ‫ࣗͳٯ‬વ ม‫׵‬Λ௨ͯ͡ɺ ʮಉ͡͞ʯ͕੒ཱ͢Δʯ ʢp. 142ʣͱ͍͏ຊॻͷཱ৔͔Β‫ͯݟ‬ɺ ؔख (ρ1 ⊗ ρ, −) ͱؔख (ρ1 , − ⊗ ρ¯) ͸ʮಉ͡ʯͰ͋Δͱ͍͑Δɻ 16. ຊॻධͰ͸ɺՊֶཧ࿦ͱͯ͠ DHR ཧ࿦ΛऔΓ্͕͛ͨɺ͜ͷཧ࿦Λઈର ࢹ͢Δ͜ͱ͸ຊॻͷཱ৔ʹ൓͢Δɻஶऀ͸ʮ఩ֶऀ͕ɺ‫ࡏݱ‬ଘࡏ͢ΔՊֶత ஌‫ݟ‬Λઈରࢹͯͦ͠Εʹґ‫͠ڌ‬Α͏ͱ͢ΔͳΒɺΉ͠Ζ౰ͷՊֶऀ͕ͦΕΛ ෆద੾ͩͱ‫ͩ͢ͳݟ‬Ζ͏ʯʢp. 185ʣͱड़΂͍ͯΔɻ࣮ࡍɺDHR ཧ࿦͕ѻ͑ ͳ͔ͬͨࣗൃతରশੑͷഁΕ΋ѻ͑ΔΑ͏ͳཧ࿦΁֦ு͢ΔࢼΈ͕͋Δ [9]ɻ 17. ຊॻͰ͸ɺ ʮ໰͍ʯΑΓҰൠతʹૢ࡞ͷ‫͔఺؍‬Βɺૢ࡞ͷॱংͷඇՄ‫׵‬ੑ ʹؔͯ͠ड़΂͍ͯΔʢpp. 215-217ʣɻͦͯ͠ɺ਺஋͸Մ‫͋Ͱ࡞ૢͳ׵‬Δ‫఺؍‬ Λఏ͍ࣔͯ͠Δɻྫ͑͹ɺ2 Λʮ2 Λ͔͚Δʯɺ3 Λʮ3 Λ͔͚Δʯͱ͍͏ૢ ࡞ͱΈΕ͹ɺ2 × 3 = 3 × 2 ͱ͍͏͜ͱ͸ɺ͜ΕΒͷૢ࡞͕Մ‫͋Ͱ׵‬Δͱ͍͏ ͜ͱΛද͍ͯ͠Δɻͭ·Γɺʮ਺ͷγεςϜ͸ૢ࡞ͷγεςϜͷಛघྫʯʢp. 216ʣͰ͋Δɻ ຊॻͰ͸͞ΒʹՄ‫࡞ૢͳ׵‬ͷू·ΓΛɺC*୅਺ʹ͓͚ΔήϧϑΝϯτ-φ ΠϚϧΫͷఆཧ [12, ఆཧ 3.7] ͷ‫͔఺؍‬Βߟ࡯͍ͯ͠ΔɻήϧϑΝϯτ-φΠϚ ϧΫͷఆཧʹΑΕ͹ C*୅਺ͷ͢΂ͯͷ‫ͯ΂͕͢ݩ‬Մ‫͋Ͱ׵‬Ε͹ɺ͜ΕΒͷ‫ݩ‬ ͸ෳૉ਺Λ஋ͱͯ͠ͱΔ࿈ଓؔ਺ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻಛʹɺ‫؍‬ଌՄೳྔ ʹରԠ͢ΔΑ͏ͳࣗ‫ڞݾ‬໾ͳ‫ݩ‬͸࣮਺Λ஋ͱͯ͠ͱΔ࿈ଓؔ਺ͱ‫ͱ͜͢ͳݟ‬ ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷ͜ͱ͔Βɺ ʮՄ‫ੈͳ׵‬քͱ͸ɺ͢΂ͯΛ਺஋Λ਺஋ʹؐ‫͖Ͱݩ‬ ΔੈքͰ͋ΓɺඇՄ‫ੈͳ׵‬քͱ͸ɺ਺஋ʹؐ‫͍ͳ͖Ͱݩ‬ΑΓҰൠͳૢ࡞Λ‫ؚ‬ Ήੈքʯʢp. 216ʣͱ͍͑Δɻ จ‫ݙ‬. [1] H. Baumg¨artel. Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory. Akademie Verlag, Berlin, 1995. 19. 293.

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参照

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