曲率を用いたルーレット曲線の研究

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(1)曲率を用いたルーレット曲線の研究. 教科・領域教育学専攻自然系コ一ス. M 1 O 1 6 8 C 川添善博. 研究の動機. 研究の内容. 前に通っていた大学の3年目に、幾何学の. ルーレット曲線の研究にあたって、John. 一番最後の講義で、曲線の曲率について触れら. W．Rutter著の「Geometry o￡Curves」. れた。福知山線脱線事故の事例を紹介し、カー. （Cbap㎜㎜＆Ha11／CRC．2000）という本を主た. ブの曲がり具合について、その講義を通して学. る参考文献として用いた。私の修士論文では、. んだ。この頃から、曲線の曲率について深く研. 自分なりの考察も交えて、その内容を再構成し. 究したいと思い始めた。しかしながら、そこか. ている。研究をしていくうちに、ルーレット曲. らすぐには曲率の勉強には繋がらなかった。特. 線はカジノのルーレットからきていることが分. に力を注ぐこともなく、ただ4年間の年月が. かった。このカジノのルーレットを応用し、よ. 経過し、前の大学を卒業してしまった。こうい. り一般的に考えたものがルーレット曲線であ. うわけで、この大学院へ入学して真っ先に小池. る。ルーレットの綴り字は、rOu1etteである。. 研究室を訪ねた。そこで、私の研究したい内容. これはフランス語から由来していて、ルレット. や今後の方向性について相談した。その結果、. と発音し、r小さな輪」を意味する。ルーレッ. リマソン線について勉強し、その後、それを含. ト曲線は輪転曲線のことで、定曲線に接しなが. んだ一般的なルーレット曲線について大学院. ら、その上を他の曲線がスリップなしで転がる. で研究するという緒論に至った。ルーレット曲. とき、後の曲線上に固定された点の軌跡のこと. 線という名前自体聞いたことがなく、また、名. をいう。. 前の響きからカジノのルーレットを連想した。. 日常生活において、具体的にどんな事柄が. ルーレット曲線はそんなに有名ではない。その. ルーレット曲線に該当するか、事例を紹介す. ため、ルーレット曲線と聞いて、私と同じよう. る。ボウリング上の板を固定された平面、ボウ. にカジノのルーレットと考える人が多くいる. リングの球を動く平面と考えれば、ルーレット. かもしれない。こういう素朴な疑問がルーレッ. 曲線の定義に当てはまる。ボウリングの球はそ. ト曲線に重きを置いて研究するに至った経緯で. の名のとおり球であるので平面ではないけれ. ある。. ども、無理矢理平面ととらえていただきたい。 1.

(2) ボウリングの球に任意に点をうち、それをボウ. た曲線、局所的に滑らかなパラメータ付けられ. リングのピンをめがけて縦回転かつ真っ直ぐ. た曲線、正則なパラメータ付けられた曲線、局. に転がすときにえがくその点の軌道を考える。. 所的に正則なパラメータ付けられた曲線、代数. 但し、プロポウラーが球を投球するときは、球. 曲線とその非特異点、カスプなどパラメータ付. 自体に横回転がかかったり、球自体がカーブす. けられた曲線の非正則点や代数曲線の特異点に. る。このとき、球に任意にうった点の軌道を考. おける接線などを紹介している。. えるのは、構造が複雑で非常にややこしいので. それから、曲線の曲がり具合を記述する曲率. 取払う。プロボウラーではない素人が、縦回転. について触れる。. かつカーブすることなく真っ直ぐに球を投球す. 日常生活においても、曲率を見かけることが. るときを考えれば構造がたやすくなる。そのと. ある。それは、高速道路のカーブや線路のカー. き、球に任意にうった点の軌跡はルーレット曲. ブである。その近くにrR＝600」などの標識が. 線の一つであるサイクロイドとなる。他にも、. あり、これはまさに曲率のことを指している。. 自転率の車輪や車のタイヤに任意に点をうち、. 例えば、「R＝300」、rR＝600」、rR二1200jと. 自転車や車を走行させたときの軌跡はサイクロ. いう標識を見比べて何が分かるのかというと、. イドとなる。サイクロイドとは、1つの円が直. rR＝300」が最も曲がり具合が急で、rR＝1200」. 線に接しながらスリップなしで回転するとき、. が最も曲がり具合が緩やかということである。. 円周上の定点がえがく軌跡のことをいう。ゆえ. このような基本的な曲率の考えから、曲率円、. に、ボウリングの球の軌跡や、車輪、タイヤの. 曲率半径、曲率中心など応用した考えまでを記. 跡はその曲線になる。. 述する。. ルーレット曲線に含まれる曲線は、先程にも. 更には、曲線と直線、曲線同士の接触につい. 登場したサイクロイドなど、実は有名な曲線. ても取り上げる。ηを自然数として、曲線と直. もある。その他にも、アステ1］イド、カーディ. 線あるいは曲線同士がぴったりη点接触する. オイド、リマソン線もルーレット曲線に含まれ. こと、あるいは少なくともη点接触するとは何. る。この定義に従った、有名な曲線と有名では. なのかを解説する。. ない曲線を集めて総称したものがルーレット曲. 次に、ルーレット曲線に入る一段階手前とし. 線と呼べるものである。では、他にルーレット. て、縮閉線及び伸開線というものについて、そ. 曲線に含まれる曲線はどんなものがあるか、ま. もそもこの曲線は一体何なのかを詳しく紹介. たそれらの曲線にはどんな性質があるのかを修. する。. 士論文では詳しく紹介している。. 最後に、メインテーマであるルーレット曲線の種類とその性質について深く掘り下げる。そ. 論文の構成. して、平面の剛体運動とは一体どんな動き方をいうのかも解説する。. 以下に、論文の構成について簡単に述べることにする。. 最初に、ルーレット曲線についていきなり触れる前に、先すは、パラメータ付けられた曲線. 主任指導教員小池敏司. について触れる。滑らかなパラメータ付けられ. 指導教員小池敏司.

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