最小軌跡による基本領域を用いた３次元双曲錐多様体の変形空間解析
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(2) す る こ と で あ る.そ の 応 用 と して,ト ー ラ ス と 開 区 間 の 直 積 に お い て,ト ー ラ ス 上 の 一 点 と区 間 の 直 積 を 錐 特 異 集 合 とす る双 曲 錐 多 様 体 の 変 形 空 間 を 決 定 し た い.. 3.研 究 の方 法 穴 あ き トー ラ ス 上 の1点 で 微 小 な 錐 角 を持 つ 錐 特 異 点 つ き 曲面 と 開 区 間 の直 積 に よ り 得 られ る3次 元 錐 多 様 体 の 双 曲構 造 を,穴 あ き トー ラ ス 群(交 換 子 積 が 放 物 的 変 換 で あ る よ うな 階 数2の 自 由 ク ラ イ ン群)を 代 数 的 か つ 幾 何 的 に微 小 変 形 す る こ とに よ り 放 物 的 変 換 を楕 円 的 変 換 へ と変 形 す る こ と に よ り構 成 す る こ とが で き る.本 研 究 で は, そ の よ うな 穴 あ き トー ラ ス 群 か ら錐 角 の 微 小 変 形 に よ り得 られ る双 曲錐 多 様 体 の 基 本 領 域 を,ク ライ ン群 にお け る フ ォ ー ド基 本 領 域 の 類 似 の もの と して構 成 す る.そ の よ うな 「よ い 基 本 領 域 」 を 持 っ 錐 双 曲構 造 が 豊 富 に あ る こ と を示 した うえ で,そ れ らが 持 つ ク ライ ン群 論 との 類 似 の 性 質 や 表 現 空 間 にお け る 従 来 の 研 究 対 象 と比 較 な ど を, コ ン ピ ュー タ を 用 い た 数 値 実 験 を 通 して 予 想 し,そ の 証 明 を与 え て い く.よ い 基 本 領 域 を持 っ よ うな 錐 双 曲構 造 に 対 して は,こ の よ うな 大 規 模 な 数 値 実 験 が 可 能 とな る こ と に この 研 究 の 意 義 が あ る. 4.研 究 成 果 (1)い くつ か の 具 体 例 に 対 して 穴 あ き トー ラ ス 群 の 微 小 変 形 と して 得 られ る の 双 曲 錐 多様 体 の最 小軌 跡 に よる基本 多 面体 の全 測 地 的 近 似 の候 補 を構 成 した.サ ー ス トン に よ る双 曲 デ ー ン手 術 理 論 に お い て 用 い られ る 双 曲構 造 の 完 備 性 を 崩 した 変 形 に 対 す る 考 察 は,こ の 種 の微 小 変 形 へ も応 用 で き るの で, こ れ ま で に 見 つ け る こ との で き た 具 体 例 の 持 つ 性 質 を さ ら に詳 し く観 察 す る こ と に よ り,任 意 の 穴 あ き トー ラス 群 か ら錐 角 の微 小 変 形 に よ り得 られ る双 曲 錐 多 様 体 の最 小 軌 跡 に よ る基 本 多 面 体 の 全 測 地 的 近 似 の 候 補 も構 成 で き る と期 待 され る.こ れ ま で に 見 つ け た候 補 は,変 形 前 の 穴 あ き トー ラス 群 の フ ォ ー ド領 域 の微 小 変 形 と して 構 成 され る が, そ の 構 成 法 か ら は錐 角 の 変 形 が 大 き く な っ た 時 に も 同 様 の 手 法 を用 い る こ とが で き る の か ど うか わか らない.そ こで 今年 度購 入 し た ワー ク ステ ー シ ョン を用 い,全 測 地 的 近似 の候 補 が 実 際 に ど の 程 度 ま で 変 形 可 能 な の か を探 る た め の 数 値 実 験 を継 続 的 に行 っ て い る. (2)(1)で 得 られ た,一 点 穴 あ き トー ラ ス 群 の 主 カ ス プ に対 応 す る放 物 型 元 を 楕 円型 元 へ と微 小 変 形 して 得 られ る群 に対 す る考 察 を深 め,一 般 の楕 円型 元 へ と変 形 した 場合 に 得 られ る 穴 あ き トー ラ ス群 の 既 約PSL(2,C) 表 現 か ら な る空 間 に 対 す る 幾 何 学 的 な パ ラ. メ ー タ 付 け を 得 た.そ の 応 用 と し て,そ れ ら の表 現 に対 す る 「 基 本 領 域 」 の予 想 を一 般 の 錐 角 に 対 す る表 現 の も の へ と 一 般 化 し た. (3)(2)で 得 ら れ た 候 補 を 用 い て,錐 双 曲 構 造 の ホ ロ ノ ミー 写 像 と して 得 られ る こ とが わ か る 表 現 に 関 す る あ る判 定 法 を 開 発 し,計 算 機 実 験 を 通 し て 穴 あ き トー ラ ス ク ラ イ ン 群 に 対 す る マ ス キ ッ ト切 片 に 対 応 す る 表 現 空 間 の 切 片 を 考 察 し た.こ の 実 験 で は 錐 角 を パ ラ メ ー タ と し て 「マ ス キ ッ ト切 片 」 の 連 続 変 形 族 が 得 られ る こ とが 期 待 され る よ うな 興 味 深 い 結 果 が 得 られ た.さ ら に,こ の 経 過 を 名 古 屋 大 学 で 行 わ れ た 「リー マ ン 面 ・不 連 続 群 論 」 研 究 集 会 に お い て 発 表 し た と こ ろ, 奈 良 女 子 大 学 の 山 下 靖 氏 か ら,氏 とS.P.Tan 氏(シ ン ガ ポ ー ル)の 共 同 研 究 に お け る 実 験 結 果 と の 興 味 深 い 類 似 性 が 指 摘 され た.(彼 ら の 研 究 に よ り得 ら れ た 表 現 論 的 な ア ル ゴ リズ ム と 本 研 究 で 進 め ら れ て い る 幾 イ 可的 な 判 定 法 が 同 じ結 果 を与 え る こ とが 期 待 され る.)現 状 で は 数 値 実 験 に 基 づ く予 想 の 段 階 で あ る が,こ れ ま で に 観 察 され た 事 実 は,錐 特 異 構 造 を持 た な い な め らか な 双 曲 幾 何 に 対 応 す る ク ラ イ ン 群 論 の 結 果 と して 得 られ て い た も の と同 種 の 結 果 が 期 待 を 強 く示 唆 し て い る. (4)(3)で 得 られ た数 値 実 験 結 果 に は奈 良 女 子 大 学 の 山下 靖 氏 の 実 験 結 果 との 興 味 深 い 類 似 性 が あ っ た.山 下 氏 の 数 値 実 験 は シ ン ガ ポ ー ル 国 立 大 学 のS.P.Tan氏 との共 同研 究 の 一 つ と し て 行 わ れ た も の で あ る .2010年8月 に シ ン ガ ポ ー ル 国 立 大 学 に 滞 在 し,Tan氏, 山 下 氏 と こ の 類 似 性 に つ い て 議 論 を し,(3) で 行 っ た も の よ り も さ ら に 詳 細 な数 値 実 験 を 進 め た.ま ず 彼 ら の 実 験 結 果 と の 直 接 的 な 比 較 を す る た め に,私 が 導 入 した 幾 何 学 的 な パ ラ メ ー タ と彼 ら の 用 い る 表 現 の 指 標 に よ る パ ラ メ ー タ と の 変 換 を 記 述 し た.そ の 変 換 を 用 い て 改 め てTan一 山 下 に よ る 力 学 的 な 観 点 か ら の"よ い"変 形 空 間 と,標 準 的 な 基 本 領 域 を 用 い て 定 義 され る幾 何 学 的 な 変 形 空 間 を 比 較 し た と こ ろ,そ れ ら が 数 値 的 に は 同 一 で あ る と い う驚 く べ き 観 察 が 得 られ た . ク ラ イ ン 群 論 的 に 取 り扱 う こ と が 可 能 な, 有 理 的 な 錐 角 を 持 つ 離 散 的 な 表 現 に 対 して は,幾 何 的 な 変 形 空 間 が 力 学 的 な 変 形 空 間 に 含 ま れ る こ と は 自然 で あ る が,一 般 の 錐 角 に お い て も,逆 が 成 り立 ち そ う で あ る とい う こ と は研 究 開 始 以 前 に は想 像 す らで き な か っ た こ と で,そ の 証 明(も し く は さ ら に 精 密 な 研 究 を 通 し て の 反 例 の 発 見)は 今 後 の 重 要 な 研 究 課 題 で あ る.. 5.主 な発 表 論 文等 (研究代 表 者 、研 究 分 担 者 及 び 連 携 研 究 者 に は 下線).
(3) 〔 雑 誌 論 文 〕 (計1件) Hirtotaka Akiyoshi, Side Parameter for the Punctured Torus Groups, Proceedings of the 16th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications,Witc7L, L, 2009 *, 58-62 -f<— -; 〔 学 会 発 表 〕(計1件) f)(1-112:: A, Side parameter for the punctured torus groups, The 16th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, 2 0 0 8* 7 A 2 9 0, Dongguk University MIA **I'D 6.研 究組織 (1)研 究 代 表 者. 秋吉 宏尚 ;AKIYOSHI HIROTAKA' 近 畿 大 学 ・理 工 学 部 ・准 教 授 研 究 者 番 号:. 80397611. (2)研 究 分 担 者. なし. (3)連 携 研 究 者. なし.
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