第10回 近畿大学理工学部数学コンテスト問題
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(2) Ａ問題 問 題 A-1. 20pt. 3 次方程式 x3 − nx + 1 = 0 の解がすべて無理数となるような整数 n を求 めよ．.
(3) 問 題 A-2. 35pt. 正の整数 x, y, z, d に対し, x2 , y 2 , z 2 がこの順で公差 d の等差数列をなすとい う. このとき, d は 24 の倍数であることを示しなさい. また, 公差が 24 であ るような等差数列 x2 , y 2 , z 2 をすべて求めなさい..
(4) 問 題 A-3. 40pt. 一辺の長さが 1 である正 7 角形の面積の近似値を小数点以下第 2 位まで求 めなさい..
(5) 問 題 A-4. 60pt. (1) 正数 k (= 1) と平面の異なる３点 O(0, 0)，A(a1 , a2 )，B(b1 , b2 ) を考える。 この３点を通り，長軸，短軸がそれぞれ x 軸，y 軸に平行で，長軸と短軸 の長さの比が k : 1 である楕円の存在・非存在について考察せよ。（円は楕 円の一つとみなし，その長軸，短軸がそれぞれ x 軸，y 軸に平行で，k = 1 であると見なす。） (2) 空間の一つの平面上にない４点 P，Q，R，S を考える。この４点から の距離が等しい直線は存在するか。.
(6) B問題 問 題 B-1. 30pt xy = y x , 0 < x < y. を満たす有理数の組 (x, y) をすべて求めよ..
(7) 問 題 B-2. 30pt. (1) 区間 [0, 1] 上の任意の連続関数 f (x) に対して ∫ 1 ∫ 1 exp f (x)dx ≥ exp f (x)dx 0. 0. が成り立つことを証明せよ. ただし exp x = ex である.. (2) f がさらに [0, 1] で f (x) > 0 を満たすとき, ∫ 1 ∫ 1 log f (x)dx と log f (x)dx 0. の大小を比較せよ.. 0.
(8) 問 題 B-3. 30pt. どの成分も 0 または 1 である n 次正方行列 A を考える. 以下, I は n 次単位 行列で, J はすべての成分が 1 の n 次正方行列とし, tA は A の転置行列と する.. (1) n = 7 に対し, A tA = 2I + J をみたす行列 A を一つ構成しなさい. 更に構成した行列 A の行列式の値を 求めなさい.. (2) 正の整数 p に対し, A tA = pI + J が成り立てば, t. A A = pI + J. が成立することを証明し, 更に n = p2 + p + 1 となることを証明しなさい..
(9) 問 題 B-4. ∫. 50pt ∫. 1. 1. x. xx dx と定義する．このとき. x dx = lim 0. a→+0. ∫. a 1. xx dx = 1 − 0. を示せ．. 1 1 1 1 1 + − + − + ··· 22 33 44 55 66.
(10) 問 題 B-5. 60pt. 数列 {an } (n = 0, 1, 2, . . .) を次の漸化式により定める： a0 = 1n n ∑ ∑ aj + aj an−j an+1 = j=0. j=0. このとき定数 C > 2 が存在して，すべての n = 0, 1, 2, . . . に対して. 2n 5 an 5 C n となることを証明せよ．.
(11) 問 題 B-6. 60pt. (1) 正の整数 n に対し,. n ∑. cot2. k=1. ただし，ここで cot θ =. (2) 正の整数 n に対し,. k π を求めよ． 2n + 1. 1 である． tan θ n ∑ k=1. cot4. k π を求めよ． 2n + 1.
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