2016年度 筑波大・理系数学

2016 筑波大学（理系）前期日程 問題 －1－ １ 解答解説のページへ k を実数とする。xy 平面の曲線 2 1: C y=x とC2:y= -x2+2kx+ -1 k2が異なる共 有点P, Q をもつとする。ただし点 P, Q の x 座標は正であるとする。また, 原点を O とする。 (1) k のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) k が(1)の範囲を動くとき, △OPQ の重心 G の軌跡を求めよ。 (3) △OPQ の面積を S とするとき, _{S を k を用いて表せ。} 2 (4) k が(1)の範囲を動くとする。△OPQ の面積が最大となるような k の値と, その ときの重心G の座標を求めよ。

2016 筑波大学（理系）前期日程 問題 －2－ ２ 解答解説のページへ xy 平 面 の 直 線 y=( tan2 ) x を l と す る 。 た だ し 0 4   < < とする。図で示すように, 円C , 1 C を以下の(i)～2 (iv)で定める。 (i) 円C は直線 l および x 軸の正の部分と接する。 1 (ii) 円C の中心は第 1 象限にあり, 原点 O から中心ま1 での距離d は1 sin2である。 (iii) 円C は直線 l,2 x 軸の正の部分, および円C と接す1 る。 (iv) 円C の中心は第 1 象限にあり, 原点 O から中心までの距離2 d は2 d1>d2を 満たす。 円C と円1 C の共通接線のうち, x 軸, 直線 l と異なる直線を m とし, 直線 m と直2 線l, x 軸との交点をそれぞれ P, Q とする。 (1) 円C , 1 C の半径を2 sin , cos を用いて表せ。 (2) が0< < ₄の範囲を動くとき, 線分 PQ の長さの最大値を求めよ。 (3) (2)の最大値を与えるについて直線m の方程式を求めよ。 y O P Q m l x C C

2016 筑波大学（理系）前期日程 問題 －3－ ３ 解答解説のページへ 四 面 体 OABC に お い て , OA=a , OB b= , OC=c と お く 。 こ の と き 等 式 1 a b b c⋅ = ⋅ = ⋅ =c a       が成り立つとする。t は実数の定数で, 0< < を満たすとする。t 1 線分OA を : 1t - に内分する点をt P とし, 線分 BC を : 1t - に内分する点をt Q とす る。また, 線分 PQ の中点を M とする。 (1) OMをa, b, cとt を用いて表せ。 (2) 線分 OM と線分 BM の長さが等しいとき, 線分 OB の長さを求めよ。 (3) 4 点 O, A, B, C が点 M を中心とする同一球面上にあるとする。このとき, OAB △ と△OCBは合同であることを示せ。

2016 筑波大学（理系）前期日程 問題 －4－ ４ 解答解説のページへ 関数_f( ) 2_{x = xe}-x _{(x≧ について次の問いに答えよ。 0 )} (1) f¢( ) 0a = , ( )f¢¢ b =0を満たす a, b を求め, ( )y= f x のグラフの概形を描け。 ただし, lim x 0 x xe -¥ = であることは証明なしで用いてよい。 (2) 0k≧ のとき 2 0 ( ) k x V k ₌ xe- dx

ò

をk を用いて表せ。 (3) (1)で求めた a, b に対して曲線y= f( )x とx 軸および 2 直線x=a, x= で囲まb れた図形をx 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ。

2016 筑波大学（理系）前期日程 問題 －5－ ５ 解答解説のページへ △PQR において RPQ =, PQR 2   = とす る。点Pn (n =1, 2, 3,  を次で定める。 ) 1 P =P, P2=Q, P Pn n+2=P Pn n+1 ただし, 点Pn+2は線分P Rn 上にあるものとする。 実 数_n (n =1, 2, 3,  を) , n = P P Pn+1 n n+2 ( 0<n <)で定める。 (1) 2, 3をを用いて表せ。 (2) n+1+₂n (n =1, 2, 3,  は) n によらない定数であることを示せ。 (3) lim n n¥ を求めよ。 1  2  3  4  5  1 P=P 2 Q=P 3 P 4 P 5 P 6 P R

2016 筑波大学（理系）前期日程 問題 －6－ ６ 解答解説のページへ 複素数平面上を動く点z を考える。次の問いに答えよ。 (1) 等式 z- =1 z+ を満たす点1 z の全体は虚軸であることを示せ。 (2) 点 z が原点を除いた虚軸上を動くとき, w z 1 z + = が描く図形は直線から 1 点を 除いたものとなる。この図形を描け。 (3) a を正の実数とする。点 z が虚軸上を動くとき, w= _{z a}z+1 - が描く図形は円から1 点を除いたものとなる。この円の中心と半径を求めよ。

2016 筑波大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2016 －1－ １ 問題のページへ (1) 2 1: C y=x ……①, 2 2 2 : 2 1 C y= -x + kx+ -k ……② を連立して, _x2_{= -x}2_{+2kx+ -1 k}2_から, 2 2 2x -2kx k+ - = ………③ 1 0 条件より, ③は異なる正の解をもち, それをx=p q, とおくと, 2 2 4 2( 1) 0 D =k - k - > ………④ 0 p q+ = > ……⑤, k 2 1 0 2 k pq= - > ……⑥ ④よりk - < となり, 2 2 0 - 2< <k 2……④¢, ⑥よりk< -1, 1< ……k ⑥¢ したがって, ④¢⑤⑥¢から, 1< <k 2 (2) _{P( ,p p ,} 2_{) Q( ,q q とおくと, △OPQ の重心 G( ,}2_{) x y は, )} 1 (₃ ) x= p q+ ………⑦, 1 ( 2 2₎ 3 y= p +q 1 {( ₎2 _{2 }} 3 p q pq = + - ………⑧ ⑤⑥を代入すると, 3 k x = , 1_{ 2 ₍ 2 _{1) }} 1 3 3 y= k - k - = よって, (1)から, G の軌跡は線分 1 3 y =

(

1₃< <x ₃2

)

となる。 (3) △OPQ の面積 S は, 1 2 2 1 2 2 S= pq -p q = pq q p- となり, ⑤⑥から, 2 1 2 2_{( )}2 4 S = p q q p- 1 ( ) {(2 )2 4 } 4 pq p q pq = + -2 2 2 2 ( 1) 1 _{{ 2( 1) }} 4 4 k - _{k k} = ⋅ - - 1 ( 2 _{1) (}2 2 ₂₎ 16 k k = - - -(4) _t=k2_{とおくと, (1)から1< < となり, このときt 2 S}2_{= f( )t とすると,} 2 1 ( ) ( 1) ( 2) 16 t = - t- t -f 1 ( 3 ₄ 2 _{5 2)} 16 t t t = - - + -2 1 ( ) (3 8t 5) 16 t t ¢ = - - + f 1 (3 5)( 1) 16 t t = - - -これより, ( )f t の増減は右表のようになり, 2 _{( )} S = f t は 5 3 t = のとき最大値をとる。 すなわち, △OPQ の面積 S は, k = 5₃ = 15₃ のとき最大となり, このとき(2) からG

(

15 1₉ , ₃

)

である。

［解 説］

放物線を題材にした微分と最大・最小に関する典型題です。 t 1 … 5₃ … 2 ( )t ¢ f _{0 ＋ 0 －} ( )t f   O x y P Q p q

2016 筑波大学（理系）前期日程 解答解説

© 電送数学舎 2016 －2－

２ 問題のページへ

(1) 円C , 1 C の半径を, それぞれ2 r , 1 r とする。 2 すると, d1=sin2 =2sin cos から,

2 1 1sin 2sin cos

r =d  =  

また, r2=d2sin , d1-d2= + から, r1 r2 2

2 2

2sin cos -d =2sin cos +d sin

2

(1 sin )+  d =2sin cos (1 sin )  -  よって, d2= 2sin cos (1 sin )_{1 sin+} _-  となり,

2

2 2sin cos (1 sin )_{1 sin}

r     -= + (2) 円C と1 C の接点を T とおくと, OT2 ^PQから, 1 1

PQ=2OTtan =2(d -r)tan =2( 2sin cos -2sin cos )tan2   4sin cos (1 sin )tan=   -   =4sin (1 sin )2 - 

ここで, sint=  とおくと, 0 4   < < から0 2 2 t < < となり, PQ= f( )t として, 2 2 3 ( )t =4 (1t - =t) 4t -4t f 2 ( ) 8t t 12t 4 ( 2 3 )t t ¢ = - = -f すると, ( )f t の増減は右表のようになり, PQ の最大値は f

( )

2₃ = ⋅ ⋅ =4 4 1_{9 3} 16₂₇である。 (3) (2)から, sin=2₃よりcos 5 3  = となり, このとき直線 m の傾きは,

(

)

cos 5 tan  _{2 sin} ₂  + = - = -また, PQ 16 27 = からTQ 8 27 = となり, OQ TQ sin = 8 3 4 27 2 9 = ⋅ = から点 Q の座標 はQ

(

4₉, 0

)

である。すると, 直線 m の方程式は,

(

)

5 4 2 9 y= - x- 5 2 5 2 x 9 = - +

［解 説］

円と接線の関係をもとに, 微分を利用して最大・最小へと繋ぐ問題です。問題文に 参考図が書かれているため, 解きやすくなっています。 t 0 … ₃2 … ₂2 ( )t ¢ f _{＋ 0 －} ( )t f   y O P Q m l x r1 r T

2016 筑波大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2016 －3－ ３ 問題のページへ (1) OP : PA=t: 1-t, BQ : QC=t: 1-t, PM=QMより, 1 1 OM OP OQ 2 2 = +    ₁ 2ta -2tb 2tc = + +  (2) BM=OM OB- 1 2ta +2tb 2tc = - +  さて, AC の中点を D とすると, OD 1 1 2a 2c = +    から, OM OD 1 2t t - b = + , BM OD 1 2t t + b = -  ここで, 条件から OM = BM なので, OD 1 2 OD 1 2 2t 2t t+ - b = t- + b となり, 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 )OD (1 )OD 4 4 t t t -t  ⋅ +b - b = -t +t  ⋅ +b + b すると, 2 ODt ⋅ =b t b 2から, b 2=2OD ⋅ =b (a c b+ )⋅ よって, 条件a b b c ⋅ = ⋅ = ⋅ =  c a  1より, b = 1 1+ = 2 (3) (2)と同様にして, CM=OM OC- 1 2 2ta -2tb t-2 c = + +  さて, BA を : 1t - に内分する点をt E とすると, OE=ta+ -(1 t b)から, OM 1 OE 2 2t c = + , CM 1 OE 2 2 t-2 c = +  ここで, 条件から OM = CM なので, 1OE 2 1OE 2 2 2 +2tc = 2 +t-2 c     となり, 2 2 2 2 2 OEt ⋅ +c t c =2(t-2)OE ⋅ + -c (t 2) c すると, c 2=₁1_tOE⋅ =c ₁1_t{ta+ -(1 t b c) }⋅ - -      ₁ 1 t = - となり, c = 1-1t  同様に, AM=OM OA- 2 1 2 2 2 t- _a -t_b t_c = + + となり, 条件から OM = AM より, 1OQ 2 1OQ 2 2 2 +2ta = 2 +t-2 a     なので, 2 1 _OQ 1 _{{(1 ) }} 1 1 a = _t ⋅ =a _t -t b tc a+ ⋅ - -      ₁ 1 t = - , a = 1-1t  そこで, OAB△ と△OCBにおいて, OA=OC 1 1 t = - , OB= 2(共通) さらに, a b b c ⋅ = ⋅ =  1から, 2 cos AOB 2 cos COB

1-t  = 1-t  から,

cos AOB =cos COB , AOB= COB よって, △OABと△OCBは合同である。

［解 説］

空間ベクトルの四面体への応用問題です。量的にやや多いので, (2)(3)で, ベクトル の置換えを行っています。 O A B C P Q M

2016 筑波大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2016 －4－ ４ 問題のページへ (1) _f( ) 2_{x = xe}-x _{(x≧ に対して, 0 ) ( ) 2} 1 1 ₂ 2 x x x e xe x - -¢ = ⋅ ⋅ -f 1 2x e x x -= ( )x ¢¢ f 2 x (1 2 ) ( 2x x) 1_e x 1 2x_e x x _x -- -- - - ⋅ -= - 4 2 4 1 2 x x x _e x x -- -= ( ) 0a ¢ = f , ( ) 0f¢¢ b = から, 1 2 a = , 1 2 2 b= + そして, ( )f x の増減, 凹凸 は右表のようになる。 また, ( )y= f x のグラフの 概形は右下図の通りである。 (2) 2 0 ( ) k x V k ₌ xe- dx

ò

2 2 0 ₀ 1 1 2 2 k k x x xe- e- dx é ù = -_{êë úû} +

ò

2 2 0 1 1 2 4 k k x ke- _ée- _ù = - _{- êë úû} 2 2 1 1 1 2ke- k 4e- k 4 = - - + 2 1_{( 2 1)} 1 4 k e k 4 -= - + + (3) 曲線y= f( )x とx 軸および 2 直線 x=a, x= で囲まれた図形をb x 軸のまわり に1 回転してできる回転体の体積を V とすると, 2 4 b x a V ₌ xe- dx

ò

2 2 0 0 4_ b_xe- x_dx 4_ a_xe- x_dx =

ò

-

ò

=4 { ( ) V b -V a( ) } ここで, (1)から, 1 2 a = , 1 2 2 b= + なので,

{

1 (1 2 ) 1 1 1 1

}

4 ( 2 2 ) 2 4 4 4 4 V ₌  _{- +} e- + _{+ + ⋅} e- _-

(

)

1 2 2 2 2 e e+  + = - +

［解 説］

微分法を利用してグラフの概形をかき, 積分法を利用して回転体の体積を求めると いう基本的な知識の確認問題です。 x 0 … 1₂ … 1+₂ 2 … ∞ ( )x ¢ f _{＋ 0 － －} ( )x ¢¢ f － － 0 ＋ ( )x f ₀ 2_{e 0} O _x y 1 2 2 + 1 2 2 e

2016 筑波大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2016 －5－ ５ 問題のページへ (1) 右図より1= なので,  2 =₂- -₂ 1 =₂ 1 2 1 2 3  ₂  ₂  ₂  = - - - - = + 3 2 4 4   _ = + = (2) 1 2 2 n 2n n     + _{ } + -- _{+ + = より,} 1 2 n_{2 2}n n    + + = + すると, 1 1 1 2 n₂ n_{2 2}n n₂ 1 ₂n n     n   + + +  + + = + + = + + となるので, 1 1 ₂n 2 _{2 2 2} n      + + = + = + = ………(＊)  (3) (＊)より, n+1= -₂n + となり,  n+1-2₃= -1₂

(

n-₃2

)

と変形すると,

(

)(

)

1

(

)

1 1 2 2 1 1 3 3 2 3 2 n n n   -  =  -  - - = - - ,

(

1

)

1 2 3 2 3 n n   = - - +  よって, lim n n¥

{ (

)

}

1 1 2 lim 3 2 3 n n  - _ ¥ = - + 2 3 =

［解 説］

図形がらみの数列の問題では, 問題文に参考図が書いてあるかどうかで, 難易がか なり違ってきます。本問でも, 図を書くところから始めると, かなり時間を費やすの ではないかと思えます。また, 隣接 3 項間型の漸化式の変形についても, 誘導を(2)の 設問にするほど丁寧です。 1  2  3  4  5  1 P=P 2 Q=P 3 P 4 P 5 P 6 P R

2016 筑波大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2016 －6－ ６ 問題のページへ (1) z- =1 z+ ……①に対して, 左辺は点 z と点 1 との距離, 右辺は点 z と点 11 -との距離を表す。 これより, ①を満たす点 z の全体は, 点 1 と点 1- を結ぶ線分の垂直二等分線, す なわち虚軸となる。 (2) w z 1 z + = (z ¹0)より, 1wz= + となり, (z w-1)z= ………② 1 ここで, 1w = とすると②は成立しないので, 1w ¹ で 1 1 z w = - ………③ ③を①に代入すると, 1 1 1 1 1 1 w- - = w- + となり, 2w--w1 = ww-1 から, 2 1 1 w w w w -= - - , 2 w- = w すると, 点 z が原点を除いた虚軸上を動くとき, 点 w は点 2 と点 0 を結ぶ線分の垂直二等分線, すなわち点 1 を通り実軸 に垂直な直線上を動く。ただしw ¹ から点 1 は除く。 1 図示すると, 右図のようになる。 (3) a > で0 w z 1 z a+ = - より, (w z a- )= + となり, (z 1 w-1)z=aw+ ………④ 1 ここで, 1w = とすると④は成立しないので, 1w ¹ で 1 1 aw z w + = - ………⑤ ⑤を①に代入すると, 1 1 1 1 1 1 aw aw w-+ - = w-+ + となり, ( 1) 2 ( 1) 1 1 a w a w w w - + + = - - , (a-1)w+2 = (a+1)w 両辺を2 乗して, _(a-1)w+22 _=(a+1)2 _w 2_より, 2 {(a-1)w+2 }{(a-1)w+2 } (= a+1) ww 4aww-2(a-1)w-2(a-1)w=4, 1 1 1 2 2 a a ww w w a a a - -- - = ………⑥ ⑥より,

(

1

)(

1

)

1 ( 1)₂ 2 2 2 ₄ a a a w w a a a _a -- -- - = + となり, 2 2 2 ( 1) 1 2 ₄ a a w a _a + -- = , 1 1 2 a2 a w a +a -- = よって, 点 z が虚軸上を動くとき, 点 w は中心 1 2 a a - で半径 1 2 a a + の円を描く。た だし, 1w ¹ から点 1 は除く。

［解 説］

複素数平面上の変換を問う問題です。(1)において, まず①を変形して, z z+ = と0 いう関係を導き, この式をもとに(2), (3)を解くという方法もあります。 1 y x O