５．１階の線形微分方程式 dy dx + P (x)y = Q(x) (1) を１階の線形微分方程式といい，この形の方程式が今後重要になります．これは dy dx = −P (x)y + Q(x) と書くと，正規形であることは分かりますが，変数分離形ではありません．しかし，P (x), Q(x) を定数と見立てると，y および dy dx について１次式になっていることに注意してください． Q(x) ≡ 0 の場合は 同次 homogeneous の線形微分方程式と呼ばれ，これは， dy dx = −P (x)y であるから変数分離形になります．したがって， Z 1 ydy = − Z P (x) dx log |y| = − Z P (x) dx + C y = C0exp{− Z P (x) dx} = C0e−RP (x) dx として解くことができます． 事実 5.1 同次の線形微分方程式 dy dx+ P (x)y = 0 (2) の一般解は y = C exp{− Z P (x) dx} = Ce−RP (x) dx (3) である．とくに， dy dx − αy = 0 (αは定数) (4) の一般解は y = Ceαx (5)
である． Q(x) 6= 0 の場合，(1) 式の線形微分方程式を非同次 inhomogeneous であるといいま すが，これは変数分離形ではありませんし，このままでは変数変換によってもできません． しかし，この形の場合もいくつか解法が知れれています．P (x) が定数 α になっている形 の方程式 dy dx + αy = Q(x) を（１階の）定数係数の線形微分方程式という．(1.23) 式も定数係数の線形微分方程式で ある．まずこの定数係数の場合を解いてみよう． 事実 5.2 α を定数とする．１階の定数係数の線形微分方程式 dy dx − αy = Q(x) (6) の一般解は y = eαx µZ e−αxQ(x) dx + C ¶ (7) = Ceαx + eαx Z e−αxQ(x) dx である1 ． 証明 y = eαx(e−αxy) と書けるから積の微分公式により， dy dx = d dx{e αx(e−αxy)} = αeαx(e−αxy) + eαx d dx{e −αxy} = αy + eαx d dx{e −αxy} したがって，(6) 式は eαx d dx{e −αxy} = Q(x) d dx{e −αxy} = e−αxQ(x) と変形される．両辺を x で積分すると， e−αxy = Z e−αxQ(x) dx + C 1 y の係数を α ではなく −α としたのは後の話の都合のためで α でもよい．
すなわち， y = eαx µZ e−αxQ(x) dx + C ¶ = Ceαx + eαx Z e−αxQ(x) dx となる． 2 上の公式を用いて線形の微分方程式を解いてみよう． 例 5.1 dy dx − 2y = x にたいして (7) 式を適用すると， y = Ce2x+ e2x Z xe−2xdx . ここで部分積分法2 を用いると，右辺の積分は Z xe−2xdx = Z x ½ −1 2e −2x ¾0 dx = − Z {x}0 µ −1 2e −2x ¶ dx + x µ −1 2e −2x ¶ = 1 2 Z e−2xdx −x 2e −2x = −1 4e −2x−x 2e −2x = −1 4e −2x(1 + 2x) . したがって， y = Ce2x+ e2x µ −1 4e −2x(1 + 2x) ¶ = Ce2x− 1 + 2x 4 . 2 2‘ 水本久夫，微分積分学の基礎–改訂版，培風館，pp.116-120. ’
(7) 式の任意定数 C を０とした解は y = eαx Z e−αxQ(x) dx になりますが，これを 1 D − αQ(x) = e αx Z e−αxQ(x) dx (8) と書く方法があります．この表記は１階の定数係数の非同次の線形微分方程式 (6) の特殊 解をあらわすものですが，後に高階の線形微分方程式を解くときにこの表記法が使われま す．α = 0 の場合は 1 DQ(x) = Z Q(x) dx (9) となり，1 D は不定積分という演算を表していることになります． また， Ceαx は，(6) 式の右辺の関数 Q(x) を恒等的に０にした同次の場合の一般解である．したがって 解 (7) は， 非同次の一般解 = 同次の一般解 + 非同次の特殊解 という形になっていることに注意してください． 問 5.1 つぎの線形微分方程式を解きなさい． (1) dy dx+ 2y = 0 (2) dy dx − 3y = x (3) dy dx− 2y = e x (4) dy dx + y = x 2 (5) dy dx+ 2y = sin x (6) dy dx − 2y = cos x 事実 5.2 の証明における解法は P (x) が定数ではない変数係数の場合 dy dx + P (x)y = Q(x) にもそのまま通用する．
事実 5.3 １階の線形微分方程式 dy dx + P (x)y = Q(x) (10) の一般解は y = e−RP (x)dx ½Z eRP (x)dxQ(x) dx + C ¾ (11) = Ce−RP (x)dx+ e−RP (x)dx Z eRP (x)dxQ(x) dx であり3 ， e−RP (x)dx Z eRP (x)dxQ(x) dx は (10) の特殊解である． 証明 dy dx = d dx{e −RP (x)dx(eRP (x)dxy)} = −P (x)e−RP (x)dx(eRP (x)dxy) + e−RP (x)dx d dx{e R P (x)dxy} = −P (x)y + e−RP (x)dx d dx{e R P (x)dxy} (10) 式にこれを代入すると， e−RP (x)dx d dx{e R P (x)dxy} = Q(x) したがって， d dx{e R P (x)dxy} = eRP (x)dxQ(x) 両辺を x で積分して， eRP (x)dxy = Z eRP (x)dxQ(x) dx + C これより， y = e−RP (x)dx ½Z eRP (x)dxQ(x) dx + C ¾ = Ce−RP (x)dx+ e−RP (x)dx Z eRP (x)dxQ(x) dx. 2 3 もちろん Q(x) = 0 の場合は (7) 式と一致する．
結局は上の証明方法と同じことですが，定数変化法 と呼ばれる証明法があり，応用範囲 の広い方法です4 ．また， e R P (x)dx と e−RP (x)dx とはたがいに逆数の関数であるように取 ります．つまり不定積分 R P (x)dx は同じ関数としてとります． 例 5.2 xdy dx + y = 4x(1 + x 2) を解いてみる． 解 両辺を x で割ると， dy dx+ y x = 4(1 + x 2) となり，P (x) = 1 x, Q(x) = 4(1 + x 2) である． Z 1 xdx = log |x| であるから，elog 2= 2 に注意すると， e−RP (x)dx = e− log |x|= elog |x|−1 = 1 |x|, eRP (x)dx = |x| . したがって (11) 式より， y = C |x|+ 1 |x| Z 4|x|(1 + x2) dx = C x + 1 x Z 4x(1 + x2) dx = C x + 1 x(2x 2+ x4) = C x + 2x + x 3. 2 上式の 1 |x| の x と積分の内部の 4|x|(1 + x 2) の x は同符号であると考えられます．x = 0 において対象となっている関数の微分可能性がくずれ，関数の微分可能性がくずれたらそ こを境に別の関数としてあつかわれるからです．したがって，絶対値をはずして計算して いっても負の場合も扱われているとの了解のもとで正しい結果を導き出すことができます． 4 例えば‘ 古屋茂，新版微分方程式入門，サイエンス社，p.27 ’を参照．
問 5.2 つぎの線形微分方程式を事実 5.3 の (11) 式を用いて解きなさい． (1) xdy dx + (1 + x)y = e x (2) xdy dx + y = x log x (3) dy dx + 2y tan x = sin x (4) dy
dxsin x cos x + y = 2 tan x (5) (1 + x2)dy dx = 2(1 − xy) (6) x 2y + y + 1 + (x + x3)dy dx = 0 事実 5.4 ２つの関数 y1(x), y2(x) がそれぞれ同次の線形方程式 dy dx+ P (x)y = 0 の解のとき，その１次結合 c1y1(x) + c2y2(x) (c1, c2は任意の定数) もこの同次の方程式の解になる． すなわち，同次の場合は複数の解をそのまま加えていっても解になります．これを 重ね 合わせの原理 といいます． 証明 d dx{c1y1+ c2y2} = c1 dy1 dx + c2 dy2 dx = c1(−P (x)y1) + c2(−P (x)y2) = −P (x)(c1y1+ c2y2) すなわち， d dx{c1y1+ c2y2} + P (x)(c1y1+ c2y2) = 0 であるから c1y1+ c2y2 も解である． 2 また， y1(x), y2(x) が非同次の線形微分方程式 dy dx + P (x)y = Q(x) の２つの特殊解のとき， d dx{y2− y1} + P (x)(y2− y1) = µ dy2 dx + P (x)y2 ¶ − µ dy1 dx + P (x)y1 ¶ = Q(x) − Q(x) = 0
であるから，y2− y1 は同次の場合の特殊解になる．したがって， y2(x) − y1(x) = C0e− R P (x)dx よって， y2(x) = y1(x) + C0e− R P (x)dx となり，これから事実 5.3 の非同次の一般解においては，特殊解として何をとってきても 一般解に変わりのないことが分かります． 例 5.3 dy dx + y x = x 2y3 この方程式は y については３次式であるから線形の微分方程式ではありません．しかし この形の方程式は，再び置き換えによって線形の微分方程式に変形できます． z = y1−3= y−2 とおくと， dz dx = −2y −3dy dx. 与えられた方程式の両辺に −2y−3 をかけると， −2y−3dy dx − 2y −3y x = −2y −3x2y3, したがって， dz dx − 2 xz = −2x 2 となり，これは z に関する微分方程式として線形である．よって事実 5.3 の (11) 式より， z = eR 2xdx µ −2 Z x2e−R 2xdxdx + C ¶ = x2 µ −2 Z x2x−2dx + C ¶ = x2(−2x + C) = −2x3+ Cx2. z = y−2 であるから， −2x3y2+ cx2y2 = 1 . 2
事実 5.5 dy dx + P (x)y = Q(x)y α (α 6= 0, 1) (12) は線形微分方程式ではないが，z = y1−α と置き換えることにより線形の微分方程式に変形 される． (12) 式の形の微分方程式は ベルヌーイ Bernoulli の微分方程式とよばれます． 証明 z = y1−α の両辺を x で微分すると， dz dx = (1 − α)y −αdy dx. (1 − α)y−α を (12) 式の両辺にかけると， (1 − α)y−αdy dx + (1 − α)P (x)y 1−α = (1 − α)Q(x) . したがって，(12) 式は dz dx + (1 − α)P (x)z = (1 − α)Q(x) となり，これは未知の関数 z にたいする線形の微分方程式です． 2 問題 5.3 つぎのベルヌーイの微分方程式を解きなさい． (1) 3dy dx+ xy = x y2 (2) x 2dy dx − xy + y 2 = 0 (3) x3dy dx = x 2y − y4cos x (4) dy dx = x 2y6− y x 線形の微分方程式は特殊解をどんな方法でもよいから１つ見つけてしまえば，全体（一 般解）が分かるという構造になっていることに着目してほしい．それはつぎのような微分 方程式にたいしてもいえます．
事実 5.6 つぎの微分方程式 dy dx = f (x) + g(x)y + h(x)y 2 (13) は，少なくとも１つの特殊解が分かれば一般解を求めることができる5 ． この方程式 (13) は リカッチ Riccati の微分方程式と呼ばれます． 証明 y = ϕ(x) が (13) の１つの解であるとする．すなわち， ϕ0(x) = f (x) + g(x)ϕ(x) + h(x){ϕ(x)}2. このとき， u = y − ϕ(x) とおき，この両辺を x で微分すると， du dx = dy dx − ϕ 0(x) = dy dx − ¡ f (x) + g(x)ϕ(x) + h(x){ϕ(x)}2¢ = f (x) + g(x)y + h(x)y2−¡f (x) + g(x)ϕ(x) + h(x){ϕ(x)}2¢ = g(x)(y − ϕ(x)) + h(x)(y2− {ϕ(x)}2)
= g(x)(y − ϕ(x)) + h(x)(y − ϕ(x))(y + ϕ(x)) = g(x)u + h(x)u(u + 2ϕ(x)) すなわち， du dx − (g(x) + 2h(x)ϕ(x))u = h(x)u 2. これは，ベルヌーイ型の微分方程式 (12) の α = 2 の場合であるから，z = u−1 とおけ ば，通常の線形微分方程式に変形される． 2 例 5.4 微分方程式 xdy dx − y + 2y 2 = 2x2 は， dy dx = 2x + y x− 2y2 x 5 (13) 式は h(x) ≡ 0 ならば線形，f(x) ≡ 0 ならばベルヌーイ型であることに注意．
であるから，f (x) = 2x, g(x) = 1 x, h(x) = − 2 x として (13) 式のリカッチ型である． また，y = x はこの方程式の解の１つである．したがって， u = y − x とおくと， du dx + µ 4 − 1 x ¶ u = −2 xu 2 となり，ベルヌーイ型に帰着される．であるから，z = u−1 とおけば， dz dx − µ 4 − 1 x ¶ z = 2 x の線形の微分方程式に帰着される． 2
