A Construction of Hybrid Adaptive Control System Using a Fixed Compensator Shiro MASUDA*, Hiroshi OKAMOTO** and Akira INOUE* In this paper, we propose

[

Vol.34, No.10, 1357/1365 (1998)

]

固 定 補 償 要 素 を用 い たハ イ ブ リ ッ ド適 応 制 御 系 の 一構 成 法

増

田

士

朗 ＊ ・岡

本

太 ＊＊・井

上

昭 ＊

A Construction

of Hybrid

Adaptive

Control

System

Using a Fixed

Compensator

Shiro MASUDA*, Hiroshi OKAMOTO** and Akira INOUE*

In this paper, we propose a new design scheme of hybrid adaptive control system using a fixed compensator for

single-input, single-output, continuous time invariant plant. In the proposed method, adaptive adjusting law can

be simplified because parameters are updated by using estimated error at arbitrary sampling instants.

Further-more, boundedness of all the signal in the closed system is proved. In general, the stability of adaptive systems

cannot be assured by only using sampled estimated error. However, in this paper, the difficulty is overcome by

utilizing the fixed Compensator. Finally, a simulation result is illustrated in order to ensure the effectiveness of

the proposed method.

Key Words:

hybrid adaptive control, fixed Compensator, stability

1. は じ め に ハ イ ブ リ ッ ド適 応 制 御 は,連 続 時 間 制 御 則 に 対 し,離 散 時 間 で パ ラ メ ー タの 調 整 を 行 う適 応 制 御 手 法 で あ る.こ の 手 法 で は,連 続 時 間 の 制 御 対 象 に 離 散 時 間 制 御 則 を 用 い た 場 合 に 起 こ る 不 安 定 零 点 の 誘 起 な ど の 問 題 点 が な く,さ ら に 間 欠 的 に パ ラ メ ー タ を 更 新 す る の で,計 算 負 荷 の 減 少 が 期 待 で き る1)∼4).こ の よ うな ハ イ ブ リ ッド 適 応 調 整 則 と し て,こ れ ま でElliottの 手 法1),鈴 木 ら の 手 法2),Narendraの 手 法3), 板 宮 の 手 法4)が あ る. Elliottの 手 法1)や 鈴 木 らの 手 法2)で は,離 散 時 間 適 応 制 御 で 用 い られ て い る 適 応 調 整 則 を直 接 適 用 で き る の で,適 応 更 新 に は 適 応 更 新 時 刻 に お け る 入 出 力 信 号 の サ ンプ ル 値 を用 い る だ け で よい.し か し,Elliottの 手 法 で は,ラ ン ダ ムサ ンプ リ ン グ を用 い る 必 要 が あ る た め 制 御 系 の 実 現 が 困 難 で あ り1), ま た鈴 木 らの 手 法 で は,あ る 周 波 数 帯 域 以 上 の ゲ イ ン を零 に す る理 想 フ ィル タ を 前 提 と して い る2).そ れ ら の 手 法 に対 し, ラ ン ダ ム サ ン プ リ ン グ や 理 想 フ ィル タ を 用 い ず に 安 定 性 を 保 証 し て い る 手 法 と して,Narendraの 手 法3)や 板 宮 ら の 手 法4)が あ る.Narendraの 手 法3)で は 推 定 誤 差 の 積 分 値 を用 い て 適 応 更 新 を行 い,板 宮 ら4)の 手 法 で は,積 分 型 評 価 で は な く正 規 化 され た 推 定 誤 差 の 最 大 値 を 評 価 関 数 と して ハ イ ブ リ ッ ド適 応 調 整 則 を導 出 し,適 応 調 整 に 必 要 な演 算 時 間 の 少 な い ハ イブ リ ッ ド適 応 制 御 系 を構 成 し て い る.Narendraの 手 法3)も 板 宮 らの 手 法4)も 大 域 的 安 定 性 の 証 明 が 行 わ れ,適 応 制 御 手 法 と し て 完 成 度 の 高 い も の で あ るが,適 応 更 新 時 刻 間 の 全 て の 時 刻 に お け る 信 号 値 を観 測 し,そ の 積 分 値 の 計 算 も し くは推 定 誤 差 の 最 大 値 の 計 算 を す る必 要 が あ る.す な わ ち,離 散 時 間 適 応 調 整 則 を 導 入 す る こ と に よ る 制 御 系 の 複 雑 化 の 緩 和 は,十 分 に は 達 成 さ れ て い な い と考 え ら れ る. そ こ で 本 論 文 で は,離 散 時 刻 で 得 られ る 推 定 誤 差 信 号 を 用 い て 適 応 更 新 す る ハ イ ブ リ ッ ド適 応 制 御 系 の 一 構 成 法 を 提 案 し,そ の 安 定 性 を証 明 す る.一 般 に は,離 散 時 刻 で得 られ る 推 定 誤 差 信 号 に よ っ て 適 応 更 新 を 行 う場 合 に は,離 散 時 刻 間 の 連 続 信 号 の 評 価 が で き な い た め,応 答 の劣 化 や 不 安 定 化 を 引 き起 こす.し た が っ て,本 論 文 で は追 従 特 性 や ロバ ス ト性 な どの 性 能 向 上 に 有 効 な 固 定 補 償 要 素 を組 み 合 わ せ る こ と に よ っ て,ハ イ ブ リ ッ ド適 応 制 御 系 の 安 定 化 を行 う.適 応 制 御 系 に 固 定 補 償 要 素 を導 入 す る研 究 は,こ れ まで 様 々 に行 わ れ て きた が5)∼10),近 年,固 定 補 償 要 素 に よ り効 果 的 な ハ イ ゲ イ ンフ ィ ー ドバ ッ ク を働 か せ る手 法 が 注 目 さ れ て い る7)∼10). 本 論 文 で は,こ の 固 定 補 償 要 素 の ハ イゲ イ ン効 果 に よ っ て 適 応 更 新 に利 用 して い な い 離 散 時 刻 間 の 連 続 信 号 の 影 響 を相 対 的 に小 さ く し,安 定 化 を実 現 す る. な お,本 論 文 で は 安 定 で プ ロ パ ー な有 理 関 数 全 体 をRH∞ で 表 す.ま た,任 意 の 信 号x:[0,∞)→Rn,任 意 の δ ≧0, t≧0に 対 し て,ノ ル ム ‖x‖δ,t2を次 式 で 定 義 す る. to

(1)

第35回 計 測 自 動 制 御 学 会 学 術 講 演 会 で 発 表(1996・7) 岡 山 大 学 工 学 部 岡 山 市 津 島 中3-1-1 日 本 電 信 電 話(株)東 京 都 港 区 港 南1-9-1

Faculty of Engineering, Okayama University, Okayama Nippon Telegraph and Telephone Co., Minato-ku, Tokyo (Received October 3, 1996)

(Revised February 19, 1998)

1358 T. SICE Vol.34 No.10 October 1998 ま た,Re[s]≧ 一 δ/2にお い て,解 析 的 な プ ロ パ な伝 達 関 数 に 対 し て,‖ ・‖δ∞は次 式 の よ う に定 義 され る もの とす る.

I'H(s)~~-IIH(s-b/2)II~

(2)

ま た,(・)T,￨・￨を そ れ ぞ れ,転 置,ベ ク トル の ユ ー ク リ ッ ド ノ ル ム を 表 わす も の とす る. 2. 問 題 設 定 本 論 文 で は,制 御 対 象 と して 次 の 連 続 時 間1入 出 力 線 形 時 不 変 系 を 考 え る.

pu(y(t)=sut

ps~

(3)

こ こ で,y(t),u(t)は そ れ ぞ れ 制 御 出 力,制 御 入 力 で あ る.ま た,αp[s]と βp[s]は 既 約 で あ り,αp[s]はm次 モ ニ ッ ク多 項 式,βp[s]はn次 モ ニ ッ ク 多 項 式 とす る.そ し て,制 御 対 象 に対 して 次 の 仮 定 を 設 け る. [A.1]βp[s]の 次 数nは 既 知. [A.2]αp[s]は 安 定 多 項 式. [A.3]gp=1と す る. [A.4]制 御 対 象 の相 対 次 数n*=n-mは 既 知. ま た,規 範 モ デ ル を次 式 の よ う に 与 え る. ym(t)=PM(s)r(t) (4) こ こ で,ym(t),r(t)は そ れ ぞ れ 規 範 モ デ ル 出 力,参 照 信 号 と す る.こ こ で,規 範 モ デ ル の 相 対 次 数 をn*Mと す る と き, [A.5]n*M≧n* が 成 立 す る と仮 定 す る. 制 御 目 的 は,制 御 対 象 と規 範 モ デ ル に 関 す る[A.1]∼[A.5] の 仮 定 が 成 立 す る と き,未 知 な制 御 対 象 に対 し て,内 部 信 号 の 有 界 性 を保 ち なが らプ ラ ン ト出 力y(t)を モ デ ル 出 力ym(t) に 追 従 させ る こ と で あ る.す な わ ち, limt→∞￨y(t)-ym(t)￨=0 (5)

を満足 す る ような制御則 を構 成す る こ とで ある.本 論 文 では,

この ような制御 系 を本論 文 で新 し く提 案 す るハ イブ リ ッド適

応 調 整則 に基 づ くハ イブ リッ ド適 応 制御 に よ って構 成 す る.

す なわ ち,可 調 整 パ ラ メー タを含 む連 続 時 間制 御 則 に対 し,

新 し く提 案 す るハ イブ リッド適 応調 整 則 に よって可 調整 パ ラ

メー タを離 散的 に更 新 し,制 御 目的 を達成 させ る.具 体 的 な

構成 法 につ い ては3章 で 示す.

3.

固 定 補 償 要 素 を用 い た ハ イブ リ ッ ド適 応 制 御

系 の 構 成

本 章で は,本 論 文 で提 案 す るハ イブ リッ ド適応 制御 系 を構

成 す る.提 案 す る制御 系 は,通 常 の適応 制御 系 に固定 補償 要

素 を含 ませ た もので あるが,そ の よ うな適応 制御 系 は,こ れ

まで様 々 に提 案 され て きてい る5)∼10).そ の中で,本 論 文 で

は,我 々に よって提 案 されてい る既約 分解 表現 に基づ く手法8)

を用 いて ハ イブ リッド適 応制 御系 を構 成 す る.こ の手 法 に よ

る と,固 定 補償 要素 の導出 が 自由パ ラ メー タを含 むEMM制

御 則 か ら直接 的 に拡 張 で きる とい う利 点 が ある.

そ れ で は,ま ず,次 式 の 制 御 パ ラ メ ー タ θ に線 形 な 表 現 に さ れ た 自由 パ ラ メ ー タ を含 むEMM制 御 則8)を 与 え る.

u(t=OWt+srt

(sY(t)ut+Wt

(6)

た だ し,βm[s]をn-m次 モ ニ ッ ク安 定 多 項 式,λ[s]をn-1 次 モ ニ ッ ク安 定 多 項 式 とす る.な お,λ[s]のi次 の 係 数 をλi と し, λ[s]=λn-2sn-2+…+λ0 と 表 さ れ る も の と す る.こ こで,K(s)は 仮 定[A.5]が 成 立 して い る こ と か ら,PM(s)=K(s)/βm[s],K(s)∈RH∞ を 満 足 す る よ う に選 ぶ こ とが で き る8).ま た,ω(t)は 次 式 で 与 え ら れ る 回 帰 ベ ク トル で あ る.

[][l

sy(t),...,asy(t)(7[l[l

な お,ω(t)の 各 成 分 をωi(t)と 記 述 し,ω(t)の ベ ク トル の 次 元2n-1をqと 記 す もの とす る.適 応 制 御 系 の 構 成 問 題 で は 制 御 対 象 は 未 知 な の で,制 御 パ ラ メ ー タ θ を可 調 整 パ ラ メ ー タ θ(t)に お き か え た 次 式 の 制 御 則 を 用 い る必 要 が あ る.

u(t)=-9(t)Tw(t)+K(s)r(t)

Q(s)y(t)-u(tet)w(t

(8

こ の θ(t)を 調 整 す る 適 応 調 整 を,ハ イ ブ リ ッ ド適 応 制 御 系 で は 離 散 時 間 で 行 う.す な わ ち,k回 目 の 適 応 更 新 時 刻 を tkと し,各 適 応 更 新 間 隔Tk(Δ=tk+1-tk)ご と に 制 御 パ ラ メ ー タ を 更 新 す る.本 論 文 で は こ の よ う な適 応 調 整 則 と して, 以 下 の もの を 新 し く提 案 す る. θ(t)=θk,tk≦t<tk+1 (9) θk+1=θk-γkε(tk)ζ(tk) (10) こ こで,第2フ ィ ル タ を 通 した 回 帰 ベ ク トル,制 御 入 力 を そ れ ぞ れζ(t),ν(t),推 定 誤 差 ε(t)を 次 の よ う に定 義 す る.

~(t)=1w(t),v(t)=1u(t)

(11)

6(tk)=9((tk)+v(tk)--y(tk)

(12)

ま た γk>0で あ り,設 計 パ ラ メ ー タ δ0>0は λ[s],βm[s] の す べ て の 根 に対 してRe[s]<-δ0/2と な る よ うに 選 ば れ て い る とす る.た だ し,各 適 応 更 新 間 隔Tkに お け る 適 応 ゲ イ ンγkの 選 び 方 に つ い て は 次 章 で 示 す. 適 応 調 整 の 方 法 と して は,参 考 文 献3)で は(10)式 の 第2 項 を時 刻tk-1か らtkま で 積 分 して お り,ま た,参 考 文 献4) で は 適 応 更 新 時 刻 間 の 推 定 誤 差 の 最 大 値 を 求 め て い た.そ れ に対 して 本 論 文 で は 時 刻tkの パ ラ メ ー タ の 値 の み を 用 い て い る た め,よ り簡 単 な 適 応 調 整 則 と な っ て い る.

計 測 自動制 御 学 会論 文 集 第34巻 第10号 1998年10月 1359

しか し,離 散時刻 で得 られ る推 定誤 差 のみ を用い た場合 に

は,離 散 時刻 間 の連 続信 号 の評 価 が で きない ため,一 般 には

安定 性 は成 立 しない.そ こで,以 下 の固定補償 要素 を用 いる.

Q(s)=m{S]*

(T>o)

(13)

こ の 固 定 補 償 要 素 は,参 考 文 献7)∼10)で 過 渡 応 答 を向 上 さ せ る た め に 用 い られ て い た もの で あ る.本 論 文 で は,こ の 固 定 補 償 要 素 を安 定 性 を 保 証 す る た め に 用 い る.具 体 的 な安 定 解 析 は 次 章 で 示 す. 以 上 の よ う な構 成 を と る こ と に よ っ て,理 論 的 な 安 定 性 の 保 証 を 確 保 し な が ら,適 応 調 整 に 必 要 な 計 算 量 は,参 考 文 献3),4)の 手 法 よ り少 な くな る.し か し,本 手 法 で は,連 続 時 間 の 第2フ ィル タ を通 し た 回 帰 ベ ク トル ζ(t)を計 算 す る 必 要 が あ る の で,参 考 文 献1),2)の 手 法 の よ う に 完 全 に サ ンプ ル 値 信 号 に よ って 適 応 更 新 を行 う と こ ろ まで は 至 って い ない. ま た,固 定 補 償 要 素 を用 い る の で,制 御 則 を 求 め る た め の 計 算 量 は 従 来 法 に 比 べ て 多 くな る と い う問 題 点 が あ る.こ の よ う に本 手 法 は,あ ら ゆ る 面 で 従 来 法 よ り制 御 系 の構 成 が 簡 単 に な っ て い る わ け で は な い が,ラ ンダ ム サ ンプ リ ング を 用 い る こ と な く,安 定 性 を 保 証 しな が ら,適 応 調 整 則 の 簡 単 化 を 固 定 補 償 要 素 を 用 い て 実 現 して い る と こ ろ に特 徴 が あ る. 4. 安 定 性 の 解 析 本 章 で は,3章 で 構 成 し た ハ イ ブ リ ッ ド 適 応 制 御 系 の安 定 性 の 解 析 を行 う.安 定 性 の 証 明 は,定 理1で 与 え る が,そ の た め の 準 備 と して,い くつ か の 補 題 を与 え る.な お,以 下 で は,制 御 パ ラ メ ー タ の 真 値 を θ*,制 御 パ ラ メ ー タ の 推 定 値 を θkと し,そ れ らの 偏 差 を φk=θk-θ*,φkの 変 化 量 を Δφk=φk+1-φkと す る.ま ず,(10)式 の 適 応 調 整 則 に よ っ て 推 定 さ れ る制 御 パ ラ メ ー タ θ(t)の 有 界 性 を示 す 補 題 か ら 与 え て い く. [補 題1] 任 意 の 時 刻kに つ い て,(10)式 の γkが

Yk1+I(t

_k)I2

(14)

の よ う に選 ば れ て い る と き,パ ラ メ ー タ 誤 差 φk,推 定 パ ラ メ リ タ θkに つ い て,次 式 が 成 立 す る. φk∈L∞,θ(t)∈L∞ (15) (証 明)正 定 値 関 数V(k)を 以 下 の よ う に定 め る. V(k)一1/2φTkφk (16) こ の と きVの 変 化 量 ΔV(k)は 次 の よ う に な る.

zW(k)=V(k+1)-V(k)

k+~p~

(17)

(10)式 よ り, Δ φk=-γkε(tk)ζ(tk) (18) で あ る か ら, ΔV(k)=-1/2γk[2φk-γkε(tk)ζ(tk)]Tε(tk)ζ(tk) (19) と な る.こ こ で ε(tk)=φTkζ(tk) (20) が 成 り 立 つ こ と に 注 意 す る と,

V(k)~-17kbk[2I-k((tk)C(tk)T]

~2

X~(tk)((tk)Tqk

~k/'2I-7kRkRkk

(21

と な る.た だ し, Rk=ζ(tk)ζ(tk)T (22) と お い た.こ の と き,(14)式 の よ う に γkが 選 ば れ て い る の で, 2I-γkRk>I (23) と な り,(21)式 は 2 と な る.よ っ てV(k)は リ ア プ ノ ブ 関 数 と な り,φkの 要 素 は 全 て 有 界 と な る.よ っ て,θ(t)の 要 素 も 全 て 有 界 で あ る. つ ぎ に,ハ イブ リッ ド適 応 調 整 則 を 用 い た と きのSwapping 補 題 を与 え る.同 種 の 補 題 は,参 考 文 献3)のLemma 1に 与 え ら れ て い るが,こ こで は,安 定 性 の 解 析 に用 い る た め に 連 続 時 間 適 応 調 整 の場 合 のSwapping補 題 と類 似 の 形 に な る よ う に導 出 して い る. [補 題2] φ:R+→R,ω:R+→Rn×1と し,φ は 区 分 的 定 数 で, φ(t)=φk,t∈[tk,tk+1) (25) と定 義 され る も の とす る.ま た,ス カ ラ ー 安 定 プ ロパ な伝 達 関 数H(s)∈RH∞ と し,そ の 最 小 実 現 を(A,b,h,d)と す る.こ の と き,t∈[tn,tn+1)に お い て,次 式 が 成 立 す る.

(26)

た だ し,Δ φk=φk+1-φkと す る. (証 明) t∈[tn,tn+1)に お い てH(s)[φ(t)Tω(t)]は,

1360 T. SICE Vol.34 No.10 October 1998

(27)

と な る.こ こ で,右 辺 第1項 は φ(t)TH(s)[ω(t)]に 等 し く, ま た 第2項 は

(28)

と な る.よ っ て,(26)式 が 成 立 す る. つ ぎに,補 題2で 与 え たSwapping補 _{題 を用 い て ,連 続 時} 間 適 応 調 整 に 与 え ら れ た 参 考 文 献10)のLemma 2.3を ハ イ ブ リ ッ ド適 応 調 整 の 場 合 に 拡 張 し てφ(t)Tω(t)の 信 号 の 別 表 現 を 与 え る.ハ イ ブ リ ッ ド適 応 調 整 の 場 合 に は,φ(t)の 微 分 が 存 在 し な い の で,φ(t)の 微 分 を使 わ な い 形 にす る必 要 が 生 じ る. [補 題3] φ(t)は,補 題2と 同 じ条 件 と す る が,H(s)は, 分 子 多 項 式 も安 定 な ス カ ラ ー 安 定 プ ロパ な 伝 達 関 数 と し,そ の 最 小 実 現 を(A,b,h,d)と す る.ま た,ω(t)は,(7)式 で 定 義 さ れ る 回 帰 ベ ク トル とす る.こ の と き,ω(t)は 微 分 可 能 と な り,t∈[tn,tn+1)に お い て,次 式 が 成 立 す る.

cb(t)Tw(t)=~b(t)TA1(s,a)[w(t)]SA1

+Ao(s,a)H(s)-'[~(t)TH(s)[w(t)]-Sx]

(29)

こ こ で,

sAl(s,a)=1-Ao(s,a),Ao(s,a)

(30(

s+a)

と し,n*は 伝 達 関数H(s)の 相 対 次 数 とす る.ま た,SHは (26)式 の 右 辺 第2項

(31)

で あ り,SΛ1はsΛ1(s,α)の 状 態 実 現(AΛ1,bΛ1,hΛ1,dΛ1) を 用 い て

(32)

と記 述 で き る. (証 明)(3)式,(7)式,仮 定[A.3]よ り,回 帰 ベ ク トルω(t) は,次 式 の よ う に あ ら わ され る.

(33)

こ こ で,λ[s]の 次 数 がn-1,αp[s]の 次 数 がmが βp[s]の 次 数nよ りも1以 上 小 さ い こ と に注 意 す る と,ω(t)の 各 成 分 の 伝 達 関 数 部 分 は 全 て 強 プ ロ パ に な る.し た が っ て,ω(t)が 微 分 可 能 で あ る こ とが 示 せ た. つ ぎ に,(29)式 が 成 立 す る こ と を 示 す.(26)式 に 左 か ら Λ0(s,a)H(s)-1を 作 用 さ せ る と,次 式 の よ う に な る. (左辺)=Λ0(s,α)H(s)-1H(s)[φ(t)Tω(t)] =Λ0(s,α)[φ(t)Tω(t)] =(1-sΛ1(s,α))[φ(t)Tω(t)] =φ(t)Tω(t)-sΛ1(s _{,α)[φ(t)Tω(t)] (34)} sΛ1(s,α)∈RH∞ で あ る の で,(34)式 の 右 辺 第2項 に 補 題2を 適 用 す る と,

(35)

と な る.よ っ て, (左 辺)=φ(t)Tω(t)-φ(t)TΛ1(s,α)[ω(t)]+SΛ1 (右 辺)=Λ0(s,α)H(s)-1[φ(t)TH(s)[ω(t)]-SH] と な る の で,次 式 が 得 ら れ る.

~b(t)TW(t)

=~(t)TA1(s,a)[W(t)]-SA1

+Ao(s,a)H(s)1[~(t)TH(s)[w(t)]-Sx](36)

□ つ ぎ に,回 帰 ベ ク トル ω(t)に 対 して,￨ω(t)￨お よ び ‖ω(t)‖δ の 評 価 式 を与 え る補 題 を導 出 す る.

計 測 自動 制御 学 会 論 文集 第34巻 第10号 1998年10月 1361 [補 題4] 仮 想 的 な信 号mf(t)を 次 式 で 定 義 す る. mf(t)=1+‖u‖+‖y‖ (37) こ の と き,回 帰 ベ ク トル ω(t)に 対 し て,￨ω(t)￨お よ び ‖ω(t)‖δ,t2 は,mf(t)を 用 い て

Iw(t)I<cmf(t)

(38

~Jw(t)JJ2't<cm1(

(39

の よ う に 評 価 さ れ る.こ こ で,cは,有 界 な 定 数 で あ る. (証 明) ω(t)が

w(t)=Hi(s)[u(t)y(t)]T+[00y(t)]T

(40

(41)

と表 さ れ る こ と を用 い る と,参 考 文 献10)の 補 題2.1よ り ￨ω(t)￨≦cmf(t)+￨y(t)￨ (42) が 示 せ る.ま た,y(t)が パ ラ メ ー タ 偏 差 ベ ク トル φ(t)を 用 い て

1-Q(s)twty(t)()()

PM(s)r(t)

(43

の よ う に表 現 で き る こ と,補 題1,参 考 文 献10)の 補 題2.1 を 用 い る と,

y(t)c{~~q5wII+c

cIIWI't+

(44

を 得 る.さ ら に,参 考 文 献10)の 補 題2.1と(40)式 よ り次 式 を 得 る. ‖ω ‖δ,t2≦cmf(t) (45) よ っ て,(42),(44),(45)式 よ り(38)式 の 成 立 が 示 せ る. ま た,(40),(41),(43)式 よ り

(46

が 導 け る.こ の と き,参 照 信 号r(t)の 有 界 性 お よ び(46)式 の 伝 達 関 数 部 分 は 安 定 プ ロパ で あ る こ と に 注 意 して,参 考 文 献10)の 補 題2.1を 用 い る と,

IIWII:;C(Ilull+11Y11+CIIW2,t

と評 価 で き る.さ ら に,(45)式 と補 題1よ り得 ら れ るφ(t)の 有 界 性 を用 い る と,mf(t)の 定 義 式(37)か ら(39)式 の 成 立 が 示 せ る. □ 最 後 に,Swapping補 題 にお い て,フ ィル タ の 順 序 を 交 換 した と き に 生 じ る誤 差 の 評 価 式 を与 え る 補 題 を 示 す. [補 題5] 0<δ<δ0と す る.こ の と き補 題2と 同 じ条 件 の も と で,あ る 正 定 数cが 存 在 し,次 式 が 成 立 す る.

JH(s)cbTW-~Hs)w11't~cImfzbJ'

47

(証 明) 補 題2よ り

(48)

とお く.以 下 で は￨SH￨の 評 価 を行 う.

(49)

こ こ で,

M(t+1)=[i3l(ti+i),...,rQq(ti+i)]

50

(tz+1)=eA(ti+1-P)bwj(p)dp

(51

と す る と,

(52

と な る.こ こ で,Aは 安 定 で あ る の で,あ る 正 定 数c,pが 存 在 して

(53

と な る.次 に,

i3(ti+1)I2<C2P(ti+1-p)mf(P)2dp

(54

を 示 す た め,ま ず(54)式 の 右 辺 を 下 か ら評 価 す る.kを 十 分

1362 T. SICE Vol.34 No.10 October 1998 小 さ な 正 数 と す る と,￨βj(ρ)￨2≦cmf(ρ)2よ り

(55)

た だ し,次 式 を用 い た.

(56)

こ こ で,

e-2P(ti+1-~~ja2

(57

e-2ptj+12peItj)el/3()

<2pe-i()I+e-2p(ti+1-~)Iai(~

こ の と き,￨/￨βj(σ)￨2￨は 次 の よ う に な る.

=I23(a)T3i(a)

<2I/3j(o)l-/3j(a)

((58

こ こ で,d/βj(σ)は

~j(~)=A~~(Q)+bw~(~

(59

で あ る の で,

j(a)<IA~j(a)I+Ibwj(a)I

c(I,3j(a)I+Iwj(ci

(60

と な る.一 方,(51)式 に お い て 参 考 文 献10)の 補 題2.1を 適 用 す る こ と に よ っ て, ￨βj(σ)￨≦cmf(σ) (61) が 得 ら れ,補 題4よ り, ￨ωj(σ)￨≦cmf(σ)+c (62) が 得 られ る こ とを 用 い る と,(57)式 の評 価 は 次 の よ う にな る.

[e^2p(ti+1-a)iQj(~)I2]

<2pe-2p(ti+1-a)Ii2~(~)

e-2p(ti+1-a)-2I/3(~)Ic(II3?()I+wi(a

ce-2p(ta+1-a)(2p+2c)Ii3(u)I2

+e-2t2+1-a)I~?(~)IIW~(a.)I

cce-2P(ti+1-a)mf(Q)2

+Ce-2p(ta+1-a)mf(7){mf(a)+c

ce-2P(ti+1-a)mf(Q)2+ce-2P(ti+1-aimf(Q) (63

mf(σ)≧1よ りmf(σ)≦mf(σ)2で あ る か ら 次 式 が 得 ら れ る.

Le-2p(ti+1-~)I~~I2'Ce-2p(t2+1-cY)?12

64

し た が っ て,(55)式 は

(65)

す な わち

(66)

と な る の で,

(67)

と な り,(54)式 が 示 せ る.こ れ よ り,(53)式 は 次 の よ う に な る.

(68)

こ こ で,Δ φ(σ)=Δ φi,ti≦ σ<ti+1に 注 意 す る と,

(69)

と な る.こ れ を 用 い て,‖SH‖ δ,t2の評 価 を 行 う.

IISHII2~t2_S(t-p))SH(P)I2

(70

で あ る か ら,(69)式 よ り右 辺 を展 開 す る と

ll'DH(I2,t

計 測 自動制 御 学 会論 文 集 第34巻 第10号 1998年10月 1363

(71)

と な る,こ こ で,仮 定 よ り δ<δ0な の で2p>δ で あ る. よ っ て,

(72)

が 成 立 す る.従 っ て,

(73)

と な り,(47)式 が 示 さ れ る. 以 上 の準 備 の も とで 提 案 す る ハ イブ リ ッ ド適 応 制 御 系 の 安 定 性 を証 明 す る. <<定理1>>プ _{ラ ン ト(3)に 適 応 調 整 則(10) ,制 御 則(8)を 用} い て 構 成 したMRACSに 対 して,任 意 の 適 応 更 新 間 隔Tkに 対 して 十 分 小 さ い 固 定 補 償 要 素 の パ ラ メ ー タ τ が 存 在 して, 閉 ル ー プ 系 の 全 信 号 は 有 界 性 が 成 立 す る. (証 明) ま ず,補 題4の(37)式 で 定 義 したmf(t)の 有 界 性 を 示 す. な お,以 下 の 議 論 の 中 で 次 式 で 定 義 され る φ(t)お よび Δ φ(t) を用 い る. φ(t)=φk,Δ φ(t)=Δ φk,t∈[tk,tk+1) (74) ま た,以 下 の 証 明 の 中 で 有 界 な 正 定 数 を全 て,cで 表 現 す る. (8)式 よ り,信 号u(t)は 次 の よ う に 表 さ れ る.

u(t)=-3{s]1-Q(s)tt~

m[S]ap[S]~ms

3p[s]

mCSK(s){r(t)]

(75

こ の と き,Wτ(s)を 次 の よ う に お き,(13)式 で 定 義 さ れ る Q(s)を 用 い る と,次 式 が 得 ら れ る.

WT(s)=1-Q(s)1~

m~sJ

_(Ts+1)n*1(

Ts+1)n*

Ts[(Ts+1)n*-1+(Ts+1)n*2+...+1]

(Ts+1)n*

=TsWiT(

(76

た だ し,

(77)(

TS+1)"

とす る.こ れ を用 い る と,(75)式,参 考 文 献10)の 補 題2.1 よ り次 の よ う に な る.

fp[s]W(s)luII

p[s~S,t+K(s)[r]

2

p[s]TWi

TssT

~)~~

p

fp[s]SS,t+(s)Ilrll

2

CTIIWIT(s)s[4'~W1II

(78)

こ こ で,補 題5を 用 い る と,

IIWi(s)s[PW

<II~TWiT(s)s[

+IIW1T(s)s[4TW]-~W1TssW

<cIIWII2't+cI)mfl0/ll

(79

と な る の で,(78)式 に 代 入 す る と,

IIuII2't<CTIItI2't+CTIImfI~~III2'

(80

と な る.ま た,補 題4の(43)式,参 考 文 献10)の 補 題2.1 よ り 8,t

IIyI2't<I1]WT(s)[cTW]+IIPM(s)[r]II2't~m[s

2

1aC

TsIIW1T(s)II~II~TWII2't+C

ii1m{8Jo0

:5;CTIIY'TWII

($1)

と な る の で,(80),(81)式 を補 題4の(37)式 に代 入 す る と,

m1(t)5;;CTIItlI2't+CTII~~~II2't

+cTllmflo~lll2'

(82)

が 成 立 す る.ま た,補 題3の(29)式 に お い て

H(s)=1

/3m{5]

an*

Ao(s'a)

_n*'a2(5+)m*

と す る と,

q5(t)Tw(t)=q5(t)TA1(s,a)[W(t)]--S~l

+Ao(s,om[s][q5(t)Tfi(t)-SH]

(83)

1364 T. SICE Vol.34 No.10 October 1998 が 成 立 す る.こ こで,補 題4,補 題5よ り

Il~TWll2't<c+Cm1(t)+canII~T~II

(c+can*)IlmfIz

II

(84)

が 成 立 す る.し た が っ て,(82)式 に 補 題4の(39)式,(84) 式 を代 入 す る と

mf(t)<TC+-m1(t)+CCYn*II~T~II2't

Cr

+(C+ccan*)IImfIzIII2't

+cTIlmfIo~IIIZ't+CTmf(t)+c

(85)

と な る.よ っ て, iCTa+1mt

C+caIIqII+C+Ca)Tm~

(86

が 成 立 す る.こ の と き,cτ(α+1)/α<1と な る よ う な 十 分 小 さ い τ と,十 分 大 きい α を 選 ぶ と

m1(t)~C+nn*TII~TCll2't+(C+Can*)TIImfIzcbII2't

cC+cfTmf

(c+can*)TIImfIO~II12't

(87

と な る.さ ら に,両 辺 を二 乗 してGronwall Lemma12)を 用 い る と 次 式 が 得 ら れ る. 1t<c+ce-~zeo(~dz

(88

た だ し

(~(t)(t+089(t)2=T

m(t)I(t)I2

で あ る.(11)式 にお い て が 安 定 で 真 に プ ロパ な伝 達 関 数 で あ る こ とか ら参 考 文 献10)の 補 題2.1よ り￨ζ(t)￨≦c‖ω‖ が 導 け る.よ っ て,(45)式 とφ(t)の 有 界 性 か ら

(~b(t)T~(t)

mf(t

は 有 界 と な る.ま た,補 題1よ り￨Δφ(t)￨2は 有 界 な の で,あ る 正 定 数c1に 対 して,十 分 小 さ い τ が 存 在 し Δ0(t)2<c1<δ (90) が 成 立 す る.従 っ て

~p(Q)2d~<C1(t-z

(91

と な る の で

mf(t)2<c+cea(t-z)QO(z)ec1(t-z)

c+cea-d1)(t-z)o(z)

(92

と な る.こ こ で,(90)式 よ り-(δ-c1)<0で あ り,さ ら に

dP<c1d

(93

が 成 立 す る の で,参 考 文 献11)の 補 題3.5よ りmf(t)の 有 界 性 の 成 立 が 示 せ る. 次 にmf(t)の 有 界 性 か ら,系 内 の 全 信 号 の 有 界 性 を導 く.ま ず,(38)式 よ りω(t),(44)式 よ りy(t)の 有 界 性 が 成 立 す る. ま た,(75)式 にお い て,ω(t),φ(t),r(t)の 有 界 性 お よ び伝 達 関 数 部 分 の 安 定 プ ロ パ ー 性 が 成 立 し て い る の で,u(t)も 有 界 に な る.さ ら に,(11)式 か らω(t).u(t)の 有 界 性 よ り,ζ(t) お よ び ν(t)の 有 界 性 も成 立 す る.以 上 よ り,系 内 の 全 信 号 の 有 界 性 が 成 立 す る. 5. 数 値 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 本 章 で は 離 散 時 刻 で 得 ら れ る 推 定 誤 差 信 号 を用 い て 適 応 更 新 す る ハ イ ブ リ ッ ド 適 応 制 御 系 が 固 定 補 償 要 素 に よ っ て 優 れ た 制 御 特 性 が 得 ら れ る こ と を 数 値 シ ミュ レー シ ョ ン に よ り確 認 す る.制 御 対 象 と し て 次 の 不 安 定 な2次 の シ ス テ ム を 考 え る.

y(t)=s+2u(t)s2

_-s-2

(94)

ま た,規 範 モ デ ル と して 次 式 を 選 ぶ.

ym(t)=1r(t)

s+1

(95)

こ こ で,λ[s]=s+1,βm[s]=s+2,δ0=1.9,τ=0.1 θ(0)=[0,0,0]Tと す る.ま た,適 応 更 新 間 隔Tkは,一 定 値 を と る もの と し,Tk=1.25(sec)と し,参 照 入 力r(t)を 矩 形 波 入 力 とす る.結 果 をFig.1に 示 す. 鎖 線 が 規 範 出 力,実 線 が プ ラ ン ト出 力 で あ る.こ の 結 果 よ り,適 応 調 整 則 の 更 新 に 離 散 時 刻 間 の 連 続 信 号 を 用 い な い 場 合 も 安 定 化 を 達 成 し て い る こ と が わ か る.ま た,制 御 パ ラ メ ー タ の 推 定 値 θ(t),制 御 入 力u(t)の 値 も 有 界 で あ る.一 方,固 定 補 償 要 素 を 用 い な か っ た場 合 をFig.2に 示 す. 図 か ら わ か る よ う に大 き く応 答 が 乱 れ て お り,固 定 補 償 要 素 を 用 い な か っ た 影 響 が 強 くで て い る様 子 が わ か る.以 上 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン結 果 か ら,本 論 文 の 提 案 す る 手 法 の 有 効 で あ る こ とが わ か る. 6. お わ り に 本 論 文 で は,離 散 時 刻 で 得 られ る推 定 誤 差 信 号 を 用 い て 適 応 更 新 す る ハ イブ リ ッ ド適 応 制 御 系 の 一 構 成 法 を提 案 し,そ の 安 定 性 を 証 明 し た.離 散 時 刻 で 得 ら れ る 推 定 誤 差 信 号 に よ っ て 適 応 更 新 を行 う場 合 に は,離 散 時 刻 間 の 連 続 信 号 の 評 価 が で き な い た め,一 般 に は 安 定 性 が 成 立 し な い が,本 論 文 で は 固 定 補 償 要 素 を用 い る こ と に よ って そ の 問 題 を 解 決 し た. 今 後 の 課 題 と し て は,提 案 した 手 法 の 性 能 評 価 や,外 乱 や 寄 生 要 素 に対 す る ロ バ ス ト性 を 検 討 す る こ とが 考 え ら れ る. 最 後 に本 論 文 に対 し貴 重 な 御 意 見 を 頂 い た査 読 者 に 謝 意 を 表 し ま す.

計 測 自動 制 御 学 会論 文 集 第34巻 第10号 1998年10月 1365

参 考 文 献

1) H. Elliott: Hybrid Adaptive Control of Continuous Time Systems, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. AC-27, No.2, 419/426 (1982)

2) 鈴 木 隆,新 中 新 二,金 森 春 夫:モ デ ル 規 範 型 適 応 制 御 系 の ハ イ ブ リ ッ ド構 成 法,計 測 自 動 制 御 学 会 論 文 集, Vol.19, No.10, 800/806, (1983)

3) K.S. Narendra, I.H. Khalifa, and A.M. Annaswamy: Error Models for Stable Hybrid Adaptive Systems, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. AC-30, No.4, 339/347 (1985) 4) 板 宮 敬 悦,新 誠 一,安 藤 和 昭:誤 差 の 最 大 値 に 基 づ く モ デ ル 規 範 形 ハ イ ブ リ ッ ド 適 応 制 御,電 子 情 報 通 信 学 会 論 文 誌, Vol.111-C, No.1, 26/31 (1991) 5) 大 森 浩 充,佐 野 昭:確 定 未 知 外 乱 の 補 償 を 考 慮 し た モ デ ル 規 範 形 適 応 制 御,計 測 自動 制 御 学 会 論 文 集, Vol.20, No.10, 919/925 (1984) 6) 鈴 木 隆,鈴 木 弘 光:寄 生 要 素 に対 し て ロバ ス ト な直 接 法MRACS の 一 構 成 法,計 測 自動 制 御 学 会 論 文 集, Vol.27, No.6, 663/670 (1991) 7) 鈴 木 良 昭,板 宮 敬 悦,鈴 木 隆:直 接 法 モ デ ル 規 範 型 適 応 制 御 系 の ロ バ ス ト構 成 法 と そ の 安 定 解 析,第17回 適 応 制 御 シ ン ポ ジ ウ ム 資 料, 119/124 (1997) 8) 増 田 士 朗,井 上 昭:2自 由度 構 成 さ れ た 固 定 補 償 要 素 を 含 む 多 変 数 モ デ ル 規 範 型 適 応 制 御 系,シ ス テ ム 制 御 情 報 学 会 論 文 集, Vol.8, No.6, 258/265 (1995)

9) J. Sun: A Modified Model Reference Adaptive Control

Scheme for Improved Transient Performance, IEEE

Trans-actions on Automatic Control, Vol.38, No.8, 1255/1259

(1993)

10) A. Datta and P.A. Ioannou: Performance Analysis and

Improvement in Model Reference Adaptive Control, IEEE

Trans. Automat. Contr., Vol.AC-39, No.12, 2370/2387

(1994)

11) P.A. Ioannou and A. Datta: Robust Adaptive Control:

A Unified Approach, Proceedings of the IEEE, Vol.79,

No.12, 1736/1767 (1991)

12) P. Ioannou and A. Datta: Robust Adaptive Control:

Design,

Analysis and Robustness Bounds Foundations of

Adaptive Control,

P.V. Kokotovic Springer-Verlag,

1989.

Lemma 2.4,

pp.

78

[著

者

紹

介]

増

田

士

朗 (正 会員)

1964年3月24日 生.1989年 京 都 大学 大学 院 応 用 シス テ ム科学 専 攻 修 士 課 程修 了.同 年 岡山 大学 工 学 部情 報 工 学 科 助 手,同 講 師 を経 て,現 在,岡 山 大 学工 学 部 シ ス テ ム工 学 科 講 師.適 応 制 御,予 測 制御 に関 す る研 究 に従 事(工 学 博 士).シ ス テ ム 制御 情 報 学会,電 子情 報 通 信 学会,情 報 処理 学 会, 人工 知 能 学 会会 員.

岡

本

太

1972年12月29日 生.1997年 岡 山大 学 大学 院 工 学 研 究 科情 報工 学 専 攻 修 士 課 程修 了,同 年,日 本 電信 電 話(株)に 入 社,現 在 に至 る.ネ ッ トワ ー ク に関 す る シス テ ム 開発 に従 事.

井

上

昭 (正 会員)

1968年 京 都 大 学 大 学 院 数 理 工 学 専 攻 修 士 課 程 修 了,1970年 同大 学 院博 士 課 程 中 途退 学.京 都 大 学 工 学部 数 理 工学 科 助 手,熊 本 大 学 工 学 部機 械 工 学 科 助教 授,共 通 講 座 教授,岡 山大 学 工 学部 情 報 工 学 科教 授 を経 て,現 在,岡 山大 学 工 学 部 シス テ ム工 学科 教授.オ ブ ザ ー バ,適 応 制 御 お よび その サ ー ボ系 へ の 応用 に関 す る研 究 に従 事.シ ステ ム 制 御情 報 学 会,日 本 ロボ ッ ト学 会,電 子情 報 通 信 学 会,日 本機 会学 会 各 会員(工 学博 士).

Fig.1 Simulation results of hybrid adaptive control system based on sampled estimated error with a fixed com-pensator

Fig.2 Simulation results of hybrid adaptive control system based on sampled estimated error without a fixed com-pensator