1.7 D D 2 100m 10 9 ev f(x) xf(x) = c(s)x (s 1) (x + 1) (s 4.5) (1) s age parameter x f(x) ev 10 9 ev 2

宇宙線エネルギー時系列のカオスとその異方性

大原 荘司，小西 健陽，向井 厚志

奈良産業大学 情報学部

概要 2005年1月∼3月に空気シャワーアレイで観測された宇宙線時系列データについて，観測 粒子密度分布より西村・鎌田の式を用いて一次宇宙線エネルギーを算出し，エネルギー時系列 データ約５万イベントのカオス解析を行った．エネルギー範囲に対応するカオスの出現頻度の 解析から，5.0× 1015∼7.5× 1015eVの範囲のエネルギーをもった一次宇宙線が，300イベン ト連続する時系列データのカオス性の出現にもっとも寄与していることが見出された．また， これらの一次宇宙線には赤経で12時付近，赤緯で40度付近にピークをもつ異方性が見られ た．これは，活動銀河Mrk421の方向であり，高エネルギーのガンマ線がMrk421での非線形 の発生過程を経て定常的に到来していることが推定できる．

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はじめに

大広域宇宙線観測グループにより観測された数百万データの空気シャワーデータについて，その 到来時間間隔時系列データのカオス性の研究を続けてきた．その結果，フラクタル次元（相関次 元）3.7次元付近のカオス性を持った到来時間間隔時系列データが複数の観測地で得られ，かつ， それが同期的に得られる場合も有意にあることが確認された． しかも，カオス宇宙線群の到来方向が赤径で4時付近と20時付近に偏りがみられ，カオス宇宙 線が銀河系内のどこかから何かの非線形加速機構を経て太陽系に到来するものと推論された [1]． カオス宇宙線像としてフラクタル波モデルを考え，複数の宇宙線粒子が横並びで波乗りしながら到 来し，継続する宇宙線の波と波の縞々が空間的に自己相似なフラクタル構造をもっていると想定し た．この宇宙線像により，自転する地球上の複数の観測地で計測された空気シャワー到来時間間隔 の時系列がカオス性をもつ一群の宇宙線として相関をもつことが説明できる． さて，ここで使う宇宙線カオスということばの意味を一応定義しておくと，「何らかの非線形の 決定論的な加速機構によって加速乃至減速された一連の宇宙線が示す時系列的自己相似構造」とな る．自己相似とは，部分が全体の性質をもっているような構造であるが，その確認手段としてこの 研究では，Grassberger-Procaccia [2]によるフラクタル次元解析法とあわせてWolf [3]による最 大リアプノフ指数解析法を採用してきた．いずれの方法も初段のデータ処理として，例えば11次 元の位相空間へのデータの順次埋め込みを行う．順次埋め込みとは，時系列に連続した11ケずつ の宇宙線データを11次元位相空間の１点に読みかえるという処理を，もとの時系列データを１つ ずつずらしながら11ケずつピックアップして処理する．したがって元のデータが300点なら位相 空間に289点の群ができることになる．この点群を構成する点の数の空間的増え方が11次元空間 の距離の11乗に比例していればその点群はランダムといえるし，５より小さな非整数乗に比例し

ていればフラクタル構造をもち，一次の宇宙線時系列はカオス性をもつといえる．このことは，２ 次元位相空間を例に取ればわかりやすい．２次元の紙の上にランダムに砂をばら撒いた場合，面積 当たり砂粒の数は面積すなわち距離の２乗に比例するはずである．ところが２次元シャーレの真中 に菌の種を植えつけて培養する場合菌の数の２次元面積に対する増え方は距離の1.7乗など非整数 乗比例することになる．つまり，菌の増殖の空間的パターンは一見ランダムに見えても実は全くの 無秩序ではなく自己相似構造をもった空間配置をとる．それが非整数のフラクタル次元値（コロモ ゴロフエントロピーにあたる）に現れる．このフラクタル構造の確認をするのがフラクタル次元解 析法である． リアプノフ指数法の場合は，位相空間中の点群を時系列方向の軌道上のものと見て，離れた軌道 間の間隔が時系列方向で指数関数的に離れて正の発展率をもつことを確認して一次の宇宙線時系列 がカオス性をもつという結論を導く．フラクタル次元解析と異なるのは，位相空間に埋め込まれた 後のデータの軌道としての連続性が反映されていることである． 本論では，今まで解析の対象としてきた空気シャワー到来時間間隔の時系列データを用いず，西 村・鎌田の式を用いてシミュレーション処理で求められる空気シャワーサイズの時系列データを対 象としてカオス解析を行った．エネルギー時系列データを用いる意義は，一次宇宙線の加速あるい は減速過程の特徴が宇宙線のエネルギー状態にもっとも短的に反映されると考えられ，そのエネル ギー時系列データがカオス性をもち非整数のフラクタル次元値Dをもてば，一次宇宙線生成過程 の自由度がDであると推定できることにもなる．個別の宇宙線の到来方向やエネルギーなどを同 定する研究がこの分野の主流であるが，本研究では宇宙線を集団現象としてとらえ，カオスという 性質によって集団を区分する手法によって得られる新たな知見を探求するものである．

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宇宙線エネルギー時系列データのカオス解析

一次宇宙線は大気との核反応によって直径100m 程度の空間分布を持ち，平均エネルギーが 109eVである電子のシャワーとして地上で観測される．複数のシンチレーションカウンタアレイ で観測される電子数から電子数の横方向の分布関数f (x)を，西村・鎌田の式から導入した次の実 験式を用いてシミュレーションによって求める． xf (x) = c(s)x(s−1)(x + 1)(s−4.5) (1) ここで，sはage parameter，xはシャワー軸から検出器までの距離に相当するパラメターである． f (x)より到来全電子数（空気シャワーサイズ値）を求める．図1に2005年1月末に近畿大学で 観測された連続3000イベントのサイズ分布を示す．一次宇宙線のエネルギーの大きさ（単位eV） は，サイズ値に109_{eV（到来電子の平均エネルギー）をかけて得られるものである．}

図1 The size distribution of the air showers observed at Kinki University

フラクタル次元解析は前章で述べたように連続する空気シャワーサイズの時系列300イベント ごと（約12時間に相当）に行い，30イベントずつ解析のスタートイベントをシフトしながら連続 して解析する．時系列集団としてカオス性が認められフラクタル次元が求められる場合の解析結果 を図2に示す．この場合の埋め込み次元は11次元である．

図2 The example of the diagram of the fractal dimension analysis for the 300 chaotic time series of air showers

図中のDm曲線は，１章で述べた埋め込み点群の距離に対する増加の割合を示しており，これが フラットな部分をもつことがフラクタル性の条件である．この条件を満足する距離空間では，点群 の累積数Cmに対して次式が成り立つ．式中のDは非整数の一定値であり， Cm∝ rD (2) 解析対象とした300イベントの時系列データは，西村・鎌田の式で得られるサイズのうちで （1.0× 104< size < 7.5× 106）の範囲に入るものを選別している．サイズがこの範囲に入るイベ ントは全体の約95%である．残り5%の大半はより高エネルギー側のイベントである．解析対象 としてこの範囲を選んだ理由は，カオス出現の頻度がもっとも高くなると判断できるからである． 下限値を1.0× 104_{とし（これより小さいのは西村・鎌田の式で収束しなかったまれなケースのみ} である），上限値を変えてカオスの出現頻度をプロットした結果を図3に示す．2005年7月から 12月までの半年間，約10万イベントの時系列データを対象としている．

図3 The size range of analyzed air showers vs. emergence frequency of the chaotic 300 events air showers

図でも明らかなように，上限値7.5× 106付近にカオス出現のピークが現れる．全体のサイズ分 布は異なるが，奈良産業大学で観測されたデータについても同様の結果が得られている．カオスは 時系列的集団現象であるが，全体の約1%を占めるサイズ5.0× 106∼ 7.5 × 106のイベントを含 むことによって，全体の相関性（カオス性）が顕著に上がることを示している．2005年1月∼3月 に近畿大学アレイで観測された約５万イベントのエネルギー時系列データについて，カオス出現の 日付とフラクタル次元値を表1に示す． 日付 フラクタル次元 最大リアプノフ指数 1月 1日 2.5 0.30 1月 5日 2.9 0.35 1月 24日 1.8 0.30 2月 7日 2.6 0.30 2月 25日 1.8 0.30 3月 2日 2.5 0.32 3月 3日 2.7 0.31 3月 7日 2.4 0.34 3月 17日 2.3 0.32 3月 27日 2.1 0.30

表1 The chaotic air shower size groups detected between Jan. and Mar. in 2005

今回解析されたフラクタル次元値は平均で2.4次元付近であり，一次宇宙線発生過程の動力学が 2.4の自由度を持っていると解釈できる． エネルギー時系列データがカオスであることは，さらにリアプノフ指数法によって確認された． 11次元埋め込み空間内に時系列点群が形成する軌道に着目し，軌道間の距離の局所的発展率の平 均の収束値がカオスの場合にはノイズの場合に比べて有意にプラスにシフトする性質をもつ．フラ クタル次元解析でカオスと判断されたエネルギー時系列データ（300イベント）の最大リアプノフ 指数値は0.30から0.35の間に入り，ランダムな場合の0.1と明瞭な差が見られた．カオス宇宙線 群の最大リアプノフ指数値を表1に，収束状況を図4に示す．

図4 The convergence of the maximum Lyapnov exponent for the chaotic 300 time series data of air showers

近畿大学アレイで2005年1月から3月までの間で一次宇宙線エネルギー時系列のカオス性が認 められた300イベントの10のグループ全体について，サイズが5.0× 106∼ 7.5 × 106の範囲には いるイベントの赤径，赤緯の分布状況を図5，図6に示す．赤径で12時付近，赤緯で40度付近に 分布のピークが認められる．角度分解能は±5°である．

図5 The distribution of the right ascension for the chaotic events

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考察

前章で明らかなように一次宇宙線エネルギー時系列データのカオス性に大きく寄与する宇宙線の 到来方向には異方性があることが見出された．2005年1月から3月のデータではその方向は赤径 で12時方向，赤緯で40度付近である．ある決まった方向からカオス宇宙線の到来を受けながら自 転する地球上の１点で観測するわけであるから，ある程度の時間分解能でカオス性が定量的に計測 できるとすれば，その量は周期1日の周期的変動を示すはずである．このことを確かめるために， 図1のDm曲線のフラットが現れる部分の傾きを最小二乗法で計算し，その変動の周期を求めた． カオス性が強いほど，この傾きは0に近い値を示す．図7にカオス出現区間を含む約1週間のカオ ス性の変動データを示す．

図7 The change of the slope of Dm curve analyzed using 180 events (6 hours) during 6 days

図8 The spectrum for the change of the slope of Dmcurve shown in Fig.7. The spectrum

was calculated by FFT 図8に示すフーリエ解析結果で明らかなように，一次宇宙線エネルギー時系列のカオス性は周期 1日で変動している．地球の自転を考慮すれば，このことはエネルギー時系列にカオス性をもった 宇宙線群が一定方向から到来していることを示しており，図5，図6の結果と符合する．2005年1 月から3月までについては，その方向は赤径で12時付近，赤緯で40度付近である． 今，カオス性に大きく寄与する宇宙線エネルギーは5.0× 1015_{eV付近であるが，このエネルギー}

のプロトン宇宙線のラーモア半径は，この銀河の磁場を100µGとすると１光年程度となり，一定 方向から到来するとは考えにくい．銀河磁場で曲げられることのないガンマ線がこの場合のカオス 宇宙線と考えられる．赤径12時，赤緯40度方向にあるガンマ線源としては，Mrk421（赤径11 時，赤緯38度）や1ES1218（赤径12時，赤緯30度）が存在する．これらの天体からは近年TeV ガンマ線の観測が報告されており，100TeVのガンマ線も定常的に到来していることが期待でき る．図9に，最近，ガンマ線テレスコープなどでTeVガンマ線が観測されている天体とその位置 を示す[4]．

図9 The active galaxies where TeV gamma rays are observed

カオス宇宙線の異方性はガンマ線がカオス性を担っており，1015eV付近のエネルギーのガンマ 線が数日間にわたってMrk421のような活動銀河において非線形の発生過程を経て到来すると仮 定すれば説明できるが，全宇宙線のなかでのガンマ線の割合が30%を超えると判断できる明確な 報告はない．特定の天体からカオス性をもったエネルギー時系列でガンマ線が到来するとして，こ れにプロトン遍歴宇宙線がノイズとして加わった状態でカオス性がどの程度保持できるか確認する 必要がある． 2005年3月17日に観測された明確なカオス性をもつ300イベントの宇宙線サイズ時系列のう ち，30%の数のイベントを1.0× 104_{< size < 1.0× 10}6_{に該当するイベントからランダムに選び} 出し，擬似乱数と入れ替えたもののフラクタル次元解析結果を図10に示す．なお，擬似乱数の分 布関数はE−2.7に比例すると仮定した．

図10 The chaotic feature is conserved with the mixture of 30 percent noise ガンマ線としての宇宙線がプロトン宇宙線よりもエネルギー分布の幅が広く，1015eV付近にも プロトンに比べて多くの頻度をもっており，かつ，エネルギーの時系列変動がカオス性を示す．測 定範囲の宇宙線のうち個数の上では優位を占めるプロトンがエネルギーの低い側に比較的偏ってい るためにガンマ線エネルギー時系列のカオス性の骨格に影響を与えにくいと考えれば，今回の解析 結果が説明できる．

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おわりに

宇宙線エネルギー時系列（エネルギー範囲1.0× 1013 ∼ 7.5 × 1015eV）にフラクタル次元値が平 均2.4となるカオス性が発見された．カオス性を担う宇宙線は1015eV付近のガンマ線であり，そ の異方性から活動銀河Mrk421がガンマ線源の候補と考えられる．100TeVのガンマ線は，宇宙線 としてはまだ観測の報告はないが，今回の結果は間接的ながら100TeVのガンマ線が定常的に到来 している可能性を示唆している．また，集団現象としてのカオス性の異方性という事実から，ガン マ線起源の宇宙線が数十パーセントを占める場合もあることが裏付けられたと考える． かつて，空気シャワーの到来時間間隔の時系列カオスにおいては，赤径で4時と20時の銀河面 方向に主な異方性が観測された．この場合のカオス性と今回の一次宇宙線エネルギー時系列のカオ ス性とのつながりについてはこれからの課題の一つである．それぞれ原因の異なるカオスを観測し ている可能性もある．すなわち，異なる起源をもつ宇宙線群をとらえていることが予想される． 本論で解析の対象とした空気シャワーデータは，近畿大学に設置されてきたアレイで得られたも のであるが，同装置は平成20年12月に奈良産業大学に移転され，従来から奈良産大６号館に設 置されているアレイと200ｍの距離を置いて設置されている．図11に奈良産業大学１号館屋上に

移転されたアレイを示す．今後は，２つのアレイで同時に連続して計測され，空気シャワーイベ ント自身の同期計測やカオス性の同期性などから新たな知見の発見が期待される．また，LAAS

（Large Area Air Shower）研究グループとして，岡山理科大学，岩手大学などのアレイで得られる データとの同期性の研究も継続される[5] [6]．

図11 The new air shower arrays on the roof of the 1st building in Nara Sangyo University

参考文献

[1] Ohara, S., Konishi, T., Tsuji, K., Chikawa, M., Kato, Y., Wada, T., Ochi, N., Yamamoto, I., Takahashi, N., Unno, W., Kitamura, T., & LAAS Group 2003, Journal of Physics G:Nucl. Part. Phys., 29, 2065

[2] Grassberger, P. & Procaccia, I. 1983, Phys. Rev. Lett., 50, 346 [3] Wolf, R. C. L. 1992, J. Roy. Statist. Soc. Ser.B, 54, 353

[4] Fegan, S. J. et al. 2007, Proceeding of 30th International Cosmic Ray Conference

[5] Konishi, T., Chikawa, M., Kato, Y., Ochi, N., Ohara, S., Takahashi, N., Tsuji, K., Wada, T., Yamamotoand, I., & LAAS Group 2001, Nuovo Cimento C, 24, 859

[6] Iyono, A., Konishi, T., Morita, T., Nakatsuka, T., Noda, C., Ochi, N., Ohara, S., Okita, M., Ryou, J., Tada, J., Takahashi, N., Tokiwa, M., Tsuji, S., Wada, T., Yamamoto, I., & Yamashita, Y. 2005, Proceeding of 29th International Cosmic Ray Conference

Chaos and its Anisotropy in the Energy Time Series Data

of the Primary Cosmic-Rays

Soji Ohara, Takeharu Konishi, and Atsushi Mukai

∗_{Faculty of Informatics, Nara Sangyo University}

Abstract

The primary cosmic-ray energies were simulated by the Nishimura-Kamata equation with the particle density distribution for the observed air showers. More than 50 thou-sands events were analyzed to find 10 groups of 300 events which have the chaotic feature and the fractal dimension for the data embedded in the phase space. The average fractal dimension is 2.4. The frequency of the chaotic feature confirms that the cosmic rays which have the energy between 5.0×1015_{eV and 7.5×10}15_{eV contribute most effectively}

to the chaotic feature. The right ascensions of the cosmic rays which have the primary energy between 5.0× 1015_{eV and 7.5× 10}15_{eV belonging to the chaotic 10 groups have}

the anisotropy oriented around 11h. The active galaxy Mrk421 is in this direction. The high energy gamma rays around 1015_{eV which have the nonlinear correlation are}

expected to arrive at the earth quite frequently.