演習問題の詳細解

- 24 -

演習問題の詳細解

第 1 章 （1.1） ば ね の 端 に 力 f を 加 え る と ， そ れ ぞ れ の ば ね に 同 じ 力 が 伝 わ る の で ， そ れ ぞ れ の ば ね の 伸 び は ⁄ ， ⁄ である．全伸びを とし，総合ばね定数を k とすると が 成 立 し ， し た が っ て ， 次 の 式 を 得 る ． · 《 補 足 》 を 仮 定 す る と ， を 消 去 し て し た が っ て ， 同 様 に · が 求 め ら れ る ． （1.2） ば ね の 端 に 力 f を 加 え る と 両 ば ね と も に 同 じ だ け 伸 び る ．総 合 ば ね 定 数 を k，各 ば ね に 加 わ る 力 を f1，f2と す る と ， 次 の 式 が 成 立 し

- 25 - と し て 求 め ら れ る ． 《 補 足 》 よ り 1 1 を 得 る ． ば ね 定 数 の 定 義 よ り ⁄ ⁄ とおけるゆえ し た が っ て ， 求 め る 総 合 ば ね 定 数 k は と し て も 求 め ら れ る ． 第 2 章 （2.1） 運 動 方 程 式 は ， こ の 方 程 式 の 解 を ，   と お い て 上 式 に 代 入 す れ ば ，  は 次 式 の 根 と し て 与 え ら れ る ． （ sin  , sin とおい て求めるこ ともできる ） 0 0 こ の 2 式 より を求めるため A， B を消去 す ると 0 を 得 る ． こ の 根 の う ち 小 さ い 方 を 第 1 次 ， 大 き い 方 を 第 2 次 固 有 角 振 動 数 と い う ． こ の 第 1 式より 2 質点の振 幅 A， B の 比は

- 26 - と 与 え ら れ ， ま た 第 2 式より

に よ り 与 え ら れ る ．

上 式 の 振 動 数 の 根 を ， とする と，上の 運 動方程式の 解は次のよ う に 表 さ れ る ．

cos sin cos sin

cos sin cos sin

， は ， _{, ,} を 代 入 し て ， ， よ り ， 振 動 数 方 程 式 を 導 け ば , , 0 こ れ よ り , , 0 こ の と き √ と お く と , , 0 し た が っ て

- 27 - , _{2 2} 上 式 を 図 式 解 法 す る と ， 図 K.1 の よ う に 示 さ れ る ． 図 K.1 （2.2） 運 動 方 程 式 は 解 を λ とおき，上式に 代入 0 し た が っ て ， 0となるよ うな運動が 生じる．書 き換えると 0 （1） 2√ の 場 合 2 2 0 は 常 に 実 数 で あ り ， か つ 負 で あ る ． し た が っ て ， 一 般 解 は 0 中 心 円

- 28 - ，  は初期条件 により定ま る． Euler の公 式 cosh sinh を 代 入 し て ， 初 期 条 件 を 入 れ る と ， 双 曲 線 関 数 で 示 さ れ ， 周 期 関 数 で あ る 正 弦 あ る い は 余 弦 関 数 が 含 ま れ て い な い こ と が わ か る ． す な わ ち ， 周 期 関 数 で は な く ， 時 間 と と も に 多 く て 1 回 極値をとっ た後，時間 とともに減 衰する過減 衰振動とな る． （2） 2√ の 場 合 特 定 方 程 式 の 根 2 こ れ は 重 根 を も つ 場 合 で あ る の で ， 解 は こ の 式 も 周 期 関 数 で あ る 正 弦 あ る い は 余 弦 関 数 が 含 ま れ て い な い こ と が わ か る ． す な わ ち ， 無 周 期 関 数 と な り ， 振 動 は 発 生 し な い ． （2.3） 振 子 の 質 量 と ， ば ね の 復 元 ト ル ク が つ り 合 っ た 状 態 が 水 平 位 置 で あ る と 考 え ， 振 子 の 角 変 位 を 静 止 の 水 平 位 置 か ら 右 回 り を 正 に と っ て θ で 表 す ． 角 変 位 θ が 小 さ い と き は 棒 の 重 さ を 無 視 す れ ば ，振 子 に 働 く 外 力 の 支 点 O ま わ り の モ ー メ ン ト は ば ね の 復 元 ト ル ク ， 重 力 の モ ー メ ン ト で あ り ， 他 方 ， 振 子 の O ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン ト で あ る か ら ， 運 動 方 程 式 は こ れ よ り 求 め る 固 有 角 振 動 数 は （2.4） 円 板 を 幅 の 狭 い 帯 に 分 け る と ， こ の 部 分 の 質 量 は ⁄ · 2 · 2 ⁄ ·

- 29 - で あ る か ら 2 2 2 4 1 2 （2.5） 座 標 軸 を 図 の よ う に と り ，棒 を 長 さ dx の 微 小 部 分 に 分 け る と ，原 点 よ り x の 距 離 に あ る 微 小 部 分 dx の 質 量 dm は ⁄ · で あ る か ら · 3 1 12 （2.6） 棒 の 端 に お け る 垂 直 な 軸 に 関 す る 慣 性 モ ー メ ン ト J は ， の 軸 か ら だ け 離 れ た 他 の 平 行 な 軸 に 関 す る 慣 性 モ ー メ ン ト で あ る か ら ， 平 行 軸 の 定 理 （Steiner の 定 理） よ り し た が っ て ， 先 の 問 題 の 解 よ り 2 1 12 1 4 1 3 《 補 足 》 あ る い は ， 次 の よ う に 求 め る こ と も で き る ． 3 1 3 （2.7） 物 体 の 重 心 G が 2 本吊り装置 の中心線に 一致するよ うにセット する．ワ イ ヤー の 長 さ は 十 分 に 長 い も の と し ，図 の ワ イ ヤ ー 長 さ と す る ．ワ イ ヤ ー の 張 力 は 質 量

- 30 - m の 1/2 に 等 し い ．物 体 を 微 小 角 θ だ け 回 転 し た と き ワ イ ヤ ー の 下 端 の 変 位 は sin で あ る ． ワ イ ヤ ー の 鉛 直 と な す 角 を と す る と ， si sin で あ る ． す な わ ち sin ⁄ sin である． 回 転 角 θ は 微 小 で あ る か ら ， ワ イ ヤ ー の 張 力 ⁄ の水平成分は 2 2 sin 2 sin 2 両 方 の ワ イ ヤ ー が 物 体 に 与 え る 水 平 方 向 の 成 分 は 偶 力 を な し ，そ の モ ー メ ン ト M は 2 · 2 重 心 軸 ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン ト で ， 重 心 軸 ま わ り の 運 動 方 程 式 は し た が っ て ， 固 有 角 振 動 数 は で 単 振 動 を な す ． 周 期 を T と お く と ， 重 心 ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン ト  は 2 よ り 4 （2.8） 2 自由度 系 であるから ，固有角振 動数は 2 つ生じる．式（2.28），式（2.29）を再 掲 す る と 4 2 4 2 こ こ で ， 0  ， で あ る か ら ， 上 式 は そ れ ぞ れ

- 31 - 2 0 2 と な る ． 《 補 足 》 い ま の 場 合 を 検 討 す る と 2 2 2 0 2 2 2 2 √2 と な り ， は 振 動 し な い ． は_√2 ⁄ にて ，2 つの質点は図 K.2 のように逆相 に て 振 動 す る こ と が わ か る ． 図 K.2 （2.9） 運 動 方 程 式 を 立 て る と ： 質 量 ： 重 心 の 回 転 半 径 ： 重 心 の 上 下 変 位 ： 重 心 の 角 変 位 ：重 心 ま わ り の 物 体 の 慣 性 モ ー メ ン ト ， は 求 め る 回 転 中 心 に よ る 慣 性 モ ー メ ン ト に 等 し く な る よ う に ， 質 量 を 一 点 に 集 中 し た と き ， そ の 回 転 軸 か ら の 距 離 で 回 転 半 径 と 呼 ぶ ． こ の 場 合 ⁄ である．ここで 時 間 t t 1 2

- 32 - と お く と 0 0 0 のとき， 上式は と無関係，下式 は と無関係 となるため ，B は 連 成 係 数 と 呼 ば れ る ． 0にするに は， の 関 係 が 必 要 で あ る ． い ま co と お く と 0 0 こ れ よ り ， 振 幅 比 は を 得 る ． こ れ に よ り 主 振 動 系 に 対 す る 振 動 数 方 程 式 は ， ， 0 し た が っ て ， 1 2 1 4 振 動 モ ー ド を 描 く と 図 K.3 の よ う に な る ．

- 33 - バ ウ ン シ ン グ ピ ッ チ ン グ 図 K.3 （2.10） ① 固 有 角 振 動 数 質 量 m＝ 3[kg]=3[Ns2_{/m]（ 1N=1kgm/s}2_{） で あ る か ら} 6000 3 44.7  rad/s ② 固 有 周 波 数 2 44.7 2 · 3.14 7.1  Hz ③ 固 有 周 期 節

- 34 - 1 1 7.1 0.14  s ④ 片 振 幅 式 （2.16）より 7 44.7 0.2 0.25  m ⑤ 初 期 位 相 角 式 （2.17）よ り 振 動 を 正 弦 波 で 表 現 す る 場 合 tan tan 0.2 44.7 7 0.9  rad 0.29   rad 52.2  ° 振 動 を 余 弦 波 で 表 現 す る 場 合 tan tan 7 0.2 44.7 0.66  rad 0.21   rad 37.8  ° （ 解 説 ） | | | | 0.5 rad 90  ° と常にな る． 参 考 公 式

cos sin √ sin √ cos

cos tan   ，     tan  ，  は正の鋭 角． ⑥ 振 動 波 形 の 式 正 弦 波 で の 表 現 ， 0.25 sin 44.7 0.9 ， 余 弦 波 で の 表 現 ， 0.25 cos 44.7 0.66 ⑦ 波 形 の 概 略 図 正 弦 波 の 初 期 位 相+0.9rad の 時間 は， . .   s 0.02  s 余 弦 波 の 初 期 位 相 －0.66rad の 時 間は， . .   s 0.015  s

- 35 - ⑧ 速 度 と 時 間 の 関 係 0.25 sin 44.7 0.9 より，速 度は変位を 時間 t で 微 分すると求 められる． 0.25 44.7cos 44.7 0.9 11.2 cos 44.7 0.9   m s⁄ し た が っ て ， 振 動 波 形 の 概 略 図 は 図 K.4 の と お り ． 図 K.4 （2.11） 静 的 に ば ね の 復 原 力 と 質 量 に 掛 る 重 力 と つ り 合 っ て い る か ら よ っ て ⁄ し た が っ て ， 固 有 角 振 動 数 は ⁄ 9.8 0.5 10 145 rad s⁄ （2.12） 0.3 0.14 s 0.1 0.015 s s 0.02 s 0.25 m 0.2 0.4 m 14.2 rad s⁄ 2 s m s⁄ 速 度 11.2 m ｓ⁄ 0 0 位 相 差

- 36 - ① 減衰比 2√ 2 40 Ns m⁄ 840，000 N m⁄ 11590 Ns m⁄ し た が っ て ， 減 衰 比 ς は 900 Ns/m 11590 Ns m⁄ 0.08 ② 減衰固 有角振動数 40 kg 40 Ns /m であるか ら，不減衰 固有角振動 数 は 840，000 N m⁄ 40 Ns m⁄ 145 rad s⁄ し た が っ て ， 減 衰 固 有 角 振 動 数 は

1 145 rad s⁄ 1 0.08 145 rad s⁄ 0.99 143 rad s⁄ ③ 減衰固 有振動数 2 143 rad s⁄ 2 rad 22.8 Hz ④ 周期 1 1 22.8 cycle/s 0.044 s cycle⁄ ⑤ 対数減 衰率 0.08 145 rad s⁄ 0.044 s cycle⁄ 0.5 あ る い は 2 1 2 0.08 √1 0.08 0.5 ⑥ 最初に 生じた振幅 （片振幅） とその次か ら 2 番目 の振幅との 比 1 ln 0.5 1 2ln 1 ln

- 37 - 2.718 最 初 か ら 3 番 目 （ 最 初 の 次 か ら 2 番 目 ） に 生 じ た 振 幅 は 最 初 に 生 じ た 振 幅 の 1 2.718⁄ 0.37倍 と な る ． ⑦ 変位の 時間による 関数表示 式 （2.15），式（2.16）より，t=0 のとき，   ，   ． cos 145 rad s⁄ 0.08 11.6 rad s⁄ 2 145 rad s⁄ 0.2 m 2 145 rad s⁄ 0.08 0.2 m 7 m/s 7 m/s 143 rad s⁄ 0.21 m tan 7 m/s 145 rad s⁄ 0.08 0.2 m 143 rad s⁄ 0.2 m 0.326 0.315 rad （ 解 説 ）

が小のと き， tan sin   rad ） し か る に ， 余 弦 波 で 示 す と . _{0.21 cos 143 0.315   m} ま た は ， 正 弦 波 で 示 す と . _{0.21 sin 143   m} tan 1.255  rad 2 0.315  rad ⑧ 概略図 0.315rad 経過後の最 大振幅は 0.21 . _0.21 . . _{0.21 0.97 0.2  m} で あ る か ら ， 概 略 図 は 図 K.5 の と お り ．

- 38 - 図 K.5 第 3 章 （3.1） 道 路 の 波 長 l で ， 車 両 の 速 度 v で あ る か ら ， 走 行 車 両 に 対 す る 車 輪 か ら 伝 え ら れ る 変 位 の 強 制 振 動 周 期 は 2 し た が っ て 2 し か る に ， 車 輪 は 上 下 方 向 に sin の 強 制 変 位 を 受 け る ． 運 動 方 程 式 は 0 こ の 式 は 本 文 の 式 （3.20）と 同 じであるか ら，絶対変 位 x の時 間に対する 変化を 求 め る こ と が で き る ． 共 振 す る 車 両 速 度 は ，式（3.21）の 1のときで あるから， 1 2 とお い て 1.255  rad 0.315  rad 0.21 m 0.044 s cycle⁄ 0.2 m 0.2 0.37 0.074 m 0 0.1 2.27cyc 0.21 .

- 39 - 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 （3.2） 運 動 方 程 式 は 0 強 制 変 位 sin で あ る か ら ， し か る に 2 2 上 式 を 有 理 化 し て 1 4 1 4 共 振 点 で は で あ る か ら ， の と き 1 4 2 質 点 m の 振 幅 が 強 制 変 位 h よ り 小 さ く な る 条 件 は 1 4 2 1 す な わ ち 1 4 と 設 定 す る と 振 動 伝 達 率 を 常 に 1 以下に す ることがで きる．この ような形式 の振 動 吸 収 機 を ス カ イ フ ッ ク ダ ン パ ー と 呼 ぶ ． た だ し

- 40 - ， ， と す る ． 《 補 足 》 た と え ば ，ト ラ ッ ク の 運 転 席 で あ る キ ャ ブ を 制 振 す る 場 合 ，演 習 問 題（ 本 問 ）の を 取 り 付 け る こ と は 不 可 能 で あ る ． そ こ で キ ャ ブ の 上 向 き 変 位 と 下 向 き 変 位 を セ ン シ ン グ し ， の ダ ン パ ー 減 衰 力 を コ ン ピ ュ ー タ 制 御 し ， あ た か も ス カ イ フ ッ ク ダ ン パ ー が 取 り 付 け ら れ て い る よ う な 働 き を 行 う 制 御 の 研 究 が 報 告 さ れ て い る ． （3.3） 運 動 方 程 式 は 初 期 条 件 と し て 0のとき ， 0 ， 0． 以 上 の 条 件 下 に て ラ プ ラ ス 変 換 を 行 う ． 上 式 の 両 辺 を で 除 し て ， 左 辺 は ʆ  ʆ  0 0 ʆ  右 辺 は ʆ  ʆ  ʆ  と な り ʆ  ʆ  下 式 も 同 様 に ʆ ʆ  0 0 ʆ  ʆ  ʆ  ʆ  と な り

- 41 - ʆ  ʆ  を 得 る ． こ れ ら よ り ʆ  ʆ  こ れ よ り ʆ  1 こ こ で と お く ． ʆ  1 · こ こ で ， 常 用 ラ プ ラ ス 対 関 数 表 よ り ʆ      sin し た が っ て sin · · sin 軸 の ね じ り ト ル ク は · · · sin 固 有 角 振 動 数 は · 《 補 足 》 静 止 し て い る ト ラ ッ ク な ど の 駆 動 系 に ， ク ラ ッ チ を 急 激 に 繋 ぐ こ と に よ り エ ン ジ ン 回 転 を 繋 ぐ と ， 本 演 習 問 題 の よ う な 現 象 を 生 じ る が ， 伝 達 ク ラ ッ チ ト ル ク の 最 大

- 42 - 値 や ， タ イ ヤ と 路 面 の 滑 り 等 で ， 軸 の ね じ り ト ル ク に は 限 界 が あ る ． （3.4） ブ ラ ケ ッ ト の 剛 性 を 算 出 す る ． 曲 げ 剛 性 · 1 12 ： 縦 弾 性 係 数 ， ： 断 面 二 次 モ ー メ ン ト ． 壁 か ら l の 部 位 の た わ み は · 3 以 上 は 材 料 力 学 の 公 式 に よ る ． し た が っ て ， ば ね 定 数 は 3 4 1 自由 度の 質量 m， ばね定 数 k の自由振 動の運動方 程式と等価 である．固 有角振 動 数 は · 4 こ れ よ り ·4 し た が っ て ， 共 振 点 の 固 有 角 振 動 数 を 2 倍 以上にする には 2 へ 置 き 換 え √4 1.59 板 厚 h を 1.59 倍 以 上 に す る こ と が 求 め ら れ る ． （3.5） 同 一 車 型 ， 同 速 度 （ た だ し 互 い に 逆 方 向 ） で 衝 突 し た の で ， 同 じ 条 件 で 固 定 壁 に 衝 突 し た 場 合 と 同 じ で あ る ．ま た ，衝 突 後 は 反 発 係 数 e=0 で あ る か ら ，衝 突 後 塑 性 ば ね が つ ぶ れ た 状 態 で そ の ま ま 車 両 は 停 止 す る ．

- 43 - し た が っ て ， 衝 突 始 め か ら 衝 突 終 了 ま で は ， 単 振 動 の 1/4 周 期と みることが で き る ． 質 量 m， ば ね 定 数 k の 1 自 由 度 系 ， 単 振 動 の 固 有 角 振 動 数 は sin し か る に ， 衝 突 始 め か ら 衝 突 終 了 ま で の 時 間 を∆ とおくと ∆ 1 4· 2 2 と し て 求 め ら れ る ． 衝 突 の 衝 撃 力 は ， 運 動 量 保 存 の 法 則 と 力 積 の 関 係 よ り ∆ ∆ 2 2 √ で 求 め ら れ る ． 《 補 足 》 車 両 の 速 度 が 低 い と き に は ， 一 般 的 に 反 発 係 数 e は 零 で は な く ， 反 発 係 数 を 若 干 有 す る ．衝 突 始 め か ら 衝 突 終 わ り ま で の 車 両 の 変 位 と 時 間 の 関 係 を 描 く と 図 K.6 の よ う に な る ． 図 K.6 （3.6） 質 量 m の 微 小 角 変 位 θ， ば ね の 伸 び ・ 縮 み ， ば ね の 復 原 力 に よ る 支 点 0 まわ 時 間 変 位 T T/4 塑 性 ば ね の 場 合 弾 性 ば ね の 場 合 0

- 44 - り の モ ー メ ン ト M は 2 2 振 子 の 回 転 自 由 支 点 0 まわり の モーメント のつり合い は し た が っ て ， 振 子 の 固 有 角 振 動 数 は 外 力 の 角 振 動 数 は で あ る か ら ， ，ま た は に 設 計 す る こ と に よ り ， 周 期 外 力 と の 共 振 を 避 け る こ と が で き る ． 《 補 足 》 こ の 演 習 問 題 は 実 例 と し て ， 自 動 車 の 手 動 式 ト ラ ン ス ミ ッ シ ョ ン の チ ェ ン ジ レ バ ー の び び り 振 動 対 策 な ど が あ げ ら れ る ． （3.7） 減 衰 を 考 慮 し な く 軸 の ふ れ ま わ り 角 速 度 と 回 転 速 度 が 一 致 し て い る 場 合 で ， か つ ジ ャ イ ロ 効 果 を 無 視 し 得 る 場 合 （ 円 板 は 傾 か な い ） に つ い て と す る ． 軸 は 弾 性 体 で あ る か ら ， 振 動 に よ る 動 的 た わ み を r と す る と ， 復 元 力 が 作 用 す る ． 円 板 重 心 の 距 離 を e と し ， 軸 の ば ね 定 数 を k，   は円板の質量 とする． 軸 は 一 定 回 転 で rad s⁄ で回 転 し て い る と す る と ， 円 板 重 心 に か か る 遠 心 力 と 復 元 力 は つ り 合 う か ら ，  より こ れ よ り ⁄ 1 ⁄ 軸 系 の 曲 げ 固 有 角 振 動 数 は 危 険 回 転 は のときに 生じる．回 転速度 に 換 算 す る と 60 · 2     rpm

- 45 - な お ， 両 端 単 純 支 持 の 軸 の ば ね 定 数 は 材 料 力 学 の 公 式 に よ り 3 ： 縦 弾 性 係 数 ， ： 断 面 二 次 モ ー メ ン ト ： 偏 心 量 ： 静 止 状 態 の と き の た わ み （ 図 K.7 の に 相 当 す る ） ： 回 転 中 の 新 た な た わ み （ 振 動 に よ る 変 位 ） こ の 回 転 軸 の 振 動 は ， 周 期 外 力 が 加 え ら れ た 1 自 由 度 ば ね ‐ 質 量 系 と 等 価 と な る ． 静 止 状 態 の と き の た わ み は 振 動 方 程 式 に は 無 関 係 と な る ． そ れ は ， ば ね ‐ 質 量 モ デ ル に お け る 場 合 と 同 じ で あ る ．1 自由度 の ばね‐質量 系で示せば ，下向きの 力 を 正 に と り ， 力 の つ り 合 い を 式 で 示 す と 0 ：重 力 に よ る ば ね の 静 的 な 伸 び で あ り ，結 局 ，重 力 の 影 響 は つ り 合 い 方 程 式 に 無 関 係 と な る ． 図 K.7 参 照 ． 図 K.7 《 補 足 1》 偏 心 量 0 で あ っ て も ， で 変 位 は 不 定 の 形 に な り ， 軸 は 横 た わ み に 対 し て 不 安 定 に な る ． し た が っ て ， 偏 心 量 が な い 場 合 で も 軸 の 危 険 速 度 は 軸 の 横 曲 げ 固 有 角 振 動 数 と 一 致 す る か ら ， 軸 の 横 曲 げ 固 有 角 振 動 数 を 算 出 し て お く こ と が 肝 要 で あ る ． た と え ば ， 境 界 条 件 が 両 端 単 純 支 持 の 軸 の 横 曲 げ 固 有 角 振 動 数 は cos

- 46 - ： 振 動 モ ー ド 次 数 （ こ こ で は 1 次モードを 扱い， 1とおく） し た が っ て ， 危 険 速 度 をrpmで示すと 60 2      rpm A： 軸 の 断 面 積 ， ρ ： 密 度 ． 《 補 足 2》 二次的な危 険速度（図 K.8 参照） 図 K.8 や は り 水 平 に お か れ た 回 転 軸 に 質 量m の 不 つ り 合 い の あ る 円 板 が 回 転 し て い る 場 合 を 考 え る ．偏 心 量 e と す る と ，円 板 に は 周 期 的 に モ ー メ ン ト sin が 作 用 す る ． し た が っ て ， 円 板 の 運 動 方 程 式 は 円 板 の 慣 性 モ ー メ ン ト J と お く と sin よ っ て ， 円 板 の 接 線 方 向 の 加 速 度 は sin こ れ の 垂 直 成 分α は α sin よ っ て ， 重 心 に お け る 力 は が 作 用 し て い る の で sin 1 2 1 cos 2 し た が っ て ， 円 板 の 回 転 に よ る 角 振 動 数 は sin ： 偏 心 距 離 ＝0 点か ら 質点 m ま での距離 sin 0

- 47 - 2 （ ： 円 板 付 き 軸 の 横 曲 げ 固 有 角 振 動 数 ） の と き に 共 振 す る ． こ れ を 回 転 軸 の 重 力 の 影 響 に よ る 二 次 的 な 危 険 角 速 度 と い う ． 《 補 足 3》 減衰を考慮 質 量 ，ば ね 定 数 ，粘 性 減 衰 係 数  の 1 自由 度振動系と 等価で考え ることがで き， 強 制 角 振 動 数 ， 強 制 力 の 最 大 振 幅 が 働 く ． し た が っ て ， 式 （3.9），式（3.10）より最大 たわみ と位相角 は 1 2 tan 2 1 上 の 式 の 両 辺 を で 除 す る と 1 2 た だ し ， ⁄ ， ⁄ ， 2 で 臨 界 減 衰 係 数 ．  が 小 の と き で は ， 高 速 回 転 1 で ， ⁄ 1で あ り ， た わ み は 小 さ く な る ． 高 速 危 険 速 度 を 防 ぐ に は を 低 く ，つ ま り ば ね 定 数 kを 低 く す る 方 法 を 取 る こ と が 考 え ら れ る （ 遠 心 分 離 機 や タ ー ビ ン な ど の 高 速 回 転 機 械 に 利 用 さ れ る 場 合 が あ る ）． （3.8） （1）周 波 数 5  Hz の正弦波 の入力 ① 運動方 程式 sin 外 力 の 角 振 動 数 は 2 2 5 31.4  rad s⁄ よ っ て 20 10 3,000 100 sin 31.4 ② 不減衰 ，自由振動 の固有角振 動数 20 kg 20  Ns /m より

- 48 - 3，000 20 12.2  rad s⁄ ③ 減衰比 2√ 2 10 2 20 12.2 0.02  ④ 定常状 態の変位の 応答 変 位 x は  cos sin い ま ， 定 常 振 動 を 扱 う か ら  sin 1 2 100 3,000 1 31.4_12.2 2 0.02 31.4_12.2 0.006  m ⑤ 振幅倍 率 式 （3.13） より | | | | ⁄ 1 1 2 1 1 31.4_12.2 2 0.02 31.4_12.2 0.18 ⑥ 周期外 力と応答の 位相 tan 2 1 tan 2 0.02 31.4 12.2 1 31.4_12.2 tan 0.02 0.02  rad ． ⑦ 共振角 振動数 1 2 12.2 1 2 0.02 12.2  rad s⁄ （ 解 説 1）（図 K.9 参照） （ 強 制 振 動 減 衰 系 の 共 振 角 振 動 数 は ， 不 減 衰 時 の 固 有 角 振 動 数 と ほ と ん ど 同 じ で あ る ．）

- 49 - 図 K.9 （2）周 波 数 0.5  Hz の正弦波 の入力 ⑧ 正弦波 外力周波数 の角振動数 は ， 2 2 0.5 3.14  rad s⁄ ⑨ 0.5Hzのとき の応答の位 相 tan 2 1 tan 2 0.02 3.14 12.2 1 3.14_12.2 tan 0.01 よ っ て ， 0.01  rad ． 位 相 関 係 を 図 示 す る と ， 図 K.9 の よ う に な る ． ⅰ ） 共振 周波数より 十分高い周 波数 f1 31.4  rad s⁄ で 加 振 す る と ，位 相 差 は π rad に 近 く な る ． ⅱ ） 共振 点 12.2  rad ⁄ s で位相は π/2  rad となる． ⅲ ） 共振 点 12.2  rad s⁄ よ り 低 い 周 波 数 f2 3.14  rad s⁄ で 加 振 し た 場 合 に は ，位 相 差 は 0  rad に近い． rad tan /2 0 /2 1.0 1.0 0 共 振 時 ω＝ωn 位 相 位 相 tan 関数の値

- 50 - （ 解 説 2） 次に外力周 波数 f1と f2の と き の 概 略 図 を 図 K.10 に 描 く ． 図 K.10 （3.9） 0.62 1 10，000 0 6，200 1.63 1 10，000 0 16，300 モ ー ド 座 標 は ， 式 （3.49）よ り sin い ま ， 0， 4  rad s⁄ であるから 0.62 1 10，000 0 4 138.44 5288 6200 3072.96 2.02 1.63 1 10，000 0 4 365.69 95738 16300 89886.96 0.18 式 （3.50） より x 0.02  rad 179.4° 0.01 rad 0.57° 応 答（ 変 位 ） 入 力 5 Hz 入 力 0.5Hz 応 答（ 変 位 ） t t x 0 0

- 51 - 1 1   2.02 0.62 1 0.18 1.63 1 式 （3.52） より

sin sin 4 sin 4

        2.02 0.62₁ sin 4 0.18 1.63₁ sin 4 し た が っ て

1.25 sin 4 0.29 sin 4 1.54 sin 4   m 2.02 sin 4 0.18 sin 4 1.84 sin 4   m

減 衰 比 0であり，外力の 角振動数 は 1 次 モ ードの共振 点（ 例題 2.2 参照） 以 下 で あ る か ら ， 定 常 振 動 に お い て 入 力 と 応 答 の 位 相 差 は な い ． （ 解 説 ） 同 様 に 20  rad s⁄ と し て 10,000 sin 20   N の周 期外力を 与えたと きについ て考え て み よ う ． 0.62 1 10，000 0 20 138.44 5288 6200 50088 0.124 m 1.63 1 10，000 0 20 365.69 95738 16300 50538 0.18  m 式 （3.50） と式（3.52）より

sin sin 20 sin 20

0.124 0.62₁ sin 20 0.18 1.63₁ sin 20

し た が っ て

0.076 sin 20 0.29 sin 20 0.366 sin 20   m 0.366 sin 20t   m 0.124 sin 20 0.18 sin 20 0.056 sin 20   m

減 衰 比 0であるが，外力 の角振動数 は，2 次 モ ードの共振 点（例題 2.2 参 照） よ り 高 い の で ， 質 量 m1は 外 力 と 逆 相 ，m2は 外 力 と 位 相 差 は な い ． 結 局 ， 周 期 外 力 の 固 有 角 振 動 数 が 4[rad/s]のとき は，x1と x2は 同 相 で あ る が ，20[rad/s]の 場合には x1 と x2は 逆 相 に な る こ と が 読 み 取 れ る ．

- 52 - 第 4 章 （4.1） ① 伝 達 関 数 の 名 称 ： ボ ー ド 線 図 ② 片 持 ち 梁 の 1 次 モードを上 に 2 次モ ードの図を 下に描く．また，概略 図 に A 部 （ 励 振 点 ） と B 部 を指示する （ 図 K.11）． 図 K.11 ③ 伝 達 関 数 a， b， c， d に つ い て 式 （4.23） より | | 1 1 2 1 1 2 1 2 ： 伝 達 関 数 （i 点 を 励 振 ， l 点 の 応 答 を 観 測 ） ： 固 有 モ ー ド （i 点 と l 点 の r 次 モ ー ド ） ：r 次 モ ー ド の 減 衰 比 (1) A 部を加 振して，A 部の応答で ある伝達関 数 a 点 ： 1 次 モ ー ド で は ， _{AA 次 モ ー ド} b 点 ： 2 次 モ ー ド で は ， _{AA 次 モ ー ド} (2) A 部を加 振して，B 部の応答で ある伝達関 数 c 点 ： 1 次 モ ー ド で は ， _{AB 次 モ ー ド} d 点：2 次モードでは， _{AB 次 モ ー ド} A 部 A 部 B 部 B 部

- 53 - ④ 周 波 数 f1，f2に つ い て f1： 1 次 モ ー ド の 共 振 周 波 数 ⁄2 ⁄2 f2： 2 次 モ ー ド の 共 振 周 波 数 ⁄2 ⁄2 式 （ 2.73） よ り , , 1 , （4.2） 各 次 モ ー ド シ ェ ー プ は ， 伝 達 関 数 の 虚 数 部 の ピ ー ク を つ な ぎ 合 わ せ て 得 ら れ る ． し た が っ て ， 概 略 の 振 動 モ ー ド は ， 図 K.12 の 太 い 連 続 曲 線 で 示 さ れ る ． 図 K.12 第 5 章 （5.1） ① プ ロ ペ ラ 翼 の 振 動 ： 強 制 振 動 の 場 合 と 自 励 振 動 の 場 合 と が あ る ． 回 転 系 の 不 つ り 合 い ， プ ロ ペ ラ 駆 動 軸 の ト ル ク 変 動 に 起 因 す る 場 合 は ， 強 制 振 動 で あ り 駆 動 軸 の 回 転 次 数 と 振 動 の 関 係 を 調 べ る 必 要 が あ る ． 一 方 ， 高 い 周 波 数 で 空 気 の 速 度 が 速 い 場 合 に は フ ラ ッ タ を 生 じ 負 の 減 衰 状 態 と な り 自 励 振 動 に 分 類 さ れ る ． ② 自 動 車 の 前 輪 の 左 右 方 向 振 動（ シ ミ ― ）：強 制 振 動 の 場 合 と 自 励 振 動 の 場 合 と が あ る ． 前 輪 と 同 軸 で 回 転 す る タ イ ヤ ， ハ ブ ， ブ レ ー キ ド ラ ム （ デ ィ ス ク ） 等 の 不 つ り 合 い に 起 因 す る 振 動 で ， 特 に 左 右 輪 の 不 つ り 合 い が 逆 位 相 関 係 に な っ た と き 大 き な 振 1 次モー ド 2 次モー ド 3 次モー ド

- 54 - 動 と な る ． こ れ は 低 車 速 で も 生 じ る 強 制 振 動 で あ り 不 つ り 合 い 対 策 等 で 解 消 す る ． 一 方 ，高 車 速 で 生 じ る ，車 輪 が 左 右（ 向 き ），上 下 ，横 方 向 の 運 動 が 連 成 し 回 転 体 に ジ ャ イ ロ 作 用 に よ っ て 振 動 （ シ ミ ー ） が 継 続 さ れ る 場 合 は 自 励 振 動 で あ る ． 前 輪 系 を 含 む 操 舵 系 の ガ タ （ 間 隙 ） を 小 さ く す る こ と に よ り 操 舵 系 の 大 き い 慣 性 モ ー メ ン ト に つ な い で 振 動 を 抑 制 す る 方 法 や ， さ ら に 操 舵 系 の ギ ヤ 比 を 高 く し て 慣 性 モ ー メ ン ト を 大 き く す る こ と や ， 前 輪 回 り に 摺 動 抵 抗 を 与 え る 等 の 対 策 が 取 ら れ て い る ． 独 立 懸 架 の 場 合 に は 左 右 輪 の 連 成 が な く な り ， シ ミ ー は 発 生 し に く い ． ③ 自 動 車 の 乾 燥 式 ク ラ ッ チ の す べ り 時 に 生 じ る 駆 動 系 の ね じ り 振 動 ： 自 励 振 動 運 転 手 の 足 の 動 き で コ ン ト ロ ー ル す る 乾 燥 式 ク ラ ッ チ は ， い わ ゆ る 半 ク ラ ッ チ 時 に お い て 駆 動 系 の ね じ り 振 動 が 表 れ る と き が あ る ．駆 動 系 の ね じ り 1 次モ ード の 固 有 振 動 数 は ト ラ ン ス ミ ッ シ ョ ン の ギ ヤ 位 置 に よ っ て 固 有 の 値 を も つ ． こ の 振 動 原 因 は 乾 燥 ク ラ ッ チ 板 に 張 ら れ た フ ェ ー シ ン グ と 呼 ば れ る 摩 擦 材 の 負 性 抵 抗 に よ る 自 励 振 動 で あ る ． 一 般 的 に は 摩 擦 特 性 の 改 善 が 対 策 と し て 行 わ れ る ． ④ 自 動 車 の ブ レ ー キ （ 主 制 動 装 置 ） の 作 動 時 の ブ レ ー キ 鳴 き ： 自 励 振 動 タ イ ヤ を 取 り 付 け る デ ィ ス ク ホ イ ー ル の な か に 車 輪 と 一 体 と な っ て 回 転 す る ブ レ ー キ ド ラ ム ま た は ブ レ ー キ デ ィ ス ク が 装 着 さ れ ， 一 方 車 体 側 の 車 軸 受 け 箱 と 一 体 と し て 取 り 付 け ら れ て い る ブ レ ー キ ア ン カ ー に ブ レ ー キ シ ュ ー ま た は ブ レ ー キ パ ッ ド が 装 着 さ れ て い る ． ブ レ ー キ シ ュ ー や ブ レ ー キ パ ッ ド に は ブ レ ー キ ド ラ ム や ブ レ ー キ デ ィ ス ク の 摺 動 面 と 接 触 し ， 制 動 力 を 生 じ る よ う に ラ イ ニ ン グ が 取 り 付 け ら れ て い る ． こ の ラ イ ニ ン グ の 摩 擦 特 性 は し ば し ば 負 性 抵 抗 の 特 性 を 表 し ， 自 励 振 動 を 生 じ る ． 振 動 系 は ブ レ ー キ ド ラ ム ， ブ レ ー キ デ ィ ス ク と ブ レ ー キ シ ュ ー ， ブ レ ー キ パ ッ ド と の 共 振 が あ げ ら れ る ． ブ レ ー キ 装 置 を 取 り 付 け る ア ン カ ー ブ ラ ケ ッ ト の 振 動 特 性 も 関 与 す る 場 合 も あ る ． 対 策 に は ， ラ イ ニ ン グ の 摩 擦 特 性 の 改 良 の 他 ， 振 動 系 の 共 振 防 止 等 が 取 ら れ て い る ． こ の よ う な 連 続 体 の 振 動 の 共 振 は 接 触 し て い る 振 動 体 同 士 の 腹 と 節 が 共 振 周 波 数 を 同 じ に し て ， 一 致 し て い る 場 合 が あ る ． 腹 と 節 の モ ー ド の 一 致 を 防 ぐ こ と も 振 動 抑 制 に つ な が る ． ⑤ 飛 行 機 翼 の 振 動 （ フ ラ ッ タ ）： 自 励 振 動 翼 の 上 下 振 動 と ね じ り 振 動 の 相 互 作 用 に よ り 空 気 の 流 れ を エ ネ ル ギ ー 源 と す る 自 励 振 動 を 起 こ す ． ま た 翼 の 曲 げ 振 動 と 補 助 翼 の は ば た き 振 動 の 連 成 に よ る 自 励 振 動 も あ る ． こ の よ う に い ろ い ろ な 運 動 に つ い て 完 全 に つ り 合 い を と る こ と が 必 要 に な

- 55 - る ． 具 体 的 な 対 応 は 空 気 力 学 の 専 門 書 を 参 考 と さ れ た い ． ⑥ 回 転 機 械 の 回 転 軸 に キ ー 溝 ， あ る い は 扁 平 軸 を も つ 場 合 に 生 じ る 二 次 的 危 険 速 度 ： 自 励 振 動 た と え ば ，1 箇所 のキ ー溝がある 円形軸の場 合には軸の 慣性モーメ ントは 2 つ あ り 1/4 回 転 ごとに慣性 モーメント は最大と最 小を繰り返 す．したが って，軸の ば ね 定 数 は 回 転 数 の2 倍 で 変化するた め，軸を含 めた回転体 の固有振動 数（主危険 速度 ） の 1/2 の 回 転速度で自 励振動を生 じる．この 場合軸のば ね定数が変 化すること に よ り 振 動 が 生 じ る の で ， 自 励 振 動 の う ち の パ ラ メ ー タ 励 振 で あ る ． ⑦ 回 転 機 械 の 軸 受 に 用 い ら れ て い る ベ ア リ ン グ の 損 傷 に よ る 振 動 ： 強 制 振 動 ベ ア リ ン グ は 時 と し て ， ヘ ル ツ 応 力 に よ る 転 動 疲 労 を 起 こ し フ レ ー キ ン グ 等 の 痕 状 を 生 じ る 場 合 が あ る ． こ の 痕 状 が ベ ア リ ン グ 回 転 の 強 制 入 力 と し て 働 き ， 騒 音 の 問 題 と な る 場 合 も あ る ． ⑧ 回 転 機 械 に 取 り 付 け ら れ た 円 板 の 偏 心 に よ る 振 動 ： 強 制 振 動 回 転 円 板 の 偏 心 （ 質 量 の 不 つ り 合 い ） が あ る 場 合 に は ， 強 制 力 と し て 不 つ り 合 い 質 量 に よ る 遠 心 力 が 発 生 し ， 回 転 体 の 横 曲 げ 固 有 角 振 動 数 に 等 し い 回 転 速 度 に な る と き ， 共 振 現 象 を 示 す ． こ れ を （ 主 ） 危 険 速 度 と 呼 ぶ ． 軸 長 を 短 く し て 横 曲 げ の 固 有 角 振 動 数 を 上 げ る こ と や ， 偏 心 量 を 小 さ く す る こ と な ど が 対 策 と し て 取 ら れ る ． ⑨ 回 転 機 械 の 回 転 体 の 横 置 き に よ る 重 力 の 影 響 に よ る 二 次 的 な 危 険 速 度 ： 強 制 振 動 質 量 不 つ り 合 い の 円 板 が 軸 を 水 平 状 態 で 取 り 付 け ら れ て い る 場 合 ， 不 つ り 合 い 質 量 に よ る 遠 心 力 の 他 に 重 力 の 影 響 を 受 け ， こ の 強 制 加 振 力 の 角 振 動 数 と 軸 系 の 横 曲 げ 固 有 角 振 動 数 が 一 致 す る と 共 振 現 象 を 表 す ． 共 振 点 の 強 制 加 振 力 の 角 振 動 数 は 横 曲 げ 固 有 角 振 動 数 の １/2 で ある ．これを二 次的な危険 速度と呼ぶ ． ⑩ 電 線 に 風 が 当 た る こ と に よ る 風 切 り 音 ： 自 励 振 動 流 体 が 円 筒 形 物 体 に 当 た る と そ の あ と に 流 れ が 巻 き 込 ま れ て 渦 が 生 じ る ． レ イ ノ ル ズ （Reynolds） 数 に 関 連 し て 層 流 か ら 乱 流 に 変 化 す る と き に 生 じ ， こ れ を カ ル マ ン（Kármán）渦と呼ぶ．この 渦により電 線が振動す る場合にも ，あるいは 電線 が 振 動 し な く て も 音 は 発 生 す る と い わ れ て い る ． こ の よ う に 一 定 速 度 の 層 流 を 流 す こ と に よ っ て も ， 振 動 が 発 生 す る こ と に な る 自 励 振 動 で あ る ． ⑪ 自 動 車 が 走 行 す る と き に 路 面 の 凹 凸 か ら 受 け る 振 動 ： 強 制 振 動

- 56 - 路 面 の 凹 凸 は そ れ 自 体 が 空 間 周 波 数 を も つ こ と に な る が ， 自 動 車 が 走 行 す る こ と に よ り ， 走 行 速 度 に よ り タ イ ヤ が 路 面 か ら 受 け る 強 制 振 動 入 力 の 周 波 数 と な る ． 強 制 振 動 入 力 の 周 波 数 が 懸 架 装 置 を 含 め た 自 動 車 ボ デ ィ ， 自 動 車 の 各 種 装 置 や 各 種 部 品 の 固 有 振 動 数 に 一 致 す る 場 合 ， 一 致 す る 装 置 あ る い は 部 材 ， 部 品 等 が 共 振 現 象 を 表 す ． ⑫ 歯 車 装 置 に お け る 歯 車 の か み 合 い 騒 音 ： 強 制 振 動 歯 車 の か み 合 い 騒 音 は 歯 車 の ピ ッ チ 誤 差 ，歯 形 誤 差 ，歯 溝 の 振 れ ，歯 筋 方 向 誤 差 ， そ れ ら を 総 合 し た か み 合 い 精 度 ， 歯 あ た り 等 に 影 響 さ れ る 歯 車 の 歯 と 歯 が 当 た る 騒 音 で あ る た め ， 強 制 振 動 で あ る ． ま た ， か み 合 い 精 度 等 が 良 く て も ， 歯 車 を 回 転 さ せ る 軸 へ の 入 力 に 変 動 が あ る 場 合 に も 騒 音 に つ な が る ． 歯 が 疲 労 し て ス コ ア リ ン グ や ピ ッ チ ン グ を 生 じ て い る 場 合 に は ， さ ら に 大 き な 騒 音 を 発 生 す る ． ⑬ 内 燃 機 関 の シ リ ン ダ 内 の 燃 焼 に よ る 内 燃 機 関 の 軸 ま わ り の 振 動 ： 強 制 振 動 内 燃 機 関 の ピ ス ト ン ， コ ネ ク テ ィ ン グ ロ ッ ド ， ク ラ ン ク シ ャ フ ト 等 の 運 動 部 分 の 回 転 質 量 慣 性 力 や 往 復 質 量 慣 性 力 お よ び そ れ ぞ れ の 慣 性 偶 力 の ア ン バ ラ ン ス が 強 制 加 振 力 と な る ほ か ， ト ル ク 自 体 の 変 動 が 強 制 加 振 力 と な る ． 振 動 系 は ク ラ ン ク シ ャ フ ト の ね じ れ ， 曲 げ ， ピ ス ト ン と シ リ ン ダ の ス ラ ッ ピ ン グ （ 叩 き ） な ど が あ げ ら れ る ． そ の 振 動 は さ ら に エ ン ジ ン マ ウ ン ト 系 に 伝 わ り ， 内 燃 機 関 の ロ ー リ ン グ ， ピ ッ チ ン グ ， バ ウ ン シ ン グ 等 の 振 動 と な る ． 振 動 対 策 に は ク ラ ン ク シ ャ フ ト の 静 的 お よ び 動 的 バ ラ ン ス ウ ェ イ ト や 多 気 筒 と し て 総 合 的 な ト ル ク 変 動 を 減 少 さ せ る 他 ， ク ラ ン ク ダ ン パ ー や フ ラ イ ホ イ ー ル を 取 り 付 け る 等 ， 多 く の 装 置 や 方 策 が 盛 り 込 ま れ て い る ． な お ， ピ ス ト ン ・ ク ラ ン ク 軸 系 の ね じ り 振 動 は ク ラ ン ク 回 転 角 に 連 動 す る 慣 性 モ ー メ ン ト の 変 動 と な り ， 自 励 振 動 （ パ ラ メ ー タ 励 振 ） で あ る ． ⑭ 乾 性 摩 擦 で の 平 軸 受 （ す べ り 軸 受 ） の 隙 間 に 起 因 す る 軸 振 動 ： 自 励 振 動 間 隙 の 多 い 軸 受 の 中 の 軸 が 何 か の 原 因 で 隙 間 の 一 方 へ 偏 る と ， 軸 受 の 摩 擦 力 を 受 け る た め ， 軸 回 転 と 反 対 方 向 の 接 線 方 向 力 と な り ， 軸 は 旋 回 を 始 め る ． 軸 は 軸 受 案 内 の 中 心 に あ り ， 接 触 し て い な け れ ば 軸 は 安 定 で あ る ． 一 度 触 れ る こ と に よ っ て 生 じ る 不 安 定 振 動 で あ り ， 自 励 振 動 で あ る ． こ の 現 象 を shaft whipping と呼 ぶ． 《 補 足 》 潤 沢 に 潤 滑 さ れ た 平 軸 受 の 場 合 で も ， 軸 の 回 転 角 速 度 に 比 較 し て 軸 の 軸 受 ま わ り に 遅 い 旋 回 が あ る と き に ， 潤 滑 油 の 減 衰 作 用 は 負 性 抵 抗 を 示 し ， 自 励 振 動 を 生 じ る

- 57 - こ と が 知 ら れ て い る ． 第 6 章 （6.1） 矩 形 波 の 場 合 ， ⁄ ~2 ⁄ で2 であり， ⁄ ~ 3 22 ⁄ で である． よ っ て ， 式 （6.11）， 式（6.9）， 式（6.10） より 2 1 ⁄ ⁄ 1 cos ·          1，2，3， ⁄ ⁄ 1 sin ·           1，2，3， ⁄ ⁄ た だ し は 定 数 で あ り ， の こ ぎ り 波 の よ う に 部 分 積 分 を 行 う 必 要 は な い ． し た が っ て 2 1 2 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 0 1 cos · ⁄ ⁄ 1 · cos · ⁄ ⁄ cos · ⁄ ⁄ 1 1 sin ⁄ ⁄ ₁ sin ⁄ ⁄ 0       は 偶 数 の と き 4       は 奇 数 の と き 1 sin · ·1 cos · ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 0 し た が っ て 4 sin 1 3sin 3 1 5sin5

- 58 - 第 7 章 （7.1） a 点 に つ い て ： コ ヒ ー レ ン ス は 低 い が ， 伝 達 関 数 か ら 反 共 振 点 の 現 象 で あ る ． し た が っ て ， 反 共 振 で は 入 力 に 対 し て の 振 動 系 の 反 応 は 生 じ な い の で ， コ ヒ ー レ ン ス は 低 い が 計 測 に お い て 問 題 は な い ． b 点 に つ い て ： コ ヒ ー レ ン ス も 低 い が ， 伝 達 関 数 か ら み て 共 振 点 と 思 わ れ る ． し た が っ て ， b 点 の 振 動 周 波 数 に 関 し て ， 入 力 と 振 動 体 に 線 形 性 が な い 場 合 が 考 え ら れ る ． 構 造 物 が 非 線 形 性 を も つ 場 合 の 応 答 周 波 数 は 振 幅 も 位 相 も 無 相 関 に な る か ら で あ る ． あ る い は ， 実 験 現 場 に b 点 の 周 波 数 に 近 い ノ イ ズ や 暗 騒 音 が 混 入 し た 可 能 性 も あ る ． 打 撃 ハ ン マ の 先 端 チ ッ プ の 硬 度 選 択 の 誤 り ， 応 答 に ハ ン マ リ ン グ 以 外 の 入 力 が 混 入 し て い る ， リ ー ケ ー ジ （ 漏 れ ） が 生 じ て い る こ と も あ る な ど が 考 え ら れ る ． 実 験 現 場 の 状 況 や ， リ ー ケ ー ジ の 場 合 に は 用 い た 窓 関 数 を 確 認 す る 必 要 が あ る ． 打 撃 加 振 の 場 合 に は 精 度 向 上 の た め に ， 不 規 則 打 撃 加 振 法 を 行 う ． （7.2） (単位 )イン パルス入力 を受けた振 動系は，自 由振動を生 じる(7.4(3)項参照)． し た が っ て ， 運 動 方 程 式 は 0 に つ い て 解 く と ，第 1 章「はじめ に(2)」また は，式(2.16)，式(2.17)の減衰比 ζ 0と お い て sin tan こ こ で ， 初 期 条 件 を 求 め ， ₀ ， ₀ ， を定 める． い ま ， よ り ， ₀∆ ₀∆ こ の 式 は 質 量 と 速 度 の 積 で あ り 運 動 量 の 変 化 で あ る 力 積 で あ る ． ∆ の と き ∆ 0 1を選ぶと初 期条件は， 0 のとき ， 0 ， 1 ， 0と

- 59 - な る ． はインパルス に対する寄 与は時間∆ では無視する． し た が っ て ， 初 期 条 件 よ り ₀ 0 ，  1⁄ として， 1 sin た だ し ， ⁄

こ の を 「 単 位 イ ン パ ル ス に 対 す る 反 応 関 数(unit impulse response function)」 と い う ． (補足) 本 問 の 振 動 系 に 単 位 跳 躍 関 数 (ス テ ッ プ 入 力 )が 加 え ら れ た 場 合 を 考 え る ． 運 動 方 程 式 は １ 式 (3.11)の よ う に 一 般 解 は 右 辺 ＝ 0 の 基 本 解 と 右 辺 １ の 特 解 の 和 で あ る か ら ， sin cos 1 初 期 条 件 0， 0， 0 よ り ， ₁ 0 ， 2 1⁄ が 定 め ら れ る ． よ っ て 1 1 cos 単 位 跳 躍 関 数 に 対 す る 応 答 は イ ン デ ィ シ ャ ル ・ ア ド ミ ッ タ ン ス (indicial admittance)と 呼 ぶ ． 第 8 章 （8.1） 2 自由度系 であるか ら 1 次と 2 次モード が観測され る．観測点 を質点 1 におき ， 質 点 1，2 を順次加振 していくこ ととする．1 次，2 次 の固有モードに対し等 価剛性 ， が 固 有 モ ー ド と の 関 係 か ら そ れ ぞ れ 求 め ら れ る ．等 価 剛 性 ， に 加 振 点 i， 観 測 点 l の 記 号 を 付 し ， _，   （加振点 i=1，2 ; 計測 点 l=1）と おく． い ま 点 i を 力 の 振 幅 で 励 振 す る と き の 点 l で の 応 答 振 幅 を 考 え ， 固 有 モ ー ド ， の う ち 点 i と 点 l の 成 分 （ 等 価 剛 性 ）  ， を そ れ ぞ れ ， ， ， を 用 い て 表 現 す る と ， 式 （4.4）より

- 60 - ， ， ， ， つ ま り ， ， ， ， お よ び ， ， ， ， ， 固 有 モ ー ド は 振 幅 比 で あ る か ら ， い ま ， 仮 に _， を 基 準 値 （=1） とお くと _， 1 ， ， ， ， ， と 得 ら れ る ． _， と _， を 正 規 化 す る と （ 正 規 化 を 便 宜 的 に ， と ， で 示 す ） 正 規 化 と は ベ ク ト ル の 大 き さ を 1 にする こ とをいう．ベクトルの 直交座標構 成値 を 元 の ベ ク ト ル の 大 き さ で 除 し 求 め ら れ る ． _， の 場 合 は ， ， ， ， ， ， ， 1 1 ， ， ， ， ， 1 1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 ， ， ， ， す な わ ち ，1 次モー ド の質点 1 と質点 2 のモードは それぞれ 1 1 _{， ，} ， ， 1 ， ， 2 次モー ド の質点 1 と質点 2 のモードは それぞれ

- 61 - 1 1 _{， ，} ， ， 1 ， ， と し て 求 め ら れ る こ と に な る ． 第 9 章 （9.1） 回 転 次 数 2 次で回 転 速度の低い 方から高い 方まで振動 が発生して おり，回転 機 械 に お け る 回 転 2 次の加振源が推 測される． 振動系は回 転 1 次では 500rpm，回 転 次 数 2 次 で は 250rpm，回転次 数 3 次 で は 167rpm，回転次 数 4 次 で は 125rpm の回 転 速 度 に お い て 共 振 点 が 観 測 さ れ る ． 各 次 数 で の 回 転 速 度 を 周 波 数 に 換 算 し ， 回 転 1 次から 回 転 4 次ま でを記すと 500 60⁄ 1 250 60⁄ 2 167 60⁄ 3 125 60⁄ 4 8.33Hz で あ る ． し た が っ て ， こ の 回 転 機 械 は 回 転 2 次 の 加 振 源 を も ち ， 振 動 系 の 共 振 周 波 数 は 8.33Hz で あると推測 される． 外 力 が 働 く 場 合 に は ， そ の 外 力 の 周 波 数 と そ の い く つ か 倍 で あ る 振 動 体 の 固 有 周 波 数 で 振 動 モ ー ド が 表 れ る こ と に な る ． （9.2） 車 輪 軸 は 単 位 イ ン パ ル ス 入 力 に よ り ，車 輪 軸 の 固 有 周 波 数 480 Hz で自由振 動 を 励 振 さ れ る ．そ の 周 期 は 1⁄ である．一方 ，車 輪の回転速 度を N[rpm]と お く と ，1 回 転に 1 回 の単位イン パルス入力 の周波数 は ⁄60 rps で あ り ，周 期 は 1⁄ 60⁄ となる（ 図 K.13） ．

- 62 - 図 K.13 車 輪 軸 は 1 回の単位 インパルス 入力でその 振動は 0.2 秒で消失す るから，車 輪 へ の 単 位 イ ン パ ル ス 入 力 は 車 輪 軸 振 動 96cycle（ ＝ 480[cycle/s]×0.2[s]） 以 内 に 再 び 単 位 イ ン パ ル ス が 入 力 さ れ な け れ ば な ら な い ． こ れ よ り 300 rpm 480 cycle s⁄    96⁄ cycle rps で な け れ ば な ら な い ． さ ら に 振 動 は 対 数 減 衰 率 に 従 う か ら ， 式 （2.21）よ り 1 ln 上 式 に 96，    1，    1 1000⁄ を 代 入 し て ， 対 数 減 衰 率 0.072が 求 め ら れ る ． し た が っ て ， 同 様 に 1/100のときのサイ クル数 を 求 め る と 0.072 1 ln ₁ 1 100 よ り 64 が得られる． ま た ， ， を 互 い に 素 数 の 整 数 と お い て ， が 成 立 す る と ，2 つ （ 単 位 イ ン パ ル ス 入 力 と 車 輪 軸 の 振 動 ） の 振 動 は 周 期 T で 合 成 さ れ る か ら · 1 480 60 （ 波 形 省 単位インパ ルス入力 車輪軸の応 答 時 間 t 時 間 t 64 a a/100

- 63 - 60 480 1，    64 は互いの 素数であり ，そのと き N は 450rpm であり 最小の回 転 速 度 と な る ． つ ま り ， 車 輪 の 回 転 速 度 が 450rpm の とき車輪軸 の固有周波 数（ 周 期 64 ）と同期 する． 《 補 足 》 角 振 動 数 が 異 な る 2 つの振動が 合成された 場合の振動 は，その 2 つの振動の 周 期 と の 場 合 を 想 定 す る ． 互 い に 素 で あ る 整 数 値 （2 つの 整 数が 1 と 1 以外に 共 通 の 約 数 を も た な い 場 合 の 関 係 で ，つ ま り2 つ の整数の最 大公約数 が 1 の場合 ）を n1， n2と す る ．こ の と き が 成 り 立 て ば ，2 つ の振 動は周期 T にて合 成 され る 周 期 振 動 と な る ． ま た ， ⁄ ⁄ は 有 理 数 （ 分 数 で 表 す こ と が で き る ） で あ る ． こ れ 以 外 つ ま り 無 理 数 （√2，√5，  など）の場合に は周期振動 にはならな い．