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佐賀競馬における裁定機会の出現頻度
神 戸 大 学 経 済 学 部 芦 谷 政 浩 2013 年 1 月 芦 谷 （2012，国 民 経 済 雑 誌 ，第 205 巻 第 6 号 ）と Ashiya (2013)は荒 尾 競 馬における裁 定 機 会 の存 在 を明 らかにしたが，一 部 の読 者 から「これは荒 尾 競 馬 に限 られた現 象 ではないか？」との指 摘 を受 け た。そこで本 稿 は，2010 年 4 月 10 日 から 12 月 26 日までに佐 賀 競 馬 で行われた，出 走 頭 数が 7 頭 以 下 の全 134 レースのうち，3 レースにおいて裁 定 取 引の機 会が存 在 したことを明 らかにする。キーワード：arbitrage; pari-mutuel; market efficiency; betting; wagering.
657-8501 神 戸 市 灘 区 六 甲 台 町 2-1 神 戸 大 学 経 済 学 部
2 １．はじめに 公 営 賭 博 に お け る 裁 定 取 引 の 可 能 性 に つ い て は 古 く か ら 数 多 く の 研 究 が な さ れ て き た が ， 芦 谷 （2012）は日 本 の地 方 公 営 競 馬 （NAR）において「各 馬 について一 番 割 安 な方 法 で単 勝 馬 券 を合 成 し，１着 ・２着 ・３着 の着 順 がどうなったとしても払 戻 金 総 額 が勝 馬 投 票 券 の購 入 費 用 を上 回 るように勝 馬 投 票 券 を買 う」という裁 定 取 引 が可 能 であることを示 した。 この「レースの結 果 によらず必 ず利 益 が出 る勝 馬 投 票 券 の買 い方 」は，業 界 用 語 で“lock”と呼ばれている。1さらにAshiya (2013)は，2011 年 9 月 30 日から 12 月 23 日までに荒 尾 競 馬 で行 われた全 175 レースを分 析 し，このうち 2 レースで lock が可 能 であることを示 した。 しかし，これらの研 究 は，どちらも荒 尾 競 馬 を分 析 対 象 としている。このため，一 部 の読 者 から「lock は 荒 尾 競 馬 でのみ観 察 される現 象 ではないか？」との疑 問 が寄 せられた。 そこで本 稿 は，2010 年 4 月 10 日 から 12 月 26 日までに佐 賀 競 馬 で行われた，出 走 頭 数 が 7 頭 以 下の全 134 レースを分 析 し， このうち 3 レースにおいて裁 定 取 引の機 会が存 在 したことを明 らかにする。なお，本 稿の分 析において も，芦 谷 （2012）と同 様 に「馬 券 の最 小 購 入 単 位 」と「裁 定 取 引 によるオッズ変 化 」の両 方 が考 慮 されて いることは言 うまでもない。2 ２．裁 定 可 能 なレースの具 体 例
単 勝 i 番のオッズが Oi，馬 番 連 勝 単 式 i-j 番のオッズが Oijであるとしよう。いま仮 に，任 意 の馬 券 を 任 意 の数 量 だけ，オッズを変 化 させることなく購 入 できるとしよう。i 番が 1 着になったときに必ず 1 円の 払 戻 金 を得 る為 には，単 勝i 番 を 1/Oi円 購 入 するか，あるいは連 単i-j 番 を全 てのj ≠ iに つ い て 1/Oij 円 ず つ 購 入 す れ ば 良 い 。 よ っ て ， ど の 馬 が 1 着になったとしても必ず 1 円の払 戻 金 を得 る為に必 要 な馬 券 購 入 額 の最 低 値 は， ∑ min {O1 i, ∑ 1 Oij j≠i } n i=1 である。同 様 に考 えると，三 連 勝 単 式 i-j-k 番のオッズが Oijkであるとき， P ≡ ∑ min {O1 i, ∑ min { 1 Oij, ∑ 1 Oijk k≠i,j } j≠i } ≤ 1 n i=1 (1) が 成 立 す る な ら ば（ 総 費 用 1 円 以 下 の 馬 券 購 入 で 必 ず 1 円 の 払 戻 金 を 確 保 で き る の で ）裁 定 取 引 の 余 地 が 存 在 す る 。(1)式 は ，同 じ 馬 に 対 す る 単 勝 ・連 単 ・三 連 単 のオッズが大きく異 なってい るほど成 立 しやすくなる。 本 稿 で 分 析 対 象 と す る 134 レ ー ス に つ い て (1)式 の P の 値 を 計 算 す る と ，P<0.7 の レ ー ス は 存 在 し な か っ た 。0.7 ≤ P < 0.8の レ ー ス は 2 つ ， 0.8 ≤ P < 0.9の レ ー ス は 3 つ ， 0.9 ≤ P ≤ 1の レ ー ス は 8 つ 存 在 し た 。 つ ま り ，P ≤ 1の レ ー ス は 合 計 で 13 レ ー ス （ 全 体 の 9.7%） 存 在 し た こ と に な る 。 こ の 比 率 は ，Ashiya (2013)が分 析 した荒 尾 競 馬 の 値 （ 175 レ ー ス の う ち 20%） よ
3 り も か な り 低 い 値 で あ る 。 表 1 の 第 1 列 目 は ， こ れ ら 13 レ ー ス の 具 体 的 な P の 値 を 表 す 。 第 2 列 目 は ， 裁 定 取 引 に よ っ て 獲 得 可 能 な 保 証 利 益 額 （＝自 らにとって最も都 合の悪い着 順が実 現 したときの利 益 額 ）の最 大 値 を表 す（詳 細 後 述 ）。 次 に ，P>1 の レ ー ス に は 裁 定 取 引 の 余 地 が 存 在 し な い の で ， P ≤ 1だ っ た 13 レ ー ス に つ い て 裁 定 取 引 が 可 能 で あ る か を 検 討 し た 。 そ の 際 に は ， 単 勝 ・連 単 ・三 連 単 だけでなく，馬 番 連 勝 複 式 の存 在 も考 慮 した（今 回 は 7 頭 立 て以 下 のレースを分 析 したので，枠 番 連 複 は発 売 されていな い）。また，馬 券 の購 入 単 位 が 100 円であることと，裁 定 取 引 それ自 体がオッズを変 化 させることも考 慮 した。 日 本 の地 方 競 馬 （NAR）の単 勝オッズは，単 勝の総 発 売 票 数 を S，単 勝 i 番の発 売 票 数 を Siとする と， Oi= max {0.1 × INT [1 + 7.38SS i] , 1} (2) と い う 式 で 計 算 さ れ る （JRA と は 係 数 が 異 な る こ と に 注 意 ）。 こ こ で ， INT[x]は ， x 以 下 の 最 大 の 整 数 を 与 え る 関 数 で あ る 。(2)式 よ り 明 ら か に ， 裁 定 取 引 で 単 勝 i 番 を購 入すると，その オッズOiは低 下 する。このため，(1)式 は満たされにくくなる。 この影 響 を，2010 年 6 月 13 日の佐 賀 競 馬 第 2 競 争で確 認 してみよう。表 2 は，このレースの単 勝 馬 券 と馬 番 連 勝 単 式 馬 券 の最 終 オッズ（投 票 締 切 後 の確 定 オッズ）である。表 3 は，各 馬 券の発 売 票 数 である。このレースにおいて，保 証 利 益 額 が最 大 になる馬 券 購 入 の組 合 せは，表4 の第 1 列 目 で表 される。裁 定 取 引 の実 行 者 が表 4 の組 合せで馬 券 を合 計 131 票 購 入すると，単 勝 1 番のオッズは 63.5（表 2 参 照 ）から 49.9 に低 下する。このため，1 番が 1 着になると，裁 定 取 引の実 行 者 は 49.9×3 ×100＝14,970 円の払 戻 金 を受 け取る。また，2 番が 1 着になったときは連 勝 単 式 馬 券 のどれかが的 中 するので，32,900 円 から 78,940 円 の払 戻 金 を受 け取 る。同 様 に，3 番 が 1 着 になったときは 13,590 円 から 15,190 円 ，4 番が 1 着になったときは 13,630 円 ，5 番 が 1 着になったときは 13,760 円 ，6 番が 1 着になったときは 14,280 円の払 戻 金 を受 け取る。つまり，表 4 の組 合せの馬 券 を購 入 す れば，どのようなレース結 果 になったとしても，少 なくとも13,590 円の払 戻 金 を得 られる。表 4 の組 合せ の馬 券 を購 入 する費 用 は 13,100 円であるから，この裁 定 取 引の保 証 利 益 額 は 13,590－13,100＝ 490 円 となる。ちなみに，利 益が最 大になるのは「2 番が 1 着 ，5 番が 2 着」のときであり，（78,940 円 の 払 戻 金 を得 るので）65,840 円の利 益 を得る。 他 のレースについても同 様 の分 析 を行 ったところ，2010 年 7 月 25 日 佐 賀 競 馬 第 4 競 争 では，表 5 で示 される 24,100 円 分 の馬 券 を購 入することで保 証 利 益 額 が 2,900 円 になった。3また，2010 年 6 月 19 日 佐 賀 競 馬 第 8 競 争では，表 6 で示される 21,700 円 分の馬 券 を購 入 することで保 証 利 益 額 が1,180 円になった。 ３．結 語
4 本 稿 では佐 賀 競 馬 における裁 定 機 会 の存 在 を明 らかにしたが ，現 実 に裁 定 取 引 を行 う上 では ，芦 谷 （2012）などが指 摘 する各 種 の制 約 条 件 を考 慮 する必 要 がある。第 一 に，オッズ・データは馬 券 売 場 やインターネットで常 時 無 料 公 開 されているので，そこから現 時 点 での馬 券 総 発 売 票 数 と個 別 馬 券 の発 売 票 数 を逆 算 することは可 能 である。4 しかし，最 終 的 な総 発 売 票 数 は，馬 券 購 入 時 点 では原 理 的 に知 ることができない。このため，「投 票 締 切 直 前 において裁 定 可 能 なレース」を発 見 することは可 能 だが，そのレースが本 当 に裁 定 可 能 であったのかどうかは，事 後 的 にしか知 ることができない。第 二 に， 裁 定 取 引 が可 能 か否 かを判 定 するには ，細 かな計 算 が必 要 である。裁 定 条 件 式(1)の計 算 は，予 め 関 数 を組 んでおいたエクセル・シートにオッズ・データを流 し込 めば ，一 瞬 で完 了 する。しかし，(1)式 の P の値が 1 より十 分 に小 さいレースであっても，裁 定 取 引の余 地が存 在 しないことがある。例えば表 1 にあるように，2010 年 9 月 26 日 佐 賀 競 馬 第 1 競 争 は P=0.832 であったが，「必 ず儲 かる馬 券 の買 い方 」は存 在 しなかった。その一 方 で，芦 谷 （2012, p.87）は「P=0.9147 でも裁 定 取 引が可 能だったレ ース」を紹 介 している。今 後 の研 究 では，「裁 定 取 引 が可 能 となる P の閾 値 」が，（平 均 売 上 票 数 が異 なる）地 方 競 馬 の各 レース場 においてどのような値 を取 るのかを分 析 していきたい。 注 本 研 究 は JSPS 科 研 費 課 題 番 号 24530197 の補 助 を受 けている。佐 賀 県 競 馬 組 合 からは，貴 重 な 勝 馬 投 票 券 の売 上 明 細 表 を頂 いた。記 して感 謝 したい。 １．先 行 研 究 の紹 介 や仮 想 例 による lock の説 明 は，芦 谷 （2012）と Ashiya (2013)を参 照 されたい。 芦 谷 （2010）は，「オッズの歪み」に関する広 範 なサーベイ論 文である。 ２．これら２つの要 因 が裁 定 取 引 の障 害 になる理 由 と，その悪 影 響 の大 きさについては，芦 谷 （2012）と Ashiya (2013)を参 照 されたい。 ３．このレースでは 1 枠 1 番が出 走 を取 り消 したが，返 還 票 数 は 0 であった。 ４．具 体 的 な方 法 は，芦 谷 （2012）と Ashiya (2013)を参 照 されたい。 参 考 文 献
Ashiya, Masahiro (2013) “Lock! Risk-Free Arbitrage in the Japanese Racetrack Betting Market,” Discussion Paper Series No. 1301, Graduate School of Economics, Kobe University.
芦 谷 政 浩 （2010）「『穴 馬 への過 剰 な選 好 （longshot bias)』に関 するサーベイ」『国 民 経 済 雑 誌 』，第 202 巻 第 2 号 ，pp.13-28.
芦 谷 政 浩 （2012）「日 本 の公 営 競 馬における『競 馬 必 勝 法 』の具 体 例 」『国 民 経 済 雑 誌 』，第 205 巻 第 6 号 ，pp.81-91.
5 表 1 P ≤ 1だ っ た レ ー ス の 一 覧 表 競 争 名 P 保 証 利 益 額 の 最 大 値 7 月 25 日 4R 0.745 2,900 円 6 月 13 日 2R 0.775 490 円 6 月 19 日 8R 0.823 1,180 円 9 月 26 日 1R 0.832 マ イ ナ ス 7 月 3 日 6R 0.876 マ イ ナ ス 7 月 25 日 11R 0.915 マ イ ナ ス 6 月 19 日 2R 0.926 マ イ ナ ス 12 月 11 日 1R 0.929 マ イ ナ ス 6 月 26 日 1R 0.952 マ イ ナ ス 5 月 3 日 2R 0.955 マ イ ナ ス 6 月 20 日 1R 0.977 マ イ ナ ス 6 月 26 日 6R 0.977 マ イ ナ ス 8 月 22 日 4R 0.990 マ イ ナ ス い ず れ も 2010 年の佐 賀 競 馬
6 表 2 2010 年 6 月 13 日 佐 賀 競 馬 第 2 競 争の，単 勝 ・馬 番 連 勝 単 式 の最 終オッズ (1) 単 勝 1 2 3 4 5 6 7 Oi 63.5 23.4 1.2 5.7 21.2 14.9 8.0 (2) 馬 番 連 勝 単 式
Oij Oij Oij Oij
1-1 --- 2-1 557.8 3-1 156.2 4-1 139.5 1-2 355.0 2-2 --- 3-2 150.2 4-2 126.0 1-3 488.1 2-3 780.9 3-3 --- 4-3 8.6 1-4 216.9 2-4 355.0 3-4 7.0 4-4 --- 1-5 650.7 2-5 976.1 3-5 18.0 4-5 14.7 1-6 557.8 2-6 780.9 3-6 15.4 4-6 9.5 1-7 216.9 2-7 557.8 3-7 10.7 4-7 9.4
Oij Oij Oij
5-1 433.8 6-1 186.0 7-1 150.2 5-2 390.5 6-2 130.2 7-2 102.8 5-3 36.5 6-3 21.6 7-3 20.1 5-4 32.6 6-4 14.3 7-4 12.6 5-5 --- 6-5 27.9 7-5 37.6 5-6 45.4 6-6 --- 7-6 22.4 5-7 50.1 6-7 18.0 7-7 ---
7 表 3 2010 年 6 月 13 日 佐 賀 競 馬 第 2 競 争の，単 勝 ・馬 番 連 勝 単 式 の発 売 票 数 (1) 単 勝 1 2 3 4 5 6 7 Si 7 19 390 79 21 30 56 総 発 売 票 数 は 602 票 (2) 馬 番 連 勝 単 式
Sij Sij Sij Sij
1-1 --- 2-1 7 3-1 25 4-1 28 1-2 11 2-2 --- 3-2 26 4-2 31 1-3 8 2-3 5 3-3 --- 4-3 459 1-4 18 2-4 11 3-4 559 4-4 --- 1-5 6 2-5 4 3-5 218 4-5 266 1-6 7 2-6 5 3-6 254 4-6 415 1-7 18 2-7 7 3-7 365 4-7 416
Sij Sij Sij
5-1 9 6-1 21 7-1 26 5-2 10 6-2 30 7-2 38 5-3 107 6-3 181 7-3 195 5-4 120 6-4 274 7-4 310 5-5 --- 6-5 140 7-5 104 5-6 86 6-6 --- 7-6 175 5-7 78 6-7 217 7-7 --- 総 発 売 票 数 は 5,290 票
8 表 4 2010 年 6 月 13 日 佐 賀 第 2 競 争 において保 証 利 益 額が最 大になる馬 券 購 入の組 合 せ 種 類 購 入 票 数 追 加 購 入 後 のオッズ 的 中 時 の払 戻 額 単 勝 1 番 3 49.9 14,970 単 勝 4 番 29 4.7 13,630 単 勝 5 番 8 17.2 13,760 単 勝 6 番 12 11.9 14,280 単 勝 7 番 21 6.5 13,650 連 単 2-1 1 493.4 49,340 連 単 2-3 1 657.9 65,790 連 単 2-4 1 329.0 32,900 連 単 2-5 1 789.4 78,940 連 単 2-6 1 657.9 65,790 連 単 2-7 1 493.4 49,340 連 単 3-1 1 151.9 15,190 連 単 3-2 1 146.2 14,620 連 単 3-4 20 6.9 13,800 連 単 3-5 8 17.5 14,000 連 単 3-6 9 15.1 13,590 連 単 3-7 13 10.5 13,650 総 購 入 票 数 は 131 票
9 表 5 2010 年 7 月 25 日 佐 賀 第 4 競 争 において保 証 利 益 額が最 大になる馬 券 購 入の組 合 せ 種 類 現 実 の発 売 票 数 裁 定 取 引 の購 入 票 数 追 加 購 入 後のオッズ 的 中 時 の払 戻 額 単 勝 2 番 15 8 34.4 27,520 単 勝 3 番 26 14 19.8 27,720 単 勝 4 番 52 27 10.1 27,270 単 勝 5 番 29 15 18.0 27,000 単 勝 6 番 15 8 34.4 27,520 単 勝 7 番 125 63 4.3 27,090 連 単 8-2 100 6 48.4 29,040 連 単 8-3 212 12 22.9 27,480 連 単 8-4 205 12 23.7 28,440 連 単 8-5 295 17 16.5 28,050 連 単 8-6 152 9 31.9 28,710 連 単 8-7 909 50 5.4 27,000 裁 定 取 引 の総 購 入 票 数 は241 票 単 勝 の総 発 売 票 数 は937 票 馬 番 連 勝 単 式 の総 発 売 票 数 は6,835 票 このレースでは1 番が出 走 を取 り消 したが，返 還 票 数 は 0 であった
10 表 6 2010 年 6 月 19 日 佐 賀 第 8 競 争 において保 証 利 益 額が最 大になる馬 券 購 入の組 合 せ 種 類 現 実 の発 売 票 数 裁 定 取 引 の購 入 票 数 追 加 購 入 後のオッズ 的 中 時 の払 戻 額 単 勝 4 番 70 25 9.3 23,250 単 勝 5 番 91 32 7.2 23,040 単 勝 6 番 43 15 15.3 22,950 単 勝 7 番 24 9 26.8 24,120 連 単 1-4 1598 44 5.2 22,880 連 単 1-5 1691 47 4.9 23,030 連 単 1-6 564 16 14.6 23,360 連 単 1-7 251 7 32.8 22,960 連 単 2-4 19 1 422.8 42,280 連 単 2-5 22 1 367.7 36,770 連 単 2-6 22 1 367.7 36,770 連 単 2-7 30 1 272.8 27,280 連 単 3-4 27 1 302.0 30,200 連 単 3-5 15 1 528.5 52,850 連 単 3-6 16 1 497.4 49,740 連 単 3-7 19 1 422.8 42,280 連 複 1-2 115 6 41.1 24,660 連 複 1-3 141 7 33.6 23,520 連 複 2-3 20 1 236.7 23,670 総 購 入 票 数 は 217 票 単 勝 の総 発 売 票 数 は1,115 票 馬 番 連 勝 単 式 の総 発 売 票 数 は11,335 票 馬 番 連 勝 複 式 の総 発 売 票 数 は6,721 票
