液体貯槽における有限振幅液面動揺に関する研究 : (その4)軸対称回転貯槽の場合の理論展開とその球形貯槽への適用

【論 　 文 】 UDC ；624

．

9531624

．

042

．

7 日本 建 築 学 会構 造 系 諭 文 報 告 集 第403 号

・

1989 年 9 月

液体 貯槽

に

お

け

る

有 限振 幅 液 面

動揺

に

_関

す

る

_研

_究

（

その

4

_{） 軸対称}

回

転貯槽

の

場 合

の

理論 展 開

とそ の

球 形 貯槽

へ _の適

用

正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員

大

藤

松

松

森

原

井

岡

博

徹

司

＊

健

＊ ＊

哉

＊ ＊ ＊ 理＊ ＊＊ ＊ 　§

1．

序 　地 震 時に お け る液体 貯槽の動 的応答挙 動を予 測す るこ とは

，

これ ら の構 造 物の耐 震 設計を行う上で重要な課 題 の

一

つ である

。

貯 槽 内 液 体の動 的な応 答を 理論 的に扱 う 場 合

，

内 部の流 体は非 粘 性

，

非 圧 縮 性

，

非 回 転 性の三条 件 を満た す 理想 流 体と考え る

，

ポテ ン シ ャ ル理 論に基づ くの が_通例であり， 流体の持つ ス ロ ッシ ング固 有 振 動 数 や線形 応 答諸量 （貯槽側 壁での動 液 圧など ）にっ い て は_， 従来か ら 実 験 的 に得 ら れ る結果 と良く

一

致し た結果が報 告さ れて いる。 こ の こ と は

，一

般的な貯槽においては内 部の液 体を 上記の三条 件を満た す も の と し て扱っ て大過 な い ことを示すもの と考えて よい

。

そこ では_， 境 界 値 問 題に現れ る， 自由 表 面 境 界 条 件の非 線 形 性 を 省 略し て

，

基 礎 式 を線 形 化して扱う立 場が採ら れて お り

，

実 験 結 果 との 良好な対応か ら も

，

流体の動 揺が小さい場 合に は現 象を良く表現 し得る も の と考え ら れ る

。

し か し， 貯槽内 流体が地 震外乱中にわずかで も含ま れ る固有 振 勤 成 分に 対して選 択 的な共 振 現 象を起こ し

，

流 体の_動揺が増 幅さ れて大き な振 幅を伴 う振 動と な る場 合が あ る。 こ のよ う な場 合に は前 述の線 形 化 を 行 うことは で きず

，

液 面 動 揺 振 幅の有 限性を考 慮 し た扱いが 必 要 と なる。 　既 報］）

−

3） で は

，

貯 槽 構 造 物 として最 も 多く用い られ る 円筒形貯 槽につ いて， 液 面の動 揺が有限振 幅と なっ た場 合の剛体貯槽 内液体の振 動 を

，

定常振 動問題の観 点か ら 理論 展 開を行い

，

貯槽 内液 体の _有限振幅振 動に_伴っ て出 現 す る種々 の _{非 線 形 現 象}につ いて理論的 な考察 を 加え

_，

合わ せて振 動 台 実 験によりそ れ らの現 象の定 性 的

・

定量 的な検 証を_行っ て い る

。

本 稿は

，

昭和 62 年 度および昭和 63 年 度 日本 建 築 学 会 大 会 〔近 畿

，

関東1 に て公 表し たもの に加筆し

，

ま と めたもの であ る

，

　 　＊ 名 古屋 大 学 　 助 手

・

工博 　 ＊ ＊ 熊 谷組 　工修 　 i＃ _{名 古屋大 学 　助 教授}

・

_工博 　＃ ＃ t _{名 古屋 大 学 　 教 授}

・

_{工 博} 　 　 　 （1989 年 2月9日原 稿 受 理

，

1999 年 6 月 19日採 用 決 定 ｝ 　そこで の基 礎 式を誘 導す るに当たっ ての理論 的 根拠 は

，

J

．

C ．

　

Luke

‘｝_{に より与え られて いる変分 原 理であ る} 。 こ れ に基づい て直 接 法に よる解 析 を行う際に は

，

幾 何 学 的 境 界条件を満 足する仮 定 関 数 群を設 定する必 要が ある が

，

貯 槽が矩 形や 円筒 形である場 合に は それ ぞれ

Car・

tesian 座 標

，

円 筒座 標を 用いれば特に支 障な く解 析でき る

。

し か し_， 貯 槽 形 状とし て 円筒 形に次い で_繁用さ れ る 球 形 貯 槽につ い て は

，

さ きの側 壁 上での境 界 条件を恒 等 的に満たす 調和 関 数が存 在し ない ため， 直接 法 を 用い る ことが で きず， 別の手法による こと が 必要に な る。 　こ の よ う な問題に対す る解析の_手法と して_考え ら れ る もの に

，

領 域法的 解法 と しては有 限 要 素 法が_， また境界 法 的 解 法と して は境 界 要 素 法が考え ら れ それぞれ に利 点 が あ る が

，

ポ テン シャ ル流 体の ような

，

場 を 問 題 とす る 場 合に は

・

一

般 的に言っ て解 析 対 象の空 間 領 域につ いて は あらか じ め基 礎 式 を満た す関 数 を 用い_， 境界上での_未知 量の挙 動の み に着 目する境 界 要 素 法 が有 利と な る

。

さ ら に こ の_種の _{自由 表 面問}題に _{特 徴 的}な

，

自 由 境 界上の

Bernoulli

の 圧力 方 程 式は

，

ほ か の条件に加えて付 帯 的 に満足 さ せ る 必要が あ る が

，

これに は重み付き残 差 法 を 用い て平 均 的に満 足さ せ るよ うにするの が 妥 当であろ う

。

　 本 稿は

一

般 的な軸 対 称 回 転 形 状 を持つ 貯 槽 内の流 体の 有 限 振 幅の動 力 学 的な挙 動 を， ポテンシャ ル理論に基づ いて論 ずる もの で

，

_境界要素法お よ び重み付き残 差 法 を 利 用 し た 基 礎 式の誘 導

，

お よ びモ

ー

ダル ア ナ リ シス を と お して問題の _自由度を 低減し た 上で定 常 振 動 問 題とし て 定 式 化す る過 程につ い て記 述し

_，

その適用例とし て軸 対 称回 転体形状の代 表 的な もの であ る 円 筒貯 槽お よ び球 形 貯槽につ い て の数値解析 結果につ い て示 して い る。 また 振 動 波面の 回転現象であ るス ワ

ー

リングにつ い ても

，

前 報3〕_{と同 様}

_，

_{定 常 解の外乱加 振 面 内 成 分と同 面 外 成 分の} 間の非 線 形 分 岐 現象と して の_{観 点}か ら解 析を行っ て い る

。

得ら れ た 理論 解 析 結果 は

，

その妥 当_性お よ び精 度の

一

₁₃₉

−．

一

動 揺 液 面

　SF

：z＝ _η

（

x

，

Y

，

t）

　 　 　 　 　 静 止 液 面

S

x 側 壁 ST Fig　1_{軸対 称回転体形状貯槽}の_{記 号}と座 標 x 方 向 検 討 を目的と して同時に行っ た 振動 台実 験に よ る結果 と 逐

一

比較検 討が_行わ れ てお り

，

解 析 結 果と合 わせ て軸 対 称 形 状の貯槽内流体の動的非 線 形 挙 動につ い て_， 数値 解 析 例と して採用 し た 円 筒 形 と球 形につ い て の_結果の比較 を と お して

，一

_般的な考 察 を加えて いる

。

　 §

2．

基 礎 式の誘 導 　2

−1

境 界 値 問 題 　 軸 対 称 形 状を持つ _{貯 槽と内 部 流 体}につ い て の記 号およ び解 析に 際し て採 用 し てい る座 標を

Fig，

1に示す よ う に定め ること とす る

。

こ こに

y

は理 想 流 体 領 域，

S

は 各 境 界 面 を表し て お り

，ST

は貯 槽 側 壁

，

　

SF

は動 揺 液面

，

SF

_。

は静 止 状 態での液面 （静 止 液 面 ）を そ れ ぞ れ 表 して い る

。

既 述の よ う にこ こ で は内部の流体の動揺性状のみ につ い て解析対象を絞ること と し

，

貯槽の弾性変形等に つ い てはこれ を無 視す ること と す る

。

さら に

，

内部の流 体が非 粘 性

，

非 圧 縮 性

，

非 回 転 性の条 件 を 満 足 するもの とし て問題 を定 式 化する こ とを考え る

。

以

．

ヒの立 場は既 報1 ト 3〕_{に お い て も採 用され て い るもの で} ， 理論 解 析と模 型 実 験との比 較 検 討によっ て も妥 当なもの であ ること が 示されて お り

，

序 文に記 述し たよ うに通 常の液 体 備 蓄 用 の貯 槽が 地震 外 乱を受け る場 合の 内 部 流 体の扱い とし て は適 当 な仮 定であるものとい っ て よい

。

　 以上の よ うに考え れば所 与の問 題の支 配 方 程 式およ び 境 界 条 件は次の ように表さ れ る

。

　 　 　▽2ep

＝

o 　 　 　

in

　

V ・

…・

…・

…・

・

…一

_（1

−

a_） 　 　 　ep

．

n

・

＝

O

 on 　

S

_。

…………・

・

……

_（1

−b

_） 　 　 　ep

，

。

＝

・

n。rp

．

t　 　 on　

S

。

・

一 …・

・

…・

・

…・

（1

−

c＞ 　 　 　 ユ

ー．

　

−

　　　

q

・

t

−

←_至「▽q

°

▽ep

−

←

d ’

茄

＝

O







on



SF

−『

’

”『

（1

−d

） こ こ に_{， q} は速 度 ポテン シャ ル ， （｝

、

n は法線方向微分 係 数

，

nt は法線ベ ク トル の z 方向余弦

，

（ ）

，

t は時間に 関す る偏微分

，tt

は外 乱 加 速 度ベ ク トル

，

了は（x

，

　

y，

z）を表す位 置ベ ク トル であ り

，

（1

−

a） 式は理 想 流 体の 連 続 方 程 式

，

（1

−h

｝ 式は貯 槽 側 壁で流 体 粒子速 度の側 壁に対する鉛 直 方 向の成 分がOと な ることを示す もの で あ り

，

（1

−

c）

，

（1

−d

） 式はいずれも 動 揺 状 態で の 自 由 表 面 上で成 立する こと が要 求さ れ る境 界 条件で

，

そ れ ぞ れ 運 動 力 学 的条件式，

Bernoulli

の 圧力 式と呼ば れ る も の で ある

。

結局

，

こ こ での _{問 題}は _{（1 ）}式で_表され る境 界 値 問題 を

，

流 体 領 域

V

と境 界

S

上で の速 度ポテ ン シ ャ ル 関 数 epおよび自 由 表 面 形 状 関 数 ηを 未 知 量 として解 くことに帰 着され る

。

　2

−

2　 解 析 手 法の選 択

　

既 報1｝

−

1｝_{で は}

Fig．

₂

−

_{1に示す よ う な 円} 筒 貯 槽につ い て_， 本 稿と 同様の 目的で解 析を行っ て おり

，

基 礎 式の定 式化に は_円筒座標系が採用さ れてい る。 そこで は序 章に も述べ _{た よ う に解析手法と して変分 原理に基づ く直接 法} が 用い ら れている が

，

こ の_{方 法}が利 用で きる の は （1 ） 式で示さ れ る境 界 値 問 題 中

，

Laplace の方 程 式 （1

−

a｝ 式お よ び貯 槽 側 壁 境 界 条 件 （1

−b

）式の両 条 件 式 を同 時 に満たす仮 定関数 を次 式の よ うに_設定する こと ができ る ことによる

。

z 動 揺 液 SF

．

±

静 止 液 SF

［

： z 0 乃 同 Fig

_．

₂

−

₁円筒 形 貯 槽の座 標 系 Z Fig

．

2

−

2　矩形 貯 槽の座 標 系 P 向 Fig

_．

₂

−

_{3　 球形 貯槽}の座 標 系

一 140一

　

　

　

・・i（漁

一

廂 ）

（

囎 麗

x

重

！

淵

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

P・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一一一

（2） こ こ に

，

晦 ：

．

IA（Vni）＝

0，

‘諏 1

，

2

，

…

で あ り

，Jn

は第

一

種 n 次ベ ッ セ ル関 数を表す。 ま た r は動径 r の 変域を半径 αで正規 化し た もの で あ る

。

こ の表 現 を用いれ ば

，

直 接 法で ある Galerkin法 を 用い て 自由 表 面 上で の境 界 条 件 を満たす よ うに未 定 係 数 を決定 し

，

解 を 求める こ と が で きる

。

ま た

Fig．

2

−

2に示 さ れ てい る よ う な矩 形の_貯槽の場合も 円筒座標の代わ りに

，

こ こ では

Cartesian

座 標 を用い て次 式の よ うな調 和 関 数 を設 定す るこ と ができ る

。

　

　

　

・…n（・

・

・_・… 〕

一

（

激

訓

瀦

謡

）

　

　

　

　

　

　

　

　

　

・

（

：

！

譜

忽

ζ

）

…………・

・

一

_（3） こ こ に

，

　ノ

1

羨n

＝

λ髭十 λ義 で あり

，

（21 式と同 様に X_{， 雪，} 2 は矩 形 貯槽の それ ぞ れの方 向の長さで正 規 化し た座 標 を示 し てい る

。

円筒形 貯 槽の場 合 と 同 様

，

上 式 は

Cartesian

座 標 系で の

La ・

place 方程式と ともに

_，

_{貯 槽側 壁}での _{境 界 条 件 （}1

−b

_） 式をも同 時に満 足し てい る。 こ の ように円筒 形の貯 槽 形 状にっ い て は （2 ）式を

，

矩形の貯 槽につ い て は （3 ） 式 を用い れば

，

こ れらの関 数に付 随す る係 数 を自由表面 につ いて の残 差 を最 小にする よ うに決 定す るこ とにより 解 を求める こと が で きる

。

では

_，

球形の_貯槽の_{場 合}も同 じ よ う な方 針で解析で き る で あ ろ う か ？ 　

Fig．

2

−

3に_球形貯槽の _記号と座標を示し て い る

。

球 座 標 表 示での Laplace 方程 式の解

，

す な わ ち調 和 関 数は 次 式の形で表さ れ る。

　

　

　

・・・ ・・・…

e・

・…

一

・・ n ・

1

… S ・・

（

繋茸

認

〉

・

一

… こ こ に 理 は第

一

種

Legendre

の陪 関 数を表す

。

境 界 条 件 ｛1

−b

）式で示されて いる貯 槽 側 壁で の速 度ポテ ン シ ャ ル の 法 線 方 向 微 分 係 数は こ こ で は動 径 r に関す る微 分 と な り

，

これ が側 壁 上す なわ ち r

＝D

／2 （

D

：球の直径

，

f

；

r／（

D

／2＞

；

1 ＞で消失する よ うに_係数を制御す るこ と ができ ない こ と は式の形か ら自明 で あ る

。

円筒 形 貯 槽 の場 合も 矩形 貯 槽の 場 合 も

，

動 径 方 向の _関数 が そ れぞれ Bessel関 数

，

三角関 数の よ う な振 動関 数と なっ てお り

，

指 定さ れ た動 径座標 値に おいて微係数が消 失す る よ うに 座標を伸 縮さ せ ること がで き たの に対 して

，

動 径 方向の 関数 形が単 調 関 数であ るべ _{き級 数 関 数と な る球 座 標の場} 合には そ れ ができ ない こと が問 題の許 容 関 数 を設 定で き な い直接の要 因であ る

。

　さ らに Fig

．

1に示す ような

・一

般の軸 対 称 形 状の貯 槽 の場 合は

，

形 状を決 定して い る 母線 形 状の任意性から上 述の よ う な 調 和 関 数 を 用い た 方 法 を 採 用 す るの に は球形 貯槽の_{場 合 以}

．

_上に無 理があり， こ こ に別の解析 方 法を検 討す る必 要 性が生 じる こと とな る

。

　2

−

3Green の公式と重み付き 残 差 法の利 用 　以 上の よ う な理由に よ り， こ こで は球形貯 槽あ るい は さ らに

一

般 的に任 意母線を持つ 軸_{対 称}形_状の_{貯 槽 内 部}の 流 体の勤 揺を解 析す るこ と を 目 的 と して

，

以下に示す よ う な積 分 方 程 式を利用 し た アプロ

ー

チ を採 用す る。 　ま ず

，Laplace

方程 式が支配方程 式で ある場 合の境 界 要素法にお け る通 常の手 続と同 様に_， 調 和 関 数につ い て の

Green

の公 式か ら出 発 する

。

こ れ は次 式の よ うに表 さ れる

。

　

　

　

・・

Of

・・

一

傭

器

i

… ，

Q

）

　　　

　　　　

一

｛・（

Q

｝∂

嬲

）

i

_・・（

Q

）

・

一 ・

…・

… ） こ こ に

，

P お よび

Q

は それぞ れ面

S

上の_{基 準点 （}あ る い は参 照 点 ）および積 分 点を表し ており_， ψはこ こでの 問 題の速 度 ポテン シ ャ ル に対 応する三次 元の調 和 関 数

，

K（P

，

Q

）は 三 次元の ラ プラ ス方 程 式の基 本 解を表 し て お り次 式で与え られ る

。

　

　

　

・（・・

Q

｝

「

・

_芹

≒

．

1

．

・

・

…・

…………一 ・

……

_（・） こ こ に

7

．

，7

，は点 P および点

Q

の位 置ベ ク トル を表 す

。

（5 ＞式に_， （1）式で表さ れ て い る境 界 値 問 題 中の 最 初の三つの式 （1

−

a_）

〜

（1

−

c_）式 を用い れ ば次 式 を得る

。

　　　　

｝

可

Q

）∂n（

Q

）

　

。 。、

．

。 。

μ

S（

Q

｝

＝

o 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

……・

…・

………・

…・

・

…

（

7−

a_＞ （1）式で与え ら れて い る境界値問題の う ち， 残る境 界 条 件 式で ある

Bernoulli

の圧力式 （

1−d

）式にっ いて は こ れを 次 式の よ うな重み付き残 差 式に より平 均的に満足 さ せ ることを考え る

。

・・

Of

・）・

炉

Q

） ∂

嶽

）…

Q

＞

一

ゑ

｛

審

（眺 （P

・

Q

）

　　

∂

！

一

一

（

_ど・

Q

）

副

1

　

　　

ゑ

・

（

｛

聟

・

吉

if

…

▽

・・＋召

司

L

。

dS −

・ 　　 　 　　 　 　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

7−b

） こ こ に

，

w は重み関 数 を表し てい る

。

　結 局， （ユ

ー

_a）

〜

_（1

_−d

_{）式で与え ら れ る境 界 値 問題 は}

_，

（7

−

a_）式お よ び （7

−b

）式で_表さ れ る連立 積分方程 式に 置 換され たことに な る

。

す な わ ち上式で表さ れ る 連 立積 分 方 程 式を適 当な条 件の_下で解くこ と ができ れ ば

，

も と の境 界 値 問 題が解け たこと と な る。 こ こ に未 知量 は

，

理 想 流 体を包含する全 境 界 面上で の速度ポテ ン シ ャ ル関 数 ψおよび自 由 表 面 形 状 関 数 ηである。 　2

−

4　 自 由表 面 諸 量の評 価と周 方 向座 標 関 数の変 数 分 離 　（7

−

a

_，b

_）式に お け る未知 量 である速 度 ポテ ン シ ャ ル 関数 g〔

Q

）お よ び既知 量で あ る基本解

K

（

P ，

Q

）等は_， 動

一

₁₄₁

一

揺 液 面 z

ニ

η上で定 義さ れ るもの である が

，

z 方 向の指 定 境 界 面である 自 由 表 面 形 状 関 数 ηそ の ものが こ こ で の問 題の未 知量 と なっ て い て こ のま までの定 式 化は困 難 である

。

こ こ で は

，

これ らの諸 量 を 静 止 液 面 （平 均 液 面 ） 2

＝

0近 傍で テイラ

ー

級 数 展 開する ことによ り次 式の よ うに_評価する こ と とする

。

　　　

・・（

Q

）一 _・

1z

−

_{e ＋ ・}

書

睾

L

。 ＋

芸

・

券

1

。 。

　

　

　

　

　

　

・

畜｛

穿

L

・

…

　

　

　

κ（

P ・

Q

）−

K1

・

一

・＋・

書

鬘

L

． ・

妥

籌

。

一

。

　

　

　

　

　

　

　

・

｛

籌

1

＿ ＋

…

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　（8 ） 上式の ように扱うことによ り

，

式 中に_{陰 的}に混 入 して い た未 知 関 数 ηを表 式 中に陽に

，

し かも後の 数 値 解 析に 都 合のよいべ き級 数の形で導入す る こと が可 能と な る

。

こ こで， （

8

｝式の表 現か らも分か るとお り， 境界 上の 未 知 量で あ る速 度 ポテン シャル関数 ψの

，

_{分 割 対 象 境} 界で あ る静止液 面 境 界に_対 して 直 交 方 向 座 標で ある z につ い て の微 係 数が 必要と な る。 こ の よ う な要 素 分 割 境 界 面に鉛直方向の微分 は

，

そ の境界 面 内の関 数の挙 動を 記 述 する境 界 上 節 点 問の 内挿 関 数 表 示の み に基づ い て は 直 接 求める ことがで きず，な んらか の工 夫 が 必要と な る。 こ こ で は運 動 力 学 的 境 界 条 件 （1

−

c） 式 を 用い ることに よ り 目的の表 式 を得てい る

。

これ につ い て は付 録

一

ユ に 詳 述し た

。

　

ま た

，

軸 対 称 回 転 体 貯槽を 扱 うこ と を念 頭にお け ば， 周 方 向 座 標 θ に関す る関 数を次の よ うに変 数 分 離す る こ と が で き る

。

すな わ ち基 礎 式 中の諸量は周方 向座 標 θ につ いて フ

ー

リエ _{展 開さ}れ てつ ぎ の よ うに_表すこ と がで き る

。

　 　 　戯γ

．

θ

，

z）＝ Σ_ψ η（r

，

z）

fn

（θ）

　　　　　　　　

n 　 　 　η（？

闇

，

θ）

＝

ΣユOPn（r）

fn

（θ）

　　　　　　　

η

　

　

　

＾

　 　 　

K

（γ，θ，z ；デ，θ，

2

）； Σ】κ蒐（r，2 ；尹

，

を）

　　　　　　

。

_{C。sn （}θ

一

b

）

　

−’

_（9） 　 　 　w 〔r_，θ）

＝

Σ Wn （r）

fn

（θ）

　

　

　

f

・（・〉

一

（

宣

！

謐

）

また上 式 中で

K。

は次 式の よ うに表 現す るこ と がで き る5 ）

_。

　　　

κn（，

，

。 、e

，

2）

一

！（re ）

一

_｝

_Qn

₋

i

（λ_）

・

一 …・

…・

（1・） 　 　 　 π こ こ に_，

　　　

・

−

1＋（「

皿

黌

z

− 2

）2

_・

_・

_…・

_…・

_………一

（ll）

一

−．

一

円筒形貯槽の場台 ん ー l111 ⊥ 「 里 球形貯槽の場合 　 　 　 　ST

卜

一

・− 　 　 　 Fig

．

3 境 界 領 域の離 散化

ー

_」

耻

であ り

，

式 中

Qn

．

_t

は_{半奇 数}次の_第二種 Legendre 関 数 を表す。 　2

−

5 積 分方程式の 離 散 化とノ

ー

マ ル モ

ー

ド法の利 用 　（8）式

，

（9）式の_{級 数 表 示}を （7

−

a

_，b

_＞式に用い て 得ら れ る連 立 積 分 方 程 式は

，Fig．

3

に示す よ う に解析 対 象と な る境 界 を 適 当に分 割し

，

境 界 節 点にお け る未知量 に基づ いて諸量 の要素 内変化 をス プライン関 数に より近 似表示するこ とに より

，

通常の 境 界 要 素 法の場 合と同様 の離 散 化 表 示に導 くこ と がで き る

。

（

8

）式の

Taylor

級 数 展 開 次 数 を

一

次と し たうえで

，

必要な積分 を施 して 得られ る基 礎 式の

一

般 形は次の よ うに表さ れ る

。

　 　　舐 屮d丿十H 號d」＋H 盟

d

丿

d

陀十H盟

d

／

d

，

　　　　

＋

H

_懸の

飯

＋H 黝

d

、

d

泌 ＋H盟、

d

丿

d

、δ1

　　　　

＋α理」

0…………・

……・

・

……・

・

…・

…・

…

（12） こ こ に

，H

は 必要な積分 を施し て得ら れ る係 数 行 列を

，

d

‘は分 割さ れ た境界要 素上の各 節 点に お ける速 度 ポテ ン シ ャ ル p お よ び自 由 表 面形状 ηの 値 を 並べ て得られ る未 知ベ ク トル をそれぞれ表し

，

式 中 下 添字につ い ては 総 和 規 約に従 う もの と する （以 下 同様 ）

。

ところ が

，

上 式の この_{問 題}に_対する_{総 自}由 度は_， 未 知 諸量の要 素 内 変 化を考 慮せず

一・

定と仮定す る最 も 簡 単な場 合で も

，

［2×S，

・

＋

Sr

］XN （こ こ に

S。

は自 由 表 面 要 素 数

，

　

ST

は 貯 槽 側 壁 要 素 数

，N

は周方 向展 開 次 数の総 数 を表す も の とする）に よ り

，

少な く見積っ て も簡 単に 40

〜

50以 上の未 知 数とな り

，

次章に述べ _{る定常振 動 解 析 を行う}こ とを考 慮すると非 線 形 項の係 数をこ の ま まの形で 計算機 コア内で処 理す ること は

，

そ のこ と自体に無理 が あるば か りか計 算 効 率 も悪い

。

こ の よ う な 理由か ら

，

ここ で は ノ

ー

マル モ

ー

ド法 を採 用し

，

必 要な空 間モ

ー

ドの みを抽 出し て得られ る モ

ー

ダルマ ト リク ス を介して問題の _自由 度を合理的に縮 約する ことに よ り低自由度の計算を行う こと とした

。

な お

，

式 （7

−

a_）に_{対 応}し て得られ る_部分は_，

一

_{般の境 界 要 素法の場合と 同様} ， 係 数マ トリク スが非 対 称と な り

，

モ

ー

ダルアナリシスに際し ては 左右 両 固有ベ ク トル を 用い た直 交 化 操 作が 必要と なる

。

こ の こ とにっ

い て は付録

一

2お よび3に詳述し た

。

　以 上の モ

ー

ド縮 約 操 作を （12 ）式に施 し て_得られ る_基 礎 式は次 式の よ うに な る

。

　 　　 K が島十 κ留崎 十 κ歸妨銑 十

K

鴇批沈

κ

＋

1G

_{翫 丿餓} 　 　　　＋

K

_{跟両 銑}コσ，＋κ騾両 轟ゐ＋α鰐」

0・

…

（13 ） こ こ に

_，

採 用 空間モ

ー

ドを各周方 向展 開次数に対 して

一

次お よび二 次 振動 形 にと るこ と と す れ ばこの問 題に対す る_{総 自由度}は

，

2 _{（未 知 量}が速 度ポ テン シャ ル q と 自由 表面 形状O の 2種 類 〉×2 （採 用 振 動モ

ー

ド数 〉×

M

〈採 用 周 方 向 展 開 次 数 ）か ら 4M 個と なる

。

通常は

M

＝ 2

〜

_{3程 度である か ら} ， ノ

ー

マ ル モ

ー

ド法 を使わ ない場合 と比 較 して_， 計 算に必 要な自由 度は控え めに見積っ て も 1／4程度に は_{減 少}させ るこ と がで き る。 こ の こ と は

，

n 次の _{非線形 項}の_{係 数 行 列}に対 して

，

少な く と も（

1

／4？” の必要 記 憶 領 域へ の節 減 を も たら すもの で

，

振 動モ

ー

ド の選択さ え適 当なもの で あ れ ば， 非 線 形 解 析に際 して の こ の縮 約 操 作の もた ら すメ リッ トは き わ めて大きい

。

　 2

−

6　定 常 振 動 問 題と して の定式化

　

貯槽 内理想 流体の_{動 的}な挙 動 を支 配す る縮約さ れ た常 微分方程 式 （

13

）式に対して適 当 な 初 期 値の も とで

，

時 間に関する直接 積 分を施せ ば

，

初 期 値問 題の_解と して入 力 外 乱 加 速 度に応じ た流 体の逐 次 応答を得ること ができ る が

，

こ こ で は前 報 まで と同様

，

流体の動 的応 答 挙 動を 振 動 数 領 域で大局的に把 握す る た めに調 和バ ランス法を 適 用す ること に よ り以 下に示す ような定 常 振 動問題と し ての 定 式化 を施すこ とに す る

。

　境 界 節点 上 で の速 度ポテ ン シ ャ ル epお よ び自 由 表 面 形状 ηの モ

ー

ドの重み である未 知 量 を 時 空 間につ い て 次 式の ように展 開で き るもの と仮 定す る

。

　 　 　 Nc　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　Ns

　 　　銑 （置）＝ Σ

CtP

　cos 　_pωt十 Σ

l

　

Ste

　sin 　_qω t

…

（14 ） 　 　 　 P

−

o 　　 　　　 　　　 　　　　 　　　 q

−

1 （14） 式 を 調 和バ ラン ス法 の仮 定調 波と して （13） 式に 用い

，

_{各仮 定調波}ごとに_整理 す れば最 終 的に次 式の よ う な連立代 数 非 線 形 方 程 式を得る

。

　 　　ω濫  匚℃、＋酵 〕

C

，＋A1哉C，C。＋ω 24 盟 C」C配 　 　　　＋ω2A 躍

C

，

C

、＋

A

肌

C

，

qG

＋ω冱驟、

C

」

C

。

C

、 　 　　　十E藪1A 野十δyA ？ i

；

_O

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

15

） こ こ に_， 　 　　

ic

‘

lt

＝

Lclo

，　

c

、、 ，

…

，

sll

，

s

】2，

…

，　

c20

，　

c21，…，

　 　　　 　　

Sll，

　

S22，…

_」

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（16_｝ で あ り

，

ti_＝

_，

_砺 はそれ ぞ れの方向の _{外 乱 加 速 度}の _大き さを表し てい る

。

上 式は未知 量と し て （

14

）式の 各 仮 定 調 波の重み と基本円振 動 数 ω を含んで い る。 こ れ を適 当な条件の_下で解けば （

14

）式の_各空間モ

ー

ドに対する 重み が得ら れ， これ か ら境界要素に 分割 し た各 節 点で の 速 度 ポテンシャ ル ψお よ び自由表面 形 状で ある液 面 変 位 量 η が得ら れ る こと と な る

。

　2

−

7　ス ワ

ー

リング現 象の扱い 　序 章に も記述 し た よ うに_， ス ワ

ー

リングは_{貯槽内 流 体} の鉛 直軸 ま わりの振 動 面その もの の 回転現象で

，

加 振 を 受け てい る際に振 動 数

一

応 答 振幅 値 （液面 ヒ昇 量

，

動 液 圧な ど_）の_問にある_{条 件}が整う と

，一

方 向 加 振である に も か か わ らず発生す る もの であ ること が実 験 的に確 認さ れてい るS）

・

G）

・

211

_。

_{ま た外 乱} の強 度 （普 通は加 振 振 幅 値あ るい は加 速度の _大き さ） を

一

定に保っ た上で振 動 数を連 続 的に変 化さ せ る

，

振 動 台 を用い た

Sweep

　

Test

におい て

，

ある加 振 振 動 数に達するとス ワ

ー

リン グ が発生 し や す く なる とい う事

ee3L6

） は， 理論的に は加 振 面 内の振 動 （ス ロ ッ シン グ ；加 振 方 向で あ る x 軸 （

Fig．

1を参照 ） につ いて対 称の振 動 成分 ）に関す る 応答 曲 線上で の不 安 定 特異 点の存在を示 唆す るもの であ り

，

こうし た考え方 に基づ け ば

_，

加 振 面 外 方 向の 振 動 成分

X

同 じく

，

加振方 向 x 軸につ いて非 対 称の_振動 成分 ）は その 分 岐 成 分と し て派生す る と考え るの が自然である、 前 報 ’｝_{で はこ の} よ う な考え方に基づ き

，

簡 単な モデル を用い て そ の発 生 機 構につ い て の理論 的な検 討を加え_， さ ら に_{多 自}由度の 数 値 解 析 と 円 筒 形 模 型 を用い た振 動 台 実 験との比較に よ りこ う し た考え方が妥 当な もの であ ることにつ い て詳 し く論じ てい る。 本稿において も前 報と同様の観 点か らこ の現象を と ら え ること と す る

。

　 貯 槽 内の_{流 体}が加 速 度 外 乱の加 振 方 向に応 答し て振 動 する通 常の スロ _ッ シ ン グ時におい て は_， 加 振 方 向 をコc 方 向 として周 方 向 座 標 θの基 軸 をこれに

一

致さ せて と る こ とと すれ ば _（こ の_時

_，

_{外乱 加 速 度}の_{周方 向座標} θ に関す る関 数部分 は cos θ で表現さ れ るこ と に な る）

，

速 度 ポテン シャル 関 数 epお よ び自由表面 形状関 数 ηを （9 ）式に対 応 して次の _{よ う}に表 すこと がで きる

。

　 　 　ψ3（テ

，

θ

，

2

，

置）

＝

Σコψ藍（r

，

2

，

t）COS 　_nθ

　　　　　　

n

　　　　　　・

・

く

17−

a_） 　　 　ηs（T

．

θ

，t

）＝ Σ］_η謬（7

，

　

t

_）COS 　nθ こ こ に_{， ψ}お よび η の右 肩に付し た添字“s” は前述の 外 乱 加 振 面 内の x 軸に対す る対称 成分 を表して い る。 貯槽内の流体の_{応 答 振 幅}の_{微 小}

_，

_{有 限}にか か わ ら ずス ロ ッシング時に は常に上 式の よ うに_表すこ と がで き る。 こ の と き （14 ）式に対応する時空 間 成 分は

，

速 度ポテ ン シャル _epおよび自 由 表 面 形 状 ηの間の時 刻 位 柑 差 を 考 慮す れ ば そ れ ぞ れ次の よ うな対 応 関 係がある

。

　

　

　

黙

≦

_鴇

_蠶

  ω ‘

｝

・

…・

一

_（・7

−

_・・ 　上_{諸 式}が貯 槽 内流 体の通常の ス ロ ッ シ ング応 答を表 現 する の に対して

，

加振 外 乱 方 向に対し て直 交 方 向の応 答， す な わ ち x _軸につ いて逆 対 称 応 答 形 状 を もつ 振 動 成 分 が付 随的に発 生 す るス ワ

ー

リング発生時に お い て は_，

．

L

述の ス ロ ッ シン _{グ 応 答 成 分 以 外}に

，

新た に ス ワ

ー

リング を表 現する応 答 成分 が これ に付加 さ れ る

。

こ の付 加 的に 派生す る振 動 成分の関数 表現は上に示 し たス ロ ッ シング

一

₁₄₃

一

振動成分に対す る 形式に従っ て表現 すれば そ れ ぞれ次の よ う に な る

。

・空間成分_につ い て 　　　epKア

，

θ

，

2

，

　t_）

＝

Σ_ψ艶

，

2

，

　

t

）sin　nθ 　　　 　　 　　　 　　n　　　　　　　

…

　（

18−

a_） 　　　ηa（ア9 θ

，

t）

＝

±

Z

η＃（T

，

　

t

）sin　nθ 　 　 　 　n

。

_{時 空 間 成 分}につ い て 　　　 朔 テ_，2_，

t

｝

＝

qXr

，

2）COS ω置 　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　　　

’

昌

’

凾

’

鹽

”畠

’

（18

−b

） 　　　η籠

．

ε）

＝

η飾 ）sin ω孟　 　 　

．

こ こ に_{， ψ}お よび η の右 肩に付 した添 字

“

α

”

は前 述し た対 称 成 分の場 合 と 同 様に

_，

外 乱 加 振 面 外の振 動である 逆対称振 動成分 を表して いる

。

　以上 に示 し たス ロ ッ シングに対 応す る振 動 成分 とス ワ

ー

リン グに対 応 す る振 動 成分 と を未 知量 と して同時に 扱い

，

各 仮定調波の重み と基本振 動 数で_構成さ れ る空 間 内におい て

，

通 常の分岐点探索を行うこと に よ り

，

ス ワ

ー

リン グ発 生 点 （採 用空間モ

ー

ドの重みに対す る各 時空間 調波 成 分の振 動 振 幅 値

C

‘と振 動 数 ω とで構 成 され る解 ベ _{ク ト}ル 〉を求める こと がで きる

。

こ の ことは本 稿の表 現を用い れ ばこの分岐 点に おい て （15＞ 式の_未知量

C

， につ い ての第

一

変分式の値が消 失す る よ う な解ベ _{ク トル} （th

_，

　C ‘）を求め ることに対応す る

。

具体 的に式の形で表 せ ば_，こ の ス ワ

ー

リング発 生 点で あ る分 岐 点におい ては

，

次 式が成 立しな くては な ら ない こと を意 味して い る

。

　 　 　

detK

“

＝

0

………・

………・

………・

……・

…・

・

（19｝ ここに， 　　　

Kw ＝

in

．

41

ソL卜

A

甓十畝ハ嚴十

A

_嬲）

Ct

　　　 　　 十し

4

艱十

A

_鴇

3

）

C

κ十 のし

4

盟！十

A

嬲ε十

A

鴇岩）

C

κ

C

乙 　 　 　 十（A脇 十渦嬲‘十

4

臨 ）

C

産

C

‘

・

・

t…tt……

（20） で あ

rp

　

）

（tu

，

　Ci_）は

，

分 岐点である不 安 定 特 異点に お け る_収束 解 を 表す もの とす る

。

こ の 時

，

係 数マ

F

リク ス

Kw

に零固有値 が 必 ず

一

つ は存 在して_， こ の固 有 値に対 応 す る 固 有ベ ク トル が こ の特異点に おける分岐 方 向ベ ク トル

，

す な わ ちス ワ

ー

リング発 生直後の貯 槽 内流体の_付 加 的な振動モ

ー

ドを表現 す る もの と なっ ている

。

　 §3

．

数 値 解 析と球 形 模型貯 槽に よ る振 動 実 験 　3

−

1　 数 値 解 析 　 蔚章で示し た理 論 解 析 法につ い て の定 式 化に基づ き

，

円筒 形 貯 槽につ い て は主に前 報まで に示 し た変 分 原 理に よ る解 析 結 果 との比 較 を 行 うこ とに より

，

解 析 手 法の妥 当性と精 度 を 検 討し

，

さ ら に新たな形 状の貯 槽と して球 形 貯 槽を採 用し て_， こ れ につ い て内部 流 体の定 常 動 揺 解 析 を行っ た

。

双方の貯 槽 形 状を通じ て数 値 解 析に用い た 諸 量は次の と お りであ る

。

　 連 立 積 分 方 程 式の_{離 散 化}に _関して 　　 内 挿 関 数 ：_ep

，

_ηと も線 形 関数 （線 形 境 界 要 素） 　　要素数　：

S

。

・

10

分割

，SrlO

分 割

，

都 合

20

分割 　　　 　　 　　　（

ST・

円筒の時， 側 面 6

，

底 面4分割 ）

一 144 一

　各 級 数の_{採 用 展 開}次数に_関し て 　 　Taylor級数 ：定 数 項お よび線 形 項の 2項

　 　周 方向次数：sin θ

，

　sin　2_θ

，

　const

，

　cos _θ

，

　cos 　2

　 　 　 　θの 5_波 　 　採 用 空 間モ

ー

ド：

一

次お よ び二 _次モ

ー

ド 　 　調和 解 析 　 ：ω

，

2ω の各2波 　 （

7−b

）式に現れ る重み関 数 w につ い て も

，

速 度 ポテ ン シャ ル _epお よび 自 由 表 面 形 状ηと 同じく

，

境 界 要 素 内で線形変 化す る もの と して積分 を行っ てい る

。

また ス ワ

ー

リングに対す る解析の_際には （

9

）式に示す 周方 向 空 間座 標 関 数を

，

θ につ い て対称 成分 と非 対 称 成 分 を同 時に考 慮し て解析す る 必要が あ る が

，

ス ロ ッシン グの み の_解析の際に は対 称 成 分のみ採 用 して解析す ること がで き る

。

こ の こと はこ こで の計 算に際 しても用い ら れ て い る

。

　3

−

2　 振 動 台 実 験

　

前 報L ）

，

3 ）では数値 解析 結 果の妥 当 性お よ び精 度を検討 する目 的で円筒形 貯槽模型 を用い た振 動 台 実 験を行い こ れ につ い て の報 告を行っ た

。

今 回 も軸 対 称 形 状 貯 槽と し て 円筒 形 貯 槽に次い で用い ら れる_球形貯槽の ア クリル模 型 を用いて同 様の実 験を行い

，

数値解析 結 果の比 較 検 討 に供す ること と した

。

　Fig，

4

に実験 装置全体の概 要 を

，

　 Phoしo　lに_{実 験}に_用 い た球 形貯 槽の写真 を 示す

。

加 振 装 置は既 報2L3 〕に記 述 し た もの と同じ く

，

油圧制 御による ア ク チュ エ

ー

タ

ー

を 用い た もの で あ る。 球形貯 槽模 型は内 径50cm

，

厚 さl cm の透 明ア ク リル_製で

，

_内部に_仕切り板 を 設 置 する都 合上，上下の半球を適宜着 脱で き る よ うに作 られ て い る

。

この_中央 仕切 り板は

，

円 筒 形 貯 槽 模 型を用いた振 動 台 実 験の_際と 同 様に

，

ス ワ

ー

リン グ現 象を抑 止し た スロ ッ シ ングのみに注目し た加 振 実 験 を行う際に用い る もの で

，

着 脱 可 能な厚さ約

2mm

の透 明ガ ラス板が用い ら れて い る

。

また Fig

．

4で球 形 貯 槽 模 型直

．

L

に設 置さ れ て い る ス ライ ドプロジ＝ ク タ

ー

は， 前報 3）_に 詳 述し た グ リッ ド 投 影 法 を用い る た めの もの であ り

，

今回 は特に液 面 形 状 の加 振 方 向に対する非 対 称の_{振 動}成 分の検 出の た めに用 い ら れ てい る

。

　

§

4．

数値解 析およ び 振 動 台 実 験の結 果とその考察 　円 筒 形貯槽につ い て は前 報まで に得られて いる 理 論 解 析結果お よび実 験 結 果 を比 較 対 象と し

，

球 形 貯槽につ い て は今回行っ た振 動 台 実 験 結 果を理 論 解 析 結 果の比較対 象と して以 下に_考察を加え る

。

　 a_）ス ロ ッ シング 固有 振 動 数につ い て

　 Fig．

5にス ロ ッシング 固 有 振 動 数につ い て

，

解 析と実 験の_{結果 を過 去}の実 験 報 告によ る結果 と と もに示 す

。

円 筒 形 貯 槽につ い て は内 部 液 体の深 さに か か わ らず

一

次 振 動 数につ いて は良い

一

致が 認 め られ る

。

球 形 貯 槽につ い て は

，

h／D （

h

：_{液 体}深 さ

，

　

D

：球の直 径 ）が小さ い

，

ス ライ ドブ

囗

ジ

【

ク7

一

Fig

．

4 球 形 貯槽の振動台 実験の概 要 内容 液 量の_少ない部 分で解 析と実 験の結 果に差 異が 見 ら れ る_。 こ れ は液 体 深さ が小さい場 合に は内部の_液体が ほ と ん ど剛 体 的に振 動 する実 体 振子的な振 動が出現 する た め と考えら れ る

。

　

b

） 球 形 貯 槽 内 液 面の動揺 状態につ い て 　液 深が小さい 場 合 （

h

／

D ；

O

．

1

，

0

．

2）に は

，

内 部 液 体 は ほ と ん ど静 止時の形 状 を保っ た ま まで球の内壁に沿っ て滑る よ う に 剛体的に移 動し な が ら振 動 する

，

既 述の よ うな実体振 子的な振動が支 配 的とな る

。

こ の時

，

内部 液 体の 自 由 表面は ほ ぼ平 面を保っ たま まで乱れ は ほと ん ど ない。 これ は

，

球 形 貯 槽に特 有の動 揺パ タ

ー

ンで あ り

，

外乱加速度の レベ ル が大き く なっ て も 振 幅 が 大 き くな る のみ で

，

実 体 振子的 振 動で あ るこ とに変_化は な く

，

特に 第二主 共 振は肉眼 で は ほ と ん ど観 察できない くらい 小さ い もの で あっ た

。

液 深 が 大 き く なり_， h ／D

＝

o

．

4

−

o

．

6 Photo　1 ア ク リル製 球 形 貯 槽 模 型 t OO

．

盆

）

　o 掻 di 囮 （円筒 形貯槽の場合） 四 一 oo 占 ↑

図

＝

る

噌

一一

一

一

P

−一

一

一

レ

oo

齢

o oo

，

口 理諭解 析結果 【線 形 要 累 1 o 実敢 仭 o 『 可 湘

8

RO “ 口 o

，

％

．

00o

．

050

．

100

．

150

．

20　 　 　 　0

．

内 部 液 体 深 さ （H ／ D ） 　 　 　 Fig

．

5 O 口 　 ロ ロ

．

口

（

←

）

寮 匝 怛 圃 （球 形貯糟の場合〉

．

口 十 畢 口 口

_on

o 5τ ■ oo

・

マ

レ

▲

←一

一

一

D

一

口 口

．

口 N 十 o _RO o 周 口 理繭 鰐栃 結 果 〔線瑠 要 累 ） 『 o 実 駛 債

刷

△ _{震 験 画}2 り 十 実 験億 3 り 聯 9 旡

．

00　 　 　 0

，

200

．

4D0

．

60 囗

．

日o　 　 　 工

．

固有振動 数の液 深による変 化の様子 内 部 液 体 深さ （H ／ D ）

一

₁₄₅

一

oOn

ロ

　 　 　 　

ロ

づ

ロ

（

葛

_軋

∀

」

§ 畏 氏 O 　 　 　 　

嚀

Nn

：

0

蝙 皺 顯

・

_1Fll

　

l3

噛

O 　 　 　 　

ロ

覦

防＝

2

の飆麒攘 月 1’1 μ … 〜 ：

‘

O 　 　 　 田

，

O 　 　 　

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前報まで の円筒 形 貯 槽の場 合と同じよ う な液 面 変 化の _激 しい_{振 動}とな る

。

こ の 時， 液 面の動 揺が大き く激し く な るにつ _{れ て}砕 波 現 象が観 察された

。

厳 密で は な いが

，

応答液面の最 大 上 昇 量がそ の液 深で の 自由 表 面 半 径のお お よ そ ユ／10程 度に なっ た時に砕 波 現 象が観 察 さ れ る よ う に なっ た

。

こ の ことは

，

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9に な ると自 由 液 面と貯槽側壁の 接 触部分 が 急 こう配 の壁 面をか け登る

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度か け 登っ た 液 体が戻っ て く る勢い で液面 全体の動 揺が抑え られ る よ うな動き が見ら れ る†

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さ らに

，

第二主 共 振は ほ かの液 深の場 合よ り も か な り頭 著な応 答を示し

，

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