不安定トラスの剛体変位と安定化条件

【研 究 論 文】 UDC ；624

．

023

．

85 ；624

．

041

．

2 日 本建築 学 会 構 造 系論 文報 告 集 第356 号

・

昭 和 60 年IO月

不

安

定

ト

ラ

ス の

_剛

体変位

と

安 定 化 条 件

正 会 員 正 会 員 田

半

中

谷

裕

尚

＊

彦

＊ ＊ 　

1．

は じ め に

1

　形状 （幾 何学的 ）非 線 形 問 題に は

，

（

i

）安 定な構 造 物に荷重が作 用した と き に不 安 定とな る 「構造 安 定問 題 」

，

（

iD

つ

’

り屋 根や膜 構 造な どに生じ る 「不 安 定 構 造 の構造 問 題 」

，

など が ある

。

これ らの問 題に お け る共通 点は

，

不安定の時 点に お け る力 学 的 挙 動の_調査 が不 可欠 で あ ることにある。 しか し

，

不 安 定と な る時点では， 理 論 解 析に必 要と な る係 数マ ト リ クス が特異と なっ て お り

，

理論構 成が複 雑に な る と と もに

，

数 値 解 析も 困難と な る1）

・

z） Q 　 本論文は特 異 性や長 方マ トリク ス の処 理に有 力で あ る 「

一

般 逆行列」3L4L5｝ を利用 し て （の の問 題を検 討す る もの であ る

。

　ケ

ー

ブル構 造などに は微 小 変 位の範 囲 内か ら み る と

，

剛 体と

g

て運 動の _自由度を持つ ， い わ ゆる不 安 定 構造 が 用い ら れ ること がある

。

しか し

，

これらが構 造 物と して 採 用さ れ る理 由は

，

　 （1 ） 有限変位の_範囲に お い て_， 剛体と しての運 動の 　 　 　 　 自 由 度が拘 束さ れる構 造で あ るこ と 　（2）　自 己 応 力 （初 期 張 力な ど）の導入 に よ り

，

正の 　 　　　 幾何剛性を付 与 し得る こと に あ る。 本論文は， これ らの 2項 目 を検 討 する た め

，

微 小変位の範 囲にお ける剛 体 変 位の抽 出

，

有 限変位の範 囲 にお け る剛体変位の_存在 条 件， 自己応 力の存 在 条 件

，

自 己応 力の導入 に よ る安 定 化 条 件

，

な どを 明ら かにす るも の であ る

。

な お， 定 式 化に あ たっ て

，

構 造モデル と し て は剛体 トラ ス構 造を採 用 し て い る

。

　本 論 文は 7節か ら成っ て いる。

1

節は本論文の 目的と 位 置 付 け を 与え たもの であ る。

2

節は

3

節以下の記述に 必要とな る幾 何 学 的 関係 式 （変 位と伸 びの関 ｛_一　）

_一

と力学 的 関 係 式 （つ り合い式 ）を有限変位の _範囲 ま で

Euler

表 現に より定 式 化し たもの であ り

，

特に新しい こと で は な い

。

3節は 4節 以 下の_記述 に 必 要 と な る微 小 変 位の範 囲にお け る トラスの_分類を

一

般 逆 行 列を用い て行っ た も 本 論 文の

一

部は文献 〔5）で発表し た もの _であ る

。

寧 _{千 葉 大学 　 教 授}

・

_工博 林 _{東 京 大学 生 産 技 術 研 究 所 　 教 授}

・

_工博

、

　 （朗和59年5月23口原 槁 受 理日

，

昭 和60年4月22日改 訂 原 稿 受 　 理 日

，

討 論 期 限 昭 和 61年1月末日 ） の で

，

_真柄等Z）_に よ る通常の_行列 理論を用い た分 類と同 じ内容であ る

。

し か し

，

一

般 逆 行 列 を利 用し た線 形 方 程 式 系の_解の _存在 条 件 式に よ り理論 構 成は単 純かつ わ か り や す く なっ ている

。

ここで採 用した解の存 在 条 件 式 も数 学と して_新しい も の で ないが：〕

，4

お よび

5

節の理 解 を 深め る た めに

，3．

3

節に おいて 解の存在条件の物理的 意 味を述べ _{る と と も}に_{， 付録}に_解の_{存 在条件}の_説明 を付け 加え て おいた

。

　4

，

5

，・

6節は本論文の主題で

，

_微小変位の範囲におい て自 己 応 力の モ

ー

ドを持ち （通 常

，

不 静定構 造と呼ぶ _）， かつ

，

_{剛 体 運 動}の_自由度を持つ （_通常

，

_不安定構造_と呼 ぶ） 剛 体 トラ ス構 造に対し

，

有 限変位の立 場 か らの分類 を 行っ て いる。 4節で は有 限 剛 体変位の必 要 十 分な存在 条 件を示し

，

5節では自己応 力の導入 に よ る幾何剛性を 構 成し

，

剛 体 変 位モ

ー

ド との_関係 を 述べ てい る

。

6節で は

，

自己応 力の _導入に よ る安定化の_{十 分条件}を定式化し， 4

，

5節の結 果を利用し て安定の 必要条件を述べ た

。

ま た

，

安 定 化の た めの _自己 応 力導入につ い て説 明し た

。

　 7節で は3種 類の _{不 安 定} トラス_{構 造}を利用し， 有限 剛 体変位や自己応 力の導入等の具体例を述べ た

。

　

2．

基 礎 式 　2

．

1　 幾 何 学 的 関 係 式 　デ カル ト座 標 （0

−

xyz _）を座標系と し て採用す る

。

節 点 i （座 標 値 ：Xt

，

　

yt，

　Zt）と節 点

j

（X」

，

　YJ

，

　ZJ） を 結ぶ 直 線の _トラス _{部 材}を α （α

＝

1

，…，

．

m ＞と す る （図

・

2

−

1）

。

節点座標 値ベ ク トル と方 向余 弦ベ ク トル を 次式で置く

。

　 　 　 　Xi　 　 　 　 x丿　 　 　 　 砺 　　 　Xt＝ 　_銃　

，

　X」

＝

　 YJ　

，

　Aa

；

　μ‘丿　

・

・

…

　（

2−1

） 　 　 　 　2t　　　 　　　　 2」　 　　　　　　レ‘ノ z

．

」 i



a （Xj

・

yj

・

Zj ） （Xi _，yi

，

Zi ） O　 　 　 y x 図

・

2

−

1　 ト ラス部 材と節 点 座 標 値

部 材 長を

la

と す れば

，

　　　

1

。一 ［ t （x，

−

_xn

_（

_xJLxi ）］者

・

…・

……・

・

＿．

＿t−一

（2

．

2｝ こ こに

，t

は転置を表す。 部 材長

ta

を用い る と

，

方向 余弦ベ _{ク トル は次 式と な}っ てい る

。

　　

　

・・

−

t

（x厂 Xl＞

………・

・

……・

…・

…・

・

…・

…

（2

−

・） パ ラ メ「 タ

ー

tに関する微 分 を

d

（　｝／

dt ＝

C

）で表す と

，

（2

−

2

_．

）式よ り 　 　　

la＝

’

tAa （i厂 出 ）

……・

・

……・

・

…・

・

・

…………

（2

−

4）

　　　

」

α

＝

t λα（

XJ−

」ピt）十tλa （」ヒ丿

一

in

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（2

−

5＞ 上式に おける あを求め て お く と次 式と な る

。

　　　 ．

　

1

　 　 　

1

α

　　　

A

・一

t

（±厂

th

・）_「 吾（x ・

−

Xi）

”

∵

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”

（2

−

6｝ （2

−

4＞式をマ ト リッ ク ス表 示すると

　

　

　

［

−

t・a

刺圭

；

｝

−

ia

………・

・

……・

・

……

（2

−

・） 上 式 を全 部 材に拡 大し

，

境 界 処理 を行っ た後

，

整理 す る と次 式とな る

。

　 　　

Ai ＝

・

1 ・

・

…・

・

………・

・

………・

…・

………・

…

（

2−8

） 自 由 度 数を n

，

部 材数 を m とずると

A

は （m ×n ）

・

の 長 方マ トリッ ク スとなる

。

（2

−

8＞ 式が変位速度

i

と伸 び速 度

t

との間の関 係 式である

。

（2

−

8）式を

t

に関 して微分 すると，

　　　

AX

十

hi

＝

lr

−

，

　

A

≡

A

（

i

，　

i

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

一

…

　

（

2−9

） （2

−

5）式において

，

実 線 部 分が

AX

に

，

点 線 部分 が

Ai

に対 応してい る

。

　 　 　

．

　

剛部 材で は_，

i

＝

〜

＝

0

である か ら ，基礎 式は次の よ う に な る

。

（2

−8

＞

，

（

2−9

）よ り 　 　 　

AX

＝・

O ・

…・

…・

…・

・

・

・

…………・

…・

………・

・

_（2

−

1  　 　　

AX

十

A

_（

0，

£ ）

i ＝O ………・

………・

…

（

2−

11） こ こ で

，

（

2−11

）式の_第

2

_項を

φ

で表すこ とにす る。 つ ま り，

　　　φ

；

み

（

0

，

』

th

）

i …・

……・

・

…・

・

…・

……・

…・

…・

（

2−12

）

φ

の部 材 αに対 応す る成 分

ψ

。 は

，

（

2−5L

（

2−6

）式に お い て

1。

；

O

と 置 くことによ り 次 式 と な る

。

’

　　

　

il

・

一一

1

　・ （・・

…

n

（±，

−

ltn

…・

・

…・

……・

・

…

（2

−13

）

　

2．

2

　

力学

_印

関係式



．

　部材a に作 用し て い る軸力 を na とし

，

　na につ り合っ

lf

’zi

蹈

X

　　

f・・

lj

〜

亭

図

・

2

−

2 節 点 力と軸力 て いる節 点 力を節 点 iお よ びノに お いて

・

　　　 　　 　ん 　 　 　 　

f

｝x 　　　 fta

＝

　　

fiU

　

，

　

La

＝ 　　丿

5

_，　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2

−

14 ） 　 　 　 　

f

‘t 。　 　 　

fj

。 。 と する _（

函

・

2

−

2_）。 こ の と き：

，

部 材 a の つ り合い式は 　 　 　

一

λana

＝fia，

　

Mna

＝f

」a

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　《2

−

15）

上 式 を構造物全体でま と め る と 　 　 　

Bn ＝f ・

…

　

一

・

・

7・

・

tt・

・

・

・

・

・

…

　

7−・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　

r−

〔2

一

ユ6） こ こ に

，

n は軸力ベ ク トル

，

　

f

_{は節 点 力ベ ク ト}ル である

。

〔

2−

7｝ 式 と （2

−

15）式 を 比較す るこ とに より 　　　

B ＝

tA

…・

……・

…・

・

・

・

・

・

………・

………

（2

−

17） が成 立し ていること が わ か る_p これ は

，

反 傾 原 理と

_呼

ば れてい る

。

（2

−

17＞ 式 を 用いる と

，

（2

−

16）式は 　　　tAn ＝

＝f …・

……・

・

…・

・

…・

………・

……

_（2

−

18_） 上 式が軸力n と節点力 ’ との_間の関係式であ る

。

（

2一

ユ

8

〕 式 を tに関して微 分し

，

増 分 方 程 式を導く と 　 　 　tAh 十tAn

＝

’

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

一・

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2

−

19｝ 上 式を

j

節点につ い て具 体 的に示す と 　 　 　

Z

］［

M

亢a十Aana］

＝

Σ　fJa

…………・

・

・

…一

（2720） 　 　 　 a　 　 　 　 　　 　 　 　a こ こ に

，

Σは 丿節点に集ま る部材の和を

，

ま た

，

λ

。

，

λ

。

，

　 　 　 　 a

La

は （2

−

3）， （2 ：₆ ）， （2

−

_{14｝式で与え ら れて いる} 。 　自 己つ り合いの応 力 系 を 求め るに は

，f ＝

’

＝

0に お けるつ り合い式を利 用する

。

その場 合， （2

−

18）

，

（2

−

19 ） 式は

，

　　　

tAn

＝

₀：

…・

・

………・

・

…・

………・

…一

_（2

−

₂₁ ） 　 　 　tA 此十t／1（’

，

　

i

’）n

；

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

（2

−

22） （2

−

22）式の左 辺

q

第2項において，

1＝0

の

場

合を特に

　　　φ

；

tA （0，ま）n

…一 …・

・

…・

∴

……・

・

…・

……

（2

−

23） と置 く こ と にする

。

φを

j

節 点につ い て 具 体 的に示 す と

，

（2

−

6）式において

t。

＝0

と置き， その結果を （

2−20

）式 に代入し て

，

　

　

　

6

一

軟

〔

X

厂

t

・・）

…・

……・

・

・

・

・

・

_…

一 …・

・

（2

−

24＞ 　以 上の基礎式に おいて

，

（

2−8

）

，

（

2−18

）式が微 小 変 位 の範 囲にお け る

，

（

i

） 変 位速度と伸び 速度の関 係 式

，

お よ び （

ii

）つ り合い_式

，

．

を与え るこ とになる。 　さ ら に

，

〔

2−9

）と （

2−19

）式 を加え

，

4個の基 礎 式を 考 慮す る 場合が

，

有限変位 （こ こで は

，

有 限 変 位の第 1 近似で あるが）の_{範 囲}にお け る基 礎 式と なる。 　

3．

微 小 変 位の範 囲に お け る トラス構造 の分 類 　3

．

ユ　 幾 何学的 立場か らの分 類 　（2

−

8）式が基 礎 式とな る

。

再 録する と_， 　 　 　AX

＝t…・

…・

…・

…・

・

…・

…・

・

……・

…・

……

∵ （3

−

1）

，

上式が解を持つ 必_{要 十分}条件は

，

　 　 　 ［驫

一

AA

’

］1

−

e

…・

…・

・

…・

・

………一

・

・

・

・

……・

（3

−

2） こ こに

，

Imは m ×m の _{単 位}マ _トリク ス で あ

．

り

1

，

　 A

一

は

A

の

一

般 逆 行 列で あ る （

一

般 逆 行列の_{定 義}と線形方程 式 系の解につ い て は

，

付 録3吃 参 照の こと

。

な お

，

付 録

にある よ う に

，

線 形 方 程 式 系の解の存 在

．

条件は必 要 十 分 条 件である

。

以 後

，

単に存 在 条件と呼ぶ ）

。

A の ランクを r と する。 つ まり， 　 　 　rank （A）＝ ＝r

……・

・

・

・

・

…

　

…・

・

…

　

…………・

…

（3

−

3） こ のとき

，

（3

−

2）式の係 数マ ト リ ク ス の ラン ク は_， 　 　 　rank （塩

一

AA

−

）

＝

m

−

r

・

・

・

・

・

・

…

　

ttt

・

・

t・

t・

・

…

　（3

−

4） とな り

，

伸び速 度1は各 成 分の間に 　　 　

q＝

m

−

r

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

…



tS・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（3

−

5） の個 数の適 合 条 件で拘 束 されて い る ことにな る

。

言い換 零ると

，

q は独立な適 合 条 件の数で

，

不 静 定 次 数と呼ば れて い る もの である

。

　次に

，

．

剛 体 変 位 を調べ る。 部 材が剛の場 合

，

つ ま り， 伸び 速度1が零の場 合に は

，

（3

−

1）式は （2

−

10）式と な る

。

再 録す る と 　 　 　

Ath＝

o

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　 （3

−

6

．

） （3

−

2 ）式は満足さ れ る か ら解は存 在す る

。

こ の解は

，

d を任意の ベ ク トルと して

，

次 式で表さ れ る

。

　　 　

th；

［

ln−

1里

一

A

］

i ・

・

・

…

　

一一一・

・

一・

一・

・

・

・

…

　

．

・

9…

　

曁

・

・

（3

−

7） こ こ に

，

lnは nXn の単 位

．

マ トリク ス で ある

。

（3

−

3）式 より

，

A の ラ ン ク は r である か ら_， ｛3

−

7）式の_係数マ トリクス の ランク は， 　　 　rank （

ln− A

−

A

）

＝

n：

−

r

……

　

…・

…・

……

　

…・

（3

−

8 ） と な る

。

　　 　 P

＝

n

−

r

・

tt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

…



一

…

_（

3−9

_） と置 くと

，

p は微 小 変 位の範 囲にお け る剛 体 運 動の 自由 度で あり

，

通 常

，

不 安 定 次 数と呼ばれ ている もの であ る

．

。

　い ま

，

マ トリク ス_［

ln− A

”

A

_］を列ベ _{ク ト}ルで表す と 　　 　［右

一

A

−

A］

；

［臥，

hb …

，彪日

………・

（3

−

10 ） 〔3

−

8）

，

〔3

−

9）式よ り， 上 式にお け る線形独 立なベ ク ト ル の数は ρ個である か ら， そ れを

h

、

，…，hp

と す る と

，

（3

−

7）式は次式に ま と め ら れ る

。

　 　 　i＝ _ゐlal ＋ゐ、d

，

＋

…

＋ぬ。a。 ・

…・

…一 ……

（3

−

11＞ δ1

，…，dp

は任 意の ス カ ラ

ー

で あ り

，

　

h

，

，…，

　

h

ρは剛 体 変 位モ

ー

ドを表してい る

。

（3

−

10）式の列ベ ク トル のな かには零の もの も含ま れ る 場 合も あ る

。

島

＝0

の場合に は

h

∫

d

，

＝

Oで あ る か ら

，

0 で ない あ に対 して 剛 体 変 位 速 度は起 ら ない

。

また

，

hp

，

i

，…，

毎 の な か で零で ない列ベ ク トル _畆 は

h

_，

_，…、

hp

の線 形 結 合と して表 示で き る か ら， 係数

a

，を規 定す ること は

，

係 数

d

，

，…，

δρを規 定する こ とに含ま れて く る

。

例えば

，

h，

＝kh

，の場 合，　

hid

，＋毎 戯＝ 苑1（

d

，＋

h6

κ） とな り，

a

，， 戯 は任意の パ ラ メ

ー

タ

ー

で あ る か ら

，

ど ち ら を規 定し ても

，

剛 体 変 位モ

ー

ド

h

，を 表し ているこ とにな る。以 上より

，

本 論 文で は剛 体 変 位 速 度 詑 を（

3

−

7｝ 式の_形の ま ま用い るこ とに す る。 特に 鵡が零で ない

h

， の係 数で あ るこ と を 明確に す る 必要の あ る場 合には下に

一

_{を付 し て δ} ‘と書 くことにする

。

さ らに α‘を成分 と す るベ ク トル を δ と する

。

　 3

．

2　 力 学 的 立 場か らの分類

　

（2

−

18）式

_が

基 礎 式と なる

。

_再録す る と，

　　　

tAn

＝f ・

・

…・

…・

…・

………・

……

．

・

・

……・

・

…

（

3−IZ

） 上 式が解を持つ必要十 分条件は 　 　　 ［ln

−

tAtノ塾

一

ユ’

＝0 ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

…

_（3

−

13_）

一

_{般 逆 行 列の定 義よ り}

_，

tAtA

−＝

t_（

_A

−

_A

）

＝A ’A

で あ る か ち

，

　 　　 ［ln

−

A

−

A ］’＝ 0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

…

　

s−・

…

　

一一

一

_（3

−

14_） （

3−8

）

，

（

3−9

＞式よ り

，．

係 数マ ト リ クスの ランク は

，

　 　 　rank （

ln− A

⊃

A

）＝ n

−

r≡ p

……・

…・

……・

_（3

−

15_） で あ る。 こ の式は

，

節 点荷 重が剛 体 運 動の 自 由 度ρ と 同数のつ り合い式に よ

’

っ て拘 束さ れ るこ と を表して い る

。

　次に_，

．

_自己つ り合い の_内力系を調べ _る 。 節 点 荷 重が零 の場合

，

つ ま り

，f ＝0

の_{場 合}

_，

_（

3−12

_）式は （

2−21

）式 と な る

。

再 録 す る と

，

　 　　tAn ＝

0・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　_（3

−

16_） （

3−14

）式は満足 さ れ る か ら

，

解は存在す る

。

こ の解は

，

βを任意のベ _{ク ト}ル と して 　 　　　

＝

［

lm−

tA

−

tA ］β

＝

［

lm− AA

−

］β

…・

…

　；

…・

・

（3

−

17） 右 辺の係 数マ トリク ス の ランク は

，

（

3−4

｝

，

（

3−5

｝式よ り

，

　 　　rank （ム

ーAA ’

）

＝

m

−

r≡ q

…・

…．

・

…・

一

_（3

−

18_＞ 上式は自 己つ り合い の 内力系，つ ま り，自己応力（元応力 ） n は

，

不 静 定 次 数 q と同じ数の独 立な解を もつ こと を 示し て い る

。

こ こ で

，

　 　　［lm

−

AA

−

］

＝

［9L，92，

…

　，9

皿

］

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

3−19

） と して表 記し， 独 立な列ベ ク トル を91

，

g2

，

．

…，

9qと す る と

，

（3

−

17）式は次式に ま と め ら れ る

。

　 　 　n

＝

_9iβ，＋9認2＋

…

＋99βg

・

……・

……・

・

…・

（3

−

20） β，

，…，

βg は任 意の ス カ ラ

ー

で あ り

，

g1

，…，

蛎 は自己 応 力の モ

ー

ドを表してい る

。

　

前節の_（3

−

7 ）_，（3

−

10 ）_，（3

−

1ユ_）式で の説 明と同 様，（3

−

_19＞ 式の列ベ ク トルに は零の も の が含ま れ る場 合 もあ る

。

9」

＝O

の場合には

，

g，β」＝ 0であ る か ら

，

零で な い βに対 し て_自己応 力は生じ ない_。 ま た

，

g。刊

，…，

　g皿 の なかで 零で ない 列ベ _{ク ト}ル 9iCは

，

9i

，…，

9e の線 形 結 合で表 示さ れ る

．

前 節で 述べ _{た よ う}に

，

_βh を規 定す る ことは β、

〜

βq を規 定する こと と同

一

内容で あ り

，

重 複 するの みで区 別す る

．

必要は ない

。

以 上よ り

，

本論 文におい て は

，

n の 形と し て

，

（3

−

17）式 を 採 用 す るこ とにする

。

特に β‘が零ベ ク トルで ない 9iの係数で あ ることを 明 確にす る必 要の ある場 合に は 下 に

一

を付して β‘と書くことに する

。

さ ら に

，

_β‘を成 分と す るベ ク トル をβと す る。 　表

・

3

−

1に トラ ス構 造の分類を示す

。

　次章以降で扱う トラ ス構 造は次式 を満 足す る もの と す る

。

　 　 　p≧1

，

_q≧

1 ………・

・

………・

・

_（3

−

_21） す な わ ち

，

微 小 変 位の立 場か ら み て自己 応 力の モ

ー

ドを

表

・

3

−

1　 不 静 定 次 数 と 剛体 運 動の数 力 学

_的

幾 何 学 的 不 静 定 次 数 　 　 q 独 立 な 自 己_応力 　モr ド の数 解の存 在 条体 の 数 剛 体 運 動の 自 由度 　 　 　 　P 解の存 在 条件 の 数 独立な剛 体 運 動 　モ

ー

ドの数 持ち （不 静 定 ）

，

かつ

，

_{剛 体 運}

動

の _自由_度を持つ _{構 造}で あ る。 　 3

．

3　解の _存在_{条 件}の _解釈 　 （3

−

2｝式お よ び （

3−

14）式で_表さ れ る解の存 在 条件の 内容を説 明す る

。

　 任 意の可 能な剛 体 変 位 速 度 X と節 点 荷 重 ’の 仕 事 率 焼

f

は

，

’

　　　

t を’

＝

ti…t［

ln− A −

Al_］

f＝

ti_… ［

ln一

ノ｛

−A

］’

・

・

r・

・

（3

−22

） となる

。

こ こ て 

　　　　　

fi1

　　　　 ・

　　　　

fai

　　

・

　　　

占

．

軋

ら

．

［、。

．A −

。］，

．

4

・

．

．

．

（，

．

23）

　　　　　

占n

　　　　　　　　 ・

fan

　　

l 、

と置 く とジ

fa

は

f

に変 換マ ト リ クス ［

1

。

−

A

’

_{A ］} を掛け て得 ら れ る 占に対応す る荷重と

．

なっ て いる。 言い換え る と

，

ta 　fdは荷 重

f

。の仮 想 仕事率で あり

，

　

fd

‘は荷重 ち の atに対 応 する成 分と考え るこ と がで き る。 し た がっ て_， 解の存 在 条 件 （3

−

14） 式は

，

　　 　」『

α＝

O

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

…

　

t−・

t

−・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

…

　_（3

−

24 ） を 意 味し て お り

，

・

荷 重の _d に対 応 する成 分 が すべ て零 に な ること を示して い る。 別の表 現 を する と

，

（3

−

12） 式のつ

．

り合い式が解を持つ た め に は

，

任 意の剛 体 変 位 速 度に対 して仕 事 率が零 とな る荷 重 ’ を選ば なけれ ば な ら ない

。

　 次に

，

（3

−

2）式 を 考え る

。

任 意の可 能な自己応

・

力

．

n と伸 び速 度

1

との仮 想 仕 事 率tfil は

，

（3マ17＞式より 　　 　t雁

t

；

t_β［lm

＿

AAL ］

1…・

・

………

∵

・

…

（

3−25

） と なる

。

こ こ で_，

β

＝

1 　 2 　 　 飛 β

β

_．

．

．

一

β

，

ln

＝

［lm

−

AA

−

］

t

＝

と置く と

，

t β

1

β は仮 想 仕 事 率で あ り

，

成分と考え る こ とがで き る

。

した がっ て

，

の存 在 条 件である （3

−

2） 式は

，

　　　

is

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（3

−

27） と な り， 伸び速 度の β成分が すべ て零に な るこ と を 示 し てい る

。

　

4．

有 限 剛 体 変 位の存在 条件

　

最 初に単 純な例 を考え て み る

。

図

・

4

−

1の _（a_）

_，

_（

b

_）

lml

，21

　　

：

・

・

_（3

−

_26）

1

、mlnj は伸び め β， 　

．

（3

−

1）式の解

｝

」

f

　

lf

　　

（a）



_（b） 　 　 　 図

・

4

−

1　異な る剛 体 変位ド ともに微 小 変 位の範 囲 内におい て剛 体 変 位が生 じる

。

し か し

，

有 限 変 位の範 囲で考え る と

，

（a）は剛体 変 位が可 能で あるが

，

（

b

）におい て は不 可 能である

。

本 章で は_， 有 限 変位の範 囲で生じ る剛 体 変 位 を 有 限 剛 体 変 位 と名 付 け

，

そ の存 在 条 件を考える。 な お

，

2章の最 後に述べ た ように

，

本 論文で扱 う有 限 変 位は第 工次 近 似の意 味で あ る。　　 　 　

卜．

　 微 小 変 位の範 囲 内におい て

，

剛 体 変 位が存 在し て い る こと を前 提と する。 つ まり

，

1

＝

0 に対し て

，

（3

−

7）式 より

，

　

．

　 　 　　

’

　 　　 　 　 　

．

　 　 　 冗

．

　　　

」ヒ

＝

［ln

− ∠

4

−

∠

4

］d

　

（コb≧

1

）

…

　

一・

・

一

・

一一

∴

・

・

・

・

…

　

〔4

−

1）

　

∵ 上 式 を （2

−

12） 式に代 入する と_，

_φ

は d の_関数とな る

。

こ の

φ

を用い ると

，

（2

−

ll｝式は次 式 となる

。

　　　

AX

ニー

_φ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



1

・

・

・

…

　

（4

−

2）

　

、

（4

−

2）式の解の存 在 条 件は

，

　 　 　

引

　　　

［lm

−

AA

−

］

φ

＝

0

・

・

tt・

・

・

…

　

t・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

…

　

（4

−

3） と な る

。

（4

−

1）式の 士 を （2

−

12） 式に代入 し て

φ

を作 り， 零で な い （劇，

…

， dρ に対し て （4 −3 ）式が自動 的 に満 足され れ

．

ば

，

有 限 剛 体 変 位 速 度 （

dh …，

δ，） が 存 在

’

する 』d の （d，

＋

1，

」

・

・

，

丘n）が零でない値で

，

（4

−

3） 式を満足さぜる こ と が で き なけれ ば， 有限剛体変位速度 （戯＋1

，

・

…

ヤδn）は存 在し得ない

。

　こ こ で

，

．

（4

−3

）

、

．

式が満足 さ れ ない場 合1

・

つ ま り

，

有 限 剛体変位速 度が存在し ない場合につ い て_考察し て お く

。

　い ま

，t

＝

O

の条件_下で

，

（2

−

9＞式は

　　　

AX

＝

’

i

　L

．

φ

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

∫

・

・

・

・

・

…

　

曾

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（4

−

4） 上 式の_解の_存在 条 件は_，

．



・

　　　

［

lm− AA

−

］

φ

＝

［

lm− AA

−

］

〜

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−・

・

（4

−

5） 右 辺を

，

（

3−

26 ）式に_対応させ て

　　　

’

「

　　　　 　

』

．

’

i

。 置

　　　

’

i

，

一

［島

一

A4

一

］

1

_〒

lf

・

．

一 ・

……

_∵

…・

…

_（

₄₋₆

_） 　　　 　　 　　　 　　　 　

lpil

と お く と

，

（4

−

3）式の解の存 在 条 件は

，

（

4

−

S）式を参 照 　 　 　 ［ し て次 式と な る。

・

　　　

’

ip

＝

0 ・

…・

・

…

　

∴

・

・

・

・

・

…

　

∴

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　

宀

・

・

s−・

・

…

　

一

_（4

−

7_） 上 式 中

’

is

は _［

lm− AA

”

］の零で ない 列ベ _{ク ト}ル に対 応す る

賑

を成 分とするベ ク トル を 表 す。

’

（2

−

13） 式か ら わ かる よ うに

，

_らは_をの 2次 形 式であ る が，

IF

一

のなかに ら を含ま なけれ ば_{， 畠}キ0

，

他の_{成 分 を}，

＝

　O（hキ

j

）に対 し て （4

・

7）式が自 動 的に _成立 す る か ら

，

有 限変位 速度ら が存在す ることになる

。

　こ こで， 6節で用い る式を準 備して お く

。

有限変 位 速 度 らが存 在す れば

，

こ の _むキ

0

， 他の成分

dit

＝ rO ｛

k

キ

j

） に_対し て

　　　

ε β諺β

二

〇

……・

・

…………・

…・

……・

…………

　

（4

−8

） と な る有 限 変 位 らが存 在す る。 　5

．

幾何岡II性の構成 　微 小変位の 範 囲 に おいて剛体変位の_存在す る構造 （通 常，不 安 定 構 造と呼ぶ）を安定化す る

一

つ の方 法と し て， 自己応 力 （初 期 応 力 と も言う〉の導入 が あ る

。

3

．

2節で 述べ _{た よ う}に_{， q}≧

1

の場 合に は自己応 力は存 在する

。

本章で は， （

3−17

）式で与え ら れ る自己 応 力 を導入 し た 場 合の幾 何 剛 性の構 成につ い て述べ _る

。

　 微 小 変 位の範囲に おいて剛体 変 位 速 度は存 在して いる ので

，

（

3−7

＞式は成 立し てい る と す る

。

（

3−17

）

，

（

3−7

） 式を再 記す る と

　　　

n＝ ［

lm− AA

−

］β

・

…・

…・

・

・

………・

・

（5

−1

） 　　 　丿ヒ

＝

［

ln−

A

−

A ］dtttt

・

・

tt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（5

−

2_） （

5−1

）， （5

−

_{2）式の付 帯 条 件の もとで}

_，

_（2

−

_{19）式で与}え られ る増 分 方 程 式は

，

（2

−

23）式を利 用して次式と な る

。

　　 　tAh 十_φ

；

’

鹽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

卜

…



’

・

一・

・

一・

（5

−3

｝ （5

−

3｝式の解の _{存 在 条件}は

　　　　　　　 ロ

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　　 　［ln

−

A

−

A ］φ

＝

［

ln− A −

A ］

f −・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−・

・

・

…

　（

5−4

） （

3−23

）式に対 応 させ て_， 上 式の右 辺 を

　　　　　　

ja

，

fa＝

［

ln− A

−

A

］

f ＝

  … 飢

f

「

．

〜

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₅₋₅

_） と 置 く

。

こ のと き， （5

−

4）式は次 式と なる

。

［

ln− A

−

A

］φ

＝

’α

…

　

一・

・

・

…

　

一・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5

，

6） 3

．

3節で説 明し たように

，

［

ln− A

−

A

］の零で ない列ベ ク トル に対 応する fa の成 分 を

f

α

i と すれ ば

，

　

fai

はつ り 合いを 満 足する荷 重 速 度の _毳に対 応する成 分 と解 釈で きる

。

荷 重 速 度を変 位 速 度を与え た と きの反 力 速 度と考 え ると

，

∫ai は幾 何 剛 性の at成 分と解 釈する こ と もで きる

。

な お， （2

−

_{24） 式か らわか るよ うに} ， φは

d

の成 分 を係 数 とする線 形 結 合で表 示され る か ら， a の成 分 を ま とめる こ と に より

，

f

．＝

　Kc（_β）d と整理 する こ と もで きる。 Kc（β｝はいわゆる幾 何 剛 性マ トリク ス である

。

　次 節で必 要と な るの で

，

さら に付け加え て お く。

f

。i ts　

4

，と β，の双 1次 形 式で あり

，

もし

，

　

fai

の な か に βκ が ひとつ も含ま れて いな け れ ば

，

すべて の _{β 成 分}に対 して 　　　

fat

＝ 0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5

−

7 ） が成

．

立する

。

こ の よ うに_， 幾 何 剛 性が零の成分 を持つ場 合に は 　 　 　tdfa

；

O

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5

−

8） とな る変位速度些が存 在す る。 こ こ に

，

fgは ∫_塵 を成 分と す るベ _{ク トルを表す} 。 　

6．

安 定 化条件 　振 動法に よっ て

，

自己応 力の導入 に よ る安定化条 件を 検 討する

。

　

節点 iに質 量 mt が あ る と す る と_， （2

−

18＞

_式

より運 動 方 程 式は次式とな る。 　 　 　Mdi

＝−

tAn

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（6

−

1） こ こ に

，

_M

＝diag

（mt ）

。

前 章と同 様に

，

次 式は成 立して いる と す る。 　　　n

＝

_［1』

−

AA

−

］β

・

…・

…・

・

……・

・

…………・

…

（6

−

2） 　 　 　乏＝ _【ln

−

A

−

A_］

d ・

…・

…・

………・

…・

．

…・

・

_（6

−

3_） 　 （6

−

1）式の両 辺に 鴇 を左か ら掛 ける と 　 　 　t±MX

＝−

titzln

・

9・

P鹽

9・

；

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（6

−

4） 上式の左辺は

，

　

　

　

t ・M・

一

議

．

［

毒

・ 燃

］

・ ナ

…・

…・

一 一

_（6

−

・_） とな る

。T

は運 動エ ネル ギ

ー

で ある

。

　

T

_{を用いる と} 　　　

T ＝一

鴇  

4

肥

…・

………・

…………・

…・

……

（

6−6

） 　

t＝0

で静 止し てい る構造が微 小外乱 に よ り 運動エ _ネ ル ギ

ー

T（

O

）を 得たとする

。

この とき

，

　　　 T（

t

）

−

T（

0

）＜

0 ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

6−7

＞ が成 立 する場 合には，運 動エ ネルギ

ー

が減る か ら， （

6−7

） 式は安 定 条 件 となる

。T

｛

t

）を展 開す る と

，

　

　

　

T

ω

一

T〔

0

）

−

T

（

O

）

t

＋

a

　

T

（

e

｝

t

・ ＋

…・

・

…・

…

_（

6−8

_）

一

ヒ式に おい て

，

右 辺の第 1項

T

（

0

）は

，

（

6−6

）式に お け る n が （3

−

16 ）式か ら得られ た _（6

−

2）_式で あ ること よ り零 となる

。

よっ て_， （6

−

7）式の安 定の十 分条件は次式 と な る

。

　　　

テ（

0

）〈

0 ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　−t…

　t・

・

・

…

　一・

（6

−

9） 　 （6

−

6）式 を tで微 分する と 　　　τ

＝一

，

元tAn

−

titAn

−

tabtAh

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

6−10

）

i ，

n はそれぞれ剛 体 変 位および自 己 応 力であるか ら

，

（3

−

6＞お よ び （3

−

16 ）式を満足し て い る

。

よ っ て

，

上 式 は

，

　　　

T

（

0

）＝言

一

tittln

−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

…

　_（6

−

11_） と な り

，

（

6−9

）式の安 定の 十分条件は すべ て の可 能な変 位 速 度に対し

，

次 式 が成立 す るこ とである

。

　　　t±tAn ＞

O−一…



t’

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



t・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

…

_（6

−

_12） （2

−

23）， （6

−

_{3） 式 を 代入 す る と}

_，

t ［

ln− A −A

］

＝

［

ln− A −A

］ である ことによ り

　　　

ta ［ln

−

A

−

A

］

φ

＞

0 ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

∴

・

・

・

・

・

・

・

…

　

_（

6−13

_） さら に

，

（5

−

6）式 を 用い ると，

　　　　の

　　　tδ’

α

＞0

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



−t

_（6

−

14＞ 　あ るい は

，

（6

−

12）式に （2

−

12）

，

（6

−

2＞式 を代入 する と

’

　　　

ε

_φ

［

lm−

AA

’

］β＞0

…・

………

（6

−

15） と な り， さ らに， （4

−

5〕

，

（4

−6

）式 よ り得ら れ る

1

β を代 入すると

　　　

゜_〜 ββ蕈 ε β〜β＞0

・

…………・

・

…・

・

……・

…・

…・

（

6−16

＞

一

₃₉

一

と なる。 結 局

，

安 定の十 分 条 件は すべ て の可 能な変位速 度に対 し

，

（6

−

14） 式ま た は （6

−

16） 式が成 立する こと である

。

　4節で述べ た よ うに

，

有 限 変 位 速 度が

一

つ で も存 在す れ ば

，

（4

−

9 ）式が成 立す る か ら安 定で は な い。 また

，

5 節で述べ た よ うに

，

幾何 剛 性が零の成 分を もつ _{場 合}に は

，

（5

−8

）式が成立 す る か ら安 定では ない。 したがっ て

，

安 定の必 要 条 件は 「有 限 変 位 速 度が存 在し ない こと」およ び 「幾 何 剛 性が零成分を も た ない こと」である

。

　 こ こ で

，

必 要 条 件を満 足 する剛体 トラ ス構 造に 自己 応 力 を導 入 する方 法とそれ が十 分 条 件 を満 足 する かど うか を検 討する方 法を付け く わ え て お く

。

（6

−

12）式か ら （6

−

14）

，

（6

−

16） 式を誘 導し た過 程で判 るよ うに

，

　　　

tdia

＝

ε β

7

β

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　tt…

　t−・

・

・

・

・

・

・

…

　

（6

−

17） であ る。 最 初に

，

右辺の形を利 用して 自己応 力の導入 を 考えて み る。 （4

−

5）

，

〔4

−

6） 式より［

lm−

AA

−

］が対 称で ある こと を考 慮すると

　　　

噸μβ

＝

’

φ

［lm

−

AA

−

］β

・

・

……・

…………・

…・

（6

−

18） ［

lm− AA −

］のな かで零の行と列ベ ク トルを除い たもの を c とす ると

　　　

噸ββ

；

ε

φ

c_β

……・

…・

………・

・

…・

……・

・

・

…

（6

−

19） こ こ に

，

9

φ

は ［lm

−

AA

−

］の 0で な い行ベ ク トル に対 応 す るものである

。

　　　　　　

E

，

　　　

。β

一

［CL_，　c_、，

＿

_，。m］

E

・ −

lc

、β1＋。 zB、＋

＿

　 　　　 　　　 　　 　　　βm 　 　　　 　十 Cn_βml

’

’

’

”鹽

’

一’

’

”・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

…

　（

6−

20 ） と お く と

，

Ctの成 分 が 同 符 号 を もつ な らβ‘の符号を調 整 し てすべ て の e_{峨 を正}にす ること がで き る。 （2

−

13） 式で わか る よ うに

φ

の成分 は

0

で ない α に対して常に 正で ある か ら

，

e

ψ

cβ＞0 と す るこ と がで き

，

（6

−

19＞式 より

　　　

ε_’ ρβ

＝

t β　

’

i

β＞

0…・

・

…・

…・

・

…・

・

……・

…・

…・

・

（

6−

21 ） と な る βの導入 が可 能である

。

す な わ ち

，

［lm

−

AA

−

］の 0でない列の成分 が 同符 号 をもつ な ら安 定に な る よ うな 自己応 力 ρ）_導入 が必 ず可 能である

。

　次に _（6

−17

_）式の左辺の 形で考え る。

．

（5

−

6） 式 より fa は d‘の線 形 結 合で表さ れ る か ら

，

（6

−

21 ）式の 多 項 式はすべ て の項が

d

‘につ い て

2

次

，

β∫につ い て 1次で ある。 変 位 速 度δ‘キ

0

かっ ， 他の すべ ての 変位速 度 函

＝

_{0 （}

_j

キ

i

）に対して

，

（6

−

17）式の左辺 は 　 　　箔’α＝ 鹹

1

β丿 （

h

は定 数 ）

………・

（6

−

22＞ の形と な る

。

し たがっ て

，

すべ ての 独 立し た

b

‘に対し て

hdi

β∫が正と な る よ うに β，を 与えた後

，

すべ て の 鰍 ‘

＝1−

p ）の組み合わ せ につ い て （6

−

14） 式が成 立ず る か ど う か を 調べ _{れ ば よ}い

。

この こ とは

，

f

α

一

・

Kdi

_β）6 と

一 40 −．

．

表 示し たとき （5節 参 照 ）， ‘

dfa ＝

taK 。（β）

i

である か ら

，

K

，（β）が正 定 値 符 号で ある か どうか を調べ る ことを意 味 し てい る

。

　

7．

具 体 例 　3種 類の不 安 定 トラス構 造を利 用し

，

有 限 剛 体 変 位や 自 己応 力による安 定 化などの_{具 体 例}を 述べ る

。

　7

．

1　 自己応 力によ り安 定 化さ れ る不 安 定 トラス 　図

・

7

−1

の ト ラス_構造を考え る。 こ の トラスは

，

部材 − −

　　　

4

　　

t

，

3

　　2

re 寸

_．

創 　 　 　 O

口

　 　 XL 。 図

・

7

−

1 不安定 ト ラス モデル （1）

〉

　 　 　 　 　 　 　

，

　 　 　 　 　 　 　

一

汰

》

　 く 　 　 　 　

一

　 　 　 　 　 　 　

一

　 　 　 　 　 　 　

「

L冖

一

▽

『

ー

ー …

N

リ ノ

吠

Y

（ 「 「 −

＞

−

1

了

＞

₂

　 ／ ＼ ｝ 　

／

＼ 3 　 く （ 　

…

　

“

　

F

1ト

ー一

◎一

一

▽

　 （5）

《

．

＞

i

．

一

：

・

一

　

1

＞

，

一

一

一

▽

旧

…1

　 　 　 ’ 図

・

7

−

2　 剛 体 変 位モ

ー

ド

数 ：m ＝ 8 ， 全 自 由度 数 ：n＝ 12

，

かつ

，

rank （A）＝7 であ る

。

よっ て

，

p

ニ

n

−

r

＝

5

，

　q

＝

m

−

r

＝

1と なり

，

剛体変位モ

ー

ドは

5

．

個

，

自己応 力モ

ー

ドは

1

個

，

存在す るこ と が わ か る。（

3−10

）

，

（

3−19

）式に従っ て剛 体 変 位モ

ー

ドお よ び自己応 力モ

ー

ドを求め る と図

・

7

−

2および図

・

7

−

3とな る

。

な お

，一

般 逆 行 列お よ びラ ン ク の数 値 計 算 図

・

7

−

3 自己応 力モ

ー

ド

o

　 x

L

、

o

　 x 尸 寸

_．

創

2

1

5

　 　

3

4

LO

　 　x

L

、

O

　 　X

1

，

3

，

5

　

2

coh o 図

・

7

−

6 不安定トラス モ デル _（3_）

．

M

1

，

32

図

・

7

−

4 不安 定 トラス モデル （2 ）

宙

C2， 　 　 N 　

！

　 　　 　　

、

　∈

　　　 ！

　 丶

w

　 〔2，

　　　ノ

　

N

・一

一

4

_≒

一

一

　 　

、

、

　　

，

ノ

丶 　 　 　 ’ 丶　　　　　　　！ 　 　 　 　　 　 　 　 　

ノ

　

し

　　　 　　　　 　　　　 　　

？

　

丶〜

シ

1 　 　 　 　 　

一

　 　 　 　 　 ♪ 　 　 　 　

丶

　

　

　

！ 　 　 　 ＼ 　

一

／ 　 ー へ ー 11

〒

1 　 　 　 ／ 　 ＼  

．

噂 ＼ 　 　 　 　 　

｝

o 丶

丶

＼ 丶

、

丶

　 ！

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一

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ノ

ノ

／

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門 り  

、

_、

_、

　  

一

一

一

气

_、

_、

、

丶

》

　

　

　

一

　

　

　

一

ノ

’

〆

〆 ヤ

漉

　 　 鰰 　 　 η

4

図

〃

’

K

丶

　」

＿

（4，

　　　

ヌ

_、

　 　

！

ノ

　

、

＼

一

一

一

｛　 　　 　 　 　〉

一

一

一

　 丶 　 　 丶 　 　

丶

　　 　

！

　 　

丶

　t

、

丶 　 丶 　 、

〃

！

1．

41

一1

刀



＼

〈

し

／

　 図

・

ア

ー

5　剛 体変位モ

ー

ド 1

．

41

噌1

一11

．

41

図

・

7

−

8

一

₁ 　i

．

41

　：

　：

　： 自己応 力モ

ー

ド