3次フルーエンシDA関数による標本化関数の代用

(1)

3 次フルーエンシ DA 関数による標本化関数の代用

関口明生

（電子制御工学科）

Signal Reconstruction

using Cardinal Basis Spline Function of Third-order

SEKIGUCHI Akio

(Department of Control Engineering)

Abstract: Cardinal basis spline functions of second-order and third-order was clearly denoted, in order to encourage

its recognition and new applications in the future. The basis function of infinite-order, which is known as the sampling function sinc(t), is used for the perfect reconstruction of the original signal from its periodically-sampled signal, based on the sampling theorem. By using the basis function of second-order or third-order as substitute for the sinc(t), we can reconstruct a continuous signal with frequently required smoothness of C1_{or C}2_{continuity, under smaller amount}

of calculation. The reconstructed signals are also denoted in matrix forms of their polynomial equation, respectively.

Keywords: fluency information theory, signal reconstruction, interpolation, C2_{continuity, cardinal basis spline}

1. はじめに

「標本化定理」1,2) _{といえば工学の多くの学生が} 習う。「角周波数の最大値が_fmaxの信号f(t)を標本化 する際には、少なくとも_fmaxの2 倍より高い周波数で標本化すべきである。このとき元の信号 _f(t)を標 本化関数sinc(t)と標本値 f(kT)（k は整数）から ( )sinc k t kT f kT T         



(1) によって完全に再生できる」ということである。一方、寅市らの称するフルーエンシ情報理論を代表するフルーエンシDA 関数3-5) _{は、その有用性に} もかかわらず、ほとんど知られていないように見受けられる。例えば、フルーエンシDA 関数が記載された国内の書籍を見つけることは困難である。海外の文献6) _では_{cardinal basis spline と称される例を見}

つけることができた。学術的あるいは技術的な利用については信号の再生すなわち補間のみならず微分・積分・平滑化・データ圧縮など多くの伸び代があるように考えられる。筆者は9 年ほど前に 2 次のフルーエンシ補間を知り用いた7) _{ことがあるものの、信号処理を専門分野} としているわけではなくその素養に優れるわけでもない。しかし、フルーエンシDA 関数やそれを用いた補間について、私のような者にも実用上便利であるということから、この研究ノートをまとめる。特に、2 次フルーエンシ DA 関数については明確に導出された式が見つかる8) _が、_{2 階微分まで連続（C}2 連続）である点で便利な3 次フルーエンシ DA 関数については見受けられないため、実用性を考慮して本稿で整理する。

2. 矩形関数や標本化関数との関係

(1)式のように標本化関数 sinc(t)を用いた再生は、 標本化定理を満たし式通りの計算が可能であるならば、元信号を完全に再生する。一方、(1)式の標本化関数を矩形関数 1 | | 1/ 2 rect( ) 1/ 2 | | 1/ 2 0 other t t t    _    (2) 木更津工業高等専門学校紀要第53号(2020) 89

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に置き換えれば、通常のDA 変換器の出力に似た階段状の関数が再生されるi。フルーエンシDA 関数は、図 1 に示すように、矩形関数から標本化関数までの一連の関数に相当する。矩形関数（0 次フルーエンシ DA 関数）による再生が0 次ホールドであり、三角形関数（1 次フルーエンシDA 関数）による再生が 1 次ホールドすなわち線形補間であり、標本化関数（次フルーエンシDA 関数）による再生が標本化定理における再生であるii。三角形関数の次とその次にあたる関数がそれぞれ 2 次フルーエンシ DA 関数と 3 次フルーエンシ DA 関数であり、(1)式の標本化関数をこれらの関数に置き換えて得られる関数を、2 次と 3 次のフルーエンシ補間という。すなわち、標本化関数の代用としてフルーエンシDA 関数を用いて標本値から元の信号を再生しようとすることが、フルーエンシ補間である。 n 次フルーエンシDA 関数は、図 2 に示すように矩形関数どうしを n 回畳み込みした関数を用いて 求めることができる。これらの関数は、奇関数として表したn 次 B-Spline 基底関数9,10) でもある。

3. 2 次フルーエンシ DA 関数と補間

矩形関数どうしを2 回畳み込みした関数は



2 2 3 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2

( ) (rect rect rect)( )

(4 12 9) / 8 , ( 4 3) / 4 , (4 12 9) / 8 , 0 other t t t t t t t



      _    _ _ __  _    _ _     (3) である。この関数2(t)をそれぞれ–1/2, 0, 1/2 だけシフトさせ、独立変数t が 0 で値が 1 となり 0 以外の 整数で値が 0 となるように定数（それぞれ–1/2, 2, –1/2）を掛けて足し合わせれば、2 次フルーエンシ DA 関数が以下の通り求まる。



2 1 2 2 1 2 2 3 2 ₂ 2 3 2 ( 7 4) / 4 | | 0, (5 12 | | 7) / 4 | | ,1 ( ) ₍₃ _{8| | 5) / 4 | | 1,} (| | 2) / 4 | | ,2 0 other t t t t t t _t _t _t t t



 _ _ _{ }   _ _ __     _ _ _{ }  _ _ _     (4) この関数2(t)を(1)式の標本化関数の代わりに用いれば、周期 T の等間隔データ f(kT)に対して、周 期の半分ごとの区分多項式による 2 次フルーエンシ補間が求められる。 (1)式をそのまま用いて f(t)の値を求める際には基 本的に、多くの標本値が影響するため、実用上は計 i 矩形関数 rect(t)は、標本化関数 sinc(t)と互いにフーリエ変換の関 係にあるほか、0 次フルーエンシ DA 関数や奇関数として表した 0 次 B-Spline 基底関数に一致する。 ii これら一連の関数は、独立変数が整数であるときにクロネッカのデルタ関数に一致する。図_{1 矩形関数 rect(t)と標本化関数 sinc(t)と n 次フ} ルーエンシDA 関数の比較 (n = 1, 2, 3) rect(t) 1(t) ₂(t) ₃(t) sinc(t) re ct (t) , 1 (t) , 2 (t) , 3 (t) , s in c( t) t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.5 1 図2 矩形関数 rect(t)どうしを n 回畳み込んだ関 数n(t) (n = 1, 2, 3) rect(t) ₁(t) 2(t) ₃(t) re ct (t) , 1 (t) , 2 (t) , 3 (t) t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.5 1 関口明生 90

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算量が多くなり打切り誤差が生じる。これに対し、2 次フルーエンシ補間の場合には隣り合う2 点の間を補間するためにその前後の 2 点を加えた計4 点で補間計算を行うことになり、計算量は比較的少ない。実用上は(1)式と(4)式をまとめて表すことで、計算内容を整理できる。具体的には、 = (t – kT)/T, xk = f(kT) と表すこととすれば、0 ≤  < 1/2 すなわち kT ≤ t < kT+T/2 における補間多項式は 1 2 1 2 3 7 5 1 1 _{2 0 2 0} 4 1 0 4 0 0 T _k k k k x x x x



       _ _ _ _{ } _   _ _{ } _    _{ } _   _ _{ }_ _     _ _ (5) と表すことができる。一方、1/2 ≤  < 1 すなわち kT+T/2 ≤ t < kT+T においては、(5)式の を(1 – )に置き換え xkを含むベクトル内の要素の順番を反転させて用いるか、それを整理して 1 2 1 2 1 5 7 3 1 _{2 12 14 4} 4 1 1 7 3 1 T _k k k k x x x x



       __ _ _{ } _    _ _ _{ } _    _{ } _           _ _ (6) として計算することもできる。2 次フルーエンシ DA 関数による補間には、1 階微分まで連続性が保たれる特徴（C1 連続性）があり、(5)式や(6)式の微分は見ての通り容易に求められる。

4. 3 次フルーエンシ DA 関数と補間

矩形関数どうしを3 回畳み込みした関数は 3 3 3 2 3 2 3

( ) (rect rect rect rect)( )

( 2) / 6 [ 2, 1) ( 3 6 4) / 6 [ 1,0) (3 6 4) / 6 [0,1) ( 2) / 6 [1,2) 0 other t t t t t t t t



                         (7) である。この関数3(t)をそれぞれ–1, –1/2, 0, 1/2, 1 だけシフトさせ、独立変数t が 0 で値が 1 となり 0 以 外の整数で値が0 となるように定数（それぞれ 1/6, –4/3, 10/3, –4/3, 1/6）を掛けて足し合わせれば、3 次フルーエンシDA 関数が以下の通り求まる。



3 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 3 5 2 ( ) (28| | 45 18) /18 | | 0, (20 | | 33 6 | | 19) /18 | | ,1 ( 11| | 51 77 | | 37) /12 | | 1, ( 3| | 15 23| | 10) /12 | | ,2 (7 | | 51 123| | 98) / 36 | | 2, ( | | 3) / 36 | | ,3 0 ot t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t



    _{ }     _{ }      _{ }      _{ }     _{ }    _{ } her                (8) この関数3(t)を(1)式の標本化関数の代わりに用いれば、周期 T の等間隔データ f(kT)に対して、周 期の半分ごとの区分多項式による 3 次フルーエンシ補間が求められる。 3 次フルーエンシ補間のためには隣り合う 2 点の間を補間するためにその前後の 2 点ずつを加えた計 6 点で補間計算を行うことになる。このため、2 次の場合と同様に、(1)式と(8)式をまとめて表すこともできる。具体的には、 = (t – kT)/T, xk = f(kT) と 表すこととすれば、0 ≤  < 1/2 すなわち kT ≤ t < kT+T/2 における補間多項式は 2 3 1 2 1 2 3 7 33 56 40 9 1 9 54 90 54 9 0 1 3 24 0 24 3 0 36 0 0 36 0 0 0 1 T k k k k k k x x x x x x



           _ _ _ _{ }    _ _ _ _{ } _    _{ } _      _ _    _{ } _             (9) と表すことができる。一方、1/2 ≤  < 1 すなわち kT+T/2 ≤ t < kT+T においては、(9)式の を(1 – )に置き換え xkを含むベクトル内の要素の順番を反転させて用いるか、それを整理して 2 3 1 2 1 2 3 1 9 40 56 33 7 3 18 66 78 45 12 1 3 6 12 12 15 6 36 1 3 38 2 3 1 1 k k k k k k x x x x x x



           __{ } _ _ _{ }     _ _ _{ } _    _{ } _      _{ } _    _{ } _               T (10) 3次フルーエンシDA関数による標本化関数の代用 91

(4)

として計算することもできる。3 次フルーエンシ DA 関数による補間には、2 階微分まで連続性が保たれる特徴（C2連続性）がある。

5. 計算例

図3 に 3 次までのフルーエンシ DA 関数を用いた補間計算の例を示す。1 次フルーエンシ DA 関数は三角形関数に等しいため線形補間に相当する。3 次のフルーエンシDA 関数3(t)を用いた計算について例示すれば、3 ≤ t < 3.5 における補間多項式は 33(t – 1) + 43(t – 2) + 63(t – 3) + 23(t – 4) + 3(t – 5) + 3(t – 6)と、3.5 ≤ t < 4 における補間多項式は 33(1 – t) + 43(2 – t) + 63(3 – t) + 23(4 – t) + 3(5 – t) + 3(6 – t)と表すことができる。この例では、標本点のみを用いて補間曲線を計算しているため 3 次の補間では両側2 点との間が結ばれていないが、その外側にダミーの点を設ければその間も接続することができる。3 次の補間では 2 次の場合に比べてなめらかな補間が実現できている。

6. まとめ

前述のように学術的に新しい点はない。3 次フルーエンシDA 関数を明示的に導出した文献が見受けられなかったため、(8)式の通り導出した。フルーエンシDA 関数による標本の再構成すなわち補間を、 (5)式や(9)式のような独自形式で表した点も実用を考慮してのことである。日本発の当該技術について認知拡大と有効活用を願う。

参考文献

1) 平林晃：「信号の標本化」，電子情報通信学会「知識ベース」，1 群 5 編 3 章，p.2, 2011. 2) 滝澤英一：「一般化された標本化定理―一変数の標本化定理―」, 精密機械, Vol.41, No. 5, pp.16-20, 1974.

3) Kazuo Toraichi, Masaru Kamada, Ryoichi Mori: “Sampling Theorem in the Signal Space Spanned by Spline Functions of Degree 2”, IEICE Transactions, Vol.E68, No.10, pp.660-666, 1985. 4) 鎌田賢，寅市和男，森亮一：「一般次数のスプライン関数から成る信号空間における標本化基底について」，電学論 A，Vol.J71-A, No.3, pp.875-881, 1988. 5) 高橋知幸，河辺徹，中村浩二，寅市和男，片岸一起，大津展之：「不均等間隔標本補間に対する標本化関数」，電学論 C ，Vol.125, No.7, pp.1093-1100, 2005.

6) Stephen Kruzick, Justin Romberg: “Sampling and Reconstruction”, Sygnals and systems, Orange Grove Books, pp.185-197, 2009. 7) 関口明生，杉田栄彦，荒井裕彦：「傾斜絞りスピニング加工法の開発―反力提示機能のある教示システムを用いた教示再生加工―」，第 16 回ロボティクスシンポジア講演論文集， pp.582-587(6B3), 2011. 8) 寅市和男，中村浩二：「DVD-Audio 用二次の標本化関数」，電学論C，Vol.123, No.5, pp.928-937, 2003. 9) 市田浩三，吉本富士市：「スプライン関数とその応用」，教育出版，pp.18-28, 1979. 10) 桜井明，吉村和美，高山文雄：「パソコンによるスプライン関数」，東京電機大学出版局， pp.23-31, 1988. 図3 等間隔標本値に対する線形補間と 2 次・3 次のフルーエンシ補間の比較 In te rp ol at io n t linear quadratic cubic 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 関口明生 92 (2019年9月24日受領)