New Types of Hardy-Hilbert’s Integral Inequality

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New Types of Hardy-Hilbert’s Integral Inequality

W.T. Sulaiman

Department of Computer Engineering College of Engineerng,University of Mosul, Iraq

E-mail: [email protected] (Received: 24-10-10 /Accepted: 11-11-10)

Abstract

Two new form inequalities similar to Hardy-Hilbert’s integral inequality are given.

Keywords: Hardy-Hilbert,s Integral inequality, Integral inequality.

1 Introduction

Let f,g≥0 satisfy

0 ( ) 0 ( ) ,

0 2 0

2

∫

∫

^∞

∞

∞

<

<

∞

<

< f t dt and g t dt

then

(1)

( ) ( ) ( ) ( )

^1/2

,

0 0

2 2

0 0

 





 



< 

+ ∫ ∫

∫∫

^{∞ ∞}

∞ ∞

dt t g dt t f dy

y dx x

y g x

f π

where the constant factor π is the best possible (cf. Hardy et al. [2]).Inequality (1) is well known as Hilbert's integral inequality. This inequality had been extended by

Hardy [1] as follows

If p>1, ¹_p

+

¹_q

= 1 , f , g ≥ 0

_satisfy

0 ( ) ( ) ,

0 0

∫

∫

^∞

∞

< ∞ < ∞

< f

^p

t dt and g

^q

t dt

then

(2)

^{( ) ( ) sin} ( ) ^{/ ( ) ( ) ,}

/ 1

0 / 1

0 0 0

q q

p

p

t dt g t dt

p f dy

y dx x

y g x

f  





 





 





 



< 

+ ∫ ∫

∫∫

^{∞ ∞}

∞ ∞

π π

where the constant factor

(

^{/ p}

)

sinππ

is the best possible. Inequality (2) is called Hardy-Hilbert's integral inequality and is important in analysis and application (cf. Mitrinovic et al. [3]).

B. Yang gave the following extension of (2) as follows :

Theorem [4]. If λ >²−^min

{ }

p^,q ^, f^,g ≥^{0, satisfy}

, )

( )

( 0

0 1 0

1

< ∞ < ∞

< ∫

^∞

^t

^−λ

^f

^p

^{t dt and} ∫

^∞

^t

^−λ

^g

^q

^{t dt}

then

(3)

( ^{( ) (} ) ^{) ( ) ( ) ( ) ,}

/ 1

0 1 / 1

0 1 0 0

q q

p

p

t dt t g t dt

f t p k dy dx y x

y g x

f  





 





 





 



< 

+ ∫ ∫

∫∫

^{∞ − ∞ −}

∞ ∞ λ λ

λ λ

where the constant factor

(

q

)

q p

B

p

p

k

_λ

( ) =

^+λ−2

,

^+λ−2 is the best possible, B is the beta function.

The object of this paper is to give some new inequalities similar to that of Hardy- Hilbert’s inequality.

2 Lemma

The following lemma is needed for our result

Lemma Let 1<1+α <λ<2. ^Then

^α _λ

= ( α − λ ) ( + λ − α − − λ )

∫ −

∞

−

−

2 , 1 2

, 1

0

1 1

B B

dt t t

Proof

∫ ^{t t dt} ∫ ( ) ^{t t dt} ∫

^∞

( ) ^{t t}

−

^dt

−

−

∞ −

−

−

+ −

= −

−

1

1 1 1

0

1 1

0

1 1

1

1 1

^λ

α λ

α λ

α

∫ ( ) ^{t t dt} ∫ ( ) ^{t t}

−

^dt

−

−

−

−

+ −

= −

¹

0

1 1 2

0

1 1

1

1

^λ

α λ λ

α

^{= B} ( ^{α , 2 − λ} ) ( ^{+ B λ − α − 1 , 2 − λ} ) ^.

3 Main Result

We state and prove the following new results

Theorem 1.

^{Let f} , ^g , ^h ≥ 0 , ^p , ^q , ^r > 1 ,

¹_p

+

¹_q

+

¹_r

= 1 , 0 < α < 1 , β < λ < 2 ,

{ } ^{a b c and} { ^{a b a c b c} } ^Let

where α ∈ , , , β ∈ + + 1 , + + 1 , + + 1 .

( ) ( )

( )

( ) .

0

, )

( 0

, )

( 0

0

1 ) 1 ( 1

0

1 ) 1 ( 1 0

1 ) 1 ( 1

∞

<

<

∞

<

<

∞

<

<

∫

∫

∫

∞ + +− + − −

∞ + +− + − −

∞ + +− + − −

dt t h t

dt t g t

dt t f t

r r c b

a

q q b c

a p

p a c

b

λ

λ λ

have we Then

( )

( )

( )

( )

( ) ,

) ) (

( ) ( ) (

/ 1

0

1 ) 1 ( 1 /

1

0

1 ) 1 ( 1

/ 1

0

1 ) 1 ( 1 3

2 1 0 0 0

1

r r

r c b

a q q

q b c

a

p p

p a c

b

dt t h t

dt t g t

dt t f t

K K K dz dy dx z

y x

z h y g x f

 





 





 





 





 ×







 



≤ 

−

−

∫

∫

∫

∫∫∫

∞ ++− + − −

∞ ++− + − −

∞ ++− − − −

∞ ∞ ∞

−

λ λ

λ λ

where

( ) ( )

[ ] [ ( ) ( ) ]

( ) ( )

[ ] [ ( ) ]

( ) ( )

[ ^{, 2 1 , 2} ] [ ( ^{, 2} ) ( ^{1 , 2} ) ] ^.

1 ,

2 , 1 2

,

2 , 1 2

, 2

, 1 2

,

/ 1 3

/ 1 /

1 2

/ 1 /

1 1

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

− +

−

−

− +

− +

−

−

− +

−

=

−

−

−

−

−

− +

−

=

− +

−

−

− +

− +

−

−

− +

−

=

b b

a B b

a B b

B b

B K

c a c B a

B a

B K

c c

b B c

b B c

B c c B K

r

q q

p p

Proof.

r q b p

q a q c

r p a q

p c p b

z y x y

x z y g z

y x x

z y x f

dydz dx z

y x

z h y g x f

1 1 ) 1 1 (

1 1

0 0 0 1 1 1

) 1 (

1 1 0 0 0

1

) ( )

( ) ( ) ( ) (

 −







 +

−

−

−

∞ ∞ ∞

 −







 +

−

−

−

∞ ∞ ∞

−

−

−

×

−

−

=

−

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

λ λ

λ

dz dy dx z

y x z

y x z h

q r c p

r b r a

1 1 ) 1 1 (

1 1

) (

 −







 +

−

−

−

−

−

×

λ

( ) ( )

q

q b

a c q p

p a

c b p

dz dy dx z y x y

x z y dz g

dy dx z y x x

z y x f

/ 1

0 0 0

1 1 ) 1 (

1 1 /

1

0 0 0

1 1 ) 1 (

1

1

( )

) (

 





 





−

 −







 





−

≤ ∫∫∫ − ∫∫∫

^∞∞∞ − − −

−

∞∞∞ −

− −

−

−

−

λ λ

_{( )}

r

r c

b a r

dz dy dx z y x z

y x z h

/ 1

0 0 0

1 1 ) 1 (

1

)

1

(

 





 





−

× ∫∫∫

^{∞ ∞ ∞} − −

−

−

−

−

λ

/

.

1 / 1 /

1 p q r

R Q

= P

ً◌We first consider P. As x−y −z ≤ x−y−z , we have

( )

( )

dz

y x

z

y x y x

z dy

x y

x x y dx x f x

dz dy dx z y x x

z y x P f

c

c b

p p a c

b

p a

c b p

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

∞

−

−

∞

−

−

−

∞ + +− + − −

∞ ∞ ∞

− −

−

−

−

− −

 −













−

−



 





=

−

≤ −

0

1 1

0

1 1

0

1 ) 1 ( 1 0 0 0

1 1 ) 1 (

1 1

1

1

1

1 )

( ) (

λ λ

λ

λ

( )

dt

t dt t

t dx t x f x

c c

b p

p a c

b

∫ ∫

∫

^∞ −

∞ −

−

−

∞ −

−

− +

− + +

−

= −

0

1 1

0

1 1

0

1 ) 1 ( 1

1 1

)

(

_{λ λ}

λ

( ) ( )

[

−λ + λ− − −λ

] [ (

+ −λ

) (

+ λ − − − + −λ

) ]

= B c,2 B c 1,2 Bb,2 c B b c 1,2 c

( )

( ) ,

0

1 ) 1 (

1

f x dx

x

^{b c a p p}

∫

∞

−

− +

− +

×

+ ^λ

by an application of the lemma.

( ) dxdydz

z y x y

x z y Q g

q b

a c q

∫ ∫ ∫

∞ ∞ ∞

− −

−

−

−

−

= −

0 0 0

1 1 ) 1 (

1

) 1

(

λ

^{( )}

dx

z y

x

z y z y

x dz

y z

y y z dy y g y

a

a c

q q b c

a

∫ ∫

∫

^∞ −

−

∞

−

−

−

∞ + +− + − −

− +

 +







 +



 



 +









=

0

1 1

0

1 1

0

1 ) 1 ( 1

1

1

1

1 )

( _{λ λ}

λ

= B

(

c,λ−a−c−1

) ( [

B a,2−λ

) (

+B λ−a−1,2−

) ]

×

( ) .

0

) 1 ( 1

dy y g

y

^{r q}

q p b q c

∫

a

∞ 







 +

− +

− + + λ

Finally

_{( )}

dx dy dz

z y x z

y x z R h

r c

b a r

∫∫∫

∞ ∞ ∞

− −

−

−

−

−

= −

0 0 0

1 1 ) 1 (

1

)

1

(

λ

_{( )}

dx dy dz

y z x z

y x z h

r c

b a

∫∫∫

r

∞ ∞ ∞

− −

−

−

−

−

≤ −

0 0 0

1 1 ) 1 (

1

)

1

(

λ

( )

dy

z x

y

z x z x

y dx

z x

z z x dz z h z

b

b a

r r c b

a

∫ ∫

∫

^∞ −

−

∞

−

−

−

∞ ++− + − −

− −

 −







 





−

−

 

 





=

0

1 1

0

1 1

0

1 ) 1 ( 1

1

1

1

1 )

(

_{λ λ}

λ

=

[

B

(

b,2−λ

) (

+B λ −b−1,2−λ

) ] [

B

(

a,2+b−λ

) (

+Bλ −a−b−1,2+b−λ

) ]

( ) .

0

) 1 ( 1

dz z h

z

^{q r}

r p c r b

∫

a

∞ 







 +

− +

− +

×

+ ^λ

This completes the proof of the theorem.

Theorem 2.

^{, , 0 , , , 1 , 1 ,}

2 ¹

^, { ^{, ,} } ^,

3 1 1

1

p q r

r q p h

g f

Let ≥ >

_p

+

_q

+

_r

= < λ <

_γ

γ ∈

∞

<

−

∞

<

−

<

∞

<

−

<

^∞

∫ ^t

^p

^f

^p

_t ^{t dt} ∫

^∞

^t

^q

^g

^q

_t ^{t dt}

^∞

∫ ^t

^r

^h

^r

_t ^{t dt}

0 0

0

) 1 (

) , 1 (

0 ) ,

1 (

0

^{λ λ λ}

.

, Then

^≤ ( ⁻ ) ^×

∫∫∫ −

∞ ∞ ∞

p r r q q p

p

K K

K B

dz dy dx xyz

z h y g x

f

_{1/ 1/ 1/ 1/}

0 0 0

1 , 2 / 2 1

) ( ) ( )

(

_λ

λ λ

) , 1 (

) 1 (

) 1 (

/ 1

0 / 1

0 / 1

0

r r r q q

q p p

p

dt

t t t h t dt

t t g

t dt t

t f  





 



 −

 





 



 −

 





 



 ∫

^∞

−

^{λ ∞}

∫

^λ

∫

^{∞ λ}

where

Kγ = B

(

γ

(

¹−λ^/2

)

^,1−λγ

)

+B

(

γ

(

³λ^/2−^1,1−λγ

) )

^.

Proof. Applying the lemma, with λ−1 replaced by λ^{,we have}

( )( ) ( )( ^q) ^q

q q

p p p p

xyz z

z x y

y y g xyz

y

y z x

x x f

dz dy dx xyz

z h y g x f

/ / 1 1 1 2 /

1 2 / 1 2 /

0 0 0

/ / 1 1 1 2 /

1 2 / 1 2 / 0 0 0

1 1 ) 1

( 1

1 ) 1

( 1

) ( ) ( ) (

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ

−

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

−

∞ ∞ ∞

−

−

−

−

∞ ∞ ∞

∫∫∫

∫∫∫

( )( )

dx dy dz

xyz x

x y z

z z h

r r r r

/ / 1 1 1 2 /

1 2 / 1 2 /

1 1 ) 1

(

λ λ

λ λ λ

−

−

−

×

_{− −}

−

−

( )( )

( )( )

( )( )

r

r r r r

q

q q q q

p

p p p p

dz dy dx xyz x

x

z y

z z h

dz dy dx xyz z

z

y x

y y g

dz dy dx xyz y

y

x z

x x f

/ 1

0 0 0

1 1 2 /

1 2 / 1 2 /

/ 1

0 0 0

1 1 2 /

1 2 / 1 2 /

/ 1

0 0 0

1 1 2 /

1 2 / 1 2 /

1 1

1 )

( 1 1

1 )

( 1 1

1 )

(













−

−

−

 ×













−

−

−

 ×













−

−

≤ −

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∞ ∞ ∞

−

−

−

−

∞ ∞ ∞

−

−

−

−

∞ ∞ ∞

−

−

−

−

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

/

.

1 / 1 /

1 p q r

N M

= L

Observe that

( )

( )

_dz

xyz xy dy xyz

y dx y

x x x f

L _p

p p

p

∫ ∫

∫

^{∞ − − ∞ −}

∞

−

− −

=

0

1 2 /

0

1 2 / 1

0 1 1

)

1 ( _λ

λ λ

λ λ

= 2^B

(

^λ/2,1−^λ

) [

^B

(

^p

(

1−^λ/2

)

,1−^λp

)

+ ^B

(

3^λ/2−1,1−^λp

) ]

dx

x x x f

p p

( ) 1

0

∫

∞

−

×

^λ

( ) ^dx

x x x f

K B

p p p

∫

^∞

⁻

−

=

0

) 1 (

1 , 2 /

2 λ λ

^λ .

Similarly, we can show that

( )

( ^{/ 2 , 1} ) ^{1 ( ) .}

2

) , 1 (

1 , 2 / 2

0 0

z dz z z h

K B

N

y dy y y g

K B

M

r r r

q q q

∫

∫

∞

∞

−

−

=

−

−

=

λ λ

λ λ

λ λ

The proof is complete.

References

[1] G.H. Hardy, Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms, Proc. Math. Soc., Records of Proc., XLV-XLVI, 23(2) (1925).

[2] G.H. Hardy, J.E. Littlewood and G. Polya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, (1952).

[3] D.S. Mitrinovic, J.E. Pecaric and A.M. Fink, Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives, Kluwer Academic Publishers, Bosten, (1991).

[4] B.Yang, On Hardy-Hilbert's integral inequality, J. Math. Anal. Appl., 261 (2001), 295-306.