3.5 逆行列の公式・クラメールの公式 担当：市原

数学

1

・数学演習

1 No.13 2004.7.15

3.5 逆行列の公式・クラメールの公式

担当：市原

定理

26 (

逆行列の公式

) n

次正方行列

A

に対し

,

A A e = AA e =



 

 



|A| 0 · · · 0

0 |A| · · · 0

· · ·

0 · · · 0 |A|



 

 



が成り立つ

.

とくに

, A

が正則のとき（つまり

,

行列式

|A|

が

0

でないとき）

A

⁻¹

= 1

|A| A e

となる．

定理

27 (クラメールの公式) n

元

1

次連立方程式

 

 

 



a

₁₁

x

₁

+ · · · + a

_1n

x

_n

= b

₁

...

a

_n1

x

₁

+ · · · + a

_nn

x

_n

= b

_n に対し

,

A =



 



a

₁₁

· · · a

_1n

... ... ...

a

_n1

· · · a

_nn



 

 (

係数行列

), X =



 

 x

₁

...

x

_m



 

 , B =



 

 b

₁

...

b

_n



 



とおき

,

行列表示

AX = B

を考える

.

この係数行列

A

が正則行列になるとき

,

解は

x

_j

= |A

_j,B

|

|A|

と求められる

(j = 1, . . . , n).

ここで

, A

j,Bは

A

の第

j

列を

B

で置き換えたもの

,

つまり

,

A

_j,B

=



 



a

₁₁

· · · a

_1(j−1)

b

₁

a

_1(j+1)

· · · a

_1n

... ... ...

a

_n1

· · · a

_n(j−1)

b

_n

a

_n(j+1)

· · · a

_nn



 



23

数学

1

・数学演習

1 No.13 2004.7.15

3.5 逆行列の公式・クラメールの公式

担当：市原

問題

30

連立方程式

 

 

 



y − z = 1 x + 2z = 3 x − y + z = 0

を考える

.

(1)

係数行列を

A

とし

, A

の逆行列

A

⁻¹を公式で求めることにより解きなさい

.

(2)

クラメールの公式により解きなさい

.

学籍番号 氏名