Robin 境界条件下での Quantum Waveguide Problem の基底エネルギーの漸近展開

Robin ^{境界条件下での} Quantum Waveguide Problem の基底エネルギーの漸近展開

片倉 健貴 平成

30

1

10

1 Introduction and Main result

1980

Ω ⊂ R ²

Quantum Waveguide

[1], [5]

(例えば，[3]），特に [4]

d > 0

Ω = { (x, y) ∈ R ² : −∞ < x < ∞ , 0 < y < d }

Robin

∂ _y ψ (x, d) + α(x)ψ(x, d) = 0, − ∂ _y ψ(x, 0) + α(x)ψ(x, 0) = 0, x ∈ R

L ² (Ω)

H _α ψ := − ∆ψ,

D(H α ) = { ψ ∈ W ^2,2 (Ω) : ∂ y ψ(x, d) + α(x)ψ(x, d) = 0,

− ∂ _y ψ(x, 0) + α(x)ψ(x, 0) = 0, x ∈ R }

を考え，束縛状態が存在するための十分条件を与えた．ここで

α(x)

Lipschitz

α ₀ > 0

lim _{| x |→∞} (α(x) − α ₀ ) = 0

[4]

E ₁ (α ₀ ) > 0

σ _ess (H _α ) = [E ₁ (α ₀ ), + ∞ )

となることを示した．さらに，(α(x)

− α ₀ ) ∈ L ¹ (Ω)

∫

R

(α(x) − α ₀ )dx < 0

を満たすという条件の下で，inf

σ(H _α ) < E ₁ (α ₀ )

inf σ(H α )

(仮定) γ(x) ≥ 0, γ(x) ̸≡ 0, γ ∈ C ₀ ^∞ (R)

β > 0

α(x) = α β (x) := α 0 − βγ(x) > 0

[4]

σ(β) := inf σ(H _α

) < E ₁ (α ₀ )

主定理

σ(β) = E ₁ (α ₀ ) − ( A ₀ 2

∫

R

γdx) ² β ² + o(β ² ) (β → 0)

が成り立つ．ただし，

A ₀ = χ ₁ (d) ² +χ ₁ (0) ² > 0

χ ₁ (y)

E ₁ (α ₀ ) > 0

− χ ^′′ ₁ (y) = E ₁ (α ₀ )χ ₁ (y), 0 < y < d, ∥ χ ₁ ∥ L

(0,d) = 1, χ ^′ ₁ (d) + α ₀ χ ₁ (d) = 0, − χ ^′ ₁ (0) + α ₀ χ ₁ (0) = 0.

以下

2

[4]

4

2 ^準備事項

この章では，3章以降に用いるソボレフ空間および諸定理を準備事項と して掲載する．これらについては例えば，

[2]

定義

1 (

W ^k,p (Ω) ) p

1 ≤ p ≤ ∞

α

| α | ≤ k

D ^α u

L ^p (Ω)

u : Ω → R

W ^k,p (Ω)

u ∈ W ^k,p (Ω)

∥ u ∥ W

(Ω) :=

 

 (∑

| α |≤ k

∫

Ω | D ^α u | ^p dx )

p

(1 ≤ p < ∞ ),

∑

| α |≤ k ess sup _Ω | D ^α u | (p = ∞ ).

上記でノルムを定義することで，

W ^k,2 (Ω)

W ^{1, ∞} (Ω)

W ^{1, ∞} (Ω)

定理

1 u : Ω → R

Lipschitz

u ∈ W ^{1, ∞} (Ω)

定理

2 (1)

E : W ^2,2 (Ω) → W ^2,2 (R ² )

C > 0

∥ Eu ∥ W

(R

) ≤ C ∥ u ∥ W

(Ω) , ∀ u ∈ W ^2,2 (Ω)

(2)

)

ある

C ₀ > 0

∥ v ∥ L

(R

) ≤ C ₀ ∥ v ∥ W

(R

) , ∀ v ∈ W ^2,2 (R ² ).

定理

3 (

)

T : W ^1,2 (Ω) → L ² (∂ Ω)

(1)T u = u | ∂Ω , u ∈ W ^1,2 (Ω) ∩ C(Ω), (2) ∥ T u ∥ L

(∂Ω) ≤ C ∥ u ∥ W

(Ω) , ∀ u ∈ W ^1,2 (Ω).

定義

2 (

) X

u ∈ X

任意の

u ∗ ∈ X

{ u _k } ^∞ k=1 ⊂ X

⟨ u ∗ , u _k ⟩ → ⟨ u ∗ , u ⟩ (k → ∞ )

{ u _k } ^∞ _k=1

u ∈ X

定理

4 (

) X

{ u k } ^∞ k=1 ⊂ X

{ u _{k j} } ^∞ j=1 ⊂ { u _k } ^∞ k=1

u ∈ X

{ u _{k j} } ^∞ _j=1

u ∈ X

3 J´ ILEK ^{の結果の帰結}

3.1 Robin

定義

3

L ² (Ω)

h _α (ϕ, ψ) :=

∫

Ω

∇ ϕ(x, y) · ∇ ψ(x, y) dxdy +

∫

R

α(x)(ϕ(x, 0)ψ(x, 0) + ϕ(x, d)ψ(x, d))dx, D(h _α ) := W ^1,2 (Ω).

このとき，

h _α

h _α [ψ] := h _α (ψ, ψ), ψ ∈ D(h _α )

h _α

H _α

H ˜ _α

(例えば，[7]

D( ˜ H _α ) = { ψ ∈ D(h _α ) : ∃ F ∈ L ² (Ω) s.t. ∀ ϕ ∈ D(h _α ), h _α (ϕ, ψ) = (ϕ, F ) } , F = ˜ H α ψ.

[4]

H ˜ α = H α

D( ˜ H α ) = D(H α )

1

D( ˜ H _α ) ⊂ D(H _α )

W ^2,2

補題

1 ([1,Lemma 1]) α ∈ W ^{1, ∞} (R), α(x) > 0, ∀ x ∈ R

ψ ∈ D(h _α )

h _α (ϕ, ψ) = (ϕ, F ), ∀ ϕ ∈ D(h _α )

F ∈ L ² (Ω)

ψ ∈ D(H _α ).

C

∥ ψ ∥ W

(Ω) ≤ C( ∥ ψ ∥ W

(Ω) + ∥ F ∥ L

(Ω) )

が成立する．ただし，この

C

α(x)

W ^{1, ∞} (R)

(証明)

ψ ∈ D(h _α )

ψ _δ (x, y) := ψ(x + δ, y) − ψ(x, y)

δ , δ ∈ R

として

ψ

| ψ(x + δ, y) − ψ(x, y) | = | [ψ(x + δt, y)] ^t=1 _t=0 |

= | δ

∫ 1 0

∂ _x ψ (x + δt, y)dt |

≤ | δ |

∫ ₁

0

| ∂ _x ψ(x + δt, y) | dt.

したがって，

∫

Ω

| ψ _δ | ² dxdy ≤

∫

Ω

(

∫ ₁

0

| ∂ _x ψ(x + δt, y) | dt) ² dxdy

≤

∫

Ω

(

∫ 1 0

| ∂ _x ψ(x + δt, y) | ² dt)dxdy

=

∫ ₁

0

(

∫

Ω

| ∂ _x ψ(x + δt, y) | ² dxdy)dt

=

∫

Ω

| ∂ _x ψ(x, y) | ² dxdy.

ゆえに，

∥ ψ _δ ∥ ² L

(Ω) ≤ ∥ ψ ∥ ² W 1,2(Ω) . (1) ψ ∈ D(h _α )

h _α (ϕ, ψ) = (ϕ, F ), ∀ ϕ ∈ D(h _α )

∫

Ω

∇ ϕ(x, y) · ∇ ψ(x, y ) dxdy +

∫

R

α(x)(ϕ(x, 0)ψ (x, 0) + ϕ(x, d)ψ(x, d))dx

=

∫

Ω

ϕ(x, y)F (x, y)dxdy.

ここで，ψ(x, y) =

ψ(x, y) + ψ(x + δ, y) − ψ(x + δ, y), F (x, y) = F (x, y) + F (x + δ, y) − F (x + δ, y)

h α (ϕ, ψ δ ) = δ ^{− 1} {

∫

Ω

∇ ϕ(x, y) · ∇ ψ(x + δ, y)dxdy

∫

R

α(x)(ϕ(x, 0)ψ(x + δ, 0) + ϕ(x, d)ψ (x + δ, d))dx −

∫

Ω

ϕ(x, y)F (x, y)dxdy } + (ϕ, F _δ ).

また，

∫

Ω

ϕ(x, y)F (x + δ, y)dxdy =

∫

Ω

∇ ϕ(x, y) · ∇ F (x + δ, y)dxdy +

∫

R

α(x)(ϕ(x, 0)F (x + δ, 0) + ϕ(x, d)F (x + δ, d))dx.

したがって，

h _α (ϕ, ψ _δ ) = (ϕ, F _δ ) −

∫

R

α _δ (x)(ϕ(x, 0)F (x + δ, 0) + ϕ(x, d)F (x + δ, d))dx.

さらに，

ϕ = ψ _δ

(ϕ, F _δ ) =

− (ϕ _{− δ} , F )

h α [ψ δ ] = − ((ψ δ ) ₋ δ , F ) −

∫

R

α δ (x)(ψ δ (x, 0)ψ(x+δ, 0)+ψ δ (x, d)ψ(x+δ, d))dx.

(2)

| ((ψ _δ ) _{− δ} , F ) | ≤ 1

2 ∥ F ∥ ² _L

_(Ω) + 1

2 ∥ ψ _δ ∥ ² _W

_(Ω) ,

|

∫

R

α _δ (x)(ψ _δ (x, 0)ψ(x + δ, 0) + ψ _δ (x, d)ψ(x + δ, d))dx |

≤ C ₁ ∥ ψ _δ ∥ L

(∂Ω) ∥ ψ ∥ L

(∂Ω)

≤ C ₂ ∥ ψ _δ ∥ W

(Ω) ∥ ψ ∥ W

(Ω) .

h _α [ψ _δ ] ≤ 1

2 ∥ F ∥ ² _L

_(Ω) + 1

2 ∥ ψ _δ ∥ ² _W

_(Ω) + C ₂ ∥ ψ _δ ∥ W

(Ω) ∥ ψ ∥ W

(Ω) .

∫

Ω

|∇ ψ _δ | ² dxdy +

∫

Ω

| ψ _δ | ² dxdy

≤ −

∫

R

α(x)( | ψ _δ (x, 0) | ² + | ψ _δ (x, d) | ² )dx + 1

2 ∥ F ∥ ² _L

_(Ω) + 1

2 ∥ ψ _δ ∥ ² _W

_(Ω) + C ₂ ∥ ψ _δ ∥ W

(Ω) ∥ ψ ∥ W

(Ω) +

∫

Ω

| ψ _δ | ² dxdy

∥ ψ _δ ∥ ² W

(Ω) ≤ 1

2 ∥ F ∥ ² L

(Ω) + 1

2 ∥ ψ _δ ∥ ² W

(Ω) + C ₂ ∥ ψ _δ ∥ W

(Ω) ∥ ψ ∥ W

(Ω) + ∥ ψ _δ ∥ ² L

(Ω)

1

2 ∥ ψ _δ ∥ ² W

(Ω) ≤ 1

2 ∥ F ∥ ² L

(Ω) + C ₂ ∥ ψ _δ ∥ W

(Ω) ∥ ψ ∥ W

(Ω) + C ∥ ψ ∥ ² W

(Ω)

を得る．さらに，任意の

ε > 0

1

2 ∥ ψ δ ∥ ² W

(Ω) ≤ 1

2 ∥ F ∥ ² L

(Ω) + 1

2 (ε ² ∥ ψ δ ∥ ² W

(Ω) +C ₂ ² ε ^{− 2} ∥ ψ ∥ ² W

(Ω) )+C ∥ ψ ∥ ² W

(Ω)

だから，特に

ε = √ ¹

2

∥ ψ _δ ∥ ² _W

_(Ω) ≤ 2 ∥ F ∥ ² _L

_(Ω) + C ^′ ∥ ψ ∥ ² _W

.

したがって，

∥ ψ _δ ∥ ² _W

_(Ω)

δ

sup

δ ∥ ψ δ ∥ W

< ∞ . (3)

ゆえに

(3)

ψ _{− δ}

v ∈ W ^1,2 (Ω)

ψ _−δ

v ∈ W ^1,2 (Ω)

W ^1,2 (Ω)

∥ v ∥ W

(Ω) ≤ lim inf

k →∞ ∥ ψ _{− δ}

∥ W

(Ω)

≤ C ∥ F ∥ L

(Ω) + C ∥ ψ ∥ W

(Ω) .

ϕ ∈ C ₀ ^∞ (Ω)

∫

Ω ψ∂ x ϕdxdy = − ∫

Ω vϕdxdy

∂ _x ψ = v

ϕ ∈ C ₀ ^∞ (Ω)

∫

Ω

ψ∂ _x ϕdxdy =

∫

Ω

ψ lim

δ

→ 0 ϕ _δ

dxdy.

さらに極限と積分の順序交換を行うために，

f k (x, y) := ψ(x, y )ϕ δ

(x, y)

| f _k (x, y) | ≤ g(x, y)

g ∈ L ¹ (Ω)

ϕ _δ

| f _k (x, y) | = | ψ(x, y)∂ _x ϕ(x + θδ _k , y) | , θ ∈ (0, 1)

をみたすような

θ

ϕ ∈ C ₀ ^∞ (Ω)

| x | ≥ R

ϕ(x, y) = 0

R > 0

| x | ≥ R + 1

ϕ(x + θδ _k , y) = 0

Ω _R+1 := { (x, y) ∈ Ω : | x | ≥ R + 1 } , M := max _(x,y)∈K | ∂ x ϕ(x, y) | (

K = { (x, y) ∈ Ω : | x | ≤ R } )

g(x, y) = | M χ _Ω

(x, y)ψ(x, y) |

∫

Ω

| g(x, y) | dxdy = M

∫

Ω

| ψ(x, y) | dxdy

≤ M (

∫

Ω

| ψ(x, y) | ² dxdy)

< ∞ .

さらに，ϕ

∈ W ^1,2 (Ω), ψ ∈ L ² (Ω)

_δ ) = − (ϕ _{− δ} , F ), F ∈ L ² (Ω)

δ lim

→ 0

∫

Ω

ψϕ _δ

dxdy = − lim

δ

→ 0

∫

Ω

ψ _−δ

ϕdxdy.

またリースの表現定理を用いることによって，

(ϕ, ψ _{− δ}

) _L

_(Ω) → (ϕ, v) _L

_(Ω)

∫

Ω

ψ∂ x ϕdxdy = − lim

δ

→ 0

∫

Ω

ψ ₋ δ

ϕdxdy = −

∫

Ω

vϕdxdy

であるから，

∂ _x ψ = v

∂ _x ψ ∈ W ^1,2 (Ω)

∂ _xx ψ ∈ L ² (Ω), ∂ _xy ψ ∈ L ² (Ω)

∂ _yy ψ ∈ L ² (Ω), − ∆ψ = F

ϕ ∈ C ₀ ^∞ (Ω) ⊂ W ^1,2 (Ω)

∫

R α(x)(ϕ(x, 0)ψ(x, 0) + ϕ(x, d)ψ(x, d))dx = 0

h _α = (ϕ, F )

∫

Ω

∂ _y ϕ∂ _y ψdxdy =

∫

Ω

( − ∂ _x ϕ∂ _x ψ + ϕF )dxdy.

ここで，

−

∫

Ω

∂ _x ϕ∂ _x ψdxdy = −

∫

Ω

ψ∂ _x (∂ _x ϕ)dxdy =

∫

Ω

vϕdxdy

v = ∂ _x (∂ _x ψ)

∫

Ω

∂ y ϕ∂ y ψdxdy =

∫

Ω

ϕ { ∂ x (∂ x ψ) + F } dxdy.

したがって，

∂ yy ψ = − (∂ xx ψ + F )

− ∆ψ = F

∂ xx ψ ∈ L ² (Ω), F ∈ L ² (Ω)

∂ _yy ψ ∈ L ² (Ω)

ψ ∈ W ^2,2 (Ω)

∥ ψ ∥ W

(Ω) ≤ C ∥ F ∥ L

(Ω) + C ∥ ψ ∥ W1,2(Ω) .

最後に

ψ

Robin

h _α (ϕ, ψ)

y

ϕ ∈ D(h _α ) = W ^1,2 (Ω)

,

∫

Ω

∇ ϕ(x, y) · ∇ ψ(x, y )dxdy =

∫

R

ϕ(x, d)∂ _y ψ(x, d)dx −

∫

R

ϕ(x, 0)∂ _y ψ(x, 0)dx

−

∫

Ω

ϕ · ∆ψdxdy.

よって，

(ϕ, F ) = h _α (ϕ, ψ) = (ϕ, − ∆ψ) +

∫

R

ϕ(x, 0) {− ∂ _y ψ(x, 0) + α(x)ψ(x, 0) } +

∫

R

ϕ(x, 0) { ∂ _y ψ(x, d) + α(x)ψ(x, d) } .

既に

− ∆ψ = F

∫

R

ϕ(x, 0) {− ∂ _y ψ(x, 0)+α(x)ψ(x, 0) } +

∫

R

ϕ(x, d) { ∂ _y ψ(x, d)+α(x)ψ(x, d) } = 0,

∀ ϕ ∈ W ^1,2 (Ω).

さらにここで，

ϕ(x, y) ∈ W ^1,2 (Ω)

,

φ(x) ∈ C ₀ ^∞ (R)

, χ(y) = 0(y ≥ ^d ₂ ), χ(y) = 1(y ≤ ^d ₄ )

χ ∈ C ^∞ (R)

ϕ(x, y) = φ(x)χ(y) ∈ W ^1,2 (Ω)

∫

R

φ(x) {− ∂ _y ψ(x, 0) + α(x)ψ(x, 0) } dx = 0, ∀ φ ∈ C ₀ ^∞ (R)

− ∂ _y ψ(x, 0) + α(x)ψ(x, 0) = 0, x ∈ R.

同様にして，

∂ y ψ(x, d) + α(x)ψ(x, d) = 0, x ∈ R

ψ ∈ D(H _α )

3.2 bound state

[4]

σ _ess (H _α ) = [E ₁ (α ₀ ), ∞ )

定理

5 ([1,Lemma 3]) α ∈ W ^{1, ∞} (Ω), α(x) > 0, ∀ x ∈ R

(1)α − α ₀ ∈ L ¹ (R), (2)

∫

R

(α(x) − α ₀ )dx < 0

σ(H _α ) < E ₁ (α ₀ ) = inf σ _ess (H _α )

(

)

inf σ(H α ) − E 1 (α 0 ) ≤ h _α [ψ] − E ₁ (α ₀ ) ∥ ψ ∥ ² _L

_(Ω)

∥ ψ ∥ ² _L

_(Ω) < 0

を満たすような

ψ

φ

(1) φ ∈ C ₀ ^∞ (R),

(2) ∀ x ∈ R, 0 ≤ φ(x) ≤ 1, (3) ∀ x ∈ ( − 1

4 , 1

4 ), φ = 1, (4) ∀ x ∈ R \ ( − 1

2 , 1

2 ), φ = 0, (5) ∥ φ ∥ L

(R) = 1.

また上記の

φ

_n (x) = √ ¹ n φ ( _x

n

)

ψ n (x, y) := φ n (x)χ 1 (y; α 0 )

Q _α [ψ] := h _α [ψ ] − E ₁ (α ₀ ) ∥ ψ ∥ ² _L

_(Ω)

とするとき，

ψ _n ∈ L ² (Ω)

h _α [ψ _n ]

h α [ψ n ] =

∫

Ω

|∇ ψ n (x, y) | ² dxdy +

∫

R

α(x)( | ψ n (x, 0) | ² + | ψ n (x, d) | ² ) =: I +II

I

I =

∫

Ω

|∇ φ _n (x)χ ₁ (y) | ² dxdy =

∫

Ω

| φ ^′ _n (x)χ ₁ (y) | ² dxdy+

∫

Ω

| φ _n (x)χ ^′ ₁ (y) | ² dxdy

= ∥ φ ^′ _n ∥ ² _L

_(R) + ∥ φ _n ∥ ² _L

_(R) ∥ χ ₁ ^′ ∥ ² _L

_([0,d])

= n ^{− 2} ∥ φ ^′ ∥ ² _L

_(R) + ∥ χ ₁ ^′ ∥ ² _L

_([0,d]) .

ここで，

| ψ _n (x, 0) | ² + | ψ _n (x, d) | ² = φ _n (x) ² ( | χ ₁ (0) | ² + | χ ₁ (d) | ² )

α(x)

α(x) − α ₀ + α ₀

II = ( | χ ₁ (0) | ² + | χ ₁ (d) | ² )(

∫

R

(α(x) − α ₀ )φ _n (x) ² dx +

∫

R

α ₀ φ _n (x) ² dx).

したがって，

h _α [ψ _n ] = n ^{− 2} ∥ φ ^′ ∥ ² L

(R) + ∥ χ ₁ ^′ ∥ ² L

([0,d])

+ ( | χ ₁ (0) | ² + | χ ₁ (d) | ² )

∫

R

(α(x) − α ₀ )φ _n (x) ² dx + ( | χ ₁ (0) | ² + | χ ₁ (d) | ² )

∫

R

α ₀ φ _n (x) ² dx.

さらに，

Robin

− χ ₁ ^′′ = E ₁ (α ₀ )χ ₁

∥ χ ₁ ^′ ∥ ² _L

_([0,d]) = χ ₁ (d) ^′ χ ₁ (d) − χ ₁ (0) ^′ χ ₁ (0) −

∫

[0,d]

χ ₁ (y)χ ₁ (y) ^′′ dy

= − α ₀ ( | χ ₁ (0) | ² + | χ ₁ (d) | ² ) + E ₁ (α ₀ ) ∥ χ ₁ ∥ ² _L

_([0,d]) .

Q _α [ψ _n ] = n ^{− 2} ∥ φ ^′ ∥ ² _L

_(R) + ( | χ ₁ (0) | ² + | χ ₁ (d) | ² )

∫

R

(α(x) − α ₀ )φ _n (x) ² dx.

さらに，

n ∫

R (α(x) − α ₀ )φ _n (x) ² dx = ∫

R (α(x) − α ₀ )φ( ^x _n ) ² dx

∀ x ∈ R, lim

n →∞ φ ( x

n )

= 1, (α(x) − α ₀ )φ

( x n

) 2

≤ | (α(x) − α ₀ ) | ∈ L ¹ (R)

n lim →∞ n

∫

R

(α(x) − α ₀ )φ _n (x) ² dx =

∫

R

(α(x) − α ₀ )dx < 0.

よって，

n lim →∞ nQ _α [ψ _n ] = (χ ₁ (d) ² + χ ₁ (0) ² )

∫

R

(α(x) − α ₀ )dx < 0.

したがって，

(χ ₁ (d) ² +χ ₁ (0) ² ) ∫

R (α(x) − α ₀ )dx = − δ, (δ > 0)

N

Q _α [ψ _N ] ≤ − _2N ^δ

inf σ(H _α ) − E ₁ (α ₀ ) ≤ Q _α [ψ _N ] ≤ − _2N ^δ < 0

4 ^{主定理の証明}

ここでは，改めて主定理の仮定と主張を述べる．

γ(x) ∈ C ₀ ^∞ , γ(x) ≥ 0(x ∈ R)，γ ^′ (x) ̸≡ 0

L > 0

suppγ ⊂ { x ∈ R : | x | ≤ L } .

また

α ₀ > 0

β > 0

α(x) := α _β (x) := α ₀ − βγ(x) > 0

とする．また帯状領域として，

d > 0

Ω := { (x, y) ∈ R ² : x ∈ R, 0 < y < d }

̸ = 0) ∈ H ¹ (Ω)

R _β (ϕ) :=

∫

Ω |∇ ϕ(x, y) | ² dxdy + ∫

R α β (x)( | ϕ(x, 0) | ² + | ϕ(x, d) | ² )dx

∫

Ω | ϕ(x, y) | ² dxdy

(

ϕ

)

σ(β) := inf { R _β (ϕ) : ϕ ̸ = 0, ϕ ∈ H ¹ (Ω) }

とする．さらに，

E ₁ (α ₀ )

α(x) = α ₀ > 0

Robin

ϕ _y (x, d) + α ₀ ϕ(x, d) = 0, − ϕ _y (x, 0) + α ₀ ϕ(x, 0) = 0, x ∈ R

の下での作用素

− ∆

χ ₁ (y)

E ₁ (α ₀ )

χ 1 (y)

− χ ^′′ ₁ (y) = E ₁ (α ₀ )χ ₁ (y), 0 < y < d, ∥ χ ₁ ∥ L

((0,d)) = 1 χ ^′ ₁ (d) + α ₀ χ ₁ (d) = 0, − χ ^′ ₁ (0) + α ₀ χ ₁ (0) = 0.

を満たすものとするこのとき次の主定理が成立する．

主定理

σ(β) = E ₁ (α ₀ ) − ( A ₀ 2

∫

R

γ(x)dx) ² β ² + o(β ² )

₀ = χ ₁ (d) ² + χ ₁ (0) ² > 0.

証明は以下のような手順にしたがって行う．

まず上からの評価を，

命題

1

σ(β) ≤ E ₁ (α ₀ ) − ( A ₀ 2

∫

R

γ(x)dx) ² β ² + O(β ³ ), β → 0.

として証明し，下からの評価をまず粗い評価として，

命題

2

C ₁ > 0

σ(β) − E ₁ (α ₀ ) ≥ − C ₁ β ² , 0 < ∀ β < β ₀ .

を示す．さらにこの命題のもとで，つぎの精密な評価を与える．

命題

3

lim inf

β → 0 ( σ(β) − E ₁ (α ₀ )

β ² ) ≥ − ( A ₀ 2

∫

R

γ(x)dx) ² .

1

3

− ( A ₀ 2

∫

R

γ(x)dx) ² ≤ lim inf

β → 0 ( σ(β) − E ₁ (α ₀ )

β ² ) ≤ lim sup

β → 0

( σ(β) − E ₁ (α ₀ )

β ² )

≤ − ( A ₀ 2

∫

R

γ(x)dx) ²

4.1 B.Simon

つぎの

[2,Theorem 2.5]

2

key Lemma

1

4.2

定理

6 ([2,Theorem 2.5])V

∫

R (1 + | x | ² ) | V (x) | dx < ∞

V ̸ = 0, a.e. x

− ∂ xx + λV, λ > 0

∫

R V (x)dx ≤ 0

λ > 0

E(λ)

( − E(λ))

= − λ 2

∫

V dx − λ ² 4

∫

V (x) | x − y | V (y)dxdy + o(λ ² ), λ → 0.

注意

1

λ → 0

E(λ) = − λ ² 4 (

∫

V dx) ² + O(λ ³ ).

補題

2 A > 0

E(β) := inf {

∫

R (ψ ^′ (x)) ² dx − βA ∫

R γ(x)ψ ² (x)dx

∫

R ψ ² (x)dx : ψ ̸ = 0, ψ ∈ H ¹ (R) } lk

β > 0

minimizer

ψ _β (x)

E(β) = − ( A 2

∫

R

γ (x)dx) ² β ² + O(β ³ )

(

) V (x) = − Aγ(x), λ = β

注意

2

A > 0

γ ˜ ∈ C ₀ ^∞ (R)

˜ γ(x) ≥ 0

γ(x) ˜ ̸≡ 0

∫

R

ψ ^′ (x) ² dx − βA

∫

R

˜

γ(x)ψ(x) ² dx ≥ E(β)

∫

R

ψ(x) ² dx, ∀ ψ ∈ H ¹ (R), E(β) = −

( A 2

∫

R

˜ γ(x)

) 2

β ² + O(β ³ ) (β → 0)

4.2

命題

1

∫

R ψ _β ² (x)dx = 1

A = A ₀

2

E(β) =

∫

R

(ψ _β ^′ (x)) ² dx − βA ₀

∫

R

γ(x) | ψ _β | ² (x)dx

= − ( A ₀ 2

∫

R

γ (x)dx) ² β ² + o(β ³ ).

ここで，

σ(β)

ϕ(x, y )

ϕ(x, y) := ψ _β (x)χ ₁ (y) ∈ H ¹ (Ω)

∫

Ω

| ϕ(x, y) | ² dxdy = 1

∫

Ω

|∇ ϕ(x, y) | ² dxdy =

∫

Ω

{ (ψ _β ^′ (x)) ² χ ₁ (y) ² + ψ _β ² (χ ^′ ₁ (y)) ² } dxdy

=

∫

R

(ψ ^′ _β (x)) ² dx +

∫ _d

0

(χ ^′ ₁ (y)) ² dy.

さらに，

∫

R

α _β (x)( | ϕ(x, 0) | ² + | ϕ(x, d) | ² )dx =

∫

R

(α ₀ − βγ(x))ψ _β (x) ² (χ ₁ (d) ² + χ ₁ (0) ² )dx

= α ₀ A ₀ − βA ₀

∫

R

γ(x)ψ _β (x) ² dx

となる．したがって，

σ(β) ≤ R _β (ϕ) =

∫

Ω

|∇ ϕ | ² dxdy +

∫

R

α _β (x)( | ϕ(x, d) | ² + | ϕ(x, 0) | ² )dx

=

∫

R

(ψ _β ^′ (x)) ² dx − βA ₀

∫

R

γ(x)ψ _β (x) ² dx +

∫ _d

0

(χ ^′ ₁ (y)) ² dy + α ₀ A ₀

= E(β) +

∫ d 0

(χ ^′ ₁ (y)) ² dy + α 0 A 0

が得られる．このとき，

Robin

∫ d 0

(χ ^′ ₁ (y)) ² dy + α 0 A 0 = [χ 1 (y)χ ^′ ₁ (y)] ^d ₀ −

∫ d 0

χ 1 (y)χ ^′′ ₁ (y)dy + α 0 (χ 1 (d) ² + χ 1 (0) ² )

= − α ₀ (χ ₁ (d) ² + χ ₁ (0) ² ) + E ₁ (α ₀ ) + α ₀ (χ ₁ (d) ² + χ ₁ (0) ² )

= E ₁ (α ₀ )

σ(β) ≤ E(β) + E ₁ (α ₀ )

= E 1 (α 0 ) − ( A ₀ 2

∫

R

γ(x)dx) ² β ² + O(β ³ ).

以上により命題

1

4.3

命題１より，β >

0

σ(β) < E ₁ (α ₀ ) := inf σ _ess (H _α )

となるので，

σ(β)

ϕ _β (x, y)

ϕ _β ∈ H ¹ (Ω)

− ∆ϕ _β = σ(β)ϕ _β , (x, y) ∈ Ω, { ∂ _y ϕ _β (x, d) + α(x)ϕ _β (x, d) = 0, x ∈ R,

− ∂ y ϕ β (x, 0) + α(x)ϕ β (x, 0) = 0, x ∈ R.

ただし，

α(x) = α _β (x) = α ₀ − βγ(x) > 0

ϕ _β

1 ≤ ∥ ϕ _β ∥ ² L

(Ω) ≤ 2, 0 < ∀ β ≤ β ₀

補題

3

C ₁ > 0(β

)

∥ ϕ β ∥ W

(Ω) ≤ C 1 , 0 < ∀ β ≤ β 0

が成立する．さらにある

C ₂ > 0(β

)

∥ ϕ _β ∥ L

(Ω) ≤ C ₂ , 0 < ∀ β ≤ β ₀

(証明)

0 < σ(β) ≤ E ₁ (α ₀ )

1 ≤ ∥ ϕ _β ∥ ² _L

_(Ω) ≤ 2, 0 < ∀ β ≤ β ₀

∫

Ω

|∇ ϕ _β | ² dxdy +

∫

R

(α ₀ − βγ(x))( | ϕ _β (x, d) | ² + | ϕ _β (x, 0) | ² )dx = σ(β) ≤ E ₁ (α ₀ )

∥∇ ϕ _β ∥ ² L

(Ω) ≤ E ₁ (α ₀ ).

したがって，

3

1

C 1

∥ ϕ _β ∥ W

(Ω) ≤ C ₁ , 0 < ∀ β ≤ β ₀

が成立する．ここで，2章の埋め込み定理により，ある

C ₂

∥ ϕ _β ∥ L

(Ω) ≤ C ₂ , 0 < ∀ β ≤ β ₀

が成り立つことがわかる．したがって上記の補題が示された．

補題

4 A _β (x, y) := exp( ^β _d γ(x)(y − ^d ₂ ) ² )

ψ _β (x, y) := A _β (x, y) ^{− 1} ϕ _β (x, y)

{ ∂ _y ψ _β (x, d) + α ₀ ψ _β (x, d) = 0, x ∈ R,

− ∂ _y ψ _β (x, 0) + α ₀ ψ _β (x, 0) = 0, x ∈ R.

(証明)

∂ _y ψ _β = − 2β d γ(x)

( y − d

2 )

exp ( − β

d γ(x) (

y − d 2

) 2 )

ϕ _β (x, y)

+ exp ( − β

d γ(x) (

y − d 2

) 2 )

∂ _y ϕ _β (x, y).

したがって，

∂ _y ψ _β (x, d) = {− βγ(x)ϕ _β (x, d) + ∂ _y ϕ _β (x, d) } exp (

− d 4 βγ(x)

) .

∂ _y ψ _β (x, d)+α ₀ ψ _β (x, d) = { α(x)ϕ _β (x, d) + ∂ _y ϕ _β (x, d) } exp (

− d 4 βγ(x)

)

= 0

− ∂ _y ψ _β (x, 0) + α(x)ψ _β (x, 0) = 0

注意

3

1 ≤ A _β (x, y) ² ≤ exp (

2β d γ(x)

( y − d

2 ) 2 )

≤ exp ( dβ

2 γ(x) )

≤ exp ( dβ

2 γ _max )

≤ exp ( dβ ₀

2 γ _max )

≤ 2

となるように

β ₀ > 0

γ _max := max _{x ∈ R} γ(x) >

0.

したがって，

1 = ∫

Ω | ψ β (x, y) | ² dxdy

1 ≤

∫

Ω

| ψ β (x, y) | ² dxdy ≤

∫

Ω

A β (x, y) ² ψ β (x, y) ² dxdy =

∫

Ω

| ϕ β (x, y) | ² dxdy

≤ 2

∫

Ω

| ψ _β (x, y) | ² dxdy

= 2.

ゆえに，

1 ≤

∫

Ω

| ϕ _β (x, y) | ² dxdy ≤ 2, 0 < ∀ β ≤ β ₀

を満たすことになる．また，

{ χ n (y) } ^∞ n=1 ⊂ L ² (0, d)

− ∂ yy

Robin

条件

{

χ ^′ (d) + α ₀ χ(d) = 0,

− χ ^′ (0) + α ₀ χ(0) = 0

の下での固有値

{ E _n (α ₀ ) } ^∞ n=1

∫ _d

0

χ _n (y)χ _m (y)dy = δ _nm

としておく．そこで

ψ β (x, y)

{ χ n (y) } ^∞ n=1

ψ β (x, y) =

∑ ∞ n=1

a n (x)χ n (y)

とかける．

(

β

)

1 = ∫

Ω | ψ(x, y) | ² dxdy

1 =

∑ ∞ n=1

∫

R

a _n (x) ² dx (1)

を満たす．補題

3

∥ ϕ β ∥ L

(Ω) ≤ C 2

1 ≤ A β (x, y) ≤ √ 2

| ψ _β (x, y) | ≤ | ϕ _β (x, y) | ≤ C ₂ .

∥ ψ _β ∥ L

(Ω) ≤ C ₂ , 0 < β ≤ β ₀ (2)

ϕ _β

σ(β)

minimizer

σ(β) =

∫

Ω { (∂ _x ϕ _β ) ² + (∂ _y ϕ _β ) ² } dxdy + ∫

R (α ₀ − βγ(x)) { ϕ _β (x, d) ² + ϕ _β (x, 0) ² } dx

∫

Ω ϕ ² _β dxdy := N 1 ∫ + N 2 + N 3

Ω ϕ ² _β dxdy

である．さらに，

A _β = exp( ^β _d γ(x)(y − ^d ₂ ) ² )

{ ∂ _x A _β = ^β _d γ ^′ (x)(y − ^d ₂ ) ² A _β ,

∂ _y A _β = ^2β _d γ(x)(y − ^d ₂ )A _β

∂ _y ² A _β = 2β

d γ(x)A _β + ( 2β

d ) ² γ(x) ² (y − d

2 ) ² A _β .