x = 2 cos t + cos 2t，y = sin 2t

1993

年 東京大学理系 第６問

 時刻

t

における座標が

x = 2 cos t + cos 2t，y = sin 2t

で表される

xy

平面上の点

P

の運動を考える．

(1) P

の速さ，すなわち速度ベクトル

dx dt , dy

dt

の大きさの最大値と最小値を求めよ．

(2) t

が

0 5 t < 2π

の範囲を動く間に

P

が

2

回以上通過する点が唯一つ存在すること   を示し，その点を通過する各々の時刻での速度ベクトルを求め図示せよ．

—解答例—

(1) x(t) = 2 cos t + cos 2t, y(t) = sin 2t

とおく，

また，x(t), y(t)を

t

について微分した関数をそれぞれ

x

⁰

(t), y

⁰

(t)

とおく。

x

⁰

(t) = −2 sin t − sin 2t · 2 = −2(sin t + sin 2t),

    

y

⁰

(t) = cos 2t · 2 = 2 cos 2t

速度ベクトルの大きさの

2

乗を

V (t)

とおくと

V (t) = {x

⁰

(t)}

²

+ {y

⁰

(t)}

²

= {−2(sin t + sin 2t)}

²

+ (2 cos 2t)

²

= 4(sin

²

t + 2 sin t sin 2t + sin

²

2t) + 4 cos

²

2t V (t)

4 = sin

²

t + 2 sin t sin 2t + sin

²

2t + cos

²

2t = (1 − cos

²

t) + 2 sin t · 2 sin t cos t + 1

= 1 − cos

²

t + 4 sin

²

t cos t + 1 = 2 − cos

²

t + 4(1 − cos

²

t) cos t

= 2 − cos

²

t + 4 cos t − 4 cos

³

t = −4 cos

³

t − cos

²

t + 4 cos t + 2

cos t = X

とおいて

f (X) = −4X

³

− X

²

+ 4X + 2 (−1

≦

X

≦

1)

を考える。

f

⁰

(X) = −12X

²

− 2X + 4 = −2(6X

²

+ X − 2) = −2(3X + 2)(2X − 1)

X ... −1 ... − 2

3 ... 1

2 ... 1 ...

f

⁰

(X) − − − 0 + 0 − − −

f (X) & 1 & 2

27 % 13

4 & 1 &

f (−1) = 4 − 1 − 4 + 2 = 1 f

− 2 3

= 32 27 − 4

9 − 8

3 + 2 = 2 27 f

1 2

= − 1 2 − 1

4 + 2 + 2 = 13 4 f (1) = −4 − 1 + 4 + 2 = 1

増減表より，f(X

)

の最大値は

13

4

，最小値は

2

27

であるから

V (t)

の最大値は

13，最小値は 8 27

よって速度ベクトルの大きさは，cos

t = 1

2

すなわち

t = π 3 , 5

3 π

のとき最大値

√ 13

      

cos t = 2

3

のとき最小値

r 8

27 = 2 √ 6

9

をとる。

(2) x

⁰

(t) = −2(sin t + sin 2t) = −2(sin t + 2 sin t cos t) = −2 sin t(2 cos t + 1)

であるから

t 0 ... 2

3 π ... π ... 4

3 π ... 2π

−2 − − − − − − − − −

sin t 0 + + + 0 − − − 0

2 cos t + 1 + + 0 − − − 0 + +

x

⁰

(t) 0 − 0 + 0 − 0 + 0

x(t) &

極小

%

極大

&

極小

%

0

≦

t

＜

2π

の範囲で

sin t = 0

を解くと，t

= 0, π 2 cos t + 1 = 0

を解くと，t

= 2

3 π, 4

3 π

よって増減表は左図のようになる。

—解答例—

y

⁰

(t) = cos 2t · 2 = 2 cos 2t

であるから

t 0 ... π

4 ... 3

4 π ... 5

4 π ... 7

4 π ... 2π

y

⁰

(t) + 0 − 0 + 0 − 0 +

y(t) %

極大

&

極小

%

極大

&

極小

%

0

≦

t

＜

2π

の範囲で

cos 2t = 0

を解くと，

t = π 4 , 3

4 π, 5 4 π, 7

4 π

よって増減表は 左図のようになる。

t = 0

のとき，

x(0) = 2 cos 0 + cos 0 = 3, y(0) = sin 0 = 0 t = π

4

のとき，

x

π 4

= 2 cos π

4 + cos π 2 = √

2, y

π 4

= sin π 2 = 1 t = 2

3 π

のとき，

x 2

3 π

= 2 cos 2

3 π + cos 4

3 π = − 3 2 , y

2 3 π

= sin 4 3 π = −

√ 3 2 t = 3

4 π

のとき，

x 3

4 π

= 2 cos 3

4 π + cos 3

2 π = − √ 2, y

3 4 π

= sin 3 2 π = −1 t = π

のとき，

x(π) = 2 cos π + cos 2π = −1, y(π) = sin 2π = 0 t = 5

4 π

のとき，

x 5

4 π

= 2 cos 5

4 π + cos 5

2 π = − √ 2, y

5 4 π

= sin 5 2 π = 1 t = 4

3 π

のとき，

x 4

3 π

= 2 cos 4

3 π + cos 8

3 π = − 3 2 , y

4 3 π

= sin 8 3 π =

√ 3 2 t = 7

4 π

のとき，

x 7

4 π

= 2 cos 7

4 π + cos 7

2 π = − √ 2, y

7 4 π

= sin 7 2 π = −1 t = 2π

のとき，

x(2π) = 2 cos 2π + cos 4π = 3, y(2π) = sin 4π = 0

増減表を書くと以下のようになる。

ただし，矢印の向きはその区間における点

P

の速度ベクトルの向きである。

t 0 ... π

4 ... 2

3 π ... 3

4 π ... π

x(t) 3 ← √

2 ← − 3

2 → − √

2 → −1

y(t) 0 ↑ 1 ↓ −

√ 3

2 ↓ −1 ↑ 0

(x(t), y(t)) (3, 0) - ( √

2, 1) .

− 3 2 , −

√ 3 2

& (− √

2, −1) % (−1, 0)

t π ... 5

4 π ... 4

3 π ... 7

4 π ... 2π

x(t) −1 ← − √

2 ← − 3

2 → √

2 → 3

y(t) 0 ↑ 1 ↓

√ 3

2 ↓ −1 ↑ 0

(x(t), y(t)) (−1, 0) - (− √

2, 1) .

− 3 2 ,

√ 3 2

& ( √

2, −1) % (3, 0)

—解答例—

x(2π − t) = 2 cos (2π − t) + cos {2(2π − t)} = 2 cos (−t) + cos(4π − 2t)

= 2 cos t + cos (−2t) = 2 cos t + cos 2t = x(t)

y(2π − t) = sin {2(2π − t)} = sin (4π − 2t) = sin(−2t) = − sin 2t = −y(t) x(2π − t) = x(t)

なので

t

のときと

2π − t

のときは

x

座標は等しい。

y(2π − t) = −y(t)

なので

t

のときと

2π − t

のときは

y

座標の絶対値が等しい。

すなわち，0≦

t

≦πの範囲の曲線と

π≦ t

≦

2π

の範囲の曲線が

x

軸関して対称である。

よって

x

軸上の点で

P

が２回以上通過する可能性があるので

x

軸との交点を求める。

y = 0

より，y

= sin 2t = 0

を

0

≦

t

＜

2π

の範囲で解くと

t = 0, π 2 , π, 3

2 π t = 0

のとき，増減表より

(x(0), y(0)) = (3, 0)

t = π

2

のとき，x

π

2

= 2 cos π

2 + cos π = −1, y π

2

= sin π = 0 ∴

x π

2

, y π

2

= (−1, 0) t = π

のとき，増減表より

(x(π), y(π)) = (−1, 0)

t = 3

2 π

のとき，x

3

2 π

= 2 cos 3

2 π + cos 3π = −1, y 3

2 π

= sin 3π = 0 ∴

x 3

2 π

, y 3

2 π

= (−1, 0)

以上より，点

P

の通過する曲線のグラフを描く。

- 6

x y

O

t = 0, 2π 3

t = π 4

−1 t = π

2 , π, 3 2 π

t = 2 3 π

t = 3 4 π t = 5

4 π t = 4

3 π

t = 7 4 π

√ 3 2

−

√ 3 2 1

−1

√ 2

− √ 2

− 3 2

よって，点

P

が２回以上通過する点は

(−1, 0)

のみであることが示された。(q.e.d.)

—解答例—

t = π 2 , π, 3

2 π

のときに

(−1, 0)

を通過するので

x

⁰

(t) = −2(sin t + sin 2t), y

⁰

(t) = 2 cos 2t

より，

t = π

2

のとき，

x

⁰

π

2

= −2(sin π

2 + sin π) = −2, y

⁰

π

2

= 2 cos π = −2 t = π

のとき，

x

⁰

(π) = −2(sin π + sin 2π) = 0, y

⁰

(π) = 2 cos 2π = 2 t = 3

2 π

のとき，

x

⁰

3

2 π

= −2(sin 3

2 π + sin 3π) = 2, y

⁰

3

2 π

= 2 cos 3π = −2

まとめると

x

⁰

(t), y

⁰

(t)

=

 

 

 



(−2, −2) (t = π 2 ) (0, 2) (t = π) (2, −2) (t = 3

2 π)

である。これを図示すると以下の図のようになる。

- 6

x y

O

−1 1

−3

2

−2 t = π

2 t = 3

2 π

t = π