• 検索結果がありません。

飲酒

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "飲酒"

Copied!
76
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

日本語事実性解析課題の経験的分析 

成田 和弥

,水野 淳太

‡ †

,乾 健太郎

東北大学 奈良先端科学技術大学院大学 

(2)

はじめに:事実性とは 

•  事実性 (Factuality) : 

文中のある事象が実際に起こったことなのか, 

あるいは起こる可能性を述べただけなのか, に関する情報 

飲酒  したことを知っている  先生が 

事象 

(3)

はじめに:事実性とは 

•  事実性 (Factuality) : 

文中のある事象が実際に起こったことなのか, 

あるいは起こる可能性を述べただけなのか, に関する情報 

飲酒  したことを知っている  先生が 

実際に起こった 

事象 

(4)

はじめに:事実性とは 

•  事実性 (Factuality) : 

文中のある事象が実際に起こったことなのか, 

あるいは起こる可能性を述べただけなのか, に関する情報 

飲酒 

したに違いない  を断念した 

したことを知っている  をやめた 

していないだろう 

起こっていない 可能性が高い 

先生が 

実際には

起こっていない

事象 

実際に起こった 

(5)

はじめに:事実性解析の手がかり 

事実性解析に対する手がかりとなる表現の存在 

飲酒 

したに違いない  を断念した 

したことを知っている  をやめた 

していないだろう  先生が 

事象 

実際に起こった 

起こっていない 可能性が高い 

実際には

起こっていない

(6)

はじめに:事実性解析の手がかり(組み合わせ) 

事実性解析に対する手がかりとなる表現の存在 

飲酒  を断念したことを否定した  先生が 

手がかり表現(語彙知識)の組み合わせ問題 としてとらえる 

実際に起こった 

(7)

はじめに:本研究の目的 

•  事実性解析=語彙知識の組み合わせによる問題

•  語彙知識の組み合わせに基づく,日本語事実性解 析器を構築

 → 実験・誤り分析

事実性に影響を与える語彙知識に

焦点を当て,分析を行う 

(8)

目次 

•  はじめに

–  事実性とは –  本研究の目的

•  関連研究

•  日本語事実性解析器

–  事実性の定義 –  解析モデル

–  使用する語彙知識

•  実験

•  誤り分析 

•  おわりに 

(9)

関連研究:機械学習に基づく手法 

•  条件付確率場を利用した手法 [ 江口 + 10]

–  態度表明者,態度,真偽判断などの6 項目からなる拡張 モダリティに対する解析

–  事象間の依存関係を考慮

•  最大エントロピーモデルを用いた手法 [ 松吉 + 11]

–  拡張モダリティに対する解析を行い,主に態度に関して 分析

これらの手法は,語彙知識に関する分析という

目的には適用しづらい 

(10)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

(11)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

(12)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

実際に起こった  初期状態 

(13)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

実際に起こった 

(14)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

実際に起こった  regrets:

実際に起こった  出力  出力 

(15)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets

does not know John sick

実際に起こった  regrets: CT+ 

出力 

regrets → 起こった  更新なし 

regrets:

実際に起こった  伝搬 

(16)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets

does not know John sick

実際に起こった 

regrets: CT+ 

出力 

regrets → 起こった 

regrets:

実際に起こった 

(17)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

実際に起こった 

regrets: CT+ 

出力 

出力・更新なし 

regrets:

実際に起こった 

(18)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not

know John sick

実際に起こった 

regrets: CT+ 

出力 

not → 起こっていない  更新  regrets:

実際に起こった 

(19)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not

know John sick

実際には起こっていない 

regrets: CT+ 

出力 

not → 起こっていない 

regrets:

実際に起こった 

(20)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

実際には起こっていない 

regrets: CT+ 

出力  regrets:

実際に起こった 

(21)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

実際には起こっていない 

regrets: CT+ 

出力 

know:

実際には起こっていない 

出力 

regrets:

実際に起こった 

(22)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

実際には起こっていない 

regrets: CT+ 

出力 

更新 

regrets:

実際に起こった 

know:

実際には起こっていない 

know →

実際に起こった 

(23)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know

John sick 実際に起こった 

regrets: CT+ 

出力 

know →

regrets:

実際に起こった  know:

実際には起こっていない 

(24)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know

John sick 実際に起こった 

regrets: CT+ 

出力  regrets:

実際に起こった  know:

実際には起こっていない 

(25)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know

John sick 実際に起こった 

regrets: CT+ 

出力 

sick:

実際に起こった 出力 

regrets:

実際に起こった  know:

実際には起こっていない 

(26)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

regrets: CT+ 

出力 

sick : CT+ 

regrets:

実際に起こった 

know:

実際には起こっていない 

sick:

実際に起こった

(27)

語彙知識の組み合わせに基づく解析モデル

[Saurí+ 07] 

•  事実性に影響を与える手がかり表現を利用した,

決定的解析モデル [Saurí+ 07]

Mary regrets that John does not know he is sick. 

Mary

regrets does

not know John sick

regrets: CT+ 

出力 

sick : CT+ 

regrets:

実際に起こった 

know:

実際には起こっていない 

sick:

実際に起こった 構成性を持ち,分析し

やすい

→日本語に適用・分析 

(28)

目次 

•  はじめに

–  事実性とは –  本研究の目的

•  関連研究

•  日本語事実性解析器

–  事実性の定義

–  使用する語彙知識 –  解析モデル

•  実験

•  誤り分析 

•  おわりに 

(29)

日本語事実性解析器:事実性の定義 

•  事実性を確信度と肯否極性の組として定義

–  [Saurí+ 07]の定義を,日本語に合わせて一部変更

–  2軸にわかれているため,分析がしやすい

 

肯否極性 

Positive (+)  Negative (−) 

Certain (CT)  実際に起こっている

(CT+) 

実際には起こっていない (CT−) 

Probable (PR)  起こっている可能性が高い (PR+) 

起こっていない可能性が高い (PR−) 

Underspecified (U)  不明

(U) 

(30)

「出る」:実際に起こったこと  CT+ 

日本語事実性解析器:事実性の定義(例) 

 彼はさきほど部屋を出た。 

Positive (+)  Negative (−) 

Certain (CT)  実際に起こっている

(CT+) 

実際には起こっていない (CT−) 

Probable (PR)  起こっている可能性が高い (PR+) 

起こっていない可能性が高い (PR−) 

Underspecified (U)  不明

(U) 

(31)

日本語事実性解析器:事実性の定義(例) 

 もう遅いから、彼は先に帰ったんだろう。

Positive (+)  Negative (−) 

Certain (CT)  実際に起こっている

(CT+) 

実際には起こっていない (CT−) 

Probable (PR)  起こっている可能性が高い (PR+) 

起こっていない可能性が高い (PR−) 

Underspecified (U)  不明

(U) 

「帰る」:起こった可能性が高いこと  PR+ 

(32)

日本語事実性解析器:事実性の定義(例) 

 問題が発生するのを防いだ。

Positive (+)  Negative (−) 

Certain (CT)  実際に起こっている

(CT+) 

実際には起こっていない (CT−) 

Probable (PR)  起こっている可能性が高い (PR+) 

起こっていない可能性が高い (PR−) 

Underspecified (U)  不明

(U) 

「発生する」:実際には起こっていないこと  CT− 

(33)

日本語事実性 解析器 

入力:文 

出力:各事象に 対する事実性 

構文解析 

語彙知識

・日本語機能表現辞書 「つつじ」[松吉+ 07]

・モダリティ手がかり 表現辞書[江口+ 10] 

花子は太郎が出発したことを否定した。 

「出発する」: CT−

「否定する」: CT+ 

解析モデル 

[Saurí+ 07]のモデル をベースに構築 

日本語事実性解析器 

(34)

解析モデル 

•  語彙知識に基づいて,事実性の更新を行いながら 伝搬を行っていくアルゴリズムを構築

–  [Saurí+ 07]のモデルを日本語に適用

 花子は太郎が出発したことを否定した。 

事象間には依存関係があり,事実性を伝搬させることで それを反映させる 

(35)

解析モデル 

•  語彙知識に基づいて,事実性の更新を行いながら 伝搬を行っていくアルゴリズムを構築 

–  [Saurí+ 07]のモデルを日本語に適用

 花子は太郎が出発したことを否定した。 

事象間には依存関係があり,事実性を伝搬させることで それを反映させる 

「出発する」の事実性は「否定する」の影響を受ける 

(36)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

(37)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

事象 

(38)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT+ 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

初期値 

(39)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT+ 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

(40)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT+ 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

「否定する」:CT+ 

出力  出力 

(41)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT+ 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

「否定する」:CT+ 

出力 

「否定する」:+→− 

更新 

(42)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT+ 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

「否定する」:CT+ 

出力 

「否定する」:+→− 

更新 

CT− 

(43)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT− 

「否定する」:CT+ 

出力 

出力・更新なし 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

(44)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT− 

「否定する」:CT+ 

出力  否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

(45)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT− 

「否定する」:CT+ 

出力 

「出発する」:CT− 

出力  否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

(46)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT− 

「否定する」:CT+ 

出力 

「出発する」:CT− 

更新なし 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

(47)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

CT− 

「否定する」:CT+ 

出力 

「出発する」:CT− 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が  出力・更新なし 

(48)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

「否定する」:CT+ 

出力 

「出発する」:CT− 

他の部分木も 再帰的に解析 

(49)

解析モデル 

•  例 . 花子は太郎が出発したことを否定した。 

「否定する」:CT+ 

出力 

「出発する」:CT− 

否定した 

ことを  花子は 

出発した 

太郎が 

(50)

使用する語彙知識 

•  事実性に影響を与える手がかり表現の語彙知識

–  機能語:日本語機能表現辞書「つつじ」[松吉+ 07]

–  内容語:モダリティ解析手がかり表現辞書[江口+ 10]

事実性に影響を与える表現が網羅的に収録されている 

(51)

使用する語彙知識 

•  事実性に影響を与える手がかり表現の語彙知識

–  機能語:日本語機能表現辞書「つつじ」[松吉+ 07]

–  内容語:モダリティ解析手がかり表現辞書[江口+ 10]

 もう遅いから、彼は先に帰ったんだろう。

 問題が発生するのを防いだ。

「帰る」:起こった可能性が高いこと 

「発生する」:実際には起こっていないこと 

PR+ 

CT− 

(52)

使用する語彙知識 

•  事実性に影響を与える手がかり表現の語彙知識

–  機能語:日本語機能表現辞書「つつじ」[松吉+ 07]

–  内容語:モダリティ解析手がかり表現辞書[江口+ 10]

 もう遅いから、彼は先に帰ったんだろう。

 問題が発生するのを防いだ。

「帰る」:起こった可能性が高いこと 

「発生する」:実際には起こっていないこと 

PR+ 

CT− 

「だろう」:推量の機能語=確信度→PR 

(53)

使用する語彙知識 

•  事実性に影響を与える手がかり表現の語彙知識

–  機能語:日本語機能表現辞書「つつじ」[松吉+ 07]

–  内容語:モダリティ解析手がかり表現辞書[江口+ 10]

 もう遅いから、彼は先に帰ったんだろう。

 問題が発生するのを防いだ。

「帰る」:起こった可能性が高いこと 

「発生する」:実際には起こっていないこと 

PR+ 

CT− 

「だろう」:推量の機能語=確信度→PR 

「防いだ」:肯否極性を反転させる内容語=肯否極性→− 

(54)

目次 

•  はじめに

–  事実性とは –  本研究の目的

•  関連研究

•  日本語事実性解析器

–  事実性の定義 –  解析モデル

–  使用する語彙知識

•  実験

•  誤り分析 

•  おわりに 

(55)

実験 

•  拡張モダリティタグ付与コーパス [ 松吉 + 10] の OC (Yahoo! 知恵袋 ) 6,404 文に対して適用

–  入力:

• 正解の形態素情報をもとに,構文解析を行った結果

• 事実性を付与すべき事象の情報

–  出力:

• 各事象に対する事実性

–  評価:

• それぞれのラベル(CT+, CT−, PR+, PR−, U)に対して評価

事実性に影響を与える語彙知識に焦点を当て,

分析を行う 

(56)

実験:評価 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CT+ PR+ PR- CT- U

Precision Recall

(57)

実験:評価 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CT+ PR+ PR- CT- U

Precision Recall

ナイーブな手法だが,CT+,CT−は比較的解けている 

(58)

実験:評価 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CT+ PR+ PR- CT- U

Precision Recall

確信度,肯否極性両方の更新が必要であるため,

PR−はあまり解けていない 

(59)

目次 

•  はじめに

–  事実性とは –  本研究の目的

•  関連研究

•  日本語事実性解析器

–  事実性の定義 –  解析モデル

–  使用する語彙知識

•  実験

•  誤り分析 

•  おわりに 

(60)

誤り分析 

•  論点:

–  現在利用可能な語彙知識のカバレッジ –  語彙知識の曖昧性の有無

–  局所的な語彙知識の組み合わせだけでは解析不可能な問 題の有無

–  その他

事実性に影響を与える語彙知識に

焦点を当て,分析を行う 

(61)

誤り分析 

•  論点:

–  現在利用可能な語彙知識のカバレッジ (26%) –  語彙知識の曖昧性の有無 (9%)

–  局所的な語彙知識の組み合わせだけでは解析不可能な問 題の有無 (37%)

–  その他 (28%)

• 構文解析誤り,アノテーション誤りなど

肯否極性に関する 200 の誤り事例を分類

(62)

誤り分析 

•  論点:

–  現在利用可能な語彙知識のカバレッジ (26%)

• 内容語,機能語

–  語彙知識の曖昧性の有無 (9%)

–  局所的な語彙知識の組み合わせだけでは解析不可能な問 題の有無 (37%)

• 手がかりとなる表現が影響を与える範囲の問題

–  その他 (28%)

• 構文解析誤り,アノテーション誤りなど

肯否極性に関する 200 の誤り事例を分類

(63)

誤り分析 

•  語彙知識のカバレッジの問題(内容語)

 サーバーは接続を解除しました。

–  「接続」正解:CT−,出力:CT+

語彙知識の拡充が必要

内容語「解除する」に関する知識不足 

(64)

誤り分析 

•  語彙知識のカバレッジの問題(機能語)

 いまいち説明しにくいです。

–  「説明する」正解:PR−,出力:CT+

他の研究でも追加の必要性は 言及されている

[今村+ 11]

機能語「にくい」に関する知識不足 

(65)

誤り分析 

•  手がかりとなる表現が影響を与える範囲の問題   合理化して便利になることを追求できなかった。

–  「合理化する」正解:CT+,出力:CT−

(66)

誤り分析 

•  手がかりとなる表現が影響を与える範囲の問題 

 合理化して

/

便利になる

/

ことを

/

追求できなかった。

–  「合理化する」正解:CT+,出力:CT−

係り受け 

「追求できなかった」の事実性が

「合理化する」まで伝搬してしまう 

(67)

誤り分析 

•  手がかりとなる表現が影響を与える範囲の問題 

 合理化して

/

便利になる

/

ことを

/

追求できなかった。

–  「合理化する」正解:CT+,出力:CT−

係り受け 

影響を与える範囲(スコープ)の特定が必要

「追求できなかった」の事実性が

「合理化する」まで伝搬してしまう 

(68)

事象の位置による違い 

•  事象の位置に着目した正解率

–  合理化して便利であることを追求できなかった。 

Accuracy 

外側(文末)の事象  79.7% (4691/5885)  内側(文末以外)の事象  56.7% (5121/9032) 

(69)

事象の位置による違い 

•  事象の位置に着目した正解率

–  合理化して便利であることを追求できなかった。 

Accuracy 

外側(文末)の事象  79.7% (4691/5885)  内側(文末以外)の事象  56.7% (5121/9032) 

「たぶん」などの副詞を考慮できていないため,

十分ではないが,正解率は高い 

(70)

事象の位置による違い 

•  事象の位置に着目した正解率

–  合理化して便利であることを追求できなかった。 

Accuracy 

外側(文末)の事象  79.7% (4691/5885)  内側(文末以外)の事象  56.7% (5121/9032) 

機能語により

多くが正解できている 

「たぶん」などの副詞を考慮できていないため,

十分ではないが,正解率は高い 

(71)

事象の位置による違い 

•  事象の位置に着目した正解率

–  合理化して便利であることを追求できなかった。 

Accuracy 

外側(文末)の事象  79.7% (4691/5885)  内側(文末以外)の事象  56.7% (5121/9032) 

「たぶん」などの副詞を考慮できていないため,

十分ではないが,正解率は高い  スコープの問題が

多く存在する 

機能語により

多くが正解できている 

(72)

目次 

•  はじめに

–  事実性とは –  本研究の目的

•  関連研究

•  日本語事実性解析器

–  事実性の定義 –  解析モデル

–  使用する語彙知識

•  実験

•  誤り分析 

•  おわりに 

(73)

おわりに 

•  語彙知識の組み合わせに基づいた事実性解析

–  現在利用可能な語彙知識のカバレッジ

–  語彙知識の曖昧性の有無

–  局所的な語彙知識の組み合わせだけでは解析不可能な問 題の有無

(74)

おわりに 

•  語彙知識の組み合わせに基づいた事実性解析

–  現在利用可能な語彙知識のカバレッジ

–  語彙知識の曖昧性の有無

–  局所的な語彙知識の組み合わせだけでは解析不可能な問 題の有無

特に内容語に対する語彙知識の不足 

(75)

おわりに 

•  語彙知識の組み合わせに基づいた事実性解析

–  現在利用可能な語彙知識のカバレッジ

–  語彙知識の曖昧性の有無

–  局所的な語彙知識の組み合わせだけでは解析不可能な問 題の有無

特に内容語に対する語彙知識の不足 

存在しているが,既存研究によりカバー

されている部分も多い 

(76)

おわりに 

•  語彙知識の組み合わせに基づいた事実性解析

–  現在利用可能な語彙知識のカバレッジ

–  語彙知識の曖昧性の有無

–  局所的な語彙知識の組み合わせだけでは解析不可能な問 題の有無

特に内容語に対する語彙知識の不足 

スコープが大きな問題 

存在しているが,既存研究によりカバー

されている部分も多い 

参照

関連したドキュメント

An integral inequality is deduced from the negation of the geometrical condition in the bounded mountain pass theorem of Schechter, in a situation where this theorem does not

Every 0–1 distribution on a standard Borel space (that is, a nonsingular borelogical space) is concentrated at a single point. Therefore, existence of a 0–1 distri- bution that does

In this paper we study certain properties of Dobrushin’s ergod- icity coefficient for stochastic operators defined on noncommutative L 1 -spaces associated with semi-finite von

It is worthwhile to note that the method of B -bounded semigroups does not require X to be a Banach space (in fact X is not required to have any structure but linear) and

Our bound does not prove that every Cayley graph is a ˇ Cerný Cayley graph, but it does work for certain Cayley graphs of cyclic groups, dihedral groups, sym- metric groups,

It is known that quasi-continuity implies somewhat continuity but there exist somewhat continuous functions which are not quasi-continuous [4].. Thus from Theorem 1 it follows that

We do not know whether this can be generalized to arbitrary smoothly compact groups, that is, smooth groups which are compact with respect to the initial topology induced on them

Proof: The proof that k − Gonal(V ) is a k-gonal algebra does not present any difficulties and is left to the reader. We construct its universal extension φ as follows. It appears